Exercices corrigés : Volumes et solides — Sixième

Correction détaillée

1. 1

   Un cube a $6$6 faces : le dessus, le dessous, et les quatre faces latérales.

2. 2

   Il a $12$12 arêtes : ce sont les segments où deux faces se rejoignent ($4$4 en haut, $4$4 en bas, $4$4 verticales).

3. 3

   Il a $8$8 sommets : ce sont les « coins » ($4$4 en haut, $4$4 en bas).

4. 4

   Toutes ses faces sont des carrés identiques.

Rappel de cours : Face = surface plane · arête = segment entre deux faces · sommet = point de rencontre des arêtes.

Erreur fréquente : Compter $4$4 faces en oubliant le dessus et le dessous.

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1. 1

   Un pavé droit (ou parallélépipède rectangle) a la même structure qu'un cube : $6$6 faces, $12$12 arêtes et $8$8 sommets.

2. 2

   La différence porte sur la forme des faces : ce sont des rectangles, et non nécessairement des carrés.

3. 3

   Les faces opposées sont identiques deux à deux : il y a donc trois paires de rectangles identiques.

4. 4

   Un cube est un pavé droit particulier, celui dont toutes les faces sont des carrés.

Rappel de cours : Tout cube est un pavé droit, mais tout pavé droit n'est pas un cube.

Erreur fréquente : Croire que le pavé a plus de faces que le cube : la structure est identique.

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1. 1

   Le volume d'un cube s'obtient en multipliant son arête trois fois par elle-même.

2. 2

   $V=4\times 4\times 4$V = 4 × 4 × 4.

3. 3

   $4\times 4=16$4 × 4 = 16, puis $16\times 4=64$16 × 4 = 64.

4. 4

   Le volume vaut $64$64 cm³ (centimètres cubes).

Rappel de cours : Volume d'un cube d'arête $a$a : $V=a\times a\times a$V = a × a × a.

Erreur fréquente : Multiplier seulement deux fois ($4\times 4=16$4 × 4 = 16) : ce serait l'aire d'une face, pas le volume.

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1. 1

   Le volume d'un pavé droit est le produit de ses trois dimensions.

2. 2

   $V=6\times 4\times 3$V = 6 × 4 × 3.

3. 3

   On calcule d'abord $6\times 4=24$6 × 4 = 24.

4. 4

   Puis $24\times 3=72$24 × 3 = 72.

5. 5

   Le volume vaut $72$72 cm³.

Rappel de cours : Volume d'un pavé droit : $V=L\times l\times h$V = L × l × h.

Erreur fréquente : Additionner les dimensions : le volume est un produit, jamais une somme.

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1. 1

   a) Une boîte de conserve a deux disques identiques (le dessus et le dessous) reliés par une surface courbe : c'est un cylindre.

2. 2

   b) Un dé à jouer a six faces carrées identiques : c'est un cube.

3. 3

   c) Une balle de tennis est parfaitement ronde dans toutes les directions : c'est une boule (sa surface est une sphère).

4. 4

   d) Une boîte à chaussures a six faces rectangulaires : c'est un pavé droit.

Rappel de cours : On reconnaît un solide à la forme et au nombre de ses faces.

Erreur fréquente : Confondre la sphère (la surface, comme une coque) et la boule (le solide plein).

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1. 1

   Un cube ayant $6$6 faces carrées, son patron contient forcément $6$6 carrés : la première affirmation est vraie.

2. 2

   En revanche, la réciproque est fausse : la disposition compte autant que le nombre.

3. 3

   Par exemple, six carrés alignés en une seule bande ne peuvent pas se replier en cube : certaines faces se superposeraient et d'autres manqueraient.

4. 4

   Il existe exactement $11$11 dispositions différentes qui forment un patron de cube.

5. 5

   Pour vérifier, on peut imaginer le pliage, ou repérer les faces qui se retrouveraient face à face.

Rappel de cours : Un patron est la figure à plat qui, une fois pliée, redonne le solide sans trou ni recouvrement.

Erreur fréquente : Compter seulement les carrés sans vérifier leur disposition.

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1. 1

   Un pavé droit a $6$6 faces, identiques deux à deux (les faces opposées).

2. 2

   Deux faces mesurent $5$5 cm sur $3$3 cm : ce sont le dessus et le dessous.

3. 3

   Deux faces mesurent $5$5 cm sur $2$2 cm : ce sont les deux grandes faces latérales.

