Exercices corrigés : Symétrie axiale — Sixième

Correction détaillée

1. 1

   On cherche toutes les droites selon lesquelles on peut plier le carré pour que les deux moitiés se superposent.

2. 2

   Il y a d'abord les deux médiatrices des côtés : une horizontale et une verticale, qui passent par les milieux des côtés opposés.

3. 3

   Il y a ensuite les deux diagonales, qui joignent les sommets opposés.

4. 4

   Au total, le carré possède $4$4 axes de symétrie.

Rappel de cours : Un axe de symétrie est une droite de pliage : les deux moitiés doivent se superposer parfaitement.

Erreur fréquente : Compter seulement les diagonales ou seulement les médiatrices : le carré a bien les quatre.

Correction détaillée

1. 1

   Un rectangle a deux axes de symétrie : les deux médiatrices de ses côtés, l'une horizontale, l'autre verticale.

2. 2

   En pliant selon ces droites, les deux moitiés se superposent parfaitement.

3. 3

   Les diagonales, elles, ne sont PAS des axes de symétrie du rectangle.

4. 4

   En effet, si on plie un rectangle selon une diagonale, les deux triangles obtenus ne se superposent pas : la longueur et la largeur étant différentes, les coins dépassent.

Rappel de cours : Les diagonales sont axes de symétrie pour le losange et le carré, mais pas pour un rectangle quelconque.

Erreur fréquente : Confondre « les diagonales se coupent en leur milieu » (vrai) et « les diagonales sont des axes de symétrie » (faux ici).

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1. 1

   a) Le triangle équilatéral a ses trois côtés égaux : chacune des trois médiatrices est un axe de symétrie.

   Il en a donc $3$3.

2. 2

   b) Le triangle isocèle a deux côtés égaux : seul l'axe passant par le sommet principal (celui d'où partent les deux côtés égaux) convient.

   Il en a $1$1.

3. 3

   c) Un triangle quelconque a ses trois côtés de longueurs différentes : aucun pliage ne superpose deux moitiés.

   Il n'a donc aucun axe de symétrie.

Rappel de cours : Plus une figure a de côtés égaux, plus elle a d'axes de symétrie.

Erreur fréquente : Penser qu'un triangle isocèle a $2$2 axes : il n'y en a qu'un, celui du sommet principal.

Correction détaillée

1. 1

   Considérons n'importe quelle droite passant par le centre du cercle.

2. 2

   En pliant le long de cette droite, les deux demi-disques se superposent parfaitement : chaque point du cercle a bien son symétrique sur le cercle.

3. 3

   Comme il existe une infinité de droites passant par le centre, le cercle possède une infinité d'axes de symétrie.

4. 4

   En revanche, une droite qui ne passe pas par le centre n'est jamais un axe de symétrie.

Rappel de cours : Le centre du cercle appartient à tous ses axes de symétrie.

Erreur fréquente : Répondre $2$2 ou $4$4 en pensant aux axes « horizontal et vertical » : rien ne privilégie ces directions.

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1. 1

   A : elle se plie selon une droite verticale passant par sa pointe.

   Elle a $1$1 axe (vertical).

2. 2

   F : aucun pliage ne superpose ses parties.

   Elle n'a pas d'axe.

3. 3

   H : elle se plie verticalement (les deux barres verticales se superposent) et horizontalement (le haut sur le bas).

   Elle a $2$2 axes.

4. 4

   N : la diagonale empêche tout pliage.

   Elle n'a pas d'axe (elle a en revanche un centre de symétrie, notion vue plus tard).

5. 5

   O : elle se plie verticalement et horizontalement.

   Elle a au moins $2$2 axes.

6. 6

   T : elle se plie selon une droite verticale.

   Elle a $1$1 axe.

Rappel de cours : Pour tester, on imagine plier la lettre : les deux moitiés doivent se recouvrir exactement.

Erreur fréquente : Croire que N a un axe : elle se retrouve identique par demi-tour, ce qui n'est pas la même chose qu'une symétrie axiale.

Correction détaillée

1. 1

   Étape 1 : à l'aide de l'équerre, tracer la perpendiculaire à $(d)$(d) passant par $M$M.

2. 2

   Étape 2 : appeler $H$H le point où cette perpendiculaire coupe $(d)$(d).

3. 3

   Étape 3 : mesurer la distance $MH$MH à la règle graduée.

