Exercices corrigés : Théorème de Pythagore — Quatrième

Correction détaillée

1. 1

   L'hypoténuse est toujours le côté OPPOSÉ à l'angle droit.

2. 2

   L'angle droit est en $B$B, donc l'hypoténuse est le côté qui ne touche pas $B$B : c'est $[AC]$[AC].

3. 3

   Les deux côtés de l'angle droit sont ceux qui partent de $B$B : $[BA]$[BA] et $[BC]$[BC].

4. 4

   Retenir : l'hypoténuse est aussi le plus long des trois côtés.

Rappel de cours : Hypoténuse = côté opposé à l'angle droit = le plus long côté.

Erreur fréquente : Choisir l'hypoténuse au hasard : elle dépend du sommet où se trouve l'angle droit.

Correction détaillée

1. 1

   L'angle droit est en $S$S : l'hypoténuse est le côté opposé, c'est-à-dire $[RT]$[RT].

2. 2

   Le théorème dit : le carré de l'hypoténuse égale la somme des carrés des deux autres côtés.

3. 3

   Les deux autres côtés sont $[SR]$[SR] et $[ST]$[ST].

4. 4

   L'égalité s'écrit donc $R{T}^2=S{R}^2+S{T}^2$RT² = SR² + ST².

Rappel de cours : C'est toujours le carré de l'HYPOTÉNUSE qui est seul d'un côté du signe $=$=.

Erreur fréquente : Écrire $S{R}^2=R{T}^2+S{T}^2$SR² = RT² + ST² : on mettrait un côté de l'angle droit à la place de l'hypoténuse.

Correction détaillée

1. 1

   L'angle droit est en $A$A, donc l'hypoténuse est $[BC]$[BC].

2. 2

   D'après le théorème de Pythagore : $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$BC² = AB² + AC².

3. 3

   $B{C}^2=3^2+4^2=9+16=25$BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.

4. 4

   On cherche le nombre positif dont le carré vaut $25$25 : c'est $5$5.

5. 5

   Donc $BC=5$BC = 5 cm.

Rappel de cours : Le triplet $(3;4;5)$(3 ; 4 ; 5) est le plus célèbre : il revient très souvent.

Erreur fréquente : Répondre $BC=25$BC = 25 : $25$25 est le CARRÉ de la longueur, pas la longueur.

Correction détaillée

1. 1

   On note $h$h l'hypoténuse.

   D'après Pythagore : $h^2=5^2+7^2$h² = 5² + 7².

2. 2

   $h^2=25+49=74$h² = 25 + 49 = 74.

3. 3

   $74$74 n'est pas un carré parfait : $8^2=64$8² = 64 et $9^2=81$9² = 81, donc $h$h est compris entre $8$8 et $9$9.

4. 4

   À la calculatrice : $h=\sqrt{74}\approx 8,602$h = √(74) ≈ 8,602.

5. 5

   Arrondi au dixième : $h\approx 8,6$h ≈ 8,6 cm.

Rappel de cours : On garde la valeur exacte $\sqrt{74}$√(74) le plus longtemps possible, on arrondit à la fin.

Erreur fréquente : Écrire $h=8,6$h = 8,6 avec un signe $=$= : la valeur est approchée, on utilise $\approx$≈.

Correction détaillée

1. 1

   Le théorème de Pythagore ne s'applique QUE dans un triangle rectangle.

2. 2

   On vérifie si l'un des angles vaut $90°$90°.

3. 3

   Ici les trois angles valent $50°$50°, $60°$60° et $70°$70° : aucun n'est droit.

4. 4

   On peut d'ailleurs contrôler la somme : $50+60+70=180°$50 + 60 + 70 = 180°, le triangle existe bien, mais il n'est pas rectangle.

5. 5

   On ne peut donc PAS appliquer le théorème.

Rappel de cours : Avant toute application, on vérifie que le triangle est bien rectangle.

Erreur fréquente : Appliquer le théorème par habitude sans vérifier l'hypothèse.

Correction détaillée

1. 1

   L'angle droit est en $E$E, donc l'hypoténuse est $[DF]$[DF], qui mesure $13$13 cm.

2. 2

   Égalité de Pythagore : $D{F}^2=D{E}^2+E{F}^2$DF² = DE² + EF².

3. 3

   $13^2=5^2+E{F}^2$13² = 5² + EF², soit $169=25+E{F}^2$169 = 25 + EF².

4. 4

   On isole : $E{F}^2=169-25=144$EF² = 169 - 25 = 144.

5. 5

   $EF=\sqrt{144}=12$EF = √(144) = 12 cm.

