Exercices corrigés : Probabilités — Quatrième

Correction détaillée

1. 1

   Le dé est équilibré : les six issues sont équiprobables.

2. 2

   $P(5)=\frac{1}{6}$P(5) = 1/6, car un seul cas est favorable sur six possibles.

3. 3

   Pour « nombre pair », les issues favorables sont $2$2, $4$4 et $6$6, soit $3$3 cas.

4. 4

   $P(\text{pair})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5$P( pair ) = 3/6 = 1/2 = 0,5.

Rappel de cours : En équiprobabilité : $P=\frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$P = (cas favorables)/(cas possibles).

Erreur fréquente : Répondre $\frac{5}{6}$5/6 pour $P(5)$P(5) : le $5$5 est le résultat cherché, pas un nombre de cas.

Correction détaillée

1. 1

   Nombre total de boules : $7+5+8=20$7 + 5 + 8 = 20.

2. 2

   Cas favorables : $5$5 boules bleues.

3. 3

   $P(\text{bleue})=\frac{5}{20}$P( bleue ) = 5/20.

4. 4

   On simplifie par $5$5 : $\frac{1}{4}=0,25$1/4 = 0,25, soit $25\%$25 %.

Rappel de cours : Le dénominateur est le TOTAL de toutes les boules.

Erreur fréquente : Oublier une couleur dans le total.

Correction détaillée

1. 1

   Première méthode, directe : les boules non bleues sont les $7$7 rouges et les $8$8 vertes, soit $15$15.

2. 2

   $P(\text{pas bleue})=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}=0,75$P( pas bleue ) = 15/20 = 3/4 = 0,75.

3. 3

   Seconde méthode, par l'événement contraire : $P(\text{pas bleue})=1-P(\text{bleue})$P( pas bleue ) = 1 - P( bleue ).

4. 4

   $1-0,25=0,75$1 - 0,25 = 0,75.

   Les deux méthodes concordent. ✔

Rappel de cours : $P(\text{contraire})=1-P(\text{eˊveˊnement})$P( contraire ) = 1 - P( événement ) : souvent le chemin le plus court.

Erreur fréquente : Oublier que la somme des deux probabilités doit valoir exactement $1$1.

Correction détaillée

1. 1

   Un jeu de $52$52 cartes comporte $4$4 couleurs de $13$13 cartes.

2. 2

   $P(\text{cœur})=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}=0,25$P( cœur ) = 13/52 = 1/4 = 0,25.

3. 3

   Les figures sont le valet, la dame et le roi : $3$3 par couleur, donc $3\times 4=12$3 × 4 = 12 au total.

4. 4

   $P(\text{figure})=\frac{12}{52}=\frac{3}{13}\approx 0,23$P( figure ) = 12/52 = 3/13 ≈ 0,23.

Rappel de cours : Jeu de $52$52 cartes : $4$4 couleurs $\times$× $13$13 valeurs (as, $2$2 à $10$10, valet, dame, roi).

Erreur fréquente : Compter $3$3 figures au lieu de $12$12 : il y en a trois dans CHAQUE couleur.

Correction détaillée

1. 1

   La somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$1.

2. 2

   $0,35+0,4=0,75$0,35 + 0,4 = 0,75.

3. 3

   $P(C)=1-0,75=0,25$P(C) = 1 - 0,75 = 0,25.

4. 4

   Vérification : $0,35+0,4+0,25=1$0,35 + 0,4 + 0,25 = 1. ✔

Rappel de cours : La somme des probabilités de toutes les issues vaut toujours $1$1.

Erreur fréquente : Oublier ce contrôle : il permet de repérer une erreur instantanément.

Correction détaillée

1. 1

   $P(\text{blanche})=\frac{9}{9+n}=0,6$P( blanche ) = 9/(9+n) = 0,6.

2. 2

   Si les blanches représentent $0,6$0,6 du total, alors le total vaut $9÷0,6$9 ÷ 0,6.

3. 3

   $9÷0,6=90÷6=15$9 ÷ 0,6 = 90 ÷ 6 = 15 boules au total.

4. 4

   Nombre de noires : $15-9=6$15 - 9 = 6.

5. 5

   Vérification : $\frac{9}{15}=0,6$9/15 = 0,6. ✔

Rappel de cours : Si la partie vaut $p$p fois le total, alors le total vaut la partie divisée par $p$p.

Erreur fréquente : Répondre $15$15 : c'est le total, pas le nombre de noires.

Correction détaillée

1. 1

   $P=\frac{7}{28}$P = 7/28.

2. 2

   On simplifie par $7$7 : $\frac{1}{4}$1/4.

