Exercices corrigés : Cosinus d'un angle aigu — Quatrième

Correction détaillée

1. 1

   L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit.

   L'angle droit étant en $A$A, l'hypoténuse est $[BC]$[BC].

2. 2

   Le côté adjacent à $\hat{B}$B̂ est celui qui touche $B$B sans être l'hypoténuse.

3. 3

   Deux côtés partent de $B$B : $[BA]$[BA] et $[BC]$[BC].

   Comme $[BC]$[BC] est l'hypoténuse, l'adjacent est $[BA]$[BA].

4. 4

   Le troisième côté, $[AC]$[AC], est dit « opposé » à $\hat{B}$B̂ : il ne le touche pas.

Rappel de cours : Adjacent = « à côté de l'angle », mais ce n'est jamais l'hypoténuse.

Erreur fréquente : Prendre $[AC]$[AC] comme adjacent : il est opposé à $\hat{B}$B̂, il ne le touche pas.

Correction détaillée

1. 1

   L'angle droit est en $S$S : l'hypoténuse est $[RT]$[RT].

2. 2

   Le côté adjacent à $\hat{R}$R̂ est celui qui touche $R$R sans être l'hypoténuse : c'est $[RS]$[RS].

3. 3

   La formule du cosinus est $\cos =\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoteˊnuse}}$cos = adjacent/hypoténuse.

4. 4

   Donc $\cos (\hat{R})=\frac{RS}{RT}$cos(R̂) = RS/RT.

Rappel de cours : L'hypoténuse est TOUJOURS au dénominateur : le cosinus est donc toujours inférieur à $1$1.

Erreur fréquente : Écrire $\frac{RT}{RS}$RT/RS : le rapport serait supérieur à $1$1, ce qui est impossible pour un cosinus.

Correction détaillée

1. 1

   On applique la formule : $\cos (\hat{B})=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoteˊnuse}}$cos(B̂) = adjacent/hypoténuse.

2. 2

   $\cos (\hat{B})=\frac{6}{10}$cos(B̂) = 6/10.

3. 3

   On simplifie : $\frac{3}{5}=0,6$3/5 = 0,6.

4. 4

   Contrôle : la valeur est bien comprise entre $0$0 et $1$1. ✔

Rappel de cours : Un cosinus d'angle aigu est toujours strictement compris entre $0$0 et $1$1.

Erreur fréquente : Trouver une valeur supérieure à $1$1 : c'est le signe qu'on a inversé la fraction.

Correction détaillée

1. 1

   $\cos (\hat{A})=\frac{6}{12}=0,5$cos(Â) = 6/12 = 0,5.

2. 2

   Il faut maintenant trouver l'angle dont le cosinus vaut $0,5$0,5.

3. 3

   C'est une valeur remarquable à connaître : $\cos (60°)=0,5$cos(60°) = 0,5.

4. 4

   Donc $\hat{A}=60°$Â = 60°.

5. 5

   On peut aussi l'obtenir à la calculatrice avec la touche ${\cos }^{-1}$cos⁻¹.

Rappel de cours : Valeur à retenir : $\cos (60°)=0,5$cos(60°) = 0,5 exactement.

Erreur fréquente : Croire que $\cos (0,5)=60$cos(0,5) = 60 : la fonction s'applique à l'angle, pas au rapport.

Correction détaillée

1. 1

   Le cosinus est le rapport $\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoteˊnuse}}$adjacent/hypoténuse.

2. 2

   Or l'hypoténuse est TOUJOURS le plus long côté d'un triangle rectangle.

3. 3

   Le numérateur est donc toujours plus petit que le dénominateur.

4. 4

   Le rapport est par conséquent toujours inférieur à $1$1.

5. 5

   Une valeur de $1,2$1,2 est donc impossible : c'est le signe d'une erreur, généralement une fraction inversée.

Rappel de cours : Un cosinus supérieur à $1$1 signale systématiquement une erreur de calcul.

Erreur fréquente : Accepter le résultat de la calculatrice sans contrôler sa vraisemblance.

