Exercices corrigés : Algorithmique et Scratch — Sixième

Correction détaillée

1. 1

   On applique les instructions dans l'ordre, une par une, sans en sauter.

2. 2

   Nombre de départ : $3$3.

3. 3

   « Ajoute $5$5 » : $3+5=8$3 + 5 = 8.

4. 4

   « Multiplie par $2$2 » : $8\times 2=16$8 × 2 = 16.

5. 5

   Le résultat final est $16$16.

Rappel de cours : Un algorithme s'exécute dans l'ordre, ligne après ligne.

Erreur fréquente : Calculer $3\times 2+5=11$3 × 2 + 5 = 11 : l'ordre des instructions compte, on ajoute AVANT de multiplier.

Correction détaillée

1. 1

   Programme A : $4+3=7$4 + 3 = 7, puis $7\times 10=70$7 × 10 = 70.

2. 2

   Programme B : $4\times 10=40$4 × 10 = 40, puis $40+3=43$40 + 3 = 43.

3. 3

   Les deux programmes utilisent les mêmes nombres et les mêmes opérations, mais dans un ordre différent.

4. 4

   Les résultats sont différents : $70$70 et $43$43.

5. 5

   Conclusion : en algorithmique, l'ordre des instructions change le résultat.

Rappel de cours : Deux programmes avec les mêmes instructions dans un ordre différent ne font pas la même chose.

Erreur fréquente : Croire que « ça revient au même » : seules l'addition entre elles et la multiplication entre elles peuvent être permutées.

Correction détaillée

1. 1

   Le lutin regarde vers la droite : « avancer de $50$50 » le déplace de $50$50 vers la droite, donc en $(50;0)$(50 ; 0).

2. 2

   « Tourner de $90°$90° à gauche » ne le déplace pas : il change seulement de direction et regarde maintenant vers le haut.

3. 3

   « Avancer de $30$30 » le déplace donc de $30$30 vers le haut : il passe de $(50;0)$(50 ; 0) à $(50;30)$(50 ; 30).

4. 4

   Position finale : $(50;30)$(50 ; 30).

Rappel de cours : « Tourner » change la direction mais ne déplace pas le lutin.

Erreur fréquente : Ajouter les $30$30 à l'abscisse : après la rotation, le lutin n'avance plus horizontalement.

Correction détaillée

1. 1

   Le bloc « répéter $4$4 fois » exécute quatre fois de suite tout ce qui est à l'intérieur.

2. 2

   À chaque tour, le lutin avance de $60$60 puis tourne de $90°$90°.

3. 3

   Il y a donc $4$4 instructions « avancer » exécutées au total.

4. 4

   Après quatre segments de $60$60 et quatre rotations de $90°$90°, le lutin est revenu à son point de départ, orienté comme au début.

5. 5

   Le tracé obtenu est un carré de côté $60$60.

Rappel de cours : Une boucle « répéter n fois » évite de recopier n fois les mêmes instructions.

Erreur fréquente : Croire que la boucle n'exécute qu'une fois le contenu : elle le répète bien $4$4 fois.

Correction détaillée

1. 1

   Étape 1 : demander la longueur $L$L.

2. 2

   Étape 2 : demander la largeur $l$l.

3. 3

   Étape 3 : calculer $2\times (L+l)$2 × (L + l).

4. 4

   Étape 4 : afficher le résultat.

5. 5

   Un algorithme se compose souvent de trois phases : on récupère les données, on calcule, on affiche le résultat.

Rappel de cours : Un bon algorithme est précis : chaque étape doit pouvoir être exécutée sans hésitation.

Erreur fréquente : Écrire « calculer le périmètre » comme étape : c'est ce qu'on cherche à détailler, pas une instruction.

Correction détaillée

1. 1

   Un carré a $4$4 côtés de même longueur, et le lutin doit tourner d'un quart de tour à chaque coin.

2. 2

   Un quart de tour vaut $360÷4=90°$360 ÷ 4 = 90°.

3. 3

   Le motif à répéter est donc : « avancer de $80$80 ; tourner de $90°$90° à droite ».

4. 4

   On le répète $4$4 fois : « répéter $4$4 fois [ avancer de $80$80 ; tourner de $90°$90° à droite ] ».

5. 5

   Il faut penser à baisser le stylo au début, sinon rien ne se dessine.

