Exercices corrigés : Triangles égaux et semblables — Quatrième

Correction détaillée

1. 1

   Deux triangles sont égaux quand ils sont superposables : on peut poser l'un exactement sur l'autre, éventuellement après un retournement.

2. 2

   L'ordre des lettres indique quels sommets se correspondent : $A$A avec $D$D, $B$B avec $E$E, $C$C avec $F$F.

3. 3

   On en déduit $AB=DE$AB = DE, $BC=EF$BC = EF et $AC=DF$AC = DF.

4. 4

   Les angles correspondants sont eux aussi égaux : $\hat{A}=\hat{D}$Â = D̂, $\hat{B}=\hat{E}$B̂ = Ê, $\hat{C}=\hat{F}$Ĉ = F̂.

Rappel de cours : L'ordre des lettres n'est jamais gratuit : il donne la correspondance des sommets.

Erreur fréquente : Écrire $AB=EF$AB = EF : il faut respecter l'ordre annoncé par l'énoncé.

Correction détaillée

1. 1

   On compare les ensembles de longueurs, sans tenir compte de l'ordre d'écriture.

2. 2

   Premier triangle : $\{5;7;9\}${5 ; 7 ; 9}.

   Second triangle : $\{5;7;9\}${5 ; 7 ; 9}.

3. 3

   Les trois côtés sont deux à deux de même longueur.

4. 4

   D'après le cas d'égalité « trois côtés », les deux triangles sont égaux.

5. 5

   Remarque : trois longueurs déterminent entièrement un triangle, à un déplacement ou un retournement près.

Rappel de cours : Cas d'égalité n°1 : trois côtés respectivement égaux.

Erreur fréquente : Croire que l'ordre d'écriture change quelque chose : ce sont les mêmes trois longueurs.

Correction détaillée

1. 1

   L'angle en $A$A est celui formé par les côtés $[AB]$[AB] et $[AC]$[AC] : c'est bien l'angle COMPRIS entre les deux côtés donnés.

2. 2

   Même chose en $D$D pour $[DE]$[DE] et $[DF]$[DF].

3. 3

   On a donc deux côtés égaux deux à deux, et l'angle compris entre eux égal.

4. 4

   D'après le cas d'égalité « deux côtés et l'angle compris », les triangles sont égaux.

Rappel de cours : L'angle doit être COMPRIS entre les deux côtés donnés, sinon le cas ne s'applique pas.

Erreur fréquente : Utiliser un angle qui n'est pas entre les deux côtés : deux triangles différents pourraient alors convenir.

Correction détaillée

1. 1

   Le côté est le même dans les deux triangles : $7$7 cm.

2. 2

   Les deux angles adjacents à ce côté sont respectivement égaux : $40°$40° et $60°$60°.

3. 3

   D'après le cas d'égalité « un côté et les deux angles qui lui sont adjacents », les triangles sont égaux.

4. 4

   On peut d'ailleurs calculer le troisième angle : $180-40-60=80°$180 - 40 - 60 = 80°, identique dans les deux triangles.

Rappel de cours : Trois cas d'égalité : trois côtés · deux côtés + angle compris · un côté + deux angles adjacents.

Erreur fréquente : Croire que trois angles égaux suffisent : cela ne donne que des triangles SEMBLABLES.

Correction détaillée

1. 1

   Deux triangles sont semblables quand l'un est un agrandissement ou une réduction de l'autre.

2. 2

   Leurs angles sont deux à deux égaux : $\hat{A}=\widehat{A^{\prime }}$Â = A'̂, $\hat{B}=\widehat{B^{\prime }}$B̂ = B'̂, $\hat{C}=\widehat{C^{\prime }}$Ĉ = C'̂.

3. 3

   Leurs côtés sont proportionnels : $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC}$A'B'/AB = B'C'/BC = A'C'/AC.

4. 4

   Ce rapport commun s'appelle le coefficient d'agrandissement (s'il est supérieur à $1$1) ou de réduction (s'il est inférieur à $1$1).

5. 5

   Deux triangles égaux sont un cas particulier de triangles semblables, avec un coefficient de $1$1.

Rappel de cours : Semblables = même FORME · égaux = même forme ET même TAILLE.

Erreur fréquente : Croire que « semblable » signifie « égal » : la taille peut être très différente.

Correction détaillée

1. 1

   On calcule le troisième angle de chaque triangle.

2. 2

   Premier : $180-50-60=70°$180 - 50 - 60 = 70°.

   Ses angles sont donc $50°$50°, $60°$60° et $70°$70°.

