Exercices corrigés : Proportionnalité — Sixième

Correction détaillée

1. 1

   Il y a proportionnalité quand, en multipliant une grandeur par un nombre, l'autre est multipliée par le même nombre.

2. 2

   a) Deux fois plus de croissants coûtent deux fois plus cher : c'est proportionnel.

3. 3

   b) Un enfant de $10$10 ans ne mesure pas le double d'un enfant de $5$5 ans : ce n'est pas proportionnel.

4. 4

   c) À vitesse constante, rouler deux fois plus longtemps fait parcourir deux fois plus de distance : c'est proportionnel.

Rappel de cours : Test simple : « si je double l'un, est-ce que l'autre double aussi ? »

Erreur fréquente : Croire que deux grandeurs qui augmentent ensemble sont forcément proportionnelles : l'âge et la taille augmentent tous les deux, sans proportionnalité.

Correction détaillée

1. 1

   Le prix est proportionnel au nombre de stylos : on multiplie le nombre de stylos par le prix d'un stylo.

2. 2

   $2$2 stylos : $2\times 1,50=3$2 × 1,50 = 3 €.

3. 3

   $4$4 stylos : $4\times 1,50=6$4 × 1,50 = 6 €.

4. 4

   $10$10 stylos : $10\times 1,50=15$10 × 1,50 = 15 €.

5. 5

   On peut vérifier la cohérence : $4$4 stylos coûtent le double de $2$2 stylos ($6=2\times 3$6 = 2× 3). ✔

Rappel de cours : Le prix d'un article (ici $1,50$1,50 €) est le coefficient de proportionnalité du tableau.

Erreur fréquente : Additionner $1,50$1,50 à chaque colonne au lieu de multiplier par le nombre d'articles.

Correction détaillée

1. 1

   Pour trouver le prix d'un cahier, on partage le prix total entre les $4$4 cahiers.

2. 2

   $6÷4=1,5$6 ÷ 4 = 1,5 : un cahier coûte $1,50$1,50 €.

3. 3

   Pour passer du nombre de cahiers au prix, on multiplie donc par $1,5$1,5.

4. 4

   Le coefficient de proportionnalité est $1,5$1,5.

5. 5

   Vérification : $4\times 1,5=6$4 × 1,5 = 6 €. ✔

Rappel de cours : Le coefficient de proportionnalité, c'est la valeur qui correspond à « $1$1 » de l'autre grandeur.

Erreur fréquente : Prendre $4÷6$4 ÷ 6 : on obtiendrait le nombre de cahiers par euro, pas le prix d'un cahier.

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1. 1

   On passe de $4$4 à $8$8 personnes : on multiplie le nombre de personnes par $2$2.

2. 2

   Les quantités sont proportionnelles au nombre de personnes : on multiplie donc chaque ingrédient par $2$2.

3. 3

   Farine : $250\times 2=500$250 × 2 = 500 g.

4. 4

   Œufs : $3\times 2=6$3 × 2 = 6 œufs.

5. 5

   Lait : $50\times 2=100$50 × 2 = 100 cL, c'est-à-dire $1$1 L.

Rappel de cours : Toutes les quantités d'une recette se multiplient par le même nombre.

Erreur fréquente : Doubler certains ingrédients et pas d'autres : la recette ne serait plus équilibrée.

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1. 1

   On cherche d'abord le prix d'une seule place : c'est le « passage par l'unité ».

2. 2

   $48÷6=8$48 ÷ 6 = 8 : une place coûte $8$8 €.

3. 3

   On multiplie ensuite par le nombre de places voulu : $9\times 8=72$9 × 8 = 72 €.

4. 4

   Vérification : $9$9 places, c'est une place et demie de plus que $6$6 places… on peut aussi vérifier que $72÷9=8$72 ÷ 9 = 8 €. ✔

Rappel de cours : Passer par l'unité est la méthode la plus sûre : on ramène toujours à « pour 1 ».

Erreur fréquente : Ajouter $3$3 fois $8$8 au hasard sans avoir vérifié le prix unitaire.

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1. 1

   À vitesse constante, la distance est proportionnelle à la durée.

2. 2

   En $4$4 heures : $4\times 90=360$4 × 90 = 360 km.

3. 3

   $30$30 minutes, c'est la moitié d'une heure : on divise donc la distance d'une heure par $2$2.

4. 4

   $90÷2=45$90 ÷ 2 = 45 km.

Rappel de cours : Il faut toujours convertir les durées dans la même unité avant de calculer.

Erreur fréquente : Utiliser « $30$30 » directement dans le calcul : $30$30 minutes n'est pas $30$30 heures.