Rappel de cours : Pour un polygone régulier à $n$n côtés, l'angle de rotation vaut $360÷n$360 ÷ n.

Erreur fréquente : Oublier « baisser le stylo » : le lutin se déplace mais ne laisse aucune trace.

Correction détaillée

1. 1

   Le lutin doit faire un tour complet, soit $360°$360°, réparti en $3$3 rotations identiques.

2. 2

   Angle de rotation : $360÷3=120°$360 ÷ 3 = 120°.

3. 3

   Le programme est : « répéter $3$3 fois [ avancer de $100$100 ; tourner de $120°$120° à droite ] ».

4. 4

   Attention à ne pas confondre : l'angle du triangle équilatéral mesure $60°$60°, mais l'angle dont TOURNE le lutin vaut $120°$120°.

5. 5

   En effet, les deux angles sont supplémentaires : $60+120=180°$60 + 120 = 180°.

Rappel de cours : L'angle de rotation du lutin est l'angle extérieur : $360÷n$360 ÷ n pour un polygone régulier à $n$n côtés.

Erreur fréquente : Utiliser $60°$60°, la mesure de l'angle intérieur : le tracé serait complètement faux.

Correction détaillée

1. 1

   La boucle est répétée $6$6 fois : le tracé comporte $6$6 segments de même longueur.

2. 2

   À chaque coin, le lutin tourne de $60°$60°.

3. 3

   Somme des rotations : $6\times 60=360°$6 × 60 = 360°, soit exactement un tour complet : la figure se referme.

4. 4

   Une figure fermée à $6$6 côtés égaux et $6$6 angles égaux est un hexagone régulier.

5. 5

   Le côté mesure $50$50.

Rappel de cours : Si la somme des rotations vaut $360°$360°, la figure se referme sur elle-même.

Erreur fréquente : Répondre « un hexagone » sans vérifier que $6\times 60=360$6 × 60 = 360 : si la somme ne faisait pas $360°$360°, la figure resterait ouverte.

Correction détaillée

1. 1

   Avec $7$7 : $7\times 3=21$7 × 3 = 21.

2. 2

   Puis $21-4=17$21 - 4 = 17.

3. 3

   Avec $0$0 : $0\times 3=0$0 × 3 = 0.

4. 4

   Puis $0-4=-4$0 - 4 = -4.

5. 5

   Le résultat peut donc être négatif, même si le nombre de départ ne l'est pas.

Rappel de cours : Un même programme donne des résultats différents selon le nombre de départ.

Erreur fréquente : Écrire $0-4=4$0-4=4 : soustraire $4$4 à $0$0 donne bien $-4$-4.

Correction détaillée

1. 1

   La boucle intérieure exécute $4$4 fois l'instruction « avancer ».

2. 2

   Cette boucle intérieure est elle-même répétée $3$3 fois par la boucle extérieure.

3. 3

   Nombre total d'exécutions : $3\times 4=12$3 × 4 = 12.

4. 4

   Le lutin avance donc $12$12 fois de $10$10, soit une distance totale de $12\times 10=120$12 × 10 = 120.

Rappel de cours : Avec des boucles imbriquées, on multiplie les nombres de répétitions.

Erreur fréquente : Additionner $3+4=7$3 + 4 = 7 : les boucles se multiplient, elles ne s'additionnent pas.

Correction détaillée

1. 1

   Pour qu'une figure se referme, la somme des rotations doit valoir un tour complet, soit $360°$360°.

2. 2

   Ici, la somme vaut $4\times 60=240°$4 × 60 = 240°, ce qui est insuffisant : le lutin n'a pas fait le tour complet.

3. 3

   Il faut donc que chaque rotation vaille $360÷4=90°$360 ÷ 4 = 90°.

4. 4

   Programme corrigé : « répéter $4$4 fois [ avancer de $70$70 ; tourner de $90°$90° à droite ] ».

5. 5

   Vérification : $4\times 90=360°$4 × 90 = 360°. ✔ La figure se referme et forme bien un carré.

Rappel de cours : Test rapide : nombre de répétitions $\times$× angle doit donner $360°$360°.

Erreur fréquente : Changer le nombre de répétitions au lieu de l'angle : avec $60°$60°, il faudrait $6$6 répétitions, mais on obtiendrait un hexagone, pas un carré.