6. 6

   Vérification : $25+144=169$25 + 144 = 169. ✔

Rappel de cours : Pour un côté de l'angle droit, on SOUSTRAIT : $c^2=h^2-a^2$c² = h² - a².

Erreur fréquente : Additionner $169+25$169 + 25 : on cherche un côté plus court que l'hypoténuse.

Correction détaillée

1. 1

   On note $c$c le côté cherché.

   Pythagore donne $10^2=6,5^2+c^2$10² = 6,5² + c².

2. 2

   $100=42,25+c^2$100 = 42,25 + c².

3. 3

   $c^2=100-42,25=57,75$c² = 100 - 42,25 = 57,75.

4. 4

   $c=\sqrt{57,75}\approx 7,5993$c = √(57,75) ≈ 7,5993.

5. 5

   Arrondi au dixième : $c\approx 7,6$c ≈ 7,6 cm.

6. 6

   Cohérence : $c$c doit être inférieur à l'hypoténuse $10$10 cm. ✔

Rappel de cours : Contrôle systématique : chaque côté de l'angle droit est plus court que l'hypoténuse.

Erreur fréquente : Calculer $6,5^2=13$6,5² = 13 : c'est $6,5\times 6,5=42,25$6,5 × 6,5 = 42,25, pas $6,5\times 2$6,5 × 2.

Correction détaillée

1. 1

   Une diagonale partage le rectangle en deux triangles rectangles.

2. 2

   Dans l'un d'eux, les côtés de l'angle droit sont la longueur et la largeur, et la diagonale est l'hypoténuse.

3. 3

   $d^2=12^2+9^2=144+81=225$d² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225.

4. 4

   $d=\sqrt{225}=15$d = √(225) = 15 cm.

5. 5

   Remarque : $(9;12;15)$(9 ; 12 ; 15) est le triplet $(3;4;5)$(3 ; 4 ; 5) multiplié par $3$3.

Rappel de cours : Dans un rectangle, la diagonale est l'hypoténuse d'un triangle rectangle formé par la longueur et la largeur.

Erreur fréquente : Additionner longueur et largeur : la diagonale mesure moins que $12+9=21$12 + 9 = 21 cm.

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1. 1

   Le mur est vertical et le sol horizontal : ils forment un angle droit.

2. 2

   L'échelle est l'hypoténuse du triangle rectangle, de longueur $5$5 m.

3. 3

   On note $h$h la hauteur atteinte.

   Pythagore : $5^2=1,5^2+h^2$5² = 1,5² + h².

4. 4

   $25=2,25+h^2$25 = 2,25 + h², donc $h^2=22,75$h² = 22,75.

5. 5

   $h=\sqrt{22,75}\approx 4,7697$h = √(22,75) ≈ 4,7697 m.

6. 6

   Au centimètre près : $h\approx 4,77$h ≈ 4,77 m.

Rappel de cours : L'échelle est toujours l'hypoténuse : elle est plus longue que la hauteur atteinte.

Erreur fréquente : Prendre l'échelle pour un côté de l'angle droit : le résultat dépasserait $5$5 m, ce qui est absurde.

Correction détaillée

1. 1

   On identifie d'abord le plus grand côté : $10$10 cm.

   S'il y a un angle droit, ce côté est l'hypoténuse.

2. 2

   On calcule séparément les deux membres de l'égalité de Pythagore.

3. 3

   D'un côté : $10^2=100$10² = 100.

4. 4

   De l'autre : $6^2+8^2=36+64=100$6² + 8² = 36 + 64 = 100.

5. 5

   Les deux résultats sont ÉGAUX.

6. 6

   D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle — et l'angle droit est opposé au côté de $10$10 cm.

Rappel de cours : Réciproque : si $a^2=b^2+c^2$a² = b² + c² (avec $a$a le plus grand côté), alors le triangle est rectangle.

Erreur fréquente : Comparer les deux membres « à la louche » : il faut vraiment calculer les deux et les comparer.

Correction détaillée

1. 1

   Le plus grand côté mesure $9$9 cm : ce serait l'hypoténuse s'il y avait un angle droit.

2. 2

   Premier membre : $9^2=81$9² = 81.

3. 3

   Second membre : $5^2+7^2=25+49=74$5² + 7² = 25 + 49 = 74.

4. 4

   $81\ne 74$81 ≠ 74 : l'égalité de Pythagore n'est PAS vérifiée.

5. 5

   Le triangle n'est donc pas rectangle.

6. 6

   Comme $81>74$81 > 74, l'angle opposé au plus grand côté est même légèrement obtus.

