Les étapes

1
Déterminer le domaine
On impose que tout ce qui est sous un $ln$ ln soit strictement positif.
2
Dériver
On utilise $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ (ln x)' = 1/x et $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ (ln u)' = u'/u, avec les règles habituelles.
3
Étudier le signe de la dérivée
On en déduit le sens de variation, puis le tableau de variations.

Exemple corrigé

Étudier les variations de $f (x) = x ln x$ f(x) = xln x sur $] 0; + \infty [$ ]0 ;+∞[.

1.Domaine : $] 0; + \infty [$ ]0 ;+∞[ (présence de $ln x$ ln x).
2.Dérivée (produit) : $f^{'} (x) = 1 \cdot ln x + x \cdot \frac{1}{x} = ln x + 1$ f'(x) = 1· ln x + x· 1/x = ln x + 1.
3. $f^{'} (x) = 0 ⟺ ln x = - 1 ⟺ x = e^{- 1}$ f'(x) = 0 ⇔ ln x = -1 ⇔ x = e ⁻¹ ; $f^{'} < 0$ f' < 0 avant, $f^{'} > 0$ f' > 0 après : minimum en $x = e^{- 1}$ x = e ⁻¹.

Résultat :

f^{'} (x) = ln x + 1

f'(x) = ln x + 1 ; minimum en

x = e^{- 1}

x = e ⁻¹.

Ne jamais oublier le domaine : une fonction avec

ln

ln n'existe que là où son argument est strictement positif.

Les deux fonctions transcendantes du bac : propriétés algébriques, dérivées, limites et équations.

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