Correction détaillée

1. 1

   Un rectangle n'a pas ses quatre côtés égaux : on ne peut pas répéter $4$4 fois le même « avancer ».

2. 2

   En revanche, le motif « longueur puis largeur » se répète deux fois.

3. 3

   Motif à répéter : « avancer de $100$100 ; tourner de $90°$90° à droite ; avancer de $40$40 ; tourner de $90°$90° à droite ».

4. 4

   On le répète $2$2 fois : « répéter $2$2 fois [ avancer de $100$100 ; tourner de $90°$90° ; avancer de $40$40 ; tourner de $90°$90° ] ».

5. 5

   Vérification des rotations : $2\times (90+90)=360°$2 × (90+90) = 360°. ✔ La figure se referme.

Rappel de cours : Quand les côtés alternent, on cherche le motif qui se répète et on adapte le nombre de tours.

Erreur fréquente : Répéter $4$4 fois le motif complet : on tracerait le rectangle deux fois de suite.

Correction détaillée

1. 1

   Distance : le lutin avance $5$5 fois de $30$30.

2. 2

   $5\times 30=150$5 × 30 = 150 : il parcourt une distance totale de $150$150.

3. 3

   Rotations : $5\times 72=360°$5 × 72 = 360°, soit un tour complet : la figure se referme.

4. 4

   Cinq côtés égaux et cinq angles égaux : c'est un pentagone régulier.

5. 5

   La distance parcourue correspond donc au périmètre de ce pentagone.

Rappel de cours : La distance totale parcourue par le lutin sur une figure fermée est le périmètre de cette figure.

Erreur fréquente : Confondre la distance parcourue ($150$150) et la longueur d'un côté ($30$30).

Correction détaillée

1. 1

   Un octogone a $8$8 côtés : la boucle doit être répétée $8$8 fois.

2. 2

   Chaque côté mesure $40$40 : l'instruction est « avancer de $40$40 ».

3. 3

   L'angle de rotation vaut $360÷8=45°$360 ÷ 8 = 45°.

4. 4

   Programme complet : « répéter $8$8 fois [ avancer de $40$40 ; tourner de $45°$45° à droite ] ».

5. 5

   Vérification : $8\times 45=360°$8 × 45 = 360°. ✔

Rappel de cours : Polygone régulier à $n$n côtés : répéter $n$n fois, tourner de $360÷n$360 ÷ n degrés.

Erreur fréquente : Utiliser l'angle intérieur de l'octogone ($135°$135°) au lieu de l'angle de rotation ($45°$45°).

Correction détaillée

1. 1

   Avec $8$8 : on teste d'abord la condition.

   $8$8 est pair (il se termine par $8$8, un chiffre pair).

2. 2

   La condition est vraie, on applique donc la première instruction : $8÷2=4$8 ÷ 2 = 4.

3. 3

   Avec $7$7 : $7$7 est impair, la condition est fausse.

4. 4

   On applique donc l'instruction du « sinon » : $7+1=8$7 + 1 = 8.

5. 5

   Une seule des deux branches est exécutée à chaque fois, jamais les deux.

Rappel de cours : Un test « si… alors… sinon » choisit une seule branche selon que la condition est vraie ou fausse.

Erreur fréquente : Appliquer les deux instructions à la suite : le « sinon » exclut le « alors ».

Correction détaillée

1. 1

   À chaque tour de boucle, le lutin fait un pas horizontal de $20$20, monte de $20$20, et se retrouve orienté comme au départ.

2. 2

   En effet, il tourne une fois de $90°$90° à gauche puis une fois de $90°$90° à droite : les deux rotations s'annulent.

3. 3

   Le motif de base est donc une « marche » : un segment horizontal puis un segment vertical.

4. 4

   Répété $4$4 fois, cela dessine un escalier de $4$4 marches.

5. 5

   Distance totale parcourue : $4\times (20+20)=160$4 × (20 + 20) = 160.

Rappel de cours : Deux rotations opposées de même mesure ramènent le lutin à sa direction initiale.

Erreur fréquente : Croire que la figure se referme : ici les rotations s'annulent, le lutin s'éloigne toujours.

Correction détaillée

1. 1

   Avec $5$5 : $5+4=9$5 + 4 = 9 ; $9\times 2=18$9 × 2 = 18 ; $18-8=10$18 - 8 = 10 ; $10÷2=5$10 ÷ 2 = 5.

