Probabilités en Quatrième

Les probabilités en 4ème : cours complet

En quatrième, tu approfondis les probabilités vues en cinquième. Tu manipules le vocabulaire (événement contraire, incompatibles), tu calculs des probabilités plus fines, et tu commences à raisonner sur des expériences à plusieurs étapes.

Rappels — Vocabulaire des probabilités

• Expérience aléatoire : expérience dont le résultat dépend du hasard.
• Issue : un résultat possible.
• Événement : ensemble d'issues.
• Probabilité d'un événement : un nombre compris entre $0$0 et $1$1.

Calcul d'une probabilité

Quand toutes les issues sont équiprobables :

$$P(A)=\frac{\text{nombre d’issues favorables aˋ }A}{\text{nombre total d’issues}}$$P(A) = (nombre d'issues favorables à A)/(nombre total d'issues)

Exemple

Pour un dé non truqué : $P(\text{obtenir un nombre pair})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$P( obtenir un nombre pair ) = 3/6 = 1/2.

Événement certain, impossible, contraire

Événement certain et impossible

• Certain : $P=1$P = 1. Exemple : « obtenir un nombre entre $1$1 et $6$6 avec un dé ».
• Impossible : $P=0$P = 0. Exemple : « obtenir $7$7 avec un dé ».

Événement contraire

L'événement contraire de $A$A, noté $\bar{A}$barA (« non $A$A »), est l'ensemble des issues qui ne sont pas dans $A$A.

$$P(\bar{A})=1-P(A)$$P(barA) = 1 - P(A)

Exemple

Pour un dé : $A$A = « obtenir $6$6 », $P(A)=\frac{1}{6}$P(A) = 1/6. Alors $P(\bar{A})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$P(barA) = 1 - 1/6 = 5/6 (probabilité de ne pas obtenir $6$6).

Événements incompatibles

Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire en même temps.

Exemple

Au lancer d'un dé, « obtenir un nombre pair » et « obtenir $3$3 » sont incompatibles.

Propriété

Si $A$A et $B$B sont incompatibles :

$$P(A\text{ ou }B)=P(A)+P(B)$$P(A ou B) = P(A) + P(B)

Exemple

Dans un dé : $P(\text{obtenir 2 ou 5})=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$P( obtenir 2 ou 5 ) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Expériences à plusieurs étapes

Arbre des possibles

On peut représenter une expérience à plusieurs étapes par un arbre.

Exemple — Lancer deux pièces

Issues possibles : (P, P), (P, F), (F, P), (F, F). Au total, $4$4 issues, toutes équiprobables.

• $P(\text{deux piles})=\frac{1}{4}$P( deux piles ) = 1/4.
• $P(\text{au moins un pile})=\frac{3}{4}$P( au moins un pile ) = 3/4.

Exemple — Tirer 2 boules dans une urne

Urne avec $3$3 rouges et $2$2 vertes (tirages avec remise). Probabilités :

• $P(R)=\frac{3}{5}$P(R) = 3/5 ; $P(V)=\frac{2}{5}$P(V) = 2/5.
• $P(\text{2 rouges})=\frac{3}{5}\times \frac{3}{5}=\frac{9}{25}$P( 2 rouges ) = 3/5 × 3/5 = 9/25.

Fréquences et probabilités

Si on répète une expérience un grand nombre de fois, la fréquence d'apparition d'un événement se rapproche de sa probabilité : c'est la loi des grands nombres.

Exemple

On lance un dé $6000$6000 fois : on s'attend à obtenir environ $1000$1000 fois chaque face.

Quelques exemples

Exemple 1 — Roue truquée

Une roue est divisée en $10$10 secteurs : $5$5 rouges, $3$3 verts, $2$2 bleus.

• $P(R)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$P(R) = 5/10 = 1/2.
• $P(V)=\frac{3}{10}$P(V) = 3/10.
• $P(B)=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$P(B) = 2/10 = 1/5.
• Somme : $\frac{1}{2}+\frac{3}{10}+\frac{1}{5}=\frac{5+3+2}{10}=1$1/2 + 3/10 + 1/5 = (5 + 3 + 2)/10 = 1 ✓.

Exemple 2 — Anniversaires

Probabilité de naître un dimanche $=\frac{1}{7}$= 1/7, en supposant les naissances équiréparties sur la semaine.

Exemple 3 — Tirage successif

Dans une urne avec $3$3 jetons numérotés $1,2,3$1, 2, 3, on tire deux jetons sans remise.

Avec un arbre, on dénombre $6$6 issues possibles : $(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)$(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2).

• $P(\text{tirer le }1\text{ puis le }2)=\frac{1}{6}$P( tirer le 1 puis le 2) = 1/6.
• $P(\text{tirer le 2})=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$P( tirer le 2 ) = 4/6 = 2/3 (le $2$2 est dans $4$4 couples sur $6$6).

Erreurs fréquentes à éviter

• Penser que le résultat précédent influence le suivant : avec une pièce, après 5 piles consécutifs, la probabilité du 6ème reste $\frac{1}{2}$1/2.
• Croire qu'une probabilité peut dépasser $1$1 : impossible.
• Confondre événement et issue : une issue est un résultat précis ; un événement est un ensemble d'issues.
• Oublier que la somme des probabilités vaut $1$1 : utile pour vérifier.

FAQ — Les probabilités en 4ème

Comment calculer la probabilité d'un événement composé ?

On peut soit lister toutes les issues favorables, soit utiliser un arbre des possibles.

Que signifie « équiprobable » ?

Que toutes les issues ont la même probabilité d'apparition. C'est le cas des dés, pièces, cartes non truqués.

Pourquoi $P(\bar{A})=1-P(A)$P(barA) = 1 - P(A) ?

Parce que les issues sont partagées entre « dans $A$A » et « pas dans $A$A », et la somme vaut $1$1.

Comment savoir si deux événements sont incompatibles ?

Si aucune issue ne fait partie des deux à la fois, ils sont incompatibles.