Équations du premier degré en Quatrième

Les équations du premier degré en 4ème : cours complet

Une équation est une égalité qui contient une inconnue (souvent notée $x$x). Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de $x$x qui rendent cette égalité vraie. C'est l'un des chapitres les plus importants du collège, et la base pour le brevet.

Vocabulaire

Équation, inconnue, solution

• Une équation est une égalité contenant une lettre (l'inconnue).
• Une solution est une valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie.
• Résoudre l'équation, c'est trouver toutes ses solutions.

Exemple

L'équation $3x+4=13$3x + 4 = 13 a pour solution $x=3$x = 3, car $3\times 3+4=13$3 × 3 + 4 = 13.

Tester si un nombre est solution

Pour vérifier qu'un nombre est solution, on remplace $x$x par cette valeur et on calcule les deux membres séparément.

Exemple

Est-ce que $x=5$x = 5 est solution de $2x-1=9$2x - 1 = 9 ?

• Membre gauche : $2\times 5-1=9$2 × 5 - 1 = 9.
• Membre droit : $9$9.

Les deux sont égaux : oui, $5$5 est solution.

Les règles de résolution

Pour résoudre une équation, on la transforme en équations équivalentes (qui ont les mêmes solutions) jusqu'à isoler $x$x.

Règle 1 : ajouter ou soustraire le même nombre des deux côtés

$$\text{Si }a=b,\text{ alors }a+c=b+c\text{et}a-c=b-c$$Si a = b, alors a + c = b + c et a - c = b - c

Règle 2 : multiplier ou diviser par le même nombre non nul des deux côtés

$$\text{Si }a=b,\text{ alors }a\times c=b\times c\text{et}\frac{a}{c}=\frac{b}{c}(c\ne 0)$$Si a = b, alors a × c = b × c et a/c = b/c (c ≠ 0)

Résoudre une équation simple

Type 1 : $x+a=b$x + a = b

On soustrait $a$a des deux côtés :

$$x+a=b⟺x=b-a$$x + a = b ⇔ x = b - a

Exemple : $x+7=12⟺x=12-7=5$x + 7 = 12 ⇔ x = 12 - 7 = 5.

Type 2 : $ax=b$ax = b (avec $a\ne 0$a ≠ 0)

On divise par $a$a des deux côtés :

$$ax=b⟺x=\frac{b}{a}$$ax = b ⇔ x = b/a

Exemple : $3x=15⟺x=\frac{15}{3}=5$3x = 15 ⇔ x = 15/3 = 5.

Type 3 : $ax+b=c$ax + b = c

Deux étapes :

1. Soustraire $b$b des deux côtés.
2. Diviser par $a$a.

Exemple :

$$4x+7=23⟺4x=16⟺x=4$$4x + 7 = 23 ⇔ 4x = 16 ⇔ x = 4

Équations plus complexes

Type 4 : $ax+b=cx+d$ax + b = cx + d

On regroupe les $x$x d'un côté et les nombres de l'autre.

Exemple :

$$5x-3=2x+9$$5x - 3 = 2x + 9 $$5x-2x=9+3$$5x - 2x = 9 + 3 $$3x=12$$3x = 12 $$x=4$$x = 4

Type 5 : avec parenthèses

D'abord on développe, puis on résout comme d'habitude.

Exemple :

$$3(x+2)=2x+9$$3(x + 2) = 2x + 9 $$3x+6=2x+9$$3x + 6 = 2x + 9 $$x=3$$x = 3

Type 6 : avec fractions

On multiplie tous les termes par le dénominateur commun.

Exemple :

$$\frac{x}{3}+2=\frac{x}{4}+3$$x/3 + 2 = x/4 + 3

Multiplier par $12$12 :

$$4x+24=3x+36⟺x=12$$4x + 24 = 3x + 36 ⇔ x = 12

Résolution de problèmes

Méthode

1. Choisir l'inconnue et la nommer (ex : $x$x).
2. Mettre en équation la situation.
3. Résoudre l'équation.
4. Vérifier que la solution a un sens dans le contexte.
5. Conclure par une phrase.

Exemple

Énoncé : « Le triple d'un nombre, augmenté de $7$7, est égal à $25$25. Quel est ce nombre ? »

• Soit $x$x le nombre cherché.
• Mise en équation : $3x+7=25$3x + 7 = 25.
• Résolution : $3x=18$3x = 18, donc $x=6$x = 6.
• Conclusion : le nombre cherché est $6$6.

Exemple plus complexe

Énoncé : « Pierre a $3$3 fois l'âge de Marie. Dans $10$10 ans, il aura $2$2 fois son âge. Quel âge a Marie aujourd'hui ? »

• Soit $x$x l'âge actuel de Marie. Alors Pierre a $3x$3x.
• Dans $10$10 ans : Marie aura $x+10$x + 10, Pierre aura $3x+10$3x + 10.
• Équation : $3x+10=2(x+10)$3x + 10 = 2(x + 10).
• Résolution : $3x+10=2x+20⟺x=10$3x + 10 = 2x + 20 ⇔ x = 10.
• Conclusion : Marie a $10$10 ans (et Pierre $30$30).

Équation produit nul

$$A\times B=0⟺A=0\text{ou}B=0$$A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0

Cette propriété est très utile pour résoudre des équations comme $(x-3)(x+5)=0$(x - 3)(x + 5) = 0.

Exemple

$(x-3)(x+5)=0$(x - 3)(x + 5) = 0

$$x-3=0\text{ ou }x+5=0$$x - 3 = 0 ou x + 5 = 0 $$x=3\text{ ou }x=-5$$x = 3 ou x = -5

Erreurs fréquentes à éviter

• Mal manipuler les signes lors des transferts : $5x-3=2$5x - 3 = 2 devient $5x=2+3$5x = 2 + 3, pas $5x=2-3$5x = 2 - 3.
• Diviser par $0$0 : interdit, vérifier que le coefficient devant $x$x n'est pas nul.
• Oublier de développer les parenthèses avant de résoudre.
• Confondre équation et expression : une équation contient un signe $=$= ; une expression n'en contient pas.
• Oublier la vérification : après résolution, on remplace $x$x par sa valeur pour vérifier.

FAQ — Les équations du premier degré

Pourquoi le « premier degré » ?

Parce que la plus haute puissance de $x$x est $1$1 ($x^1=x$x¹ = x). Une équation du second degré contient $x^2$x².

Une équation peut-elle avoir plusieurs solutions ?

Pour une équation du premier degré simple, généralement une seule solution. Les équations produits nuls peuvent en avoir plusieurs.

Et si je trouve $0x=0$0x = 0 ?

L'équation est vraie pour tous les nombres : elle a une infinité de solutions.

Et si je trouve $0x=5$0x = 5 ?

L'équation est impossible : aucune solution.