Correction détaillée

1. 1

   On écrit la formule : $\cos (40°)=\frac{\text{adjacent}}{12}$cos(40°) = adjacent/12.

2. 2

   On isole l'inconnue en multipliant les deux membres par $12$12.

3. 3

   adjacent $=12\times \cos (40°)$= 12 × cos(40°).

4. 4

   À la calculatrice (en mode degrés) : $\cos (40°)\approx 0,766$cos(40°) ≈ 0,766.

5. 5

   adjacent $\approx 12\times 0,766=9,192$≈ 12 × 0,766 = 9,192.

6. 6

   Arrondi au dixième : $9,2$9,2 cm.

7. 7

   Contrôle : le résultat est bien inférieur à l'hypoténuse. ✔

Rappel de cours : Vérifier que la calculatrice est bien en mode DEGRÉS (DEG) avant tout calcul.

Erreur fréquente : Diviser par $\cos (40°)$cos(40°) : ici l'inconnue est au numérateur, on multiplie.

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1. 1

   On écrit : $\cos (25°)=\frac{8}{\text{hypoteˊnuse}}$cos(25°) = 8/hypoténuse.

2. 2

   Cette fois l'inconnue est au DÉNOMINATEUR : on utilise le produit en croix.

3. 3

   hypoténuse $\times \cos (25°)=8$× cos(25°) = 8, donc hypoténuse $=\frac{8}{\cos (25°)}$= 8/cos(25°).

4. 4

   $\cos (25°)\approx 0,9063$cos(25°) ≈ 0,9063.

5. 5

   hypoténuse $\approx 8÷0,9063\approx 8,827$≈ 8 ÷ 0,9063 ≈ 8,827.

6. 6

   Arrondi : $8,8$8,8 cm.

7. 7

   Contrôle : l'hypoténuse doit être plus grande que $8$8 cm. ✔

Rappel de cours : Inconnue au numérateur → on multiplie · inconnue au dénominateur → on divise.

Erreur fréquente : Multiplier $8$8 par $\cos (25°)$cos(25°) : on trouverait une hypoténuse plus courte que le côté adjacent, ce qui est impossible.

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1. 1

   $\cos (\hat{C})=\frac{4}{5}=0,8$cos(Ĉ) = 4/5 = 0,8.

2. 2

   Pour retrouver l'angle à partir de son cosinus, on utilise la touche ${\cos }^{-1}$cos⁻¹ (parfois notée « acos » ou « arccos »).

3. 3

   $\hat{C}={\cos }^{-1}(0,8)\approx 36,87°$Ĉ = cos⁻¹(0,8) ≈ 36,87°.

4. 4

   Arrondi au degré : $\hat{C}\approx 37°$Ĉ ≈ 37°.

5. 5

   Contrôle : l'angle est bien aigu, entre $0°$0° et $90°$90°. ✔

Rappel de cours : La touche ${\cos }^{-1}$cos⁻¹ fait l'opération inverse : elle donne l'angle à partir du cosinus.

Erreur fréquente : Utiliser $\cos$cos au lieu de ${\cos }^{-1}$cos⁻¹ : on obtiendrait un rapport, pas un angle.

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1. 1

   La somme des angles d'un triangle vaut $180°$180°, dont $90°$90° pour l'angle droit.

2. 2

   Les deux angles aigus totalisent donc $90°$90° : ils sont complémentaires.

3. 3

   L'autre angle mesure $90-37=53°$90 - 37 = 53°.

4. 4

   Leurs cosinus sont différents : $\cos (37°)\approx 0,80$cos(37°) ≈ 0,80 et $\cos (53°)\approx 0,60$cos(53°) ≈ 0,60.

5. 5

   Fait remarquable : le côté adjacent à l'un est le côté opposé à l'autre, ce qui explique que les deux valeurs se répondent.

Rappel de cours : Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : leur somme vaut $90°$90°.

Erreur fréquente : Croire que les deux angles aigus ont le même cosinus : ils n'ont pas le même côté adjacent.

Correction détaillée

1. 1

   Rectangle isocèle : l'angle droit vaut $90°$90°, et les deux angles aigus sont égaux.

