Exercices corrigés : Fractions — Sixième

Correction détaillée

1. 1

   Le dénominateur (le nombre du bas) indique en combien de parts égales l'unité est partagée : ici $8$8.

2. 2

   Le numérateur (le nombre du haut) indique combien de parts on prend : ici $5$5.

3. 3

   La fraction coloriée est donc $\frac{5}{8}$5/8.

4. 4

   Elle se lit « cinq huitièmes ».

Rappel de cours : Dénominateur = en combien on partage · numérateur = combien on prend.

Erreur fréquente : Écrire $\frac{8}{5}$8/5 : le nombre de parts du partage va toujours en bas.

Correction détaillée

1. 1

   Le disque entier représente $6$6 parts sur $6$6, c'est-à-dire $\frac{6}{6}=1$6/6=1.

2. 2

   Si $4$4 parts sont coloriées, alors $6-4=2$6-4=2 parts ne le sont pas.

3. 3

   La fraction non coloriée est donc $\frac{2}{6}$2/6.

4. 4

   On peut la simplifier en divisant le numérateur et le dénominateur par $2$2 : $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$2/6=1/3.

Rappel de cours : La fraction coloriée et la fraction non coloriée s'additionnent pour faire $1$1.

Erreur fréquente : Changer le dénominateur en cours de route : il reste $6$6 tant qu'on n'a pas simplifié.

Correction détaillée

1. 1

   Prendre la moitié, c'est partager en $2$2 : $48÷2=24$48 ÷ 2 = 24.

2. 2

   Prendre le tiers, c'est partager en $3$3 : $48÷3=16$48 ÷ 3 = 16.

3. 3

   Prendre le quart, c'est partager en $4$4 : $48÷4=12$48 ÷ 4 = 12.

4. 4

   On peut vérifier : $3$3 tiers font bien $3\times 16=48$3 × 16 = 48, et $4$4 quarts font $4\times 12=48$4 × 12 = 48.

Rappel de cours : $\frac{1}{n}$1/n d'un nombre, c'est ce nombre divisé par $n$n.

Erreur fréquente : Confondre « le tiers » (diviser par $3$3) et « trois fois » (multiplier par $3$3).

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1. 1

   L'unité est partagée en $5$5 parts : chaque graduation vaut donc $\frac{1}{5}$1/5.

2. 2

   Le point est sur la $3$3ᵉ graduation : il vaut $3$3 fois $\frac{1}{5}$1/5.

3. 3

   Cela s'écrit $\frac{3}{5}$3/5.

4. 4

   Ce point est situé entre $0$0 et $1$1, plus près de $1$1 que de $0$0 puisque $3>\frac{5}{2}$3 > 5/2.

Rappel de cours : Sur une demi-droite, le dénominateur donne le nombre de parts de l'unité.

Erreur fréquente : Compter les graduations en partant de $1$1 au lieu de $0$0.

Correction détaillée

1. 1

   Partager $3$3 entre $4$4, c'est calculer $3÷4$3 ÷ 4, ce qui s'écrit aussi $\frac{3}{4}$3/4.

2. 2

   Chaque enfant reçoit donc $\frac{3}{4}$3/4 de tablette.

3. 3

   Pour l'écriture décimale, on pose la division : dans $3$3 il y a $0$0 fois $4$4, on met $0$0 puis la virgule.

4. 4

   $30$30 dixièmes contiennent $7$7 fois $4$4 ($28$28), reste $2$2.

   Puis $20$20 centièmes contiennent $5$5 fois $4$4, reste $0$0.

5. 5

   Donc $\frac{3}{4}=0,75$3/4 = 0,75 : chaque enfant reçoit les trois quarts d'une tablette.

Rappel de cours : Une fraction est une division : $\frac{a}{b}=a÷b$a/b = a ÷ b.

Erreur fréquente : Écrire $\frac{4}{3}$4/3 : c'est le nombre d'objets qu'on partage qui va au numérateur.