Rappel de cours : Si l'égalité est fausse, on conclut que le triangle N'EST PAS rectangle — c'est la contraposée.

Erreur fréquente : Conclure « presque rectangle » : en mathématiques, l'égalité est vérifiée ou elle ne l'est pas.

Correction détaillée

1. 1

   Le plus grand côté est $[MP]$[MP], avec $41$41 cm.

2. 2

   Je calcule d'une part : $M{P}^2=41^2=1681$MP² = 41² = 1681.

3. 3

   Je calcule d'autre part : $M{N}^2+N{P}^2=9^2+40^2=81+1600=1681$MN² + NP² = 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681.

4. 4

   Je constate que $M{P}^2=M{N}^2+N{P}^2$MP² = MN² + NP².

5. 5

   Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $MNP$MNP est rectangle.

6. 6

   L'angle droit est opposé à l'hypoténuse $[MP]$[MP] : il se situe donc au sommet $N$N.

Rappel de cours : Rédaction attendue : « je calcule d'une part… d'autre part… je constate… donc d'après la réciproque… ».

Erreur fréquente : Oublier de préciser le sommet de l'angle droit : la question le demande explicitement.

Correction détaillée

1. 1

   On construit le triangle rectangle dont $[AB]$[AB] est l'hypoténuse, avec un côté horizontal et un côté vertical.

2. 2

   Déplacement horizontal : $5-1=4$5 - 1 = 4 unités.

3. 3

   Déplacement vertical : $5-2=3$5 - 2 = 3 unités.

4. 4

   D'après Pythagore : $A{B}^2=4^2+3^2=16+9=25$AB² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25.

5. 5

   $AB=\sqrt{25}=5$AB = √(25) = 5 unités.

Rappel de cours : Dans un repère, tout segment oblique est l'hypoténuse d'un triangle rectangle « horizontal-vertical ».

Erreur fréquente : Additionner les déplacements ($4+3=7$4 + 3 = 7) : ce serait le trajet en escalier, pas la distance directe.

Correction détaillée

1. 1

   Propriété du cours : si un triangle a pour côté un diamètre du cercle et son troisième sommet sur le cercle, alors il est rectangle en ce sommet.

2. 2

   Le triangle $ABC$ABC est donc rectangle en $C$C, et $[AB]$[AB] est son hypoténuse.

3. 3

   Pythagore : $A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$AB² = AC² + BC².

4. 4

   $10^2=6^2+B{C}^2$10² = 6² + BC², soit $100=36+B{C}^2$100 = 36 + BC².

5. 5

   $B{C}^2=64$BC² = 64, donc $BC=8$BC = 8 cm.

6. 6

   On retrouve le triplet $(6;8;10)$(6 ; 8 ; 10), double de $(3;4;5)$(3 ; 4 ; 5).

Rappel de cours : Triangle inscrit dans un demi-cercle → triangle rectangle au sommet opposé au diamètre.

Erreur fréquente : Ne pas voir l'angle droit : sans cette propriété, on ne peut pas appliquer Pythagore.

Correction détaillée

1. 1

   Calcul de $BC$BC : $B{C}^2=8^2+6^2=64+36=100$BC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100, donc $BC=10$BC = 10 cm.

2. 2

   Première façon de calculer l'aire : les côtés de l'angle droit servent de base et de hauteur.

3. 3

   $\mathcal{A}=\frac{8\times 6}{2}=24$A = (8 × 6)/2 = 24 cm².

4. 4

   Seconde façon : en prenant $[BC]$[BC] comme base, la hauteur associée est $[AH]$[AH].

5. 5

   $\mathcal{A}=\frac{BC\times AH}{2}=\frac{10\times AH}{2}=5\times AH$A = (BC × AH)/2 = (10 × AH)/2 = 5 × AH.

6. 6

   Les deux expressions désignent la même aire : $5\times AH=24$5 × AH = 24, donc $AH=4,8$AH = 4,8 cm.

Rappel de cours : Calculer une même aire de deux façons est une technique très puissante.

Erreur fréquente : Croire que $AH$AH se calcule directement par Pythagore : il faut passer par l'aire.

Correction détaillée

1. 1

   Le mât est vertical et le sol horizontal : ils forment un angle droit.

   Le câble est l'hypoténuse.

2. 2

   $L^2=12^2+5^2=144+25=169$L² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169, donc $L=13$L = 13 m.

3. 3

   Pour la seconde question, l'hypoténuse vaut maintenant $15$15 m et la hauteur reste $12$12 m.

4. 4

   $15^2=12^2+d^2$15² = 12² + d², soit $225=144+d^2$225 = 144 + d².

