Exercices corrigés : Aires et périmètres — Sixième

Correction détaillée

1. 1

   Le périmètre est la longueur totale du contour : on fait le tour de la figure.

2. 2

   Un rectangle a deux longueurs et deux largeurs.

3. 3

   On additionne : $7+4+7+4=22$7 + 4 + 7 + 4 = 22 cm.

4. 4

   On peut aussi utiliser la formule $P=2\times (L+l)=2\times (7+4)=2\times 11=22$P = 2 × (L + l) = 2 × (7+4) = 2 × 11 = 22 cm.

Rappel de cours : Périmètre d'un rectangle : $P=2\times (L+l)$P = 2 × (L + l).

Erreur fréquente : Calculer $7\times 4=28$7 × 4 = 28 : ce serait l'aire, pas le périmètre.

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1. 1

   L'aire mesure la surface occupée par la figure, c'est-à-dire le nombre de carrés de $1$1 cm de côté qu'on peut y placer.

2. 2

   On peut imaginer $4$4 rangées de $7$7 petits carrés.

3. 3

   L'aire est donc $7\times 4=28$7 × 4 = 28.

4. 4

   L'unité est le centimètre carré : l'aire vaut $28$28 cm².

Rappel de cours : Aire d'un rectangle : $\mathcal{A}=L\times l$A = L × l, en unités carrées.

Erreur fréquente : Oublier le « carré » de l'unité : une aire ne se mesure jamais en cm mais en cm².

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1. 1

   Un carré a quatre côtés de même longueur.

2. 2

   Périmètre : $P=4\times 6=24$P = 4 × 6 = 24 cm.

3. 3

   Pour l'aire, un carré est un rectangle dont la longueur et la largeur sont égales.

4. 4

   Aire : $\mathcal{A}=6\times 6=36$A = 6 × 6 = 36 cm².

Rappel de cours : Carré de côté $c$c : $P=4\times c$P = 4 × c et $\mathcal{A}=c\times c$A = c × c.

Erreur fréquente : Utiliser $4\times 6$4 × 6 pour l'aire : le $4$4 sert au périmètre (les quatre côtés), pas à l'aire.

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1. 1

   On sait que $\mathcal{A}=L\times l$A = L × l, donc $45=9\times l$45 = 9 × l.

2. 2

   Pour retrouver $l$l, on effectue l'opération inverse de la multiplication : la division.

3. 3

   $l=45÷9=5$l = 45 ÷ 9 = 5 cm.

4. 4

   Vérification : $9\times 5=45$9 × 5 = 45 cm². ✔

Rappel de cours : Si $\mathcal{A}=L\times l$A = L × l, alors $l=\mathcal{A}÷L$l = A ÷ L.

Erreur fréquente : Soustraire $9$9 à $45$45 : l'aire est un produit, on divise pour revenir en arrière.

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1. 1

   Le périmètre d'un triangle est la somme des longueurs de ses trois côtés.

2. 2

   $5+7=12$5 + 7 = 12.

3. 3

   $12+9=21$12 + 9 = 21.

4. 4

   Le périmètre vaut $21$21 cm.

Rappel de cours : Pour toute figure à côtés droits, le périmètre est la somme de tous les côtés.

Erreur fréquente : Chercher une formule compliquée : pour un triangle quelconque, on additionne simplement.

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1. 1

   Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit servent de base et de hauteur.

2. 2

   On utilise la formule de l'aire d'un triangle : $\mathcal{A}=\frac{\text{base}\times \text{hauteur}}{2}$A = (base × hauteur)/2.

3. 3

   $\mathcal{A}=\frac{6\times 8}{2}=\frac{48}{2}=24$A = (6 × 8)/2 = 48/2 = 24 cm².

4. 4

   Une bonne façon de comprendre : ce triangle est la moitié d'un rectangle de $6$6 cm sur $8$8 cm, dont l'aire vaut $48$48 cm².

Rappel de cours : Aire d'un triangle : $\mathcal{A}=\frac{b\times h}{2}$A = (b × h)/2, où $h$h est la hauteur relative à la base $b$b.

Erreur fréquente : Oublier de diviser par $2$2 : on obtiendrait l'aire du rectangle entier.

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1. 1

   La hauteur relative à une base est le segment perpendiculaire à cette base, mené depuis le sommet opposé.

