Aires et volumes en Cinquième

Aires et volumes en 5ème : cours complet

En cinquième, tu étends ta maîtrise des aires (parallélogramme, triangle, trapèze, disque) et tu approfondis les volumes (prisme droit, cylindre). Tu utilises ces formules pour résoudre des problèmes de géométrie variés.

Rappel — Aire et périmètre

• Périmètre : longueur du contour (en cm, m…).
• Aire : mesure de la surface intérieure (en cm², m²…).

Aires de figures planes

Aire du parallélogramme

$$A=b\times h$$A = b × h

où $b$b est la base et $h$h la hauteur correspondante (perpendiculaire à la base).

Attention : $h$h n'est pas la longueur d'un côté oblique, mais la distance perpendiculaire entre la base et le côté parallèle opposé.

Aire du triangle

$$A=\frac{b\times h}{2}$$A = (b × h)/2

C'est la moitié de l'aire d'un parallélogramme de mêmes base et hauteur.

Aire du trapèze

$$A=\frac{(B+b)\times h}{2}$$A = ((B + b) × h)/2

où $B$B est la grande base, $b$b la petite base et $h$h la hauteur (distance entre les deux bases parallèles).

Aire du losange

$$A=\frac{D\times d}{2}$$A = (D × d)/2

où $D$D et $d$d sont les longueurs des diagonales.

Aire du disque

$$A=\pi \times r^2$$A = π × r²

avec $\pi \approx 3,14$π ≈ 3,14 et $r$r le rayon.

Périmètre du cercle (rappel)

$$P=2\pi r=\pi d$$P = 2 π r = π d

Conversions des unités d'aire (rappel)

| km² | hm² | dam² | m² | dm² | cm² | mm² |

Chaque colonne change la valeur par un facteur $100$100.

• $1$1 m² = $100$100 dm² = $10000$10 000 cm².
• $1$1 hectare (ha) = $1$1 hm² = $10000$10 000 m².
• $1$1 are (a) = $1$1 dam² = $100$100 m².

Volumes des solides usuels

Le pavé droit

$$V=L\times \ell \times h$$V = L × ℓ × h

avec $L$L longueur, $\ell$ℓ largeur, $h$h hauteur.

Le cube

$$V=c^3$$V = c³

avec $c$c la longueur de l'arête.

Le prisme droit

Un prisme droit est un solide dont les deux bases sont identiques et parallèles (polygones), reliées par des rectangles latéraux.

$$V=\text{Aire de la base}\times \text{hauteur}$$V = Aire de la base × hauteur

Le cylindre

Un cylindre est un cas particulier de prisme droit dont les bases sont des disques :

$$V=\pi \times r^2\times h$$V = π × r² × h

avec $r$r le rayon de la base et $h$h la hauteur.

Exemple

Cylindre de rayon $5$5 cm et hauteur $10$10 cm :

$$V=3,14\times 5^2\times 10=3,14\times 25\times 10=785{\text{ cm}}^3$$V = 3,14 × 5² × 10 = 3,14 × 25 × 10 = 785 cm ³

Conversions des unités de volume

| km³ | hm³ | dam³ | m³ | dm³ | cm³ | mm³ |

Chaque colonne change la valeur par un facteur $1000$1000.

Capacités

• $1$1 L = $1$1 dm³.
• $1$1 mL = $1$1 cm³.
• $1$1 m³ = $1000$1000 L.

Résoudre un problème d'aire ou de volume

Démarche générale

1. Identifier la forme (figure plane ou solide).
2. Repérer les mesures utiles (base, hauteur, rayon…).
3. Vérifier les unités (toutes dans la même unité).
4. Appliquer la formule.
5. Donner le résultat avec l'unité correcte (cm², m², cm³, L…).

Exemple de problème

Un terrain en forme de trapèze a une grande base de $30$30 m, une petite base de $20$20 m et une hauteur de $15$15 m. Quelle est son aire en ares ?

$$A=\frac{(30+20)\times 15}{2}=\frac{50\times 15}{2}=\frac{750}{2}=375{\text{ m}}^2$$A = ((30 + 20) × 15)/2 = (50 × 15)/2 = 750/2 = 375 m ²

Conversion : $1$1 are = $100$100 m², donc $375$375 m² = $3,75$3,75 ares.

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre $\pi r$π r et $\pi r^2$π r² : périmètre vs aire.
• Mal identifier la hauteur d'un triangle ou d'un parallélogramme : c'est la distance perpendiculaire, pas un côté oblique.
• Mélanger les unités dans une même formule.
• Convertir des aires comme des longueurs : entre m² et dm², le facteur est $100$100, pas $10$10.
• Oublier d'élever au carré dans l'aire du disque : $\pi \times r^2$π × r², pas $\pi \times r$π × r.

FAQ — Aires et volumes

Pourquoi l'aire du triangle est-elle divisée par 2 ?

Parce qu'un triangle est la moitié d'un parallélogramme de mêmes base et hauteur (on le voit en faisant tourner un autre triangle identique).

Comment retrouver l'aire d'un trapèze ?

Tu peux le décomposer en un rectangle + deux triangles, ou plus simple : $\frac{(B+b)\times h}{2}$((B + b) × h)/2.

Quelle est la différence entre cylindre et cône ?

Le cylindre a deux bases circulaires identiques et parallèles. Le cône a une seule base et un sommet.

Pourquoi $1$1 L = $1$1 dm³ ?

Par définition historique : un cube de $1$1 dm de côté contient exactement $1$1 litre d'eau. C'est la définition même du litre.