Exercices corrigés : Nombres décimaux — Sixième

Correction détaillée

1. 1

   On écrit d'abord la partie entière : « vingt-trois unités » donne $23$23, puis on place la virgule.

2. 2

   « Quatre cent sept millièmes » signifie $407$407 millièmes.

   Un millième occupe le troisième rang après la virgule.

3. 3

   Il faut donc trois chiffres après la virgule : $4$4 aux dixièmes, $0$0 aux centièmes, $7$7 aux millièmes.

4. 4

   On obtient $23,407$23,407.

Rappel de cours : Après la virgule : 1ᵉʳ rang = dixièmes, 2ᵉ rang = centièmes, 3ᵉ rang = millièmes.

Erreur fréquente : Ne pas écrire $23,47$23,47 : il manquerait le zéro des centièmes, et le nombre serait complètement différent.

Correction détaillée

1. 1

   On repère la virgule : à gauche la partie entière $154$154, à droite la partie décimale $396$396.

2. 2

   Dans $154$154, le chiffre des unités est $4$4, celui des dizaines est $5$5 et celui des centaines est $1$1.

3. 3

   Après la virgule, on lit dans l'ordre : $3$3 est le chiffre des dixièmes, $9$9 celui des centièmes, $6$6 celui des millièmes.

Rappel de cours : Les rangs se comptent toujours à partir de la virgule, vers la gauche pour la partie entière, vers la droite pour la partie décimale.

Erreur fréquente : « Chiffre des dizaines » et « chiffre des dixièmes » se ressemblent mais sont de part et d'autre de la virgule.

Correction détaillée

1. 1

   La partie entière vaut $6$6 unités.

2. 2

   Le chiffre $5$5 est au rang des dixièmes : il vaut $5$5 dixièmes, c'est-à-dire $\frac{5}{10}=0,5$5/10=0,5.

3. 3

   Le chiffre $2$2 est au rang des centièmes : il vaut $2$2 centièmes, c'est-à-dire $\frac{2}{100}=0,02$2/100=0,02.

4. 4

   On additionne : $6+0,5+0,02=6,52$6+0,5+0,02=6,52.

   La décomposition est correcte.

Rappel de cours : Chaque chiffre vaut « son chiffre $\times$× la valeur de son rang ».

Erreur fréquente : Le $2$2 de $6,52$6,52 ne vaut pas $2$2 mais $0,02$0,02 : c'est sa position qui donne sa valeur.

Correction détaillée

1. 1

   L'unité (de $3$3 à $4$4) est partagée en $10$10 parts : chaque part vaut donc $\frac{1}{10}=0,1$1/10=0,1.

2. 2

   Sept parts représentent $7\times 0,1=0,7$7× 0,1 = 0,7.

3. 3

   Le point est situé $0,7$0,7 après $3$3 : son abscisse vaut $3+0,7=3,7$3+0,7=3,7.

Rappel de cours : Quand une unité est coupée en $10$10, chaque graduation vaut un dixième ; en $100$100, un centième.

Erreur fréquente : On ne lit pas « 7 » tout court : la graduation se lit toujours en partant de la valeur écrite à gauche.

Correction détaillée

1. 1

   On compare d'abord les parties entières : elles sont égales ($8$8 et $8$8).

   Il faut donc regarder après la virgule.

2. 2

   On compare les dixièmes : $9$9 pour le premier nombre, $7$7 pour le second.

   Or $9>7$9>7.

3. 3

   Dès qu'un rang diffère, la comparaison est tranchée : inutile de regarder les centièmes.

4. 4

   Donc $8,9>8,75$8,9 > 8,75.

   Autre méthode : écrire $8,9=8,90$8,9=8,90 et comparer $8,90$8,90 et $8,75$8,75.

Rappel de cours : On compare rang par rang, de gauche à droite, en commençant par la partie entière.

Erreur fréquente : Croire que $8,75$8,75 est plus grand « parce qu'il a plus de chiffres » : le nombre de chiffres ne compte pas.

Correction détaillée

1. 1

   Toutes les parties entières valent $5$5 : la comparaison se joue après la virgule.

2. 2

   Pour comparer facilement, on complète avec des zéros pour avoir le même nombre de décimales : $5,200$5,200 ; $5,090$5,090 ; $5,195$5,195 ; $5,900$5,900 ; $5,120$5,120.

3. 3

   On compare alors les nombres de millièmes : $200$200 ; $90$90 ; $195$195 ; $900$900 ; $120$120.

4. 4

   Rangés dans l'ordre croissant : $90<120<195<200<900$90 < 120 < 195 < 200 < 900.

5. 5

   On revient aux nombres de départ dans le même ordre.

Rappel de cours : Ajouter des zéros à la fin de la partie décimale ne change pas le nombre : $5,2=5,200$5,2=5,200.