3. 3

   En décimal : $1÷4=0,25$1 ÷ 4 = 0,25.

4. 4

   En pourcentage : $25\%$25 %.

5. 5

   Contrôle par le contraire : $21$21 élèves sur $28$28 n'en portent pas, soit $\frac{3}{4}=0,75$3/4 = 0,75, et $0,25+0,75=1$0,25 + 0,75 = 1. ✔

Rappel de cours : Une probabilité s'écrit indifféremment en fraction, en décimal ou en pourcentage.

Erreur fréquente : Oublier de simplifier : $\frac{7}{28}$7/28 est correct mais pas sous sa forme la plus lisible.

Correction détaillée

1. 1

   Nombre de demi-pensionnaires : $42+30=72$42 + 30 = 72.

2. 2

   Effectif total : $120$120 élèves.

3. 3

   $P(\text{DP})=\frac{72}{120}$P( DP ) = 72/120.

4. 4

   On simplifie par $24$24 : $\frac{3}{5}=0,6$3/5 = 0,6, soit $60\%$60 %.

Rappel de cours : On additionne les effectifs concernés, puis on divise par le total général.

Erreur fréquente : Diviser par $70$70 ou par $50$50 : le total est celui de toute la classe.

Correction détaillée

1. 1

   A regroupe les issues $3$3 et $6$6.

   B ne contient que $2$2.

2. 2

   Aucune issue n'est commune : les événements sont incompatibles.

3. 3

   Pour « A ou B », on réunit les issues favorables : $2$2, $3$3 et $6$6, soit $3$3 cas.

4. 4

   $P(\text{A ou B})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$P( A ou B ) = 3/6 = 1/2.

5. 5

   On peut aussi additionner : $\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}$2/6 + 1/6 = 3/6, ce qui est licite car les événements sont incompatibles. ✔

Rappel de cours : On ne peut additionner les probabilités que si les événements n'ont AUCUNE issue commune.

Erreur fréquente : Additionner des probabilités d'événements qui se recouvrent : on compterait des issues deux fois.

Correction détaillée

1. 1

   Chaque dé a $6$6 faces : pour chaque résultat du premier, le second en offre $6$6.

2. 2

   Nombre de couples possibles : $6\times 6=36$6 × 6 = 36.

3. 3

   On cherche les couples de somme $9$9 : $(3;6)$(3;6), $(4;5)$(4;5), $(5;4)$(5;4), $(6;3)$(6;3).

4. 4

   Il y en a $4$4.

5. 5

   $P(\text{somme}=9)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\approx 0,11$P( somme =9) = 4/36 = 1/9 ≈ 0,11.

6. 6

   Attention : $(3;6)$(3;6) et $(6;3)$(6;3) sont deux issues distinctes, il faut les compter séparément.

Rappel de cours : Avec deux dés, on raisonne sur les COUPLES, pas sur les sommes.

Erreur fréquente : Croire que les $11$11 sommes possibles ($2$2 à $12$12) sont équiprobables : elles ne le sont pas du tout.

Correction détaillée

1. 1

   Comme la boule est remise, les deux tirages se font dans les mêmes conditions : $5$5 boules à chaque fois.

2. 2

   Nombre de couples possibles : $5\times 5=25$5 × 5 = 25.

3. 3

   Pour obtenir deux rouges, il faut une rouge au premier tirage ($3$3 choix) et une rouge au second ($3$3 choix).

4. 4

   Nombre de couples favorables : $3\times 3=9$3 × 3 = 9.

5. 5

   $P(\text{deux rouges})=\frac{9}{25}=0,36$P( deux rouges ) = 9/25 = 0,36.

6. 6

   Autre lecture : $P(\text{rouge})=\frac{3}{5}$P( rouge ) = 3/5 à chaque tirage, et $\frac{3}{5}\times \frac{3}{5}=\frac{9}{25}$3/5 × 3/5 = 9/25. ✔

Rappel de cours : Avec remise, la composition de l'urne est identique aux deux tirages.

Erreur fréquente : Additionner les probabilités : pour deux événements successifs, on multiplie.

Correction détaillée

1. 1

   Au premier tirage : $5$5 boules, dont $3$3 rouges.

   $P=\frac{3}{5}$P = 3/5.

2. 2

   Si une rouge a été tirée et non remise, il reste $4$4 boules dont $2$2 rouges.

3. 3

   Au second tirage : $P=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$P = 2/4 = 1/2.

4. 4

   Probabilité des deux : $\frac{3}{5}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{10}=0,3$3/5 × 1/2 = 3/10 = 0,3.