4. 4

   Étape 4 : reporter cette même distance de l'autre côté de $(d)$(d), sur la perpendiculaire, à partir de $H$H.

5. 5

   Le point obtenu est $M^{\prime }$M' : il vérifie $H{M}^{\prime }=HM$HM' = HM et $(M{M}^{\prime })$(MM') est perpendiculaire à $(d)$(d).

6. 6

   Autrement dit, $(d)$(d) est la médiatrice du segment $[M{M}^{\prime }]$[MM'].

Rappel de cours : L'axe de symétrie est la médiatrice du segment qui joint un point et son symétrique.

Erreur fréquente : Reporter la distance dans n'importe quelle direction : elle doit être reportée sur la perpendiculaire.

Correction détaillée

1. 1

   Le symétrique d'un point $M$M est situé de l'autre côté de l'axe, à la même distance.

2. 2

   Ici, $A$A est SUR l'axe : sa distance à $(d)$(d) vaut $0$0.

3. 3

   Son symétrique doit donc être à une distance $0$0 de l'axe, du « même côté » : c'est le point $A$A lui-même.

4. 4

   On dit que $A$A est invariant par la symétrie d'axe $(d)$(d).

Rappel de cours : Tous les points de l'axe sont leur propre symétrique.

Erreur fréquente : Chercher un autre point : quand la distance à l'axe est nulle, il n'y a nulle part où aller.

Correction détaillée

1. 1

   La symétrie axiale conserve les longueurs : c'est une des propriétés fondamentales.

2. 2

   Concrètement, si on plie la feuille le long de $(d)$(d), le segment $[AB]$[AB] vient se poser exactement sur $[A^{\prime }{B}^{\prime }]$[A'B'].

3. 3

   Deux segments qui se superposent ont forcément la même longueur.

4. 4

   Donc $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB=7$A'B' = AB = 7 cm.

Rappel de cours : La symétrie axiale conserve : longueurs, mesures d'angles, aires, alignement, milieux.

Erreur fréquente : Croire que la figure est « retournée donc déformée » : elle change d'orientation, pas de dimensions.

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1. 1

   La symétrie axiale conserve les aires : la figure image a exactement la même surface.

2. 2

   L'aire de $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$A'B'C' vaut donc $15$15 cm².

3. 3

   La symétrie axiale conserve aussi les mesures des angles.

4. 4

   L'angle en $A^{\prime }$A' mesure donc $40°$40°, comme l'angle en $A$A.

5. 5

   Seule l'orientation change : la figure symétrique est « retournée », comme dans un miroir.

Rappel de cours : Une figure et son symétrique sont superposables par retournement : elles ont les mêmes mesures.

Erreur fréquente : Penser que l'angle devient son « opposé » : les mesures ne changent pas.

Correction détaillée

1. 1

   La symétrie transforme un cercle en un cercle : c'est une propriété du cours.

2. 2

   Le centre du nouveau cercle est le symétrique $O^{\prime }$O' du centre $O$O par rapport à $(d)$(d).

3. 3

   Le rayon est conservé, puisque la symétrie conserve les longueurs : il vaut toujours $3$3 cm.

4. 4

   Le symétrique est donc le cercle de centre $O^{\prime }$O' et de rayon $3$3 cm.

Rappel de cours : Pour construire le symétrique d'un cercle, il suffit de construire le symétrique de son centre.

Erreur fréquente : Construire point par point tout le cercle : seul le centre a besoin d'être transformé.

Correction détaillée

1. 1

   On choisit deux points $P$P et $Q$Q sur la droite $(d)$(d), suffisamment éloignés l'un de l'autre.

2. 2

   On trace l'arc de cercle de centre $P$P passant par $M$M : tous ses points sont à la distance $PM$PM de $P$P.

3. 3

   On trace l'arc de cercle de centre $Q$Q passant par $M$M.

4. 4

   Ces deux arcs se coupent en deux points : $M$M lui-même, et un second point de l'autre côté de $(d)$(d).

5. 5

   Ce second point est $M^{\prime }$M', le symétrique cherché.

6. 6

   Justification : $M^{\prime }$M' vérifie $P{M}^{\prime }=PM$PM' = PM et $Q{M}^{\prime }=QM$QM' = QM, donc $P$P et $Q$Q sont à égale distance de $M$M et $M^{\prime }$M'.

   La droite $(PQ)$(PQ), c'est-à-dire $(d)$(d), est bien la médiatrice de $[M{M}^{\prime }]$[MM'].

