Triangles et quadrilatères en Cinquième

Triangles et quadrilatères en 5ème : cours complet

En cinquième, tu approfondis l'étude des triangles et des quadrilatères : tu apprends à les construire précisément, à connaître leurs propriétés (somme des angles, parallélismes, diagonales), et à les reconnaître rigoureusement.

Les triangles

Inégalité triangulaire

Dans un triangle, la longueur d'un côté est toujours inférieure à la somme des deux autres :

$$AB<AC+CB$$AB < AC + CB

Conséquence

• Si $AB>AC+CB$AB > AC + CB : impossible de construire le triangle.
• Si $AB=AC+CB$AB = AC + CB : les points sont alignés (triangle dégénéré).

Exemple

Peut-on construire un triangle de côtés $3$3 cm, $4$4 cm, $9$9 cm ?

• $9>3+4=7$9 > 3 + 4 = 7 : NON, c'est impossible.

Somme des angles d'un triangle

La somme des trois angles d'un triangle est toujours égale à $180°$180° :

$$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$$Â + B̂ + Ĉ = 180°

Cette propriété permet de calculer un angle quand on connaît les deux autres.

Exemple

Triangle avec $\hat{A}=50°$Â = 50° et $\hat{B}=70°$B̂ = 70°. Alors $\hat{C}=180-50-70=60°$Ĉ = 180 - 50 - 70 = 60°.

Cas particuliers de triangles

Triangle isocèle

Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur (les côtés égaux sont issus du sommet principal).

Propriété : les deux angles à la base sont égaux.

Triangle équilatéral

Un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur.

Propriété : ses trois angles sont égaux à $60°$60°.

Triangle rectangle

Un triangle rectangle a un angle droit ($90°$90°).

Propriété : les deux autres angles sont complémentaires (leur somme vaut $90°$90°).

Triangle rectangle isocèle

Il combine les deux : un angle droit et deux côtés de même longueur (les côtés de l'angle droit). Ses angles sont $90°$90°, $45°$45°, $45°$45°.

Construire un triangle

Si on connaît les trois côtés

1. Trace un côté.
2. Avec le compas, trace deux arcs depuis les extrémités, de rayons correspondant aux deux autres côtés.
3. Le point d'intersection est le troisième sommet.

Si on connaît deux côtés et l'angle entre eux

1. Trace un côté.
2. À l'aide du rapporteur, construis l'angle voulu.
3. Reporte la longueur du second côté avec une règle.

Si on connaît un côté et les deux angles à ses extrémités

1. Trace le côté.
2. Construis les angles aux deux extrémités.
3. Les deux demi-droites se coupent au troisième sommet.

Les quadrilatères

Définition

Un quadrilatère est un polygone à 4 côtés.

Somme des angles

La somme des 4 angles d'un quadrilatère vaut $360°$360°.

Quadrilatères particuliers

Le parallélogramme

Quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.

Propriétés :

• Les côtés opposés sont de même longueur.
• Les diagonales se coupent en leur milieu.
• Les angles opposés sont égaux.
• Il a un centre de symétrie (intersection des diagonales).

Le rectangle

Parallélogramme avec quatre angles droits.

Propriétés supplémentaires :

• Les diagonales sont de même longueur.
• Deux axes de symétrie (les médiatrices des côtés).

Le losange

Parallélogramme avec quatre côtés de même longueur.

Propriétés supplémentaires :

• Les diagonales sont perpendiculaires.
• Deux axes de symétrie (les diagonales).

Le carré

À la fois rectangle et losange : quatre côtés égaux et quatre angles droits.

Propriétés :

• Diagonales de même longueur, perpendiculaires, qui se coupent en leur milieu.
• Quatre axes de symétrie.
• Un centre de symétrie.

Comment reconnaître chaque quadrilatère

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre carré et losange : tout carré est un losange, mais pas l'inverse.
• Oublier l'inégalité triangulaire avant de construire.
• Mal placer l'angle dans un triangle isocèle : les angles égaux sont à la base, pas au sommet.
• Confondre côtés et angles dans un parallélogramme : les côtés opposés sont parallèles ; ils sont aussi de même longueur, mais les angles opposés sont seulement égaux.

FAQ — Triangles et quadrilatères

Pourquoi la somme des angles d'un triangle vaut-elle toujours $180°$180° ?

Cela vient d'une propriété fondamentale de la géométrie plane : si on aligne les trois angles, ils forment un angle plat ($180°$180°).

Comment savoir si un quadrilatère est un parallélogramme ?

Il suffit de vérifier une de ces conditions : côtés opposés parallèles, ou côtés opposés de même longueur, ou diagonales qui se coupent en leur milieu.

Tout rectangle est-il un parallélogramme ?

Oui : un rectangle est un parallélogramme particulier (avec un angle droit en plus).

Comment vérifier l'inégalité triangulaire sans calcul ?

On vérifie que le plus grand côté est plus petit que la somme des deux autres. Si oui, c'est constructible.