5. 5

   Comparaison avec le tirage AVEC remise ($0,36$0,36) : la probabilité est plus faible sans remise, car il reste moins de rouges au second tirage.

Rappel de cours : Sans remise, la composition change entre les deux tirages : il faut recalculer.

Erreur fréquente : Utiliser $\frac{3}{5}$3/5 deux fois : après le premier tirage, l'urne n'est plus la même.

Correction détaillée

1. 1

   Les issues possibles sont : PP, PF, FP, FF, soit $4$4 issues équiprobables.

2. 2

   « Au moins un pile » concerne PP, PF et FP, soit $3$3 issues.

3. 3

   $P=\frac{3}{4}=0,75$P = 3/4 = 0,75.

4. 4

   Méthode plus rapide par l'événement contraire : « au moins un pile » est le contraire de « aucun pile », c'est-à-dire de FF.

5. 5

   $P(\text{FF})=\frac{1}{4}$P( FF ) = 1/4, donc $P(\text{au moins un pile})=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$P( au moins un pile ) = 1 - 1/4 = 3/4. ✔

Rappel de cours : « Au moins un » se calcule presque toujours plus vite par l'événement contraire « aucun ».

Erreur fréquente : Répondre $\frac{1}{2}$1/2 en oubliant qu'il y a deux lancers.

Correction détaillée

1. 1

   Pour chaque entrée ($3$3 choix), il y a $4$4 plats possibles : cela fait déjà $3\times 4=12$3 × 4 = 12 combinaisons.

2. 2

   Pour chacune, il y a $2$2 desserts : $12\times 2=24$12 × 2 = 24 menus complets.

3. 3

   Pour la probabilité, les menus contenant un dessert précis sont ceux où l'entrée et le plat sont libres : $3\times 4=12$3 × 4 = 12 menus.

4. 4

   $P=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$P = 12/24 = 1/2.

5. 5

   Ce résultat est logique : il n'y a que $2$2 desserts, donc une chance sur deux pour chacun.

Rappel de cours : Pour compter les combinaisons de choix successifs, on MULTIPLIE les possibilités.

Erreur fréquente : Additionner $3+4+2=9$3 + 4 + 2 = 9 : les choix se combinent, ils ne s'ajoutent pas.

Correction détaillée

1. 1

   Fréquence observée : $\frac{88}{600}\approx 0,147$88/600 ≈ 0,147, soit environ $14,7\%$14,7 %.

2. 2

   Probabilité théorique d'un dé équilibré : $\frac{1}{6}\approx 0,167$1/6 ≈ 0,167, soit environ $16,7\%$16,7 %.

3. 3

   L'écart est d'environ $2$2 points de pourcentage.

4. 4

   Sur $600$600 lancers, on attendrait environ $600÷6=100$600 ÷ 6 = 100 apparitions du $6$6 ; on en observe $88$88.

5. 5

   Un écart de $12$12 sur $100$100 reste dans les fluctuations normales du hasard : rien ne permet d'affirmer que le dé est truqué.

6. 6

   Pour conclure sérieusement, il faudrait un écart beaucoup plus important ou bien davantage de lancers.

Rappel de cours : La fréquence observée s'approche de la probabilité quand le nombre d'expériences augmente, sans jamais l'égaler exactement.

Erreur fréquente : Conclure au truquage dès que la fréquence diffère de la valeur théorique.

Correction détaillée

1. 1

   Rouges : $\frac{1}{3}$1/3 de $24=8$24 = 8 boules.

2. 2

   Vertes : $\frac{1}{4}$1/4 de $24=6$24 = 6 boules.

3. 3

   Bleues : $\frac{1}{6}$1/6 de $24=4$24 = 4 boules.

4. 4

   Total des trois : $8+6+4=18$8 + 6 + 4 = 18 boules.

5. 5

   Jaunes : $24-18=6$24 - 18 = 6 boules.

6. 6

   $P(\text{jaune})=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}=0,25$P( jaune ) = 6/24 = 1/4 = 0,25.

7. 7

   Vérification des probabilités : $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{4}$1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/4.

   Au dénominateur commun $12$12 : $\frac{4+3+2+3}{12}=\frac{12}{12}=1$(4+3+2+3)/12 = 12/12 = 1. ✔

Rappel de cours : On applique chaque probabilité à l'effectif total, puis on complète par soustraction.

Erreur fréquente : Additionner les fractions sans dénominateur commun pour trouver la part restante.

Correction détaillée

1. 1

   Il y a $36$36 couples équiprobables au total.

2. 2

   Sommes valant $2$2 : $1$1 couple.