3. 3

   Second : $180-70-50=60°$180 - 70 - 50 = 60°.

   Ses angles sont $50°$50°, $60°$60° et $70°$70°.

4. 4

   Les deux triangles ont exactement les mêmes angles.

5. 5

   D'après le cas de similitude « deux angles égaux », ils sont semblables.

6. 6

   Remarque : deux angles égaux suffisent, puisque le troisième s'en déduit automatiquement.

Rappel de cours : Cas de similitude le plus utilisé : deux angles égaux deux à deux.

Erreur fréquente : Comparer les angles dans l'ordre donné : il faut d'abord calculer le troisième et comparer les ENSEMBLES.

Correction détaillée

1. 1

   On divise chaque côté du grand triangle par le côté correspondant du petit.

2. 2

   $9÷3=3$9 ÷ 3 = 3.

3. 3

   $12÷4=3$12 ÷ 4 = 3.

4. 4

   $15÷5=3$15 ÷ 5 = 3.

5. 5

   Les trois quotients sont égaux : le coefficient d'agrandissement vaut $3$3.

6. 6

   C'est bien un agrandissement, puisque le coefficient est supérieur à $1$1.

Rappel de cours : Le coefficient est le même pour TOUS les côtés : c'est ce qui définit la similitude.

Erreur fréquente : Soustraire les longueurs ($9-3=6$9 - 3 = 6) : la similitude est multiplicative.

Correction détaillée

1. 1

   On détermine d'abord le coefficient : $k=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{10}{4}=2,5$k = A'B'/AB = 10/4 = 2,5.

2. 2

   Tous les côtés du second triangle valent $2,5$2,5 fois ceux du premier.

3. 3

   $B^{\prime }{C}^{\prime }=2,5\times BC=2,5\times 6=15$B'C' = 2,5 × BC = 2,5 × 6 = 15 cm.

4. 4

   Vérification : $\frac{15}{6}=2,5$15/6 = 2,5, c'est bien le même coefficient. ✔

Rappel de cours : On calcule le coefficient sur le couple de côtés connus, puis on l'applique aux autres.

Erreur fréquente : Ajouter $6$6 à $10$10 : le passage d'un triangle à l'autre est une multiplication.

Correction détaillée

1. 1

   On multiplie chaque côté par le coefficient.

2. 2

   $12\times 0,25=3$12 × 0,25 = 3 cm.

3. 3

   $16\times 0,25=4$16 × 0,25 = 4 cm.

4. 4

   $20\times 0,25=5$20 × 0,25 = 5 cm.

5. 5

   Le nouveau triangle a pour côtés $3$3, $4$4 et $5$5 cm.

6. 6

   Le coefficient étant inférieur à $1$1, il s'agit bien d'une réduction : c'est aussi une division par $4$4.

Rappel de cours : Coefficient $>1$> 1 : agrandissement · coefficient $<1$< 1 : réduction.

Erreur fréquente : Soustraire $0,25$0,25 : le coefficient multiplie, il ne se retranche pas.

Correction détaillée

1. 1

   Les sommets se correspondent dans l'ordre : $A\leftrightarrow M$A leftrightarrow M, $B\leftrightarrow N$B leftrightarrow N, et donc $C\leftrightarrow P$C leftrightarrow P.

2. 2

   Un côté correspond à un côté : $[AB]$[AB] correspond à $[MN]$[MN], car ils joignent les mêmes sommets correspondants.

3. 3

   De même, $[BC]$[BC] correspond à $[NP]$[NP], et $[AC]$[AC] correspond à $[MP]$[MP].

4. 4

   On écrit donc $\frac{MN}{AB}=\frac{NP}{BC}=\frac{MP}{AC}$MN/AB = NP/BC = MP/AC.

5. 5

   Astuce : dans chaque fraction, on garde toujours le même triangle en haut.

Rappel de cours : On repère d'abord les sommets correspondants, ENSUITE les côtés.

Erreur fréquente : Écrire $\frac{MN}{BC}$MN/BC : ce ne sont pas des côtés correspondants.

Correction détaillée

1. 1

   Un agrandissement multiplie les LONGUEURS, mais ne modifie pas les angles.

2. 2

   Les angles restent donc $35°$35°, $65°$65° et $80°$80°.

3. 3

   C'est précisément ce qui fait que les deux triangles ont la même forme.

4. 4

   Vérification de cohérence : $35+65+80=180°$35 + 65 + 80 = 180°. ✔

Rappel de cours : Un agrandissement conserve les angles et multiplie les longueurs.