Erreur fréquente : Ranger « comme des entiers » ($5,09$5,09 après $5,9$5,9 parce que $9<09$9<09) : il faut aligner les rangs.

Correction détaillée

1. 1

   Encadrer à l'unité, c'est trouver les deux entiers qui se suivent et qui entourent le nombre.

2. 2

   La partie entière de $12,64$12,64 est $12$12, et l'entier suivant est $13$13 : donc $12<12,64<13$12 < 12,64 < 13.

3. 3

   Encadrer au dixième, c'est trouver les deux nombres à un chiffre après la virgule qui entourent $12,64$12,64.

4. 4

   On garde les dixièmes : $12,6$12,6, et le suivant au dixième est $12,7$12,7.

   Donc $12,6<12,64<12,7$12,6 < 12,64 < 12,7.

Rappel de cours : Un encadrement à l'unité près a une « largeur » de $1$1, au dixième près une largeur de $0,1$0,1.

Erreur fréquente : Encadrer n'est pas arrondir : ici on donne les deux bornes, pas la plus proche.

Correction détaillée

1. 1

   Pour arrondir au dixième, on regarde le chiffre juste après les dixièmes, c'est-à-dire le chiffre des centièmes : ici $8$8.

2. 2

   Comme $8⩾5$8 ≥ 5, on augmente le chiffre des dixièmes de $1$1 : le $4$4 devient $5$5.

3. 3

   L'arrondi au dixième est donc $7,5$7,5.

4. 4

   Pour l'arrondi au centième, on regarde le chiffre des millièmes : ici $2$2.

   Comme $2<5$2 < 5, on garde le chiffre des centièmes tel quel.

5. 5

   L'arrondi au centième est $7,48$7,48.

Rappel de cours : On regarde toujours le chiffre situé juste après le rang demandé : $⩾5$≥ 5 on augmente, $<5$< 5 on garde.

Erreur fréquente : Arrondir en deux temps ($7,482\to 7,48\to 7,5$7,482 → 7,48 → 7,5) donne parfois un résultat faux : on part toujours du nombre de départ.

Correction détaillée

1. 1

   Pour poser l'addition, on aligne les virgules l'une sous l'autre, donc les unités sous les unités et les dixièmes sous les dixièmes.

2. 2

   On complète avec un zéro pour avoir le même nombre de décimales : $45,70+8,63$45,70 + 8,63.

3. 3

   Centièmes : $0+3=3$0+3=3.

   Dixièmes : $7+6=13$7+6=13, on pose $3$3 et on retient $1$1.

4. 4

   Unités : $5+8+1\text{ (retenue)}=14$5+8+1 (retenue) = 14, on pose $4$4 et on retient $1$1.

   Dizaines : $4+1=5$4+1=5.

5. 5

   On obtient $54,33$54,33.

Rappel de cours : Dans une addition posée de décimaux, ce sont les virgules qu'on aligne, jamais les derniers chiffres.

Erreur fréquente : Aligner à droite comme pour des entiers donnerait $45,7$45,7 sous $8,63$8,63 décalé : le résultat serait faux.

Correction détaillée

1. 1

   On écrit l'entier avec une virgule et des zéros pour aligner les rangs : $25=25,00$25 = 25,00.

2. 2

   On pose $25,00-7,45$25,00 - 7,45 en alignant les virgules.

3. 3

   Centièmes : $0-5$0-5 est impossible, on emprunte : $10-5=5$10-5=5.

4. 4

   Dixièmes : il reste $9$9 après l'emprunt, $9-4=5$9-4=5.

5. 5

   Unités : $4-7$4-7 est impossible (le $5$5 est devenu $4$4), on emprunte à la dizaine : $14-7=7$14-7=7, et il reste $1$1 dizaine.

6. 6

   On obtient $17,55$17,55.

Rappel de cours : Un entier peut toujours s'écrire avec autant de zéros que nécessaire après la virgule.

Erreur fréquente : Écrire $25-7,45=18,55$25 - 7,45 = 18,55 en oubliant l'emprunt sur les unités.

Correction détaillée

1. 1

   Multiplier par $10$10 rend le nombre $10$10 fois plus grand : chaque chiffre monte d'un rang, la virgule se décale d'un cran vers la droite.

   $3,47\times 10=34,7$3,47 × 10 = 34,7.

2. 2

   Multiplier par $100$100, c'est multiplier deux fois par $10$10 : la virgule se décale de deux crans.

   $3,47\times 100=347$3,47 × 100 = 347.

3. 3

   Multiplier par $1000$1000 décale de trois crans.

   Il n'y a que deux chiffres après la virgule : on ajoute un zéro pour compléter.

   $3,47\times 1000=3470$3,47 × 1000 = 3470.

