Proportionnalité en Quatrième

La proportionnalité en 4ème : cours complet

En quatrième, tu approfondis la proportionnalité : tu travailles avec des pourcentages, des vitesses, des représentations graphiques, et tu prépares les notions de fonction linéaire qui arriveront en troisième.

Reconnaître la proportionnalité

Définition

Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant par un coefficient constant (le coefficient de proportionnalité).

Tableau de proportionnalité

Un tableau est de proportionnalité si tous les rapports valeur d'une ligne / valeur correspondante de l'autre ligne sont égaux.

Exemple

• $\frac{7,5}{3}=2,5$7,5/3 = 2,5 ; $\frac{12,5}{5}=2,5$12,5/5 = 2,5 ; $\frac{20}{8}=2,5$20/8 = 2,5 ; $\frac{30}{12}=2,5$30/12 = 2,5 → proportionnel, coefficient $=2,5$= 2,5 €/kg.

Représentation graphique

Propriété fondamentale

Dans un repère, la représentation graphique d'une situation de proportionnalité est une droite passant par l'origine $O$O du repère.

Lecture graphique

Pour lire une valeur sur le graphique, on part d'une grandeur sur un axe, on monte (ou descend) jusqu'à la droite, et on lit sur l'autre axe.

Coefficient et pente

Le coefficient de proportionnalité correspond à la pente de la droite : plus la droite monte vite, plus le coefficient est grand.

Les pourcentages

Calculer un pourcentage d'une quantité

$$p\%\text{ de }x=\frac{p}{100}\times x$$p% de x = p/100 × x

Augmentation et diminution

Augmentation de $p\%$p% : on multiplie par $\left(1+\frac{p}{100}\right)$(1 + p/100).

$$\text{Nouveau prix}=\text{prix}\times \left(1+\frac{p}{100}\right)$$Nouveau prix = prix × (1 + p/100)

Diminution de $p\%$p% : on multiplie par $\left(1-\frac{p}{100}\right)$(1 - p/100).

Exemple

Un prix de $80$80 € augmente de $25\%$25% :

$$80\times \left(1+\frac{25}{100}\right)=80\times 1,25=100\text{€}$$80 × (1 + 25/100) = 80 × 1,25 = 100 €

Un prix de $50$50 € baisse de $40\%$40% :

$$50\times (1-0,4)=50\times 0,6=30\text{€}$$50 × (1 - 0,4) = 50 × 0,6 = 30 €

Évolutions successives

Si un prix augmente de $20\%$20% puis baisse de $20\%$20%, il ne revient pas au prix initial !

$100$100 € → $100\times 1,2=120$100 × 1,2 = 120 € → $120\times 0,8=96$120 × 0,8 = 96 €.

(Ce n'est pas $100$100 €, c'est $96$96 €.)

La vitesse moyenne

$$v=\frac{d}{t}d=v\times tt=\frac{d}{v}$$v = d/t d = v × t t = d/v

Unités

• $1$1 m/s $=3,6$= 3,6 km/h.
• $1$1 km/h $=\frac{1}{3,6}$= 1/3,6 m/s $\approx 0,28$≈ 0,28 m/s.

Exemple

Un cycliste parcourt $45$45 km en $1$1 h $30$30 min ($=1,5$= 1,5 h). Sa vitesse moyenne :

$$v=\frac{45}{1,5}=30\text{km/h}$$v = 45/1,5 = 30 km/h

Échelle

$$\text{Eˊchelle}=\frac{\text{longueur sur le plan}}{\text{longueur reˊelle}}$$Échelle = (longueur sur le plan)/(longueur réelle)

(les deux dans la même unité !)

Exemple

À l'échelle $\frac{1}{500}$1/500 : $1$1 cm sur le plan = $500$500 cm = $5$5 m en réalité.

Conversions d'unités usuelles

Vitesse

• $1$1 km/h $\approx 0,28$≈ 0,28 m/s
• $1$1 m/s $=3,6$= 3,6 km/h

Aires

• $1$1 m² = $100$100 dm² = $10000$10 000 cm²
• $1$1 ha = $10000$10 000 m²

Volumes

• $1$1 m³ = $1000$1000 dm³ = $1000$1000 L
• $1$1 L = $1$1 dm³ = $1000$1000 cm³ = $1000$1000 mL

Erreurs fréquentes à éviter

• Ajouter des pourcentages : $+10\%$+10% puis $+10\%$+10% ne fait pas $+20\%$+20% mais $+21\%$+21%.
• Confondre proportionnalité et linéarité : tout proportionnel est linéaire, mais une fonction affine n'est pas proportionnelle si elle ne passe pas par l'origine.
• Mal placer les unités : il faut convertir avant de calculer.
• Croire que toutes les droites représentent une proportionnalité : seules celles qui passent par l'origine correspondent à une situation proportionnelle.

FAQ — La proportionnalité en 4ème

Comment vérifier rapidement la proportionnalité ?

On vérifie que tous les rapports $y/x$y/x sont égaux. Une seule différence et c'est non proportionnel.

Comment calculer une réduction à partir du prix soldé ?

Si le prix soldé est $60$60 € et la réduction $25\%$25%, le prix initial $p$p vérifie $0,75p=60$0,75 p = 60, donc $p=80$p = 80 €.

Pourquoi une augmentation puis une diminution du même pourcentage ne revient-elle pas au point de départ ?

Parce que le second pourcentage s'applique au nouveau montant, pas au montant initial. C'est l'effet de base.

Comment représenter graphiquement une proportionnalité ?

On trace les points dans un repère : ils s'alignent sur une droite passant par l'origine.