Calcul littéral — cours et fiche de révision 4ᵉ

Q: Quelle est la différence entre développer et factoriser ?

Développer : passer du produit à la somme. 3(x + 2) = 3x + 6. Factoriser : passer de la somme au produit. 3x + 6 = 3(x + 2).

Q: Pourquoi le calcul littéral est-il important ?

C'est l'outil pour résoudre les équations, démontrer des propriétés générales, et modéliser des situations.

Q: Comment savoir si on peut factoriser ?

On cherche un facteur commun à tous les termes : un nombre, une lettre ou les deux. Si on en trouve un, on peut factoriser.

Q: Comment se vérifier après un développement ?

On peut tester avec une valeur de x : si les deux expressions donnent le même résultat, c'est bon signe.

Le calcul littéral monte en puissance avec la distributivité simple $k (a + b) = k a + k b$ k(a+b)=ka+kb, la double distributivité $(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$ (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd et la factorisation. C'est le chapitre le plus structurant de l'année.

Au programme : développer une expression simple ( $3 (x + 2) = 3 x + 6$ 3(x+2)=3x+6) ; développement double ( $(x + 2) (x + 3) = x^{2} + 5 x + 6$ (x+2)(x+3)=x²+5x+6) ; réduire après développement ; factoriser en repérant un facteur commun ( $5 x + 5 y = 5 (x + y)$ 5x+5y=5(x+y), $a x + ab = a (x + b)$ ax+ab=a(x+b)). On manipule expressions avec $x^{2}$ x², coefficients négatifs, variables multiples.

Pièges classiques : oublier la distributivité du signe moins ( $- (x + 3) = - x - 3$ -(x+3)=-x-3) ; oublier un produit dans la double distributivité ; additionner des termes non semblables ; confondre $2 x$ 2x et $x^{2}$ x². Astuce : utiliser flèches/couleurs pour relier ce qu'on développe.

Le calcul littéral en 4ème : cours complet

Le calcul littéral consiste à manipuler des expressions contenant des lettres (souvent $x$ x, $a$ a, $b$ b…). En quatrième, tu apprends à développer, à réduire et à factoriser. Ce sont les bases de l'algèbre, utilisées à tous les niveaux suivants.

Rappels de vocabulaire

Une expression littérale contient des lettres.
Un terme est une partie de l'expression séparée par $+$ + ou $-$ -. Exemple : dans $3 x + 5 y - 2$ 3x + 5y - 2, les termes sont $3 x$ 3x, $5 y$ 5y et $- 2$ -2.
Le coefficient d'un terme est le nombre devant la lettre : dans $3 x$ 3x, le coefficient est $3$ 3.
Des termes sont semblables s'ils ont la même partie littérale : $3 x$ 3x et $5 x$ 5x sont semblables, $3 x$ 3x et $5 y$ 5y ne le sont pas.

Réduire une expression

Réduire une expression, c'est la simplifier en regroupant les termes semblables.

Exemple

$3 x + 5 + 7 x - 2 = (3 + 7) x + (5 - 2) = 10 x + 3 3x + 5 + 7x - 2 = (3 + 7)x + (5 - 2) = 10x + 3$

Avec plusieurs lettres

$4 a + 3 b - 2 a + b = (4 - 2) a + (3 + 1) b = 2 a + 4 b 4a + 3b - 2a + b = (4 - 2)a + (3 + 1)b = 2a + 4b$

Suppression des parenthèses

Parenthèse précédée d'un $+$ +

On peut supprimer la parenthèse sans changer les signes :

$3 + (5 - 2 x) = 3 + 5 - 2 x = 8 - 2 x 3 + (5 - 2x) = 3 + 5 - 2x = 8 - 2x$

Parenthèse précédée d'un $-$ -

On change les signes de tous les termes à l'intérieur :

$7 - (3 x - 5) = 7 - 3 x + 5 = 12 - 3 x 7 - (3x - 5) = 7 - 3x + 5 = 12 - 3x$

La distributivité simple

$k \times (a + b) = k a + k b k \times (a - b) = k a - k b k \times (a + b) = ka + kb k \times (a - b) = ka - kb$

Exemples

$3 (x + 4) = 3 x + 125 (2 x - 7) = 10 x - 35 3(x + 4) = 3x + 12 5(2x - 7) = 10x - 35$

Distribuer un nombre négatif

$- 3 (x - 2) = - 3 x + 6 -3(x - 2) = -3x + 6$

(Attention au signe : multiplier $- 3$ -3 par $- 2$ -2 donne $+ 6$ +6.)

La double distributivité

$(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Méthode des « 4 flèches »

On multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde.

