Exercices corrigés : Translations et rotations — Quatrième

Correction détaillée

1. 1

   Une translation est un glissement : tous les points de la figure se déplacent de la même façon.

2. 2

   Pour la définir, il faut trois informations : une DIRECTION, un SENS et une LONGUEUR.

3. 3

   On les résume souvent par une flèche, qui indique à la fois la direction, le sens et la distance du glissement.

4. 4

   Concrètement, si $M^{\prime }$M' est l'image de $M$M, alors tous les points se déplacent exactement comme $M$M vers $M^{\prime }$M'.

5. 5

   Image mentale : faire glisser une figure sur une table sans jamais la tourner ni la retourner.

Rappel de cours : Dans une translation, TOUS les points se déplacent du même mouvement.

Erreur fréquente : Oublier le sens : glisser de $5$5 cm vers la droite n'est pas la même chose que vers la gauche.

Correction détaillée

1. 1

   Une rotation fait pivoter la figure autour d'un point fixe.

2. 2

   Pour la définir, il faut trois informations : le CENTRE, l'ANGLE et le SENS de rotation.

3. 3

   Le sens se précise par « sens horaire » (comme les aiguilles d'une montre) ou « sens antihoraire » (le sens inverse).

4. 4

   Le centre est le seul point qui ne bouge pas : il est invariant.

5. 5

   Image mentale : planter une punaise (le centre) et faire tourner la feuille autour.

Rappel de cours : Le centre de rotation est le seul point invariant.

Erreur fréquente : Oublier de préciser le sens : une rotation de $90°$90° à droite et à gauche donnent deux figures différentes.

Correction détaillée

1. 1

   Les deux transformations conservent les longueurs : les côtés mesurent toujours $3$3, $4$4 et $5$5 cm.

2. 2

   Elles conservent aussi les aires : l'aire reste $6$6 cm².

3. 3

   Elles conservent également les mesures d'angles, l'alignement et les milieux.

4. 4

   En résumé, la figure image est superposable à la figure de départ.

5. 5

   Seule sa POSITION change (translation) ou sa position et son orientation (rotation).

Rappel de cours : Translation et rotation sont des isométries : elles conservent toutes les mesures.

Erreur fréquente : Croire qu'une rotation déforme la figure : elle la fait seulement pivoter.

Correction détaillée

1. 1

   Un angle de $180°$180° correspond à un demi-tour complet.

2. 2

   Or la symétrie centrale de centre $O$O est justement définie comme un demi-tour autour de $O$O.

3. 3

   Les deux transformations donnent donc exactement la même image.

4. 4

   Particularité : pour $180°$180°, le sens (horaire ou antihoraire) n'a aucune importance, le résultat est identique.

5. 5

   La symétrie centrale est donc un cas particulier de rotation.

Rappel de cours : Rotation de $180°$180° = symétrie centrale : le sens n'intervient plus.

Erreur fréquente : Confondre avec la symétrie axiale, qui retourne la figure comme un miroir.

Correction détaillée

1. 1

   a) Dans une translation, tous les points se déplacent de la même longueur non nulle : aucun point n'est invariant.

2. 2

   b) Dans une rotation, seul le centre reste fixe : il y a exactement UN point invariant.

3. 3

   c) Dans une symétrie axiale, tous les points de l'axe sont invariants : il y en a une INFINITÉ.

4. 4

   Ce critère permet souvent d'identifier rapidement de quelle transformation il s'agit.

Rappel de cours : Le nombre de points fixes est une signature de la transformation.

Erreur fréquente : Croire que le centre d'une translation existe : une translation n'a pas de centre.

Correction détaillée

1. 1

   La translation conserve les longueurs : $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB=7$A'B' = AB = 7 cm.

2. 2

   Elle conserve aussi les directions : tous les points glissent de la même façon.

3. 3

   Le segment $[A^{\prime }{B}^{\prime }]$[A'B'] est donc PARALLÈLE à $[AB]$[AB] — et même de même sens.

4. 4

   De plus, $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ABB'A' forme un parallélogramme, puisque $[A{A}^{\prime }]$[AA'] et $[B{B}^{\prime }]$[BB'] sont parallèles et de même longueur.