2. 2

   On applique la formule : $\mathcal{A}=\frac{b\times h}{2}$A = (b × h)/2.

3. 3

   $\mathcal{A}=\frac{10\times 7}{2}=\frac{70}{2}=35$A = (10 × 7)/2 = 70/2 = 35 cm².

4. 4

   Remarque : la formule fonctionne pour tous les triangles, même ceux dont la hauteur tombe à l'extérieur de la base.

Rappel de cours : Base et hauteur doivent toujours être « associées » : la hauteur est perpendiculaire à la base choisie.

Erreur fréquente : Prendre au hasard deux côtés du triangle : seul le couple base–hauteur perpendiculaire convient.

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1. 1

   Le périmètre d'un cercle (aussi appelé circonférence) se calcule avec $P=2\times \pi \times r$P = 2 × π × r.

2. 2

   Ici $r=5$r = 5 cm, donc $P=2\times 3,14\times 5$P = 2 × 3,14 × 5.

3. 3

   On calcule d'abord $2\times 5=10$2 × 5 = 10.

4. 4

   Puis $10\times 3,14=31,4$10 × 3,14 = 31,4.

5. 5

   Le périmètre vaut environ $31,4$31,4 cm.

Rappel de cours : Périmètre d'un cercle : $P=2\pi r=\pi d$P = 2π r = π d (avec $d$d le diamètre).

Erreur fréquente : Utiliser le diamètre à la place du rayon dans $2\pi r$2π r : on doublerait le résultat.

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1. 1

   L'aire d'un disque se calcule avec $\mathcal{A}=\pi \times r\times r$A = π × r × r.

2. 2

   Ici $r=5$r = 5 cm, donc on calcule d'abord $5\times 5=25$5 × 5 = 25.

3. 3

   Puis $\mathcal{A}=3,14\times 25$A = 3,14 × 25.

4. 4

   $3,14\times 25=3,14\times 100÷4=314÷4=78,5$3,14 × 25 = 3,14 × 100 ÷ 4 = 314 ÷ 4 = 78,5.

5. 5

   L'aire vaut environ $78,5$78,5 cm².

Rappel de cours : Attention à ne pas confondre : $2\pi r$2π r pour le périmètre, $\pi r^2$π r² pour l'aire.

Erreur fréquente : Calculer $\pi \times 2\times 5$π × 2 × 5 pour l'aire : c'est la formule du périmètre.

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1. 1

   Un carré de $1$1 m de côté mesure $100$100 cm sur $100$100 cm.

2. 2

   Son aire vaut donc $100\times 100=10000$100 × 100 = 10 000 cm² : $1$1 m² $=10000$= 10 000 cm².

3. 3

   Pour $3$3 m² : $3\times 10000=30000$3 × 10 000 = 30 000 cm².

4. 4

   Dans l'autre sens, on divise : $45000÷10000=4,5$45 000 ÷ 10 000 = 4,5 m².

Rappel de cours : Pour les aires, on multiplie ou divise par $100$100 à chaque changement d'unité (et non par $10$10 comme pour les longueurs).

Erreur fréquente : Utiliser $1$1 m² $=100$= 100 cm² : c'est l'erreur la plus fréquente, il y a bien $10000$10 000 cm² dans $1$1 m².

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1. 1

   Périmètre de A : $2\times (8+2)=2\times 10=20$2 × (8+2) = 2 × 10 = 20 cm.

2. 2

   Périmètre de B : $2\times (5+5)=2\times 10=20$2 × (5+5) = 2 × 10 = 20 cm.

   Les périmètres sont égaux.

3. 3

   Aire de A : $8\times 2=16$8 × 2 = 16 cm².

4. 4

   Aire de B : $5\times 5=25$5 × 5 = 25 cm².

5. 5

   Les aires sont différentes : $25>16$25 > 16.

6. 6

   Conclusion : deux figures peuvent avoir le même périmètre sans avoir la même aire.

   À périmètre fixé, c'est la figure la plus « ramassée » (ici le carré) qui a la plus grande aire.

Rappel de cours : Périmètre et aire sont deux grandeurs indépendantes : l'un ne détermine pas l'autre.

Erreur fréquente : Penser qu'un plus grand périmètre entraîne toujours une plus grande aire.