2. 2

   Ils totalisent $90°$90°, donc chacun vaut $45°$45°.

3. 3

   $\cos (45°)\approx 0,7071$cos(45°) ≈ 0,7071.

4. 4

   Arrondi au centième : $0,71$0,71.

5. 5

   Interprétation : dans un tel triangle, le côté adjacent représente environ $71\%$71 % de l'hypoténuse.

Rappel de cours : $\cos (45°)\approx 0,71$cos(45°) ≈ 0,71 : une valeur qu'il est utile de reconnaître.

Erreur fréquente : Répondre $0,5$0,5 : c'est la valeur de $\cos (60°)$cos(60°), pas de $\cos (45°)$cos(45°).

Correction détaillée

1. 1

   On part toujours de $\cos (\text{angle})=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoteˊnuse}}$cos( angle ) = adjacent/hypoténuse.

2. 2

   a) L'inconnue (l'adjacent) est au NUMÉRATEUR.

   On isole en multipliant : adjacent $=\text{hypoteˊnuse}\times \cos (\text{angle})$= hypoténuse × cos( angle ).

3. 3

   a) Le résultat sera plus PETIT que l'hypoténuse, puisque le cosinus est inférieur à $1$1.

4. 4

   b) L'inconnue (l'hypoténuse) est au DÉNOMINATEUR.

   On isole en divisant : hypoténuse $=\frac{\text{adjacent}}{\cos (\text{angle})}$= adjacent/(cos( angle )).

5. 5

   b) Le résultat sera plus GRAND que l'adjacent, puisqu'on divise par un nombre inférieur à $1$1.

Rappel de cours : Réflexe : l'hypoténuse est toujours le plus grand côté, cela permet de vérifier le sens de l'opération.

Erreur fréquente : Appliquer mécaniquement une formule sans regarder où se trouve l'inconnue.

Correction détaillée

1. 1

   Calcul de l'hypoténuse par Pythagore : $B{C}^2=9^2+12^2=81+144=225$BC² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225.

2. 2

   $BC=\sqrt{225}=15$BC = √(225) = 15 cm.

3. 3

   Pour l'angle $\hat{B}$B̂ : le côté adjacent est $[BA]=9$[BA] = 9 cm et l'hypoténuse $[BC]=15$[BC] = 15 cm.

4. 4

   $\cos (\hat{B})=\frac{9}{15}=0,6$cos(B̂) = 9/15 = 0,6.

5. 5

   $\hat{B}={\cos }^{-1}(0,6)\approx 53,13°$B̂ = cos⁻¹(0,6) ≈ 53,13°.

6. 6

   Arrondi : $\hat{B}\approx 53°$B̂ ≈ 53°.

Rappel de cours : On enchaîne souvent Pythagore (pour un côté) puis le cosinus (pour un angle).

Erreur fréquente : Utiliser $AC=12$AC = 12 comme adjacent à $\hat{B}$B̂ : $[AC]$[AC] est OPPOSÉ à cet angle.

Correction détaillée

1. 1

   La rampe est l'hypoténuse du triangle rectangle formé avec le sol et la verticale.

2. 2

   La distance horizontale est le côté adjacent à l'angle de $8°$8°.

3. 3

   $\cos (8°)=\frac{d}{6}$cos(8°) = d/6, donc $d=6\times \cos (8°)$d = 6 × cos(8°).

4. 4

   $\cos (8°)\approx 0,99027$cos(8°) ≈ 0,99027.

5. 5

   $d\approx 6\times 0,99027=5,9416$d ≈ 6 × 0,99027 = 5,9416 m.

6. 6

   Au centimètre près : $d\approx 5,94$d ≈ 5,94 m.

7. 7

   L'angle étant très faible, la distance horizontale est presque égale à la longueur de la rampe. ✔

Rappel de cours : Plus l'angle est petit, plus le cosinus est proche de $1$1.

Erreur fréquente : Croire que la distance horizontale dépasse la longueur de la rampe : c'est impossible.

Correction détaillée

1. 1

   L'échelle est l'hypoténuse : $4$4 m.