Rappel de cours : Multiplier par $10$10, $100$100, $1000$1000 décale la virgule de $1$1, $2$2, $3$3 rangs vers la droite.

Erreur fréquente : « Ajouter un zéro » ne marche que pour les entiers : $3,47\times 10$3,47× 10 n'est pas $3,470$3,470.

Correction détaillée

1. 1

   Diviser par $10$10 rend le nombre $10$10 fois plus petit : la virgule se décale d'un cran vers la gauche.

   $58,2÷10=5,82$58,2 ÷ 10 = 5,82.

2. 2

   Diviser par $100$100 décale de deux crans : $58,2÷100=0,582$58,2 ÷ 100 = 0,582.

3. 3

   Diviser par $1000$1000 décale de trois crans.

   Il faut alors ajouter un zéro devant : $58,2÷1000=0,0582$58,2 ÷ 1000 = 0,0582.

Rappel de cours : Diviser décale la virgule vers la gauche, multiplier la décale vers la droite.

Erreur fréquente : Oublier le $0$0 devant la virgule : on écrit $0,582$0,582 et non $,582$,582.

Correction détaillée

1. 1

   On commence par oublier la virgule et on multiplie les nombres entiers : $325\times 4=1300$325 × 4 = 1300.

2. 2

   On compte ensuite les chiffres après la virgule dans le calcul de départ : $3,25$3,25 en a deux, $4$4 n'en a aucun.

   Total : deux chiffres.

3. 3

   Le résultat doit donc avoir deux chiffres après la virgule : $1300\to 13,00$1300 → 13,00.

4. 4

   On simplifie l'écriture : $13,00=13$13,00 = 13.

Rappel de cours : Dans une multiplication, le nombre de décimales du résultat est la somme des décimales des deux facteurs.

Erreur fréquente : Compter les décimales avant d'avoir posé la multiplication entière : on s'emmêle vite.

Correction détaillée

1. 1

   On multiplie d'abord sans virgule : $24\times 15$24 × 15.

2. 2

   $24\times 15=24\times 10+24\times 5=240+120=360$24 × 15 = 24 × 10 + 24 × 5 = 240 + 120 = 360.

3. 3

   $2,4$2,4 a un chiffre après la virgule et $1,5$1,5 en a un aussi : le résultat en aura $1+1=2$1+1=2.

4. 4

   On place donc la virgule dans $360$360 pour obtenir deux décimales : $3,60$3,60, c'est-à-dire $3,6$3,6.

5. 5

   Vérification par l'ordre de grandeur : $2,4$2,4 est proche de $2$2 et $1,5$1,5 de $1,5$1,5, donc le résultat doit être proche de $3$3.

   C'est cohérent.

Rappel de cours : Toujours vérifier avec un ordre de grandeur : le résultat doit « ressembler » à ce qu'on attend.

Erreur fréquente : Le produit de deux nombres plus grands que $1$1 est plus grand que chacun d'eux : un résultat comme $0,36$0,36 serait absurde ici.

Correction détaillée

1. 1

   Dans $15$15, il y a $3$3 fois $4$4 (car $3\times 4=12$3× 4=12), et il reste $15-12=3$15-12=3.

2. 2

   Le quotient entier est $3$3 et il reste $3$3 : la division n'est pas terminée, on ajoute une virgule au quotient.

3. 3

   On abaisse un zéro : le reste $3$3 devient $30$30 dixièmes.

   Dans $30$30, il y a $7$7 fois $4$4 ($28$28), reste $2$2.

4. 4

   On abaisse encore un zéro : $20$20 centièmes.

   Dans $20$20, il y a exactement $5$5 fois $4$4, reste $0$0.

5. 5

   La division s'arrête : le quotient est $3,75$3,75.

6. 6

   Vérification : $3,75\times 4=15$3,75 × 4 = 15.

Rappel de cours : Quand il reste quelque chose, on met une virgule au quotient et on abaisse des zéros.

Erreur fréquente : S'arrêter à « $3$3 reste $3$3 » alors que la question demande un quotient exact.

Correction détaillée

1. 1

   On calcule d'abord le total des achats.

2. 2

   $12,90+7,45=20,35$12,90 + 7,45 = 20,35 €.

3. 3

   $20,35+23,60=43,95$20,35 + 23,60 = 43,95 €.

4. 4

   On cherche ensuite ce qu'il faut rendre : c'est la différence entre le billet et le total.

5. 5

   $50-43,95=6,05$50 - 43,95 = 6,05 €.

6. 6

   Vérification : $43,95+6,05=50$43,95 + 6,05 = 50 €.

Rappel de cours : Dans un problème d'achat, on additionne les prix puis on soustrait du montant payé.

Erreur fréquente : Écrire le résultat $6,5$6,5 € au lieu de $6,05$6,05 € : $5$5 centimes, ce n'est pas $50$50 centimes.