Rappel de cours : La translation conserve les directions : elle ne fait jamais tourner la figure.

Erreur fréquente : Croire que le segment change d'inclinaison : seule sa position change.

Correction détaillée

1. 1

   Une rotation transforme une droite en une droite : elle conserve l'alignement.

2. 2

   Contrairement à la translation, la rotation ne conserve PAS les directions : la droite pivote.

3. 3

   Pour une rotation de $90°$90° précisément, la droite image est perpendiculaire à la droite de départ.

4. 4

   En effet, chaque direction tourne de $90°$90°, c'est-à-dire d'un quart de tour.

5. 5

   Remarque : pour une rotation de $180°$180°, la droite image serait parallèle à la droite de départ.

Rappel de cours : La rotation fait tourner les directions de l'angle de rotation.

Erreur fréquente : Croire que l'image est parallèle : cela n'arrive que pour un angle de $0°$0° ou de $180°$180°.

Correction détaillée

1. 1

   a) Le motif glisse toujours de la même façon, sans tourner ni se retourner : c'est une TRANSLATION.

2. 2

   b) Les rayons se déduisent les uns des autres en pivotant autour du moyeu : c'est une ROTATION.

3. 3

   c) Les deux ailes se correspondent par pliage le long du corps : c'est une SYMÉTRIE AXIALE.

4. 4

   d) Chaque pale se déduit de la précédente par une rotation de $360÷3=120°$360 ÷ 3 = 120° autour de l'axe : c'est une ROTATION.

Rappel de cours : Glissement → translation · pivotement → rotation · pliage → symétrie axiale · demi-tour → symétrie centrale.

Erreur fréquente : Confondre symétrie axiale et rotation : seule la symétrie axiale RETOURNE la figure.

Correction détaillée

1. 1

   On détermine d'abord le déplacement, en observant le passage de $A$A à $A^{\prime }$A'.

2. 2

   En abscisse : $5-1=+4$5 - 1 = +4.

3. 3

   En ordonnée : $4-2=+2$4 - 2 = +2.

4. 4

   Tous les points subissent EXACTEMENT le même déplacement : $+4$+4 en $x$x et $+2$+2 en $y$y.

5. 5

   Pour $B(3;0)$B(3 ; 0) : abscisse $3+4=7$3 + 4 = 7, ordonnée $0+2=2$0 + 2 = 2.

6. 6

   Donc $B^{\prime }(7;2)$B'(7 ; 2).

Rappel de cours : Une translation se traduit par « on ajoute la même chose à chaque coordonnée de chaque point ».

Erreur fréquente : Multiplier les coordonnées : la translation est une addition, pas un agrandissement.

Correction détaillée

1. 1

   Le centre du carré est équidistant des quatre sommets.

2. 2

   Une rotation de $90°$90° autour de $O$O envoie donc chaque sommet sur le sommet suivant.

3. 3

   Dans le sens antihoraire, en suivant l'ordre $A$A, $B$B, $C$C, $D$D écrit dans ce sens, l'image de $A$A est $B$B.

4. 4

   Remarque : ce carré est donc « invariant » par cette rotation — la figure globale se superpose à elle-même, même si chaque sommet a bougé.

5. 5

   Un carré admet quatre rotations qui le laissent globalement inchangé : $90°$90°, $180°$180°, $270°$270° et $360°$360°.

Rappel de cours : Une figure peut être globalement invariante alors que chacun de ses points a bougé.

Erreur fréquente : Croire que le carré « ne bouge pas » : ce sont ses sommets qui permutent.

Correction détaillée

1. 1

   Étape 1 : tracer le segment $[OM]$[OM] et mesurer sa longueur.

2. 2

   Étape 2 : avec le rapporteur placé en $O$O, construire un angle de $60°$60° à partir de la demi-droite $[OM)$[OM), en tournant dans le sens horaire.

3. 3

   Étape 3 : sur la nouvelle demi-droite ainsi obtenue, reporter la longueur $OM$OM à partir de $O$O.

4. 4

   Le point obtenu est $M^{\prime }$M'.

5. 5

   Contrôle : on doit avoir $O{M}^{\prime }=OM$OM' = OM, car une rotation conserve les distances au centre.