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1. 1

   Pour une figure composée, on la découpe en figures simples dont on sait calculer l'aire.

2. 2

   Aire du rectangle : $8\times 3=24$8 × 3 = 24 cm².

3. 3

   Aire du carré : $3\times 3=9$3 × 3 = 9 cm².

4. 4

   Comme les deux morceaux sont accolés sans se chevaucher, l'aire totale est la somme des deux.

5. 5

   $\mathcal{A}=24+9=33$A = 24 + 9 = 33 cm².

Rappel de cours : Aire d'une figure composée = somme des aires des morceaux (s'ils ne se recouvrent pas).

Erreur fréquente : Additionner aussi les périmètres : le côté commun aux deux morceaux disparaît du contour.

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1. 1

   On calcule d'abord l'aire totale du rectangle : $12\times 9=108$12 × 9 = 108 cm².

2. 2

   On calcule ensuite l'aire du carré découpé : $4\times 4=16$4 × 4 = 16 cm².

3. 3

   La surface restante s'obtient en retirant le morceau enlevé de la surface de départ.

4. 4

   $\mathcal{A}=108-16=92$A = 108 - 16 = 92 cm².

5. 5

   Vérification de cohérence : le résultat doit être plus petit que $108$108 cm² mais rester proche. ✔

Rappel de cours : Quand on enlève une partie, on soustrait son aire de l'aire totale.

Erreur fréquente : Soustraire les longueurs ($12-4$12-4) au lieu des aires : la découpe ne change pas forcément les dimensions extérieures.

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1. 1

   Le grillage entoure le jardin : il s'agit du périmètre.

2. 2

   $P=2\times (25+18)=2\times 43=86$P = 2 × (25 + 18) = 2 × 43 = 86 m.

3. 3

   Il faut donc $86$86 m de grillage.

4. 4

   Coût : $86\times 6$86 × 6.

5. 5

   $86\times 6=80\times 6+6\times 6=480+36=516$86 × 6 = 80 × 6 + 6 × 6 = 480 + 36 = 516 €.

Rappel de cours : « Entourer », « clôturer », « encadrer » : ce sont des problèmes de périmètre.

Erreur fréquente : Calculer $25\times 18=450$25 × 18 = 450 m² : ce serait la surface du jardin, pas la longueur du grillage.

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1. 1

   Aire de la pièce : $4,5\times 3,2$4,5 × 3,2.

   On calcule $45\times 32=1440$45 × 32 = 1440, et avec deux décimales au total : $14,40$14,40 m².

2. 2

   Le carreau mesure $30$30 cm de côté, soit $0,30$0,30 m.

3. 3

   Aire d'un carreau : $0,3\times 0,3=0,09$0,3 × 0,3 = 0,09 m².

4. 4

   Nombre de carreaux : $14,4÷0,09$14,4 ÷ 0,09.

   On multiplie les deux nombres par $100$100 pour se débarrasser des décimales : $1440÷9=160$1440 ÷ 9 = 160.

5. 5

   Il faut donc $160$160 carreaux exactement.

6. 6

   En pratique, on en achète quelques-uns de plus pour compenser la casse et les découpes.

Rappel de cours : « Recouvrir une surface » est un problème d'aire : on divise l'aire totale par l'aire d'un élément.

Erreur fréquente : Mélanger mètres et centimètres : il faut convertir les $30$30 cm en $0,3$0,3 m avant de calculer.

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1. 1

   Le rayon est la moitié du diamètre : $r=12÷2=6$r = 12 ÷ 2 = 6 cm.

2. 2

   Aire du disque entier : $\mathcal{A}=\pi \times r\times r=3,14\times 6\times 6$A = π × r × r = 3,14 × 6 × 6.

3. 3

   $6\times 6=36$6 × 6 = 36, puis $3,14\times 36=113,04$3,14 × 36 = 113,04 cm².

4. 4

   Le demi-disque a une aire deux fois plus petite : $113,04÷2=56,52$113,04 ÷ 2 = 56,52 cm².

Rappel de cours : Pour une portion de disque, on calcule le disque entier puis on prend la fraction voulue.

Erreur fréquente : Utiliser le diamètre $12$12 dans la formule $\pi r^2$π r² : il faut d'abord passer au rayon.

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1. 1

   Aire : $250\times 160$250 × 160.