Erreur fréquente : Multiplier les angles par $4$4 : on dépasserait largement $180°$180°, ce qui est impossible.

Correction détaillée

1. 1

   Le périmètre est une somme de longueurs : chaque longueur étant multipliée par $3$3, le périmètre l'est aussi.

2. 2

   Nouveau périmètre : $24\times 3=72$24 × 3 = 72 cm.

3. 3

   L'aire, elle, dépend de deux longueurs (base et hauteur), toutes deux multipliées par $3$3.

4. 4

   Elle est donc multipliée par $3\times 3=9$3 × 3 = 9.

5. 5

   Nouvelle aire : $30\times 9=270$30 × 9 = 270 cm².

Rappel de cours : Longueurs $\times k$× k → périmètre $\times k$× k → aire $\times k^2$× k² → volume $\times k^3$× k³.

Erreur fréquente : Multiplier l'aire par $3$3 : c'est l'erreur classique des agrandissements.

Correction détaillée

1. 1

   Les deux triangles partagent l'angle en $O$O : il est commun, donc égal.

2. 2

   Comme $(AC)$(AC) et $(BD)$(BD) sont parallèles et coupées par la sécante $(OA)$(OA), les angles $\widehat{OAC}$OAĈ et $\widehat{OBD}$OBD̂ sont correspondants, donc égaux.

3. 3

   Les deux triangles ont donc deux angles égaux deux à deux.

4. 4

   D'après le cas de similitude « deux angles », les triangles $OAC$OAC et $OBD$OBD sont semblables.

5. 5

   Conséquence : leurs côtés sont proportionnels, ce qui donne $\frac{OB}{OA}=\frac{OD}{OC}=\frac{BD}{AC}$OB/OA = OD/OC = BD/AC.

Rappel de cours : Le parallélisme fabrique des angles égaux, donc des triangles semblables.

Erreur fréquente : Chercher des longueurs : ici, ce sont les ANGLES qui prouvent la similitude.

Correction détaillée

1. 1

   Les sommets correspondants sont $A\leftrightarrow D$A leftrightarrow D, $B\leftrightarrow E$B leftrightarrow E, $C\leftrightarrow F$C leftrightarrow F.

2. 2

   $[AB]$[AB] correspond à $[DE]$[DE], et $[AC]$[AC] correspond à $[DF]$[DF].

3. 3

   Coefficient : $k=\frac{DE}{AB}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$k = DE/AB = 8/6 = 4/3.

4. 4

   $DF=k\times AC=\frac{4}{3}\times 9$DF = k × AC = 4/3 × 9.

5. 5

   $\frac{4\times 9}{3}=\frac{36}{3}=12$(4 × 9)/3 = 36/3 = 12 cm.

6. 6

   Vérification : $\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$12/9 = 4/3, c'est bien le même rapport. ✔

Rappel de cours : Un coefficient fractionnaire se manipule comme un nombre décimal : ici $\frac{4}{3}\approx 1,33$4/3 ≈ 1,33.

Erreur fréquente : Utiliser $\frac{6}{8}$6/8 au lieu de $\frac{8}{6}$8/6 : on obtiendrait une réduction au lieu d'un agrandissement.

Correction détaillée

1. 1

   Ayant les mêmes angles, ils sont forcément SEMBLABLES.

2. 2

   Mais ils ne sont pas forcément égaux : la taille peut différer.

3. 3

   Exemple : un triangle de côtés $3$3, $4$4, $4,5$4,5 cm et un autre de côtés $6$6, $8$8, $9$9 cm peuvent avoir les mêmes angles.

4. 4

   Le second est simplement le double du premier : même forme, taille différente.

5. 5

   Conclusion : trois angles égaux garantissent la SIMILITUDE, jamais l'égalité.

6. 6

   Pour l'égalité, il faut au moins une longueur commune.

Rappel de cours : Les angles déterminent la forme, jamais la taille.

Erreur fréquente : Ajouter « trois angles égaux » à la liste des cas d'égalité : ce cas n'existe pas.

Correction détaillée

1. 1

   Les rayons du soleil arrivent avec le même angle sur le piquet et sur le bâtiment.

2. 2

   Les deux triangles « objet-ombre-rayon » ont donc les mêmes angles : ils sont semblables.

3. 3

   Le rapport hauteur / ombre est le même dans les deux cas.

4. 4

   Pour le piquet : $\frac{1,5}{2,4}$1,5/2,4.

5. 5

   Pour le bâtiment : $\frac{h}{20}$h/20.