6. 6

   Remarque : le triangle $OM{M}^{\prime }$OMM' est isocèle en $O$O, puisque $OM=O{M}^{\prime }$OM = OM'.

Rappel de cours : Une rotation conserve la distance au centre : $O{M}^{\prime }=OM$OM' = OM toujours.

Erreur fréquente : Oublier de reporter la longueur : le point doit rester à la même distance de $O$O.

Correction détaillée

1. 1

   La première translation déplace chaque point de $3$3 cm vers la droite.

2. 2

   La seconde ajoute $4$4 cm vers la droite, dans la même direction et le même sens.

3. 3

   Au total, chaque point s'est déplacé de $3+4=7$3 + 4 = 7 cm vers la droite.

4. 4

   Une seule translation de $7$7 cm vers la droite produit donc exactement le même résultat.

5. 5

   Règle générale : l'enchaînement de deux translations est toujours une translation.

6. 6

   Si les deux translations avaient été de sens opposés, on aurait soustrait les longueurs.

Rappel de cours : Deux translations de même direction et même sens s'additionnent.

Erreur fréquente : Croire que le résultat serait une rotation : aucune des deux transformations ne fait tourner la figure.

Correction détaillée

1. 1

   Les deux rotations ont le même centre : les pivotements s'enchaînent autour du même point.

2. 2

   Étant de même sens, les angles s'additionnent.

3. 3

   $50+70=120°$50 + 70 = 120°.

4. 4

   Une seule rotation de centre $O$O et d'angle $120°$120°, dans le même sens, donne le même résultat.

5. 5

   Attention : cela ne fonctionne que si les deux rotations partagent le MÊME centre.

Rappel de cours : Rotations de même centre et même sens : les angles s'additionnent.

Erreur fréquente : Appliquer la règle à des centres différents : le résultat n'est alors plus forcément une rotation.

Correction détaillée

1. 1

   Un hexagone régulier a $6$6 sommets répartis régulièrement autour de son centre.

2. 2

   Pour qu'il se superpose à lui-même, il faut envoyer chaque sommet sur le suivant.

3. 3

   L'angle correspondant vaut $360÷6=60°$360 ÷ 6 = 60°.

4. 4

   Pour un pentagone régulier, qui a $5$5 sommets : $360÷5=72°$360 ÷ 5 = 72°.

5. 5

   Règle générale : pour un polygone régulier à $n$n côtés, le plus petit angle vaut $\frac{360°}{n}$360°/n.

Rappel de cours : Polygone régulier à $n$n côtés : angle de rotation $=\frac{360°}{n}$= 360°/n.

Erreur fréquente : Confondre avec l'angle intérieur du polygone ($120°$120° pour l'hexagone) : ce n'est pas la même chose.

Correction détaillée

1. 1

   La translation fait glisser la figure : elle conserve son orientation, la figure n'est pas retournée.

2. 2

   La rotation la fait pivoter : là non plus, la figure n'est pas retournée.

3. 3

   La symétrie centrale est une rotation de $180°$180° : elle ne retourne donc pas non plus la figure.

4. 4

   La symétrie AXIALE, en revanche, correspond à un pliage : la figure est bien retournée, comme dans un miroir.

5. 5

   Test concret : la lettre « R » devient « Я » par symétrie axiale, mais reste un « R » (éventuellement penché) par les trois autres.

Rappel de cours : Translation, rotation et symétrie centrale conservent le sens de parcours ; la symétrie axiale l'inverse.

Erreur fréquente : Croire que la symétrie centrale retourne la figure : elle la fait seulement pivoter d'un demi-tour.

Correction détaillée

1. 1

   Par définition d'une translation, tous les points se déplacent de la même façon.

2. 2

   Le déplacement de $A$A vers $A^{\prime }$A' est donc identique au déplacement de $B$B vers $B^{\prime }$B'.

3. 3

   Les segments $[A{A}^{\prime }]$[AA'] et $[B{B}^{\prime }]$[BB'] ont par conséquent la même longueur ET la même direction : ils sont parallèles et égaux.

4. 4

   Or, un quadrilatère dont deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur est un parallélogramme.

5. 5

   Dans $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ABB'A', les côtés $[A{A}^{\prime }]$[AA'] et $[B{B}^{\prime }]$[BB'] sont bien opposés.

