Translations et rotations en Quatrième

Translations et rotations en 4ème : cours complet

En quatrième, tu découvres deux nouvelles transformations géométriques : la translation (qui « glisse » une figure) et la rotation (qui la « fait tourner »). Ces transformations enrichissent ta boîte à outils pour étudier les figures et préparer la notion d'homothétie vue en troisième.

Rappel des transformations connues

• Symétrie axiale : par rapport à une droite.
• Symétrie centrale : par rapport à un point.

Toutes ces transformations conservent les longueurs, les angles et les aires.

La translation

Définition

Une translation est définie par un vecteur (une flèche qui indique une direction, un sens et une longueur). Elle « glisse » chaque point dans la même direction, sur la même distance.

Notation

Si $\vec{u}$vecteur u est un vecteur de translation, le translaté d'un point $M$M par cette translation est le point $M^{\prime }$M' tel que $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\vec{u}$vecteur MM' = vecteur u.

Propriétés

• $M{M}^{\prime }$MM' est constant (= longueur du vecteur).
• La droite $(M{M}^{\prime })$(MM') est parallèle au vecteur.
• Le sens va de $M$M vers $M^{\prime }$M' (dans le sens du vecteur).

Construction

Pour construire le translaté $M^{\prime }$M' de $M$M :

1. Reporte la direction et le sens du vecteur.
2. Mesure la longueur du vecteur et reporte-la à partir de $M$M.

Image d'une figure

Pour construire l'image d'un triangle, on translate chacun de ses sommets, puis on relie les points obtenus dans le même ordre.

Propriétés de la translation

La translation conserve :

• les longueurs ;
• les angles ;
• les aires ;
• le parallélisme ;
• la perpendicularité ;
• les alignements ;
• l'orientation des figures.

Une figure et son image par une translation sont superposables.

La rotation

Définition

Une rotation est définie par :

• un centre (un point fixe $O$O) ;
• un angle (en degrés) ;
• un sens (direct = sens inverse des aiguilles d'une montre ; indirect = sens des aiguilles).

Construction du rotaté d'un point

Pour construire $M^{\prime }$M', image de $M$M par la rotation de centre $O$O et d'angle $\alpha$α :

1. Trace le segment $[OM]$[OM].
2. Construis un angle de mesure $\alpha$α à partir de $[OM]$[OM], dans le sens indiqué.
3. Reporte la longueur $OM$OM : on obtient $M^{\prime }$M' tel que $OM=O{M}^{\prime }$OM = OM' et l'angle $\widehat{MO{M}^{\prime }}=\alpha$MOM'̂ = α.

Cas particulier

• Rotation d'angle $0°$0° : la figure est invariante.
• Rotation d'angle $180°$180° : c'est la symétrie centrale de centre $O$O.

Propriétés de la rotation

La rotation conserve :

• les longueurs ;
• les angles ;
• les aires ;
• le parallélisme ;
• la perpendicularité ;
• les alignements ;
• l'orientation des figures.

Tableau récapitulatif des transformations

Frises, pavages, rosaces

Les transformations sont utilisées pour construire :

• des frises (motifs répétés en ligne via une translation) ;
• des pavages (motifs qui recouvrent le plan via combinaisons de translations, symétries, rotations) ;
• des rosaces (motifs construits par rotations autour d'un centre).

On en trouve dans l'art, l'architecture (mosaïques d'Alhambra, gravures d'Escher), la nature (flocons de neige).

Composition de transformations

On peut enchaîner plusieurs transformations.

Exemple

Deux symétries centrales successives de centres différents $O_1$O₁ et $O_2$O₂ équivalent à une translation de vecteur $2\overrightarrow{O_1{O}_2}$2 vecteur O₁O₂.

Exemple

Deux symétries axiales d'axes parallèles équivalent à une translation ; deux symétries d'axes sécants équivalent à une rotation.

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre rotation et symétrie centrale : la symétrie centrale est un cas particulier de rotation (angle $180°$180°).
• Oublier le sens dans une rotation : direct ≠ indirect.
• Mal construire un vecteur : il faut respecter direction et sens et longueur.
• Translation par un vecteur nul : ne fait rien (figure inchangée).
• Mélanger « translater » et « tourner » : la translation glisse, la rotation fait tourner.

FAQ — Translations et rotations

Quelle est la différence entre une translation et une symétrie ?

La translation est un glissement ; la symétrie axiale est un retournement (effet miroir) ; la symétrie centrale est un demi-tour (cas particulier de rotation).

Une translation peut-elle être nulle ?

Oui : si le vecteur est nul, la translation ne change rien. La figure reste à sa place.

Comment savoir le sens d'une rotation ?

Par convention, le sens direct est l'opposé des aiguilles d'une montre, et le sens indirect est celui des aiguilles. Une énoncé peut préciser le sens.

À quoi servent les transformations dans la vie ?

À l'art (pavages, mosaïques), au design, à l'animation 3D, à la robotique, en physique (mouvements), en cristallographie.