Rappel de cours : Un point à égale distance de deux points appartient à la médiatrice du segment qu'ils forment.

Erreur fréquente : Prendre $P$P et $Q$Q trop proches : les arcs se couperaient sous un angle très fermé, et le point serait imprécis.

Correction détaillée

1. 1

   On ne construit pas la figure « d'un coup » : on transforme les points un par un.

2. 2

   On construit $A^{\prime }$A', symétrique de $A$A : perpendiculaire à $(d)$(d) passant par $A$A, puis report de la distance de l'autre côté.

3. 3

   On construit de la même façon $B^{\prime }$B', symétrique de $B$B.

4. 4

   Puis $C^{\prime }$C', symétrique de $C$C.

5. 5

   On relie enfin $A^{\prime }$A', $B^{\prime }$B' et $C^{\prime }$C' : le triangle obtenu est le symétrique de $ABC$ABC.

6. 6

   Vérification : on peut mesurer et comparer, par exemple $A^{\prime }{B}^{\prime }$A'B' doit être égal à $AB$AB.

Rappel de cours : Pour une figure formée de segments, il suffit de transformer les sommets : les segments suivent.

Erreur fréquente : Essayer de « recopier » la figure à main levée de l'autre côté : les mesures ne seraient pas exactes.

Correction détaillée

1. 1

   Par définition, le symétrique se trouve à la même distance de l'axe, mais de l'autre côté.

2. 2

   $M^{\prime }$M' est donc à $3$3 cm de $(d)$(d).

3. 3

   Le segment $[M{M}^{\prime }]$[MM'] traverse l'axe perpendiculairement, en son milieu $H$H.

4. 4

   On a donc $MH=3$MH = 3 cm et $H{M}^{\prime }=3$HM' = 3 cm.

5. 5

   Longueur totale : $M{M}^{\prime }=3+3=6$MM' = 3 + 3 = 6 cm.

Rappel de cours : L'axe coupe $[M{M}^{\prime }]$[MM'] en son milieu : chaque moitié vaut la distance à l'axe.

Erreur fréquente : Répondre $3$3 cm pour $M{M}^{\prime }$MM' : c'est la distance à l'axe, pas la distance entre les deux points.

Correction détaillée

1. 1

   Pour que $(d)$(d) soit un axe de symétrie, la moitié droite doit être exactement le symétrique de la moitié gauche.

2. 2

   Chaque sommet du triangle de gauche doit donc avoir son symétrique à droite, à la même distance de $(d)$(d).

3. 3

   Le sommet situé à $2$2 cm de $(d)$(d) donne un point à $2$2 cm de l'autre côté, sur la même perpendiculaire.

4. 4

   Les deux sommets situés à $5$5 cm donnent deux points à $5$5 cm de l'autre côté, chacun sur sa propre perpendiculaire.

5. 5

   On relie ensuite ces trois nouveaux points : on obtient un triangle identique au premier, mais retourné.

Rappel de cours : Compléter par symétrie revient à construire le symétrique de chaque point caractéristique.

Erreur fréquente : Reporter les distances « à vue » sans tracer les perpendiculaires : la figure ne serait pas symétrique.

Correction détaillée

1. 1

   Le rectangle possède deux axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés.

   Elles sont perpendiculaires entre elles (l'une horizontale, l'autre verticale).

2. 2

   Le losange possède aussi deux axes : ses diagonales, qui sont perpendiculaires (c'est une propriété du losange).

3. 3

   Le carré convient également : parmi ses $4$4 axes, on en trouve deux perpendiculaires — c'est à la fois un rectangle et un losange.

4. 4

   Le cercle aussi, puisqu'il a une infinité d'axes, dont des paires perpendiculaires.

Rappel de cours : Rectangle et losange ont chacun $2$2 axes ; le carré cumule les deux familles et en a $4$4.

Erreur fréquente : Citer le parallélogramme quelconque : il n'a aucun axe de symétrie.

Correction détaillée

1. 1

   La symétrie axiale conserve les longueurs : chaque côté garde sa mesure.

2. 2

   Le périmètre étant la somme des côtés, il est donc conservé : $24$24 cm.

3. 3

   La symétrie conserve également les aires.

4. 4

   L'aire du symétrique vaut donc $35$35 cm².

5. 5

   En résumé, une figure et son symétrique ont exactement les mêmes mesures : seule leur position et leur orientation changent.