Exemple

$(x + 3) (x + 5) = x^{2} + 5 x + 3 x + 15 = x^{2} + 8 x + 15 (x + 3)(x + 5) = x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15$

$(2 x - 1) (x + 4) = 2 x^{2} + 8 x - x - 4 = 2 x^{2} + 7 x - 4 (2x - 1)(x + 4) = 2x² + 8x - x - 4 = 2x² + 7x - 4$

Factoriser

Factoriser une expression, c'est l'écrire sous forme de produit (contraire de développer).

Avec un facteur commun

$k a + k b = k (a + b) ka + kb = k(a + b)$

Exemple

$3 x + 6 = 3 (x + 2) 4 x^{2} + 6 x = 2 x (2 x + 3) 3x + 6 = 3(x + 2) 4x² + 6x = 2x(2x + 3)$

Méthode

Identifier ce qui est commun à tous les termes.
Mettre ce facteur devant la parenthèse.
À l'intérieur, mettre ce qu'il reste après division par le facteur.

Tester une égalité

Pour vérifier qu'une égalité littérale est vraie pour une valeur de $x$ x, on remplace $x$ x par sa valeur et on calcule les deux membres séparément.

Exemple

L'égalité $3 x + 4 = 5 x - 2$ 3x + 4 = 5x - 2 est-elle vraie pour $x = 3$ x = 3 ?

Membre gauche : $3 \times 3 + 4 = 13$ 3 × 3 + 4 = 13.
Membre droit : $5 \times 3 - 2 = 13$ 5 × 3 - 2 = 13.

Oui, l'égalité est vraie pour $x = 3$ x = 3.

Calculer la valeur d'une expression

On remplace chaque lettre par sa valeur et on effectue les calculs.

Exemple

Calculer $A = 2 x^{2} - 3 x + 5$ A = 2x² - 3x + 5 pour $x = - 2$ x = -2 :

$A = 2 \times (- 2)^{2} - 3 \times (- 2) + 5 = 2 \times 4 + 6 + 5 = 8 + 6 + 5 = 19 A = 2 \times (-2)² - 3 \times (-2) + 5 = 2 \times 4 + 6 + 5 = 8 + 6 + 5 = 19$

Erreurs fréquentes à éviter

Oublier la distributivité : $3 (x + 4) = 3 x + 12$ 3(x + 4) = 3x + 12, et pas $3 x + 4$ 3x + 4.
Mal gérer le signe dans $- (a - b) = - a + b$ -(a - b) = -a + b (pas $- a - b$ -a - b).
Confondre $x^{2}$ x² et $2 x$ 2x : $x^{2} = x \times x$ x² = x × x, $2 x = x + x$ 2x = x + x.
Oublier les parenthèses quand on remplace une lettre par un nombre négatif : pour $x = - 2$ x = -2, $x^{2} = (- 2)^{2} = 4$ x² = (-2)² = 4.
Mal factoriser : il faut un facteur commun à tous les termes.

FAQ — Le calcul littéral en 4ème

Quelle est la différence entre développer et factoriser ?

Développer : passer du produit à la somme. $3 (x + 2) = 3 x + 6$ 3(x + 2) = 3x + 6. Factoriser : passer de la somme au produit. $3 x + 6 = 3 (x + 2)$ 3x + 6 = 3(x + 2).

Pourquoi le calcul littéral est-il important ?

C'est l'outil pour résoudre les équations, démontrer des propriétés générales, et modéliser des situations.

Comment savoir si on peut factoriser ?

On cherche un facteur commun à tous les termes : un nombre, une lettre ou les deux. Si on en trouve un, on peut factoriser.

Comment se vérifier après un développement ?

On peut tester avec une valeur de $x$ x : si les deux expressions donnent le même résultat, c'est bon signe.

Cours et fiche

Leçon

Fiche de révision

S'entraîner

Fiches d'exercices à télécharger (PDF)

Plaquette 1 – Écrire et réduire une expression

Plaquette 2 – Développer avec la distributivité

Plaquette 3 – Factoriser : reconnaître le facteur commun

Plaquette 4 – Substituer, tester, démontrer

Plaquette 5 – Bilan et problèmes

Leçon complète

Le calcul littéral en 4ème : cours complet

Rappels de vocabulaire

Réduire une expression

Exemple

Avec plusieurs lettres

Suppression des parenthèses

Parenthèse précédée d'un ++

Parenthèse précédée d'un −-

La distributivité simple

Exemples

Distribuer un nombre négatif

La double distributivité

Méthode des « 4 flèches »

Exemple

Factoriser

Avec un facteur commun

Exemple

Méthode

Tester une égalité

Exemple

Calculer la valeur d'une expression

Exemple

Erreurs fréquentes à éviter

FAQ — Le calcul littéral en 4ème

Quelle est la différence entre développer et factoriser ?

Pourquoi le calcul littéral est-il important ?

Comment savoir si on peut factoriser ?

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