6. 6

   Donc $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ABB'A' est un parallélogramme.

Rappel de cours : « Deux côtés opposés parallèles ET de même longueur » suffit à prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme.

Erreur fréquente : Attention à l'ordre des lettres : dans $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ABB'A', $[A{A}^{\prime }]$[AA'] et $[B{B}^{\prime }]$[BB'] sont bien des côtés opposés.

Correction détaillée

1. 1

   Le point $A$A est situé sur l'axe des abscisses, à $3$3 unités à droite de l'origine.

2. 2

   Une rotation de $90°$90° dans le sens antihoraire fait passer de la direction « vers la droite » à la direction « vers le haut ».

3. 3

   La distance au centre est conservée : l'image reste à $3$3 unités de $O$O.

4. 4

   L'image se trouve donc à $3$3 unités au-dessus de l'origine, sur l'axe des ordonnées.

5. 5

   Ses coordonnées sont $(0;3)$(0 ; 3).

6. 6

   Contrôle : $OA=3$OA = 3 et $O{A}^{\prime }=3$OA' = 3. ✔

Rappel de cours : Une rotation de $90°$90° antihoraire autour de l'origine transforme $(x;y)$(x ; y) en $(-y;x)$(-y ; x).

Erreur fréquente : Se tromper de sens : dans le sens horaire, l'image serait $(0;-3)$(0 ; -3).

Correction détaillée

1. 1

   La première symétrie retourne la figure ; la seconde la retourne à nouveau.

2. 2

   Deux retournements ramènent la figure dans son orientation initiale : le résultat ne peut donc pas être une symétrie axiale.

3. 3

   Suivons un point situé à la distance $d$d du premier axe : après la première symétrie, il se retrouve de l'autre côté, toujours à la distance $d$d.

4. 4

   En appliquant la seconde symétrie, on constate que le point a globalement glissé perpendiculairement aux axes.

5. 5

   Ce glissement vaut le DOUBLE de la distance entre les axes, soit $2\times 4=8$2 × 4 = 8 cm.

6. 6

   Le résultat est donc une TRANSLATION de $8$8 cm, perpendiculaire aux axes.

Rappel de cours : Deux symétries d'axes parallèles composent une translation ; d'axes sécants, une rotation.

Erreur fréquente : Répondre « une translation de $4$4 cm » : c'est bien le DOUBLE de l'écart entre les axes.

Correction détaillée

1. 1

   La figure n'est pas retournée : ce n'est donc pas une symétrie axiale, qui inverse toujours l'orientation.

2. 2

   Il existe un point invariant : ce n'est donc pas une translation, qui n'en a aucun (sauf translation nulle).

3. 3

   Il n'y a qu'UN seul point invariant : ce n'est pas non plus l'identité, qui les laisserait tous fixes.

4. 4

   Il reste la rotation, qui conserve l'orientation et admet exactement un point fixe : son centre.

5. 5

   La symétrie centrale, cas particulier de rotation avec un angle de $180°$180°, reste possible.

6. 6

   Conclusion : c'est une rotation, dont le centre est précisément le point invariant.

Rappel de cours : Deux critères suffisent souvent : l'orientation est-elle conservée ? combien de points fixes ?

Erreur fréquente : Oublier que la symétrie centrale est un cas particulier de rotation.

Correction détaillée

1. 1

   a) Dans une translation non nulle, chaque point se déplace de la même longueur, strictement positive : aucun point ne reste fixe.

2. 2

   a) Le seul cas où un point serait invariant est la translation nulle, qui ne déplace rien.

   L'affirmation est donc FAUSSE (pour une vraie translation).

3. 3

   b) Un angle de $360°$360° correspond à un tour complet : chaque point revient exactement à sa position de départ.

   VRAI.

4. 4

   c) Une rotation conserve les longueurs, donc le rayon est inchangé, et elle transforme un cercle en cercle.

5. 5

   c) Le centre du cercle image est l'image du centre du cercle de départ.

   L'affirmation est VRAIE.

Rappel de cours : Pour l'image d'un cercle, il suffit de transformer son CENTRE : le rayon ne change pas.

Erreur fréquente : Vouloir construire l'image de tous les points du cercle : seul le centre compte.