   On calcule $25\times 16=400$25 × 16 = 400, puis on ajoute les deux zéros : $40000$40 000 m².

2. 2

   Conversion en hectares : $40000÷10000=4$40 000 ÷ 10 000 = 4 ha.

3. 3

   Récolte : $4\times 7=28$4 × 7 = 28 tonnes.

4. 4

   Vérification de cohérence : $4$4 hectares, c'est un champ de taille modeste, et $28$28 tonnes de blé est un ordre de grandeur réaliste. ✔

Rappel de cours : $1$1 ha $=10000$= 10 000 m² : c'est l'aire d'un carré de $100$100 m de côté.

Erreur fréquente : Diviser par $1000$1000 au lieu de $10000$10 000 : on obtiendrait $40$40 ha, dix fois trop.

Correction détaillée

1. 1

   Pour le périmètre, il faut faire le tour : deux longueurs droites de $80$80 m, plus les deux demi-cercles.

2. 2

   Les deux demi-cercles mis bout à bout forment un cercle complet de diamètre $50$50 m.

3. 3

   Périmètre de ce cercle : $P=\pi \times d=3,14\times 50=157$P = π × d = 3,14 × 50 = 157 m.

4. 4

   Longueur d'un tour : $80+80+157=317$80 + 80 + 157 = 317 m.

5. 5

   Pour l'aire : rectangle $80\times 50=4000$80 × 50 = 4000 m².

6. 6

   Les deux demi-disques forment un disque de rayon $25$25 m : $\mathcal{A}=3,14\times 25\times 25=3,14\times 625=1962,5$A = 3,14 × 25 × 25 = 3,14 × 625 = 1962,5 m².

7. 7

   Aire totale : $4000+1962,5=5962,5$4000 + 1962,5 = 5962,5 m².

Rappel de cours : Deux demi-disques de même rayon se recomposent en un disque entier : cela simplifie beaucoup les calculs.

Erreur fréquente : Ajouter les deux largeurs de $50$50 m au périmètre : ces côtés sont à l'intérieur de la figure, ils ne font pas partie du contour.

Correction détaillée

1. 1

   Rectangle de départ : $P=2\times (6+4)=20$P = 2 × (6+4) = 20 cm et $\mathcal{A}=6\times 4=24$A = 6 × 4 = 24 cm².

2. 2

   Nouveau rectangle : longueur $12$12 cm, largeur $8$8 cm.

3. 3

   Nouveau périmètre : $2\times (12+8)=2\times 20=40$2 × (12 + 8) = 2 × 20 = 40 cm.

4. 4

   $40÷20=2$40 ÷ 20 = 2 : le périmètre est multiplié par $2$2.

5. 5

   Nouvelle aire : $12\times 8=96$12 × 8 = 96 cm².

6. 6

   $96÷24=4$96 ÷ 24 = 4 : l'aire est multipliée par $4$4, et non par $2$2.

7. 7

   Explication : l'aire est un produit de deux longueurs, chacune doublée, donc elle est multipliée par $2\times 2=4$2 × 2 = 4.

Rappel de cours : Si on multiplie toutes les longueurs par $k$k, le périmètre est multiplié par $k$k et l'aire par $k\times k$k × k.

Erreur fréquente : Croire que l'aire double aussi : c'est l'erreur la plus fréquente sur les agrandissements.

Correction détaillée

1. 1

   Pour un carré, $\mathcal{A}=c\times c$A = c × c.

   Il faut donc trouver le nombre qui, multiplié par lui-même, donne l'aire.

2. 2

   Pour $49$49 : on cherche dans les tables.

   $7\times 7=49$7 × 7 = 49, donc le côté vaut $7$7 cm.

3. 3

   Périmètre : $4\times 7=28$4 × 7 = 28 cm.

4. 4

   Pour $144$144 : on essaie $10\times 10=100$10 × 10 = 100 (trop petit), $12\times 12=144$12 × 12 = 144 (c'est bon).

   Le côté vaut $12$12 cm.

5. 5

   Périmètre : $4\times 12=48$4 × 12 = 48 cm.

Rappel de cours : Connaître les carrés parfaits ($1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144$1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) fait gagner beaucoup de temps.

Erreur fréquente : Diviser l'aire par $4$4 pour trouver le côté : $49÷4$49 ÷ 4 ne donne pas $7$7.