Triangles égaux et semblables en Quatrième

Triangles égaux et semblables en 4ème : cours complet

Deux triangles peuvent avoir les mêmes mesures (ils sont alors égaux, on dit aussi isométriques) ou simplement les mêmes proportions (ils sont alors semblables). Ce chapitre est un classique du brevet et un outil indispensable pour la suite (Thalès en 3ème, trigonométrie au lycée).

Triangles égaux (isométriques)

Définition

Deux triangles sont égaux (ou isométriques) s'ils ont exactement les mêmes mesures : trois côtés deux à deux égaux ET trois angles deux à deux égaux.

Notation

Si les triangles $ABC$ABC et $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$A'B'C' sont égaux, on note souvent : $ABC=A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ABC = A'B'C' avec les correspondances $A\leftrightarrow A^{\prime }$A leftrightarrow A', $B\leftrightarrow B^{\prime }$B leftrightarrow B', $C\leftrightarrow C^{\prime }$C leftrightarrow C'.

Cas d'isométrie (cas d'égalité)

Pas besoin de connaître toutes les mesures pour conclure que deux triangles sont égaux. Trois cas suffisent :

Cas 1 : Trois côtés égaux (CCC)

Si les trois côtés d'un triangle sont deux à deux de même longueur que les trois côtés d'un autre triangle, alors les deux triangles sont égaux.

Cas 2 : Deux côtés et un angle (CAC)

Si deux côtés et l'angle entre eux sont égaux à deux côtés et l'angle entre eux d'un autre triangle, alors les deux triangles sont égaux.

Cas 3 : Un côté et deux angles (ACA)

Si un côté et les deux angles à ses extrémités sont égaux à un côté et les deux angles à ses extrémités d'un autre triangle, alors les deux triangles sont égaux.

Propriétés des triangles égaux

• Côtés correspondants égaux.
• Angles correspondants égaux.
• Aires égales.
• Périmètres égaux.

Triangles semblables

Définition

Deux triangles sont semblables si leurs angles sont deux à deux de même mesure (les côtés sont alors proportionnels).

Conséquence

Les longueurs des côtés correspondants sont proportionnelles. On peut écrire :

$$\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=k$$A'B'/AB = A'C'/AC = B'C'/BC = k

où $k$k est le rapport de similitude (ou rapport d'agrandissement / réduction).

Exemple

Triangle $ABC$ABC avec $AB=3$AB = 3, $BC=5$BC = 5, $CA=4$CA = 4. Triangle $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$A'B'C' avec $A^{\prime }{B}^{\prime }=6$A'B' = 6, $B^{\prime }{C}^{\prime }=10$B'C' = 10, $C^{\prime }{A}^{\prime }=8$C'A' = 8.

$$\frac{6}{3}=\frac{10}{5}=\frac{8}{4}=2$$6/3 = 10/5 = 8/4 = 2

Les triangles sont semblables avec un rapport $k=2$k = 2 : $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$A'B'C' est l'agrandissement de $ABC$ABC d'un facteur $2$2.

Cas de similitude

Pour démontrer que deux triangles sont semblables, il suffit en général de vérifier :

Cas 1 : Deux angles égaux

Si deux angles d'un triangle sont respectivement égaux à deux angles d'un autre triangle, alors les deux triangles sont semblables.

(Le troisième angle est automatiquement égal car la somme des angles vaut $180°$180°.)

Cas 2 : Côtés proportionnels

Si les trois côtés d'un triangle sont proportionnels aux trois côtés d'un autre triangle, alors les deux triangles sont semblables.

Rapport de similitude

Si $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$A'B'C' est semblable à $ABC$ABC avec un rapport $k$k :

• Les longueurs sont multipliées par $k$k.
• Les aires sont multipliées par $k^2$k².
• Les périmètres sont multipliés par $k$k.
• Les angles restent inchangés.

Exemple

Triangle $ABC$ABC d'aire $20$20 cm² agrandi avec un rapport $3$3 : aire du nouveau triangle = $20\times 3^2=180$20 × 3² = 180 cm².

Applications

Calcul d'une longueur inconnue

Si deux triangles sont semblables, on peut calculer une longueur inconnue grâce au rapport de similitude.

Exemple

Triangle $ABC$ABC avec $AB=4$AB = 4, $BC=6$BC = 6, $CA=8$CA = 8. Triangle $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$A'B'C' semblable avec $A^{\prime }{B}^{\prime }=10$A'B' = 10. Calculer $B^{\prime }{C}^{\prime }$B'C' et $C^{\prime }{A}^{\prime }$C'A'.

• Rapport $k=\frac{10}{4}=2,5$k = 10/4 = 2,5.
• $B^{\prime }{C}^{\prime }=6\times 2,5=15$B'C' = 6 × 2,5 = 15.
• $C^{\prime }{A}^{\prime }=8\times 2,5=20$C'A' = 8 × 2,5 = 20.

Utilisation des transformations

• Translation, symétrie, rotation transforment un triangle en un triangle égal.
• Homothétie (au-delà du collège) transforme un triangle en un triangle semblable.

Rédaction au brevet

Pour démontrer que deux triangles sont égaux

Dans les triangles $ABC$ABC et $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$A'B'C' :

• $AB=A^{\prime }{B}^{\prime }=5$AB = A'B' = 5 cm
• $\hat{A}=\widehat{A^{\prime }}=60°$Â = A'̂ = 60°
• $AC=A^{\prime }{C}^{\prime }=7$AC = A'C' = 7 cm

D'après le cas d'égalité « 2 côtés et un angle », les triangles $ABC$ABC et $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$A'B'C' sont égaux.

Pour démontrer que deux triangles sont semblables

Dans les triangles $ABC$ABC et $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$A'B'C' :

• $\hat{A}=\widehat{A^{\prime }}=60°$Â = A'̂ = 60°
• $\hat{B}=\widehat{B^{\prime }}=50°$B̂ = B'̂ = 50°

Comme deux angles sont respectivement égaux, les triangles sont semblables.

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre « égaux » et « semblables » : égaux = même taille ; semblables = même forme (taille différente possible).
• Mal identifier les correspondances : $A\leftrightarrow A^{\prime }$A leftrightarrow A', $B\leftrightarrow B^{\prime }$B leftrightarrow B', etc.
• Oublier l'angle entre les deux côtés dans le cas CAC : il faut que l'angle soit entre les deux côtés mentionnés.
• Mélanger les rapports : il faut comparer côté correspondant à côté correspondant, pas n'importe quel côté.

FAQ — Triangles égaux et semblables

Deux triangles équilatéraux sont-ils toujours semblables ?

Oui, car ils ont tous leurs angles égaux à $60°$60°.

Deux triangles peuvent-ils être semblables sans avoir de côté de même longueur ?

Oui : un triangle de côtés $3,4,5$3, 4, 5 est semblable à un triangle de côtés $6,8,10$6, 8, 10 (rapport $2$2), sans qu'aucun côté ne soit égal.

À quoi sert la similitude ?

À calculer des longueurs inconnues, à comprendre les transformations géométriques, et c'est la base du théorème de Thalès étudié en 3ème.

Comment calculer l'aire d'un triangle semblable ?

Si le rapport de similitude est $k$k, l'aire est multipliée par $k^2$k² (le carré du rapport).