Correction détaillée

1. 1

   On compare les deux dénominateurs : pour passer de $5$5 à $20$20, on multiplie par $4$4 (car $5\times 4=20$5 × 4 = 20).

2. 2

   Pour que la fraction garde la même valeur, il faut multiplier le numérateur par le même nombre.

3. 3

   $3\times 4=12$3 × 4 = 12.

4. 4

   Donc $\frac{3}{5}=\frac{12}{20}$3/5 = 12/20.

5. 5

   Vérification : $\frac{12}{20}$12/20 se simplifie en divisant par $4$4, ce qui redonne $\frac{3}{5}$3/5.

Rappel de cours : On peut multiplier (ou diviser) le numérateur ET le dénominateur par le même nombre non nul : la fraction ne change pas.

Erreur fréquente : Multiplier seulement le dénominateur : on obtiendrait une fraction plus petite.

Correction détaillée

1. 1

   On cherche un nombre qui divise à la fois $18$18 et $24$24.

   Les deux sont pairs : on peut diviser par $2$2.

2. 2

   $\frac{18}{24}=\frac{9}{12}$18/24 = 9/12.

3. 3

   $9$9 et $12$12 sont tous les deux dans la table de $3$3 : on divise par $3$3.

4. 4

   $\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$9/12 = 3/4.

5. 5

   $3$3 et $4$4 n'ont plus de diviseur commun autre que $1$1 : la fraction est simplifiée au maximum.

6. 6

   Plus rapide : on pouvait diviser directement par $6$6, puisque $18=6\times 3$18 = 6× 3 et $24=6\times 4$24 = 6 × 4.

Rappel de cours : Simplifier, c'est diviser le haut et le bas par un même nombre, jusqu'à ce que ce ne soit plus possible.

Erreur fréquente : Soustraire au lieu de diviser ($\frac{18-6}{24-6}$(18-6)/(24-6)) : cela change complètement la fraction.

Correction détaillée

1. 1

   Les deux fractions ont le même dénominateur $9$9 : les parts sont donc de la même taille (des neuvièmes).

2. 2

   Il suffit alors de comparer le nombre de parts, c'est-à-dire les numérateurs : $7$7 et $5$5.

3. 3

   Comme $7>5$7 > 5, on prend plus de parts de la même taille dans la première fraction.

4. 4

   Donc $\frac{7}{9}>\frac{5}{9}$7/9 > 5/9.

Rappel de cours : Même dénominateur : la plus grande fraction est celle qui a le plus grand numérateur.

Erreur fréquente : Cette règle ne marche que si les dénominateurs sont identiques.

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1. 1

   Ici, c'est le numérateur qui est identique : on prend $4$4 parts dans les deux cas.

2. 2

   Mais les parts n'ont pas la même taille : un sixième est plus grand qu'un neuvième, car on partage l'unité en moins de morceaux.

3. 3

   $4$4 grandes parts font plus que $4$4 petites parts.

4. 4

   Donc $\frac{4}{6}>\frac{4}{9}$4/6 > 4/9.

5. 5

   Vérification par l'écriture décimale : $\frac{4}{6}\approx 0,67$4/6 ≈ 0,67 et $\frac{4}{9}\approx 0,44$4/9 ≈ 0,44.

Rappel de cours : Même numérateur : plus le dénominateur est grand, plus les parts sont petites, donc plus la fraction est petite.

Erreur fréquente : Croire que $9>6$9 > 6 entraîne $\frac{4}{9}>\frac{4}{6}$4/9 > 4/6 : c'est l'inverse.

Correction détaillée

1. 1

   Une fraction vaut $1$1 quand on prend toutes les parts, c'est-à-dire quand le numérateur est égal au dénominateur.

2. 2

   $\frac{9}{9}=1$9/9=1 et $\frac{4}{4}=1$4/4=1.

3. 3

   Une fraction est plus petite que $1$1 quand on prend moins de parts qu'il n'y en a : le numérateur est plus petit que le dénominateur.

4. 4

   $5<8$5 < 8, donc $\frac{5}{8}<1$5/8 < 1.