Correction détaillée

1. 1

   Toutes les longueurs doivent être dans la même unité.

   On choisit le mètre pour commencer.

2. 2

   $180$180 cm $=1,80$= 1,80 m, car $1$1 m $=100$= 100 cm : on divise par $100$100.

3. 3

   Longueur coupée en tout : $1,80+0,3=2,10$1,80 + 0,3 = 2,10 m.

4. 4

   Longueur restante : $2,45-2,10=0,35$2,45 - 2,10 = 0,35 m.

5. 5

   La question demande des centimètres : $0,35$0,35 m $=0,35\times 100=35$= 0,35 × 100 = 35 cm.

Rappel de cours : On convertit toujours dans la même unité avant d'additionner ou de soustraire des longueurs.

Erreur fréquente : Soustraire $180$180 à $2,45$2,45 directement : on mélangerait des mètres et des centimètres.

Correction détaillée

1. 1

   Prix des cahiers : $3\times 2,45$3 × 2,45.

   On calcule $3\times 245=735$3× 245 = 735, et comme il y a deux décimales : $7,35$7,35 €.

2. 2

   Prix des stylos : $2\times 1,20=2,40$2 × 1,20 = 2,40 €.

3. 3

   Dépense totale : $7,35+2,40+12,90$7,35 + 2,40 + 12,90.

   D'abord $7,35+2,40=9,75$7,35 + 2,40 = 9,75, puis $9,75+12,90=22,65$9,75 + 12,90 = 22,65 €.

4. 4

   Somme restante : $30-22,65=7,35$30 - 22,65 = 7,35 €.

5. 5

   On compare enfin $7,35$7,35 € et $7,50$7,50 € : les parties entières sont égales, et aux dixièmes $3<5$3 < 5, donc $7,35<7,50$7,35 < 7,50.

6. 6

   Il lui manque $7,50-7,35=0,15$7,50 - 7,35 = 0,15 € : il ne peut pas acheter le classeur.

Rappel de cours : Un problème en plusieurs questions se traite dans l'ordre : chaque réponse sert à la suivante.

Erreur fréquente : Répondre « oui » parce que $7,35$7,35 « ressemble » à $7,5$7,5 : il faut comparer rang par rang.

Correction détaillée

1. 1

   Le prix est proportionnel à la masse : il faut multiplier le prix d'un kilogramme par la masse en kilogrammes.

2. 2

   On calcule $4,90\times 0,75$4,90 × 0,75.

   Sans virgule : $490\times 75$490 × 75.

3. 3

   $490\times 75=490\times 70+490\times 5=34300+2450=36750$490 × 75 = 490 × 70 + 490 × 5 = 34 300 + 2 450 = 36 750.

4. 4

   $4,90$4,90 a deux décimales et $0,75$0,75 en a deux : le résultat en a quatre.

   $36750\to 3,6750$36 750 → 3,6750, c'est-à-dire $3,675$3,675 €.

5. 5

   Pour arrondir au centime, on regarde le chiffre des millièmes : $5$5.

   Comme $5⩾5$5 ≥ 5, on augmente les centièmes : $3,67\to 3,68$3,67 → 3,68.

6. 6

   Ordre de grandeur : $0,75$0,75 kg, c'est un peu moins d'un kilo, donc un prix un peu en dessous de $4,90$4,90 € — mais aux trois quarts, soit environ $3,7$3,7 €.

   C'est cohérent.

Rappel de cours : En caisse, les prix sont arrondis au centime, c'est-à-dire au centième d'euro.

Erreur fréquente : Croire qu'un prix ne peut pas avoir trois décimales : le calcul exact en a, c'est l'arrondi qui n'en garde que deux.

Correction détaillée

1. 1

   « Compris entre $4$4 et $5$5 » donne la partie entière : elle vaut $4$4.

2. 2

   Le chiffre des dixièmes est donné : c'est $2$2.

   Le nombre commence donc par $4,2$4,2.

3. 3

   Le chiffre des centièmes est le triple de $2$2, c'est-à-dire $3\times 2=6$3 × 2 = 6.

   Le nombre commence par $4,26$4,26.

4. 4

   Le chiffre des millièmes est la somme des deux précédents : $2+6=8$2+6=8.

5. 5

   Le nombre est donc $4,268$4,268.

6. 6

   Vérification : il est bien entre $4$4 et $5$5, ses dixièmes valent $2$2, ses centièmes $6$6 (le triple de $2$2) et ses millièmes $8$8 (la somme $2+6$2+6).

Rappel de cours : Chaque indice donne un chiffre d'un rang précis : on remplit le nombre rang par rang.

Erreur fréquente : Si une somme d'indices dépassait $9$9, aucun chiffre ne conviendrait : un chiffre est toujours compris entre $0$0 et $9$9.