5. 5

   $d^2=81$d² = 81, donc $d=9$d = 9 m exactement.

6. 6

   On retrouve le triplet $(9;12;15)$(9 ; 12 ; 15).

Rappel de cours : Le câble, en diagonale, est toujours l'hypoténuse : plus long que le mât comme que la distance au sol.

Erreur fréquente : Additionner $12+5=17$12 + 5 = 17 m : le câble est plus court que le trajet en deux temps.

Correction détaillée

1. 1

   La hauteur issue du sommet principal coupe la base en son MILIEU (propriété du triangle isocèle).

2. 2

   Elle partage donc le triangle en deux triangles rectangles identiques.

3. 3

   Dans l'un d'eux : l'hypoténuse vaut $13$13 cm, et un côté de l'angle droit vaut la moitié de la base, soit $5$5 cm.

4. 4

   Pythagore : $13^2=5^2+h^2$13² = 5² + h², soit $169=25+h^2$169 = 25 + h².

5. 5

   $h^2=144$h² = 144, donc $h=12$h = 12 cm.

6. 6

   Aire du triangle : $\frac{\text{base}\times \text{hauteur}}{2}=\frac{10\times 12}{2}=60$(base × hauteur)/2 = (10 × 12)/2 = 60 cm².

Rappel de cours : Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi médiane : elle coupe la base en deux.

Erreur fréquente : Utiliser la base entière ($10$10 cm) dans Pythagore : c'est la MOITIÉ qu'il faut prendre.

Correction détaillée

1. 1

   Pythagore : $h^2=4^2+6^2=16+36=52$h² = 4² + 6² = 16 + 36 = 52.

2. 2

   On cherche entre quels carrés parfaits se situe $52$52.

3. 3

   $7^2=49$7² = 49 et $8^2=64$8² = 64.

4. 4

   Comme $49<52<64$49 < 52 < 64, on en déduit $7<h<8$7 < h < 8.

5. 5

   L'hypoténuse mesure donc entre $7$7 et $8$8 cm.

6. 6

   Affinage : $52$52 est plus proche de $49$49 que de $64$64, donc $h$h est plutôt proche de $7$7.

   En réalité $h\approx 7,2$h ≈ 7,2.

Rappel de cours : Connaître les carrés parfaits jusqu'à $15^2=225$15² = 225 permet d'encadrer sans calculatrice.

Erreur fréquente : Encadrer $52$52 au lieu de $h$h : c'est le CARRÉ de l'hypoténuse qui vaut $52$52.

Correction détaillée

1. 1

   La diagonale est l'hypoténuse d'un triangle rectangle formé par la longueur et la largeur.

2. 2

   $25^2=24^2+l^2$25² = 24² + l², soit $625=576+l^2$625 = 576 + l².

3. 3

   $l^2=49$l² = 49, donc $l=7$l = 7 cm.

4. 4

   Périmètre : $2\times (24+7)=2\times 31=62$2 × (24 + 7) = 2 × 31 = 62 cm.

5. 5

   Aire : $24\times 7=168$24 × 7 = 168 cm².

6. 6

   Vérification : $(7;24;25)$(7 ; 24 ; 25) est bien un triplet pythagoricien, car $49+576=625$49 + 576 = 625. ✔

Rappel de cours : Triplets pythagoriciens utiles : $(3;4;5)$(3;4;5), $(5;12;13)$(5;12;13), $(8;15;17)$(8;15;17), $(7;24;25)$(7;24;25).

Erreur fréquente : Soustraire $25-24=1$25 - 24 = 1 : ce sont les CARRÉS qu'il faut soustraire.

Correction détaillée

1. 1

   En longeant deux côtés : $60+80=140$60 + 80 = 140 m.

2. 2

   En diagonale, elle parcourt l'hypoténuse du triangle rectangle formé par les deux côtés.

3. 3

   $d^2=60^2+80^2=3600+6400=10000$d² = 60² + 80² = 3600 + 6400 = 10 000.

4. 4

   $d=\sqrt{10000}=100$d = √(10 000) = 100 m.

5. 5

   Économie : $140-100=40$140 - 100 = 40 m.

6. 6

   Remarque : $(60;80;100)$(60 ; 80 ; 100) est le triplet $(3;4;5)$(3 ; 4 ; 5) multiplié par $20$20.

Rappel de cours : La ligne droite est toujours le plus court chemin : l'hypoténuse est plus courte que la somme des deux autres côtés.

Erreur fréquente : Croire que la diagonale mesure $70$70 m (la moyenne) : seul Pythagore donne la valeur exacte.