5. 5

   Une fraction est plus grande que $1$1 quand le numérateur dépasse le dénominateur : $11>7$11 > 7, donc $\frac{11}{7}>1$11/7 > 1.

Rappel de cours : On compare simplement le numérateur et le dénominateur pour se situer par rapport à $1$1.

Erreur fréquente : Penser qu'une fraction est toujours plus petite que $1$1 : $\frac{11}{7}$11/7 vaut plus d'une unité.

Correction détaillée

1. 1

   $\frac{7}{10}$7/10 signifie $7$7 dixièmes : le chiffre $7$7 se place au premier rang après la virgule, donc $0,7$0,7.

2. 2

   $\frac{23}{100}$23/100 signifie $23$23 centièmes : il faut deux chiffres après la virgule, donc $0,23$0,23.

3. 3

   $\frac{145}{100}$145/100 signifie $145$145 centièmes.

   Comme $100$100 centièmes font $1$1, il y a $1$1 unité et $45$45 centièmes.

4. 4

   Donc $\frac{145}{100}=1,45$145/100 = 1,45.

Rappel de cours : Diviser par $10$10, $100$100, $1000$1000 décale la virgule de $1$1, $2$2, $3$3 rangs vers la gauche.

Erreur fréquente : Écrire $\frac{23}{100}=0,023$23/100=0,023 : il y a autant de décimales que de zéros au dénominateur, ni plus ni moins.

Correction détaillée

1. 1

   Prendre $\frac{2}{5}$2/5 d'une quantité se fait en deux temps : on cherche d'abord un cinquième, puis on en prend deux.

2. 2

   Un cinquième de $45$45 : $45÷5=9$45 ÷ 5 = 9 élèves.

3. 3

   Deux cinquièmes : $2\times 9=18$2 × 9 = 18 élèves.

4. 4

   Autre méthode, en une seule fois : $\frac{2}{5}\times 45=\frac{2\times 45}{5}=\frac{90}{5}=18$2/5 × 45 = (2 × 45)/5 = 90/5 = 18.

5. 5

   Vérification de cohérence : $\frac{2}{5}$2/5 est un peu moins que la moitié, et $18$18 est bien un peu moins que $22,5$22,5.

Rappel de cours : $\frac{a}{b}$a/b d'une quantité : on divise par $b$b, puis on multiplie par $a$a.

Erreur fréquente : Diviser par $2$2 et multiplier par $5$5 : on inverse le rôle du numérateur et du dénominateur.

Correction détaillée

1. 1

   Les deux fractions ont le même dénominateur : les parts sont de la même taille (des huitièmes).

2. 2

   On peut donc simplement ajouter le nombre de parts : $3$3 huitièmes $+$+ $2$2 huitièmes $=$= $5$5 huitièmes.

3. 3

   $\frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{5}{8}$3/8 + 2/8 = 5/8.

4. 4

   $5$5 et $8$8 n'ont pas de diviseur commun autre que $1$1 : la fraction est déjà simplifiée.

Rappel de cours : Même dénominateur : on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur.

Erreur fréquente : Additionner aussi les dénominateurs ($\frac{5}{16}$5/16) : la taille des parts ne change pas quand on en ajoute.

Correction détaillée

1. 1

   Les dénominateurs sont différents : on ne peut pas additionner des moitiés et des sixièmes tels quels.

2. 2

   On remarque que $6$6 est un multiple de $2$2 : $2\times 3=6$2 × 3 = 6.

   On transforme donc la première fraction en sixièmes.

3. 3

   $\frac{1}{2}=\frac{1\times 3}{2\times 3}=\frac{3}{6}$1/2 = (1 × 3)/(2 × 3) = 3/6.

4. 4

   Le calcul devient $\frac{3}{6}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}$3/6 + 1/6 = 4/6.

5. 5

   On simplifie en divisant par $2$2 : $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$4/6 = 2/3.

Rappel de cours : Pour additionner, il faut d'abord des parts de même taille : on met les fractions au même dénominateur.