Rappel de cours : On dit que la symétrie axiale est une « isométrie » : elle conserve toutes les mesures.

Erreur fréquente : Croire qu'une figure retournée « perd » ou « gagne » de la surface.

Correction détaillée

1. 1

   En pliant, le papier du dessous se trouve exactement sous le papier du dessus, en position symétrique par rapport au pli.

2. 2

   En découpant à travers les deux épaisseurs, on obtient donc deux motifs identiques, symétriques l'un de l'autre par rapport à la ligne de pli.

3. 3

   En dépliant, on voit la figure complète, avec le pli comme axe de symétrie.

4. 4

   Si le motif touche le pli, les deux moitiés sont soudées et forment une seule figure d'un seul tenant.

5. 5

   Cette figure a au moins $1$1 axe de symétrie : la ligne de pli.

   Elle peut en avoir davantage si le motif lui-même est particulier (par exemple un demi-disque donnerait un disque, qui en a une infinité).

Rappel de cours : Le pliage est la définition concrète de la symétrie axiale : l'axe est la ligne de pli.

Erreur fréquente : Affirmer « exactement 1 axe » : selon le motif, il peut y en avoir plus.

Correction détaillée

1. 1

   Par définition de la symétrie, $(d)$(d) est perpendiculaire à $[M{M}^{\prime }]$[MM'] et passe par son milieu.

2. 2

   Autrement dit, $(d)$(d) est exactement la médiatrice du segment $[M{M}^{\prime }]$[MM'].

3. 3

   Pour la construire au compas : on trace un arc de centre $M$M et un arc de même rayon de centre $M^{\prime }$M', avec un rayon supérieur à la moitié de $M{M}^{\prime }$MM'.

4. 4

   Ces arcs se coupent en deux points, situés de part et d'autre de $[M{M}^{\prime }]$[MM'].

5. 5

   La droite qui passe par ces deux points est la médiatrice de $[M{M}^{\prime }]$[MM'], donc l'axe $(d)$(d) cherché.

6. 6

   On peut vérifier : cette droite doit couper $[M{M}^{\prime }]$[MM'] perpendiculairement en son milieu.

Rappel de cours : Symétrie axiale et médiatrice sont deux façons de dire la même chose.

Erreur fréquente : Tracer la droite $(M{M}^{\prime })$(MM') : c'est perpendiculaire à l'axe, ce n'est pas l'axe.

Correction détaillée

1. 1

   La symétrie d'axe $(AI)$(AI) échange les points $B$B et $C$C, et laisse $A$A fixe.

2. 2

   Comme la symétrie conserve les mesures d'angles, l'angle en $B$B et l'angle en $C$C sont égaux.

3. 3

   L'angle en $C$C mesure donc $65°$65°.

4. 4

   Pour l'angle en $A$A, on utilise la somme des angles d'un triangle, qui vaut $180°$180°.

5. 5

   Les angles en $B$B et $C$C totalisent $65+65=130°$65 + 65 = 130°.

6. 6

   L'angle en $A$A vaut donc $180-130=50°$180 - 130 = 50°.

7. 7

   Vérification : $50+65+65=180°$50 + 65 + 65 = 180°. ✔

Rappel de cours : Dans un triangle isocèle, l'axe de symétrie explique pourquoi les angles à la base sont égaux.

Erreur fréquente : Diviser $180$180 par $3$3 : les trois angles ne sont égaux que dans un triangle équilatéral.

Correction détaillée

1. 1

   Parallélogramme quelconque : aucun pliage ne superpose les deux moitiés.

   Il a $0$0 axe.

2. 2

   Triangle isocèle non équilatéral : seul l'axe passant par le sommet principal convient.

   Il a $1$1 axe.

3. 3

   Losange non carré : ses deux diagonales sont des axes.

   Il a $2$2 axes.

4. 4

   Triangle équilatéral : ses trois médiatrices sont des axes.

   Il a $3$3 axes.

5. 5

   Carré : deux médiatrices de côtés et deux diagonales.

   Il a $4$4 axes.

6. 6

   Rangés dans l'ordre croissant : $0<1<2<3<4$0 < 1 < 2 < 3 < 4.

Rappel de cours : Le parallélogramme quelconque n'a aucun axe de symétrie, alors qu'il a un centre de symétrie (notion de 5ᵉ).

Erreur fréquente : Attribuer des axes au parallélogramme en pensant à ses diagonales : elles se coupent en leur milieu, mais ne sont pas des axes.