2. 2

   Avec $9$9 : $9+4=13$9 + 4 = 13 ; $13\times 2=26$13 × 2 = 26 ; $26-8=18$26 - 8 = 18 ; $18÷2=9$18 ÷ 2 = 9.

3. 3

   On remarque que le résultat est toujours égal au nombre de départ.

4. 4

   Explication : ajouter $4$4 puis multiplier par $2$2 revient à ajouter $8$8 au double du nombre.

5. 5

   Retirer $8$8 annule exactement cet ajout : il ne reste que le double du nombre de départ.

6. 6

   Diviser par $2$2 annule enfin le doublement : on retombe sur le nombre choisi.

Rappel de cours : Certains programmes de calcul redonnent toujours le nombre de départ : les opérations se compensent.

Erreur fréquente : Conclure après un seul essai : deux exemples rendent la conjecture crédible, mais c'est le raisonnement qui la prouve.

Correction détaillée

1. 1

   On doit répéter $5$5 fois le motif « tracer un carré puis se déplacer ».

2. 2

   Le tracé d'un carré est lui-même une boucle : « répéter $4$4 fois [ avancer de $30$30 ; tourner de $90°$90° à droite ] ».

3. 3

   Après ce tracé, le lutin est revenu à son point de départ, orienté comme au début.

4. 4

   Il faut alors le déplacer sans tracer : « relever le stylo ; avancer de $40$40 ; baisser le stylo ».

5. 5

   Pourquoi $40$40 ?

   Parce qu'il faut franchir le côté du carré ($30$30) plus l'espace ($10$10), soit $30+10=40$30 + 10 = 40.

6. 6

   Programme complet : « baisser le stylo ; répéter $5$5 fois [ répéter $4$4 fois [ avancer de $30$30 ; tourner de $90°$90° à droite ] ; relever le stylo ; avancer de $40$40 ; baisser le stylo ] ».

Rappel de cours : « Relever le stylo » permet de déplacer le lutin sans laisser de trace.

Erreur fréquente : Avancer de $10$10 seulement entre deux carrés : il faut aussi franchir le côté du carré précédent.

Correction détaillée

1. 1

   Au départ, $n=1$n = 1.

2. 2

   Premier tour : le lutin avance de $1\times 20=20$1 × 20 = 20.

   Puis $n$n devient $2$2.

3. 3

   Deuxième tour : il avance de $2\times 20=40$2 × 20 = 40.

   Puis $n$n devient $3$3.

4. 4

   Troisième tour : il avance de $3\times 20=60$3 × 20 = 60.

   Puis $n$n devient $4$4.

5. 5

   Quatrième tour : il avance de $4\times 20=80$4 × 20 = 80.

   Puis $n$n devient $5$5, mais la boucle s'arrête.

6. 6

   Les segments mesurent donc $20$20, $40$40, $60$60 et $80$80 : la figure obtenue est une spirale carrée, et non un carré.

Rappel de cours : Une variable retient une valeur qui peut changer au cours du programme.

Erreur fréquente : Croire que les quatre segments sont égaux : $n$n augmente à chaque tour, donc la longueur aussi.

Correction détaillée

1. 1

   Départ en $(0;0)$(0 ; 0), orienté vers l'est (vers la droite).

2. 2

   « Avancer de $3$3 » : il va en $(3;0)$(3 ; 0).

3. 3

   « Tourner à droite » : depuis l'est, un quart de tour à droite le fait regarder vers le sud (vers le bas).

4. 4

   « Avancer de $2$2 » vers le sud : il descend de $2$2, donc il est en $(3;-2)$(3 ; -2).

5. 5

   « Tourner à droite » : depuis le sud, il regarde maintenant vers l'ouest (vers la gauche).

6. 6

   « Avancer de $3$3 » vers l'ouest : il recule de $3$3 en abscisse, donc il arrive en $(0;-2)$(0 ; -2).

7. 7

   Il regarde vers l'ouest.

   Comme il est en $(0;-2)$(0 ; -2) et qu'il est parti de $(0;0)$(0 ; 0), il se trouve à $2$2 cases en dessous du départ.

Rappel de cours : Depuis l'est, les quarts de tour à droite donnent successivement : sud, ouest, nord, est.

Erreur fréquente : Oublier de mettre à jour la direction après chaque rotation : c'est l'erreur qui fausse tout le trajet.