Erreur fréquente : Écrire $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{8}$1/2+1/6=2/8 : ni les numérateurs ni les dénominateurs ne s'additionnent directement.

Correction détaillée

1. 1

   Un pourcentage, c'est une fraction dont le dénominateur est $100$100.

2. 2

   On transforme $\frac{1}{4}$1/4 en centièmes : pour passer de $4$4 à $100$100, on multiplie par $25$25.

3. 3

   $\frac{1}{4}=\frac{1\times 25}{4\times 25}=\frac{25}{100}$1/4 = (1 × 25)/(4 × 25) = 25/100, c'est-à-dire $25\%$25 %.

4. 4

   De même, $\frac{3}{4}=\frac{75}{100}=75\%$3/4 = 75/100 = 75 %.

5. 5

   Cohérence : $25\%+75\%=100\%$25 % + 75 % = 100 %, comme $\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$1/4+3/4=1.

Rappel de cours : $\frac{1}{2}=50\%$1/2=50 %, $\frac{1}{4}=25\%$1/4=25 %, $\frac{1}{10}=10\%$1/10=10 % : ces équivalences se retiennent par cœur.

Erreur fréquente : Lire $\frac{1}{4}$1/4 comme $4\%$4 % : le pourcentage se calcule, il ne se lit pas dans le dénominateur.

Correction détaillée

1. 1

   Sarah mange $\frac{2}{8}$2/8 et son frère $\frac{3}{8}$3/8.

   Même dénominateur : on additionne les numérateurs.

2. 2

   Part mangée : $\frac{2}{8}+\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$2/8+3/8=5/8.

3. 3

   Le gâteau entier vaut $\frac{8}{8}$8/8.

   Il reste donc $\frac{8}{8}-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}$8/8-5/8=3/8.

4. 4

   Pour la masse restante, on calcule $\frac{3}{8}$3/8 de $720$720 g.

   Un huitième vaut $720÷8=90$720 ÷ 8 = 90 g.

5. 5

   Trois huitièmes valent $3\times 90=270$3 × 90 = 270 g.

6. 6

   Vérification : la part mangée pèse $5\times 90=450$5 × 90 = 450 g, et $450+270=720$450 + 270 = 720 g.

Rappel de cours : « Ce qui reste » se calcule en soustrayant de la fraction qui représente le tout ($\frac{8}{8}$8/8 ici).

Erreur fréquente : Oublier que le tout vaut $\frac{8}{8}$8/8 et soustraire de $\frac{5}{8}$5/8.

Correction détaillée

1. 1

   Une fraction est une division : $\frac{7}{8}=7÷8$7/8=7 ÷ 8.

2. 2

   Dans $7$7, il n'y a pas de $8$8 : on écrit $0$0, puis la virgule.

   $70$70 dixièmes contiennent $8$8 fois $8$8 ($64$64), reste $6$6.

3. 3

   $60$60 centièmes contiennent $7$7 fois $8$8 ($56$56), reste $4$4.

   Puis $40$40 millièmes contiennent exactement $5$5 fois $8$8, reste $0$0.

4. 4

   Donc $\frac{7}{8}=0,875$7/8=0,875.

5. 5

   Pour $\frac{5}{4}=5÷4$5/4=5 ÷ 4 : dans $5$5 il y a $1$1 fois $4$4, reste $1$1 ; puis $10$10 dixièmes contiennent $2$2 fois $4$4 ($8$8), reste $2$2 ; puis $20$20 centièmes contiennent $5$5 fois $4$4, reste $0$0.

6. 6

   Donc $\frac{5}{4}=1,25$5/4=1,25, ce qui est cohérent car $\frac{5}{4}>1$5/4>1.

Rappel de cours : Le trait de fraction est un signe de division : on peut toujours poser l'opération.

Erreur fréquente : Répondre $0,78$0,78 pour $\frac{7}{8}$7/8 en « recopiant les chiffres » : il faut vraiment diviser.