4. 4

   Deux faces mesurent $3$3 cm sur $2$2 cm : ce sont les deux petites faces latérales.

5. 5

   Le patron comporte donc trois paires de rectangles : $2\times (5\times 3)$2 × (5× 3), $2\times (5\times 2)$2 × (5 × 2) et $2\times (3\times 2)$2 × (3 × 2).

Rappel de cours : Chaque paire de faces opposées d'un pavé droit est formée de deux rectangles identiques.

Erreur fréquente : Oublier une paire et ne dessiner que quatre faces.

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1. 1

   L'aire totale est la somme des aires de toutes les faces.

2. 2

   Chaque face est un carré de $4$4 cm de côté : son aire vaut $4\times 4=16$4 × 4 = 16 cm².

3. 3

   Le cube a $6$6 faces identiques.

4. 4

   Aire totale : $6\times 16=96$6 × 16 = 96 cm².

5. 5

   Attention à ne pas confondre avec le volume, qui vaut $64$64 cm³ : ce sont deux grandeurs différentes, dans des unités différentes.

Rappel de cours : Aire d'un cube d'arête $a$a : $6\times a\times a$6 × a × a (en unités carrées).

Erreur fréquente : Répondre en cm³ : une aire se mesure en cm², un volume en cm³.

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1. 1

   Par définition, $1$1 dm³ $=1$= 1 L.

2. 2

   Un décimètre vaut $10$10 cm, donc $1$1 dm³ $=10\times 10\times 10=1000$= 10 × 10 × 10 = 1000 cm³.

   Ainsi $1000$1000 cm³ $=1$= 1 L.

3. 3

   Pour $5000$5000 cm³ : $5000÷1000=5$5000 ÷ 1000 = 5 L.

4. 4

   Un mètre vaut $10$10 dm, donc $1$1 m³ $=10\times 10\times 10=1000$= 10 × 10 × 10 = 1000 dm³ $=1000$= 1000 L.

5. 5

   Pour $2$2 m³ : $2\times 1000=2000$2 × 1000 = 2000 L.

Rappel de cours : $1$1 L $=1$= 1 dm³ $=1000$= 1000 cm³ · $1$1 m³ $=1000$= 1000 L.

Erreur fréquente : Passer d'une unité de volume à la suivante en multipliant par $10$10 : c'est par $1000$1000 qu'il faut multiplier.

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1. 1

   Volume : $V=50\times 30\times 40$V = 50 × 30 × 40.

2. 2

   $50\times 30=1500$50 × 30 = 1500.

3. 3

   $1500\times 40=60000$1500 × 40 = 60 000 cm³.

4. 4

   Pour convertir en litres, on divise par $1000$1000 (car $1000$1000 cm³ $=1$= 1 L).

5. 5

   $60000÷1000=60$60 000 ÷ 1000 = 60 L.

Rappel de cours : Pour un contenant, le volume donne directement la contenance : $1000$1000 cm³ $=1$= 1 L.

Erreur fréquente : Diviser par $100$100 au lieu de $1000$1000 : on trouverait $600$600 L, ce qui serait énorme pour un aquarium de cette taille.

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1. 1

   On sait que $V=L\times l\times h$V = L × l × h, donc $120=8\times 5\times h$120 = 8 × 5 × h.

2. 2

   On calcule d'abord l'aire de la base : $8\times 5=40$8 × 5 = 40 cm².

3. 3

   L'égalité devient $120=40\times h$120 = 40 × h.

4. 4

   Pour trouver $h$h, on divise : $h=120÷40=3$h = 120 ÷ 40 = 3 cm.

5. 5

   Vérification : $8\times 5\times 3=120$8 × 5 × 3 = 120 cm³. ✔

Rappel de cours : $V=\text{aire de la base}\times \text{hauteur}$V = aire de la base × hauteur, donc $h=V÷\text{aire de la base}$h = V ÷ aire de la base.

Erreur fréquente : Diviser $120$120 par $8$8 puis par $5$5 séparément sans faire attention : c'est correct ici ($120÷8=15$120 ÷ 8 = 15, $15÷5=3$15 ÷ 5 = 3), mais il faut aller au bout des deux divisions.

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1. 1

   Le volume d'un prisme droit vaut : aire de la base multipliée par la hauteur.

2. 2

   La base est un triangle rectangle : son aire vaut $\frac{6\times 4}{2}=\frac{24}{2}=12$(6 × 4)/2 = 24/2 = 12 cm².