2. 2

   La distance au mur ($1,2$1,2 m) est le côté adjacent à l'angle formé avec le sol.

3. 3

   $\cos (\text{angle})=\frac{1,2}{4}=0,3$cos( angle ) = 1,2/4 = 0,3.

4. 4

   $\text{angle}={\cos }^{-1}(0,3)\approx 72,54°$angle = cos⁻¹(0,3) ≈ 72,54°.

5. 5

   Arrondi : environ $73°$73°.

6. 6

   Remarque de sécurité : les recommandations préconisent un angle d'environ $75°$75° ; l'échelle est donc posée un peu trop couchée.

Rappel de cours : Quand on cherche un ANGLE, on utilise toujours ${\cos }^{-1}$cos⁻¹.

Erreur fréquente : Confondre l'angle avec le sol et l'angle avec le mur : ils sont complémentaires ($73°$73° et $17°$17°).

Correction détaillée

1. 1

   Le côté adjacent à l'angle de $35°$35° se calcule directement avec le cosinus.

2. 2

   adjacent $=20\times \cos (35°)$= 20 × cos(35°).

   Or $\cos (35°)\approx 0,8192$cos(35°) ≈ 0,8192.

3. 3

   adjacent $\approx 20\times 0,8192=16,384$≈ 20 × 0,8192 = 16,384, soit environ $16,4$16,4 cm.

4. 4

   Pour l'autre côté, on peut utiliser Pythagore : $c^2=20^2-16,384^2$c² = 20² - 16,384².

5. 5

   $c^2\approx 400-268,43=131,57$c² ≈ 400 - 268,43 = 131,57, donc $c\approx 11,47$c ≈ 11,47, soit environ $11,5$11,5 cm.

6. 6

   Vérification : le plus grand côté de l'angle droit est bien celui adjacent au plus petit angle. ✔

Rappel de cours : En 4ᵉ, le côté opposé s'obtient par Pythagore ; le sinus, qui le donne directement, s'apprend en 3ᵉ.

Erreur fréquente : Appliquer le cosinus au côté opposé : la formule ne concerne que l'adjacent et l'hypoténuse.

Correction détaillée

1. 1

   On calcule : $\cos (20°)\approx 0,940$cos(20°) ≈ 0,940 ; $\cos (50°)\approx 0,643$cos(50°) ≈ 0,643 ; $\cos (80°)\approx 0,174$cos(80°) ≈ 0,174.

2. 2

   Ordre croissant : $\cos (80°)<\cos (50°)<\cos (20°)$cos(80°) < cos(50°) < cos(20°).

3. 3

   On remarque que plus l'angle est GRAND, plus son cosinus est PETIT.

4. 4

   Explication géométrique : quand l'angle grandit, le côté adjacent se raccourcit par rapport à l'hypoténuse.

5. 5

   Aux limites : $\cos (0°)=1$cos(0°) = 1 (côtés confondus) et $\cos (90°)=0$cos(90°) = 0 (adjacent nul).

Rappel de cours : Sur $[0°;90°]$[0° ; 90°], le cosinus décroît de $1$1 vers $0$0.

Erreur fréquente : Penser que le cosinus augmente avec l'angle : c'est exactement l'inverse.

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1. 1

   Le toit étant symétrique, la hauteur au sommet coupe la base en son milieu.

2. 2

   Chaque demi-base mesure donc $10÷2=5$10 ÷ 2 = 5 m : c'est le côté adjacent à l'angle de $30°$30°.

3. 3

   Le versant est l'hypoténuse : $\cos (30°)=\frac{5}{\text{versant}}$cos(30°) = 5/versant.

4. 4

   versant $=\frac{5}{\cos (30°)}$= 5/cos(30°).

   Or $\cos (30°)\approx 0,8660$cos(30°) ≈ 0,8660.

5. 5

   versant $\approx 5÷0,8660\approx 5,7735$≈ 5 ÷ 0,8660 ≈ 5,7735 m, soit environ $5,77$5,77 m.

6. 6

   Pour la hauteur, on applique Pythagore : $h^2=5,7735^2-5^2\approx 33,333-25=8,333$h² = 5,7735² - 5² ≈ 33,333 - 25 = 8,333.