Correction détaillée

1. 1

   Premier cousin : $\frac{1}{3}$1/3 de $120$120 € vaut $120÷3=40$120 ÷ 3 = 40 €.

2. 2

   Deuxième cousin : $\frac{1}{4}$1/4 de $120$120 € vaut $120÷4=30$120 ÷ 4 = 30 €.

3. 3

   Pour la fraction restante, on additionne d'abord les deux premières parts.

   Il faut un dénominateur commun à $3$3 et $4$4 : $12$12 convient.

4. 4

   $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$1/3=4/12 et $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$1/4=3/12, donc ensemble $\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$4/12+3/12=7/12.

5. 5

   Le tout vaut $\frac{12}{12}$12/12, donc il reste $\frac{12}{12}-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$12/12-7/12=5/12.

6. 6

   Somme du troisième : $\frac{5}{12}$5/12 de $120$120 €.

   Un douzième vaut $120÷12=10$120 ÷ 12 = 10 €, donc $5\times 10=50$5 × 10 = 50 €.

7. 7

   Vérification : $40+30+50=120$40 + 30 + 50 = 120 €.

Rappel de cours : Pour additionner $\frac{1}{3}$1/3 et $\frac{1}{4}$1/4, on cherche un dénominateur commun : $12$12 est le plus petit qui convienne.

Erreur fréquente : Calculer le reste en argent sans vérifier : le total des trois parts doit toujours redonner la somme de départ.

Correction détaillée

1. 1

   Les dénominateurs sont différents : il faut les rendre identiques pour comparer.

2. 2

   On cherche un nombre dans lequel $6$6, $8$8 et $12$12 « tombent juste ».

   $24$24 convient : $6\times 4=24$6× 4=24, $8\times 3=24$8× 3=24, $12\times 2=24$12× 2=24.

3. 3

   $\frac{5}{6}=\frac{5\times 4}{24}=\frac{20}{24}$5/6=(5× 4)/24=20/24.

4. 4

   $\frac{7}{8}=\frac{7\times 3}{24}=\frac{21}{24}$7/8=(7× 3)/24=21/24.

5. 5

   $\frac{11}{12}=\frac{11\times 2}{24}=\frac{22}{24}$11/12=(11× 2)/24=22/24.

6. 6

   Les parts ont maintenant la même taille : on compare les numérateurs, $20<21<22$20 < 21 < 22.

7. 7

   Donc $\frac{5}{6}<\frac{7}{8}<\frac{11}{12}$5/6<7/8<11/12 : c'est Clara qui a lu la plus grande partie du livre.

Rappel de cours : Pour comparer plusieurs fractions, on les met toutes au même dénominateur.

Erreur fréquente : Comparer « à l'œil » : ces trois fractions sont très proches de $1$1, seule la mise au même dénominateur tranche.

Correction détaillée

1. 1

   Ici on connaît la valeur d'une part et on cherche le tout : c'est le raisonnement inverse de « prendre une fraction d'un nombre ».

2. 2

   $\frac{3}{5}$3/5 du livre valent $90$90 pages, donc $3$3 cinquièmes valent $90$90 pages.

3. 3

   Un cinquième vaut donc $90÷3=30$90 ÷ 3 = 30 pages.

4. 4

   Le livre entier vaut $5$5 cinquièmes : $5\times 30=150$5 × 30 = 150 pages.

5. 5

   Ce qu'il reste à lire : $150-90=60$150 - 90 = 60 pages, ce qui correspond bien à $\frac{2}{5}$2/5 du livre ($2\times 30=60$2 × 30 = 60).

6. 6

   Vérification : $\frac{3}{5}$3/5 de $150$150 vaut $150÷5\times 3=30\times 3=90$150 ÷ 5 × 3 = 30 × 3 = 90. ✔

Rappel de cours : Pour remonter au tout : on redescend d'abord à une seule part, puis on multiplie par le dénominateur.

Erreur fréquente : Multiplier $90$90 par $\frac{3}{5}$3/5 : on chercherait une part de la part, alors qu'il faut remonter au tout.