3. 3

   On multiplie ensuite par la hauteur du prisme : $V=12\times 10$V = 12 × 10.

4. 4

   $V=120$V = 120 cm³.

Rappel de cours : Volume d'un prisme droit : $V={\mathcal{A}}_{\text{base}}\times h$V = A _base × h. C'est la même logique que pour le pavé droit.

Erreur fréquente : Oublier de diviser par $2$2 dans l'aire du triangle : on doublerait le volume.

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1. 1

   Volume du cube : $10\times 10\times 10=1000$10 × 10 × 10 = 1000 cm³, soit $1$1 L.

2. 2

   Volume du pavé : $20\times 10\times 4$20 × 10 × 4.

   On calcule $20\times 10=200$20 × 10 = 200, puis $200\times 4=800$200 × 4 = 800 cm³, soit $0,8$0,8 L.

3. 3

   On compare : $1000>800$1000 > 800.

4. 4

   Le cube contient donc davantage, avec $200$200 cm³ de plus, soit $0,2$0,2 L.

5. 5

   Remarque : le pavé est plus long, mais cela ne suffit pas — c'est le produit des trois dimensions qui compte.

Rappel de cours : Un solide plus « étendu » dans une direction n'a pas forcément le plus grand volume.

Erreur fréquente : Comparer une seule dimension ($20>10$20 > 10) pour conclure.

Correction détaillée

1. 1

   Volume : $V=8\times 4\times 1,5$V = 8 × 4 × 1,5.

2. 2

   $8\times 4=32$8 × 4 = 32.

3. 3

   $32\times 1,5=32+16=48$32 × 1,5 = 32 + 16 = 48 m³.

4. 4

   Conversion en litres : $1$1 m³ $=1000$= 1000 L.

5. 5

   $48\times 1000=48000$48 × 1000 = 48 000 litres.

Rappel de cours : $1$1 m³ $=1000$= 1000 L : c'est le volume d'un cube de $1$1 m de côté.

Erreur fréquente : Multiplier par $100$100 pour passer aux litres : le facteur est $1000$1000.

Correction détaillée

1. 1

   L'armature est constituée des $12$12 arêtes du pavé.

2. 2

   Ces arêtes se répartissent en trois groupes de $4$4 : $4$4 arêtes de $7$7 cm, $4$4 de $5$5 cm et $4$4 de $3$3 cm.

3. 3

   Longueur des arêtes de $7$7 cm : $4\times 7=28$4 × 7 = 28 cm.

4. 4

   Longueur des arêtes de $5$5 cm : $4\times 5=20$4 × 5 = 20 cm.

5. 5

   Longueur des arêtes de $3$3 cm : $4\times 3=12$4 × 3 = 12 cm.

6. 6

   Total : $28+20+12=60$28 + 20 + 12 = 60 cm.

   On peut aussi calculer directement $4\times (7+5+3)=4\times 15=60$4 × (7+5+3) = 4 × 15 = 60 cm.

Rappel de cours : Somme des arêtes d'un pavé droit : $4\times (L+l+h)$4 × (L + l + h).

Erreur fréquente : Compter seulement $3$3 arêtes de chaque longueur : il y en a $4$4 de chaque.

Correction détaillée

1. 1

   On regarde combien de petits cubes tiennent sur une arête du grand cube : $6÷2=3$6 ÷ 2 = 3.

2. 2

   Il y a donc $3$3 petits cubes dans la longueur, $3$3 dans la largeur et $3$3 dans la hauteur.

3. 3

   Nombre total : $3\times 3\times 3=27$3 × 3 × 3 = 27 petits cubes.

4. 4

   Vérification par les volumes : le grand cube a un volume de $6\times 6\times 6=216$6 × 6 × 6 = 216 cm³, et chaque petit cube $2\times 2\times 2=8$2 × 2 × 2 = 8 cm³.

5. 5

   $216÷8=27$216 ÷ 8 = 27. ✔ Les deux méthodes concordent.

Rappel de cours : Deux méthodes possibles : compter par arête ($3\times 3\times 3$3×3×3) ou diviser les volumes.

Erreur fréquente : Répondre $3$3 : c'est le nombre de cubes sur une seule arête, pas le total.

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1. 1

   On regarde combien de boîtes tiennent dans chaque direction.

2. 2

   Longueur : $60÷20=3$60 ÷ 20 = 3 boîtes.