7. 7

   $h\approx 2,8868$h ≈ 2,8868 m, soit environ $2,89$2,89 m.

Rappel de cours : Dans une figure symétrique, on travaille sur la MOITIÉ pour se ramener à un triangle rectangle.

Erreur fréquente : Utiliser la base entière ($10$10 m) comme adjacent : c'est la demi-base qui forme le triangle rectangle.

Correction détaillée

1. 1

   La piste est l'hypoténuse ($800$800 m) et le dénivelé le côté vertical ($200$200 m).

2. 2

   Distance horizontale par Pythagore : $d^2=800^2-200^2=640000-40000=600000$d² = 800² - 200² = 640 000 - 40 000 = 600 000.

3. 3

   $d=\sqrt{600000}\approx 774,6$d = √(600 000) ≈ 774,6 m, soit environ $775$775 m.

4. 4

   Pour l'angle avec l'horizontale, la distance horizontale est le côté ADJACENT.

5. 5

   $\cos (\text{angle})=\frac{774,6}{800}\approx 0,9682$cos( angle ) = 774,6/800 ≈ 0,9682.

6. 6

   $\text{angle}={\cos }^{-1}(0,9682)\approx 14,48°$angle = cos⁻¹(0,9682) ≈ 14,48°, soit environ $14°$14°.

7. 7

   Cohérence : une pente de $200$200 m sur $800$800 m correspond à une inclinaison modérée. ✔

Rappel de cours : On calcule d'abord le côté manquant par Pythagore, puis l'angle par le cosinus.

Erreur fréquente : Prendre le dénivelé comme adjacent : il est OPPOSÉ à l'angle avec l'horizontale.

Correction détaillée

1. 1

   Dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu $O$O.

2. 2

   On obtient donc quatre triangles rectangles identiques.

3. 3

   Dans l'un d'eux : l'hypoténuse est un côté du losange ($8$8 cm), et le côté adjacent à l'angle cherché est la demi-grande diagonale.

4. 4

   Demi-diagonale : $14÷2=7$14 ÷ 2 = 7 cm.

5. 5

   $\cos (\text{angle})=\frac{7}{8}=0,875$cos( angle ) = 7/8 = 0,875.

6. 6

   $\text{angle}={\cos }^{-1}(0,875)\approx 28,96°$angle = cos⁻¹(0,875) ≈ 28,96°, soit environ $29°$29°.

7. 7

   Contrôle : l'angle est aigu, ce qui est cohérent avec la figure. ✔

Rappel de cours : Les diagonales d'un losange créent quatre triangles rectangles : c'est la clé de ce type d'exercice.

Erreur fréquente : Utiliser la diagonale entière ($14$14 cm) : elle serait plus longue que l'hypoténuse, ce qui est impossible.

Correction détaillée

1. 1

   a) Contre-exemple : $\cos (30°)\approx 0,866$cos(30°) ≈ 0,866, alors que $\cos (60°)=0,5$cos(60°) = 0,5.

2. 2

   a) L'angle a doublé, mais le cosinus a DIMINUÉ.

   L'affirmation est FAUSSE.

3. 3

   b) $\cos (30°)+\cos (60°)\approx 0,866+0,5=1,366$cos(30°) + cos(60°) ≈ 0,866 + 0,5 = 1,366, alors que $\cos (90°)=0$cos(90°) = 0.

4. 4

   b) L'affirmation est FAUSSE : le cosinus ne se distribue pas sur une somme d'angles.

5. 5

   c) Le cosinus décroît quand l'angle croît sur $[0°;90°]$[0° ; 90°].

6. 6

   c) Le plus petit angle a donc le plus grand cosinus.

   L'affirmation est VRAIE.

Rappel de cours : $\cos (a+b)\ne \cos a+\cos b$cos(a+b) ≠ cos a + cos b : le cosinus n'est pas une fonction « qui se distribue ».

Erreur fréquente : Traiter $\cos$cos comme un facteur multiplicatif : $\cos (2A)$cos(2A) n'est pas $2\cos (A)$2cos(A).