   $3$3 : $2$2.

   $4$4 : $3$3.

   $5$5 : $4$4.

   $6$6 : $5$5.

3. 3

   Cas favorables à A : $1+2+3+4+5=15$1+2+3+4+5 = 15 couples, donc $P(A)=\frac{15}{36}$P(A) = 15/36.

4. 4

   Sommes valant $8$8 : $5$5 couples.

   $9$9 : $4$4.

   $10$10 : $3$3.

   $11$11 : $2$2.

   $12$12 : $1$1.

5. 5

   Cas favorables à B : $5+4+3+2+1=15$5+4+3+2+1 = 15 couples, donc $P(B)=\frac{15}{36}$P(B) = 15/36.

6. 6

   Les deux joueurs ont exactement la même probabilité : le jeu est ÉQUITABLE.

7. 7

   Contrôle : la somme $7$7 correspond à $6$6 couples, et $15+15+6=36$15 + 15 + 6 = 36. ✔

Rappel de cours : Équitable = mêmes chances de gagner, même si toutes les issues ne sont pas attribuées.

Erreur fréquente : Compter les sommes ($5$5 valeurs de chaque côté) au lieu des couples : elles n'ont pas la même probabilité.

Correction détaillée

1. 1

   Somme des probabilités connues : $3\times 0,1=0,3$3 × 0,1 = 0,3, plus $2\times 0,2=0,4$2 × 0,2 = 0,4, soit $0,7$0,7.

2. 2

   $P(6)=1-0,7=0,3$P(6) = 1 - 0,7 = 0,3.

3. 3

   Pour « nombre pair », les issues favorables sont $2$2, $4$4 et $6$6.

4. 4

   Le dé n'étant PAS équilibré, on ne peut pas écrire $\frac{3}{6}$3/6 : il faut additionner les probabilités individuelles.

5. 5

   $P(\text{pair})=P(2)+P(4)+P(6)=0,1+0,2+0,3=0,6$P( pair ) = P(2) + P(4) + P(6) = 0,1 + 0,2 + 0,3 = 0,6.

6. 6

   Contrôle : $P(\text{impair})=0,1+0,1+0,2=0,4$P( impair ) = 0,1 + 0,1 + 0,2 = 0,4, et $0,6+0,4=1$0,6 + 0,4 = 1. ✔

Rappel de cours : « Cas favorables sur cas possibles » ne vaut QUE si toutes les issues sont équiprobables.

Erreur fréquente : Répondre $0,5$0,5 pour « pair » par réflexe : ce dé favorise nettement le $6$6.

Correction détaillée

1. 1

   Chaque lancer a $2$2 issues : au total $2\times 2\times 2=8$2 × 2 × 2 = 8 issues possibles.

2. 2

   On les liste : PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF.

3. 3

   « Exactement deux pile » : PPF, PFP, FPP, soit $3$3 issues.

4. 4

   $P=\frac{3}{8}=0,375$P = 3/8 = 0,375.

5. 5

   « Au moins un face » est le contraire de « aucun face », c'est-à-dire de PPP.

6. 6

   $P(\text{PPP})=\frac{1}{8}$P( PPP ) = 1/8, donc $P(\text{au moins un face})=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}=0,875$P( au moins un face ) = 1 - 1/8 = 7/8 = 0,875.

Rappel de cours : Lister toutes les issues reste la méthode la plus sûre quand leur nombre est petit.

Erreur fréquente : Confondre « exactement deux » et « au moins deux » : le second inclurait aussi PPP.

Correction détaillée

1. 1

   a) La somme d'un événement et de son contraire vaut $1$1, donc $1-0,7=0,3$1 - 0,7 = 0,3.

   VRAI.

2. 2

   b) Chaque lancer est indépendant des précédents : la pièce n'a pas de mémoire.

   $P(\text{face})$P( face ) reste $0,5$0,5.

   FAUX.

3. 3

   b) Cette erreur porte un nom : le « biais du joueur ».

4. 4

   c) Incompatible signifie « aucune issue commune », ce qui ne dit rien sur les probabilités.

5. 5

   c) Contre-exemple avec un dé : A « obtenir $1$1 » et B « obtenir un nombre pair » sont incompatibles, mais $P(A)=\frac{1}{6}$P(A) = 1/6 et $P(B)=\frac{1}{2}$P(B) = 1/2.

   FAUX.

Rappel de cours : Incompatibles = pas d'issue commune. Cela n'implique aucune égalité de probabilités.

Erreur fréquente : Le biais du joueur (b) est l'erreur de raisonnement la plus répandue en probabilités.