3. 3

   Largeur : $40÷20=2$40 ÷ 20 = 2 boîtes.

4. 4

   Hauteur : $30÷20=1,5$30 ÷ 20 = 1,5 : on ne peut poser qu'une seule rangée de boîtes en hauteur (on ne coupe pas les boîtes).

5. 5

   Nombre de boîtes : $3\times 2\times 1=6$3 × 2 × 1 = 6 boîtes.

6. 6

   Volume occupé : $6\times (20\times 20\times 20)=6\times 8000=48000$6 × (20×20×20) = 6 × 8000 = 48 000 cm³.

7. 7

   Volume du carton : $60\times 40\times 30=72000$60 × 40 × 30 = 72 000 cm³.

8. 8

   Place perdue : $72000-48000=24000$72 000 - 48 000 = 24 000 cm³, soit $24$24 litres — c'est la bande de $10$10 cm de haut qui reste au-dessus.

Rappel de cours : Pour un rangement, on divise dimension par dimension et on arrondit à l'entier INFÉRIEUR : un objet ne se coupe pas.

Erreur fréquente : Diviser les volumes ($72000÷8000=9$72 000 ÷ 8000 = 9) : cela donnerait $9$9 boîtes, ce qui est impossible car elles ne tiennent pas dans la hauteur.

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1. 1

   On cherche le nombre qui, multiplié trois fois par lui-même, donne $125$125.

2. 2

   On essaie $4$4 : $4\times 4\times 4=64$4 × 4 × 4 = 64, c'est trop petit.

3. 3

   On essaie $5$5 : $5\times 5\times 5=125$5 × 5 × 5 = 125.

   C'est la bonne valeur.

4. 4

   L'arête mesure donc $5$5 cm.

5. 5

   Aire d'une face : $5\times 5=25$5 × 5 = 25 cm².

   Aire totale des $6$6 faces : $6\times 25=150$6 × 25 = 150 cm².

Rappel de cours : Les cubes parfaits utiles : $2^3=8$2³=8, $3^3=27$3³=27, $4^3=64$4³=64, $5^3=125$5³=125, $6^3=216$6³=216, $10^3=1000$10³=1000.

Erreur fréquente : Diviser $125$125 par $3$3 : le volume est un produit de trois facteurs, pas une somme.

Correction détaillée

1. 1

   Il faut d'abord mettre toutes les dimensions dans la même unité.

   On choisit le centimètre : $1,2$1,2 m $=120$= 120 cm.

2. 2

   Volume : $120\times 80\times 50$120 × 80 × 50.

3. 3

   $120\times 80=9600$120 × 80 = 9600.

4. 4

   $9600\times 50=480000$9600 × 50 = 480 000 cm³.

5. 5

   Conversion en litres : $480000÷1000=480$480 000 ÷ 1000 = 480 L.

6. 6

   Nombre de seaux : $480÷12=40$480 ÷ 12 = 40 seaux.

7. 7

   Vérification : $40\times 12=480$40 × 12 = 480 L. ✔

Rappel de cours : Convertir AVANT de multiplier : mélanger mètres et centimètres fausse tout le calcul.

Erreur fréquente : Calculer $1,2\times 80\times 50$1,2 × 80 × 50 sans convertir : le résultat n'aurait aucun sens.

Correction détaillée

1. 1

   Volume du cube de départ : $3\times 3\times 3=27$3 × 3 × 3 = 27 cm³.

2. 2

   La nouvelle arête mesure $3\times 2=6$3 × 2 = 6 cm.

3. 3

   Nouveau volume : $6\times 6\times 6=216$6 × 6 × 6 = 216 cm³.

4. 4

   On compare : $216÷27=8$216 ÷ 27 = 8.

   Le volume est multiplié par $8$8.

5. 5

   Explication : le volume est un produit de trois longueurs, et chacune est doublée.

   Le volume est donc multiplié par $2\times 2\times 2=8$2 × 2 × 2 = 8.

6. 6

   Autre façon de le voir : il faut exactement $8$8 cubes de $3$3 cm d'arête pour remplir un cube de $6$6 cm d'arête ($2$2 dans chaque direction).

Rappel de cours : Si toutes les longueurs sont multipliées par $k$k : les aires le sont par $k\times k$k × k et les volumes par $k\times k\times k$k × k × k.

Erreur fréquente : Croire que le volume double : c'est l'erreur la plus fréquente sur les agrandissements de solides.