6. 6

   Produit en croix : $2,4\times h=1,5\times 20=30$2,4 × h = 1,5 × 20 = 30.

7. 7

   $h=30÷2,4=12,5$h = 30 ÷ 2,4 = 12,5 m.

Rappel de cours : C'est la méthode utilisée par Thalès pour mesurer la pyramide de Kheops.

Erreur fréquente : Additionner les longueurs : la similitude relie les grandeurs par un rapport constant.

Correction détaillée

1. 1

   Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu $O$O.

2. 2

   Donc $OA=OC$OA = OC (car $O$O est le milieu de $[AC]$[AC]) et $OB=OD$OB = OD (car $O$O est le milieu de $[BD]$[BD]).

3. 3

   Les angles $\widehat{AOB}$AOB̂ et $\widehat{COD}$COD̂ sont opposés par le sommet : ils sont donc égaux.

4. 4

   Or cet angle est COMPRIS entre les deux côtés considérés dans chaque triangle.

5. 5

   D'après le cas d'égalité « deux côtés et l'angle compris entre eux », les triangles $AOB$AOB et $COD$COD sont égaux.

6. 6

   On en déduit notamment que $AB=CD$AB = CD, ce qui est bien une propriété connue du parallélogramme.

Rappel de cours : Les angles opposés par le sommet sont toujours égaux : c'est un argument très utile.

Erreur fréquente : Utiliser un angle qui n'est pas compris entre les deux côtés cités.

Correction détaillée

1. 1

   Les triangles $AMN$AMN et $ABC$ABC partagent l'angle en $A$A.

2. 2

   Comme $(MN)$(MN) est parallèle à $(BC)$(BC), les angles $\widehat{AMN}$AMN̂ et $\widehat{ABC}$ABĈ sont correspondants, donc égaux.

3. 3

   Les deux triangles ont donc deux angles égaux : ils sont semblables.

4. 4

   Coefficient de réduction : $k=\frac{AM}{AB}=\frac{4}{10}=0,4$k = AM/AB = 4/10 = 0,4.

5. 5

   Comme $[MN]$[MN] correspond à $[BC]$[BC] : $MN=0,4\times 15=6$MN = 0,4 × 15 = 6 cm.

6. 6

   Vérification : $\frac{6}{15}=0,4$6/15 = 0,4, c'est bien le même rapport. ✔

Rappel de cours : Cette configuration porte un nom : c'est celle du théorème de Thalès, vu en 3ᵉ.

Erreur fréquente : Utiliser $MB=6$MB = 6 cm au lieu de $AB=10$AB = 10 cm : le rapport se calcule depuis le sommet $A$A.

Correction détaillée

1. 1

   L'aire est multipliée par $162÷18=9$162 ÷ 18 = 9.

2. 2

   Or, si les longueurs sont multipliées par $k$k, l'aire est multipliée par $k^2$k².

3. 3

   On a donc $k^2=9$k² = 9.

4. 4

   On cherche le nombre positif dont le carré vaut $9$9 : c'est $3$3.

5. 5

   Le coefficient d'agrandissement des longueurs vaut donc $3$3.

6. 6

   Vérification : si les longueurs triplent, l'aire est bien multipliée par $3\times 3=9$3 × 3 = 9. ✔

Rappel de cours : Aire $\times k^2$× k² : pour retrouver $k$k, on prend la racine du rapport des aires.

Erreur fréquente : Répondre $9$9 : c'est le coefficient des AIRES, pas celui des longueurs.

Correction détaillée

1. 1

   a) Deux triangles égaux ont les mêmes angles et des côtés proportionnels avec un coefficient de $1$1.

2. 2

   a) Ils vérifient donc la définition de la similitude.

   VRAI — l'égalité est un cas particulier de similitude.

3. 3

   b) Contre-exemple : un triangle de côtés $3$3, $4$4, $5$5 et un de côtés $6$6, $8$8, $10$10 sont semblables mais pas superposables.

   FAUX.

4. 4

   c) Deux côtés égaux ne suffisent pas : le troisième côté, ou l'angle entre les deux, peut varier.

5. 5

   c) Contre-exemple : deux triangles de côtés $5$5 et $6$6 cm peuvent avoir un angle compris de $30°$30° pour l'un et de $90°$90° pour l'autre — ils ne sont pas superposables.

   FAUX.

Rappel de cours : Il faut TROIS informations bien choisies pour garantir l'égalité de deux triangles.

Erreur fréquente : Inverser a) et b) : l'implication ne fonctionne que dans un sens.