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1. 1

   La consommation est proportionnelle à la distance parcourue.

2. 2

   On peut chercher la consommation pour $1$1 km : $7÷100=0,07$7 ÷ 100 = 0,07 L.

3. 3

   Pour $350$350 km : $350\times 0,07=24,5$350 × 0,07 = 24,5 L.

4. 4

   Autre méthode, plus rapide : $350$350 km, c'est $3,5$3,5 fois $100$100 km, donc $3,5\times 7=24,5$3,5 × 7 = 24,5 L.

5. 5

   Ordre de grandeur : un peu plus de trois fois $7$7 litres, soit un peu plus de $21$21 L.

   C'est cohérent.

Rappel de cours : Quand une valeur est donnée « pour 100 », chercher combien de fois $100$100 est contenu dans la distance est souvent le plus rapide.

Erreur fréquente : Multiplier $350$350 par $7$7 : on obtiendrait $2450$2450 litres, ce qui est absurde pour une voiture.

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1. 1

   $50\%$50 %, c'est la moitié : $84÷2=42$84 ÷ 2 = 42.

2. 2

   $25\%$25 %, c'est le quart : $84÷4=21$84 ÷ 4 = 21.

   On peut aussi prendre la moitié de la moitié : $42÷2=21$42 ÷ 2 = 21.

3. 3

   $10\%$10 %, c'est un dixième : $84÷10=8,4$84 ÷ 10 = 8,4.

4. 4

   Vérification : $25\%$25 % doit valoir la moitié de $50\%$50 %, et c'est bien le cas ($21$21 est la moitié de $42$42). ✔

Rappel de cours : $50\%=\frac{1}{2}$50 % = 1/2, $25\%=\frac{1}{4}$25 % = 1/4, $10\%=\frac{1}{10}$10 % = 1/10.

Erreur fréquente : Diviser par $10$10 pour $25\%$25 % : chaque pourcentage a sa propre fraction.

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1. 1

   $20\%$20 % signifie $20$20 pour $100$100, c'est-à-dire la fraction $\frac{20}{100}$20/100.

2. 2

   Calculer $20\%$20 % de $45$45, c'est calculer $\frac{20}{100}\times 45$20/100 × 45.

3. 3

   On peut d'abord chercher $10\%$10 % : $45÷10=4,5$45 ÷ 10 = 4,5.

4. 4

   $20\%$20 %, c'est le double : $2\times 4,5=9$2 × 4,5 = 9.

5. 5

   Vérification par le calcul direct : $45\times 20=900$45 × 20 = 900, puis $900÷100=9$900 ÷ 100 = 9. ✔

Rappel de cours : $p\%$p % d'une quantité $=\frac{p}{100}\times$= p/100 × quantité.

Erreur fréquente : Répondre $20$20 élèves : $20\%$20 % est une proportion, pas un effectif.

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1. 1

   La distance réelle est proportionnelle à la distance sur la carte.

2. 2

   $1$1 cm sur la carte correspond à $2$2 km en réalité : le coefficient est $2$2 (en km par cm).

3. 3

   Pour $7,5$7,5 cm : $7,5\times 2=15$7,5 × 2 = 15 km.

4. 4

   Ordre de grandeur : $7,5$7,5 cm, c'est un peu moins de $8$8 cm, donc un peu moins de $16$16 km. ✔

Rappel de cours : Une échelle est un tableau de proportionnalité entre les distances sur le plan et les distances réelles.

Erreur fréquente : Diviser par $2$2 au lieu de multiplier : la réalité est toujours plus grande que la carte.

Correction détaillée

1. 1

   Calculons le prix pour $1$1 km : $4+2\times 1=6$4 + 2 × 1 = 6 €.

2. 2

   Calculons le prix pour $2$2 km : $4+2\times 2=8$4 + 2 × 2 = 8 €.

3. 3

   Si la situation était proportionnelle, doubler la distance devrait doubler le prix : $6\times 2=12$6 × 2 = 12 €.

4. 4

   Or on trouve $8$8 € et non $12$12 € : ce n'est donc pas proportionnel.

5. 5

   La raison est la prise en charge de $4$4 € : elle est payée une seule fois, quelle que soit la distance.

Rappel de cours : Une somme fixe ajoutée (abonnement, prise en charge) détruit la proportionnalité.

Erreur fréquente : Voir « $2$2 € par km » et conclure trop vite à la proportionnalité : c'est le prix TOTAL qu'il faut tester.

Correction détaillée

1. 1

   On passe d'abord par l'unité : prix d'un croissant $=6,25÷5$= 6,25 ÷ 5.

2. 2

   $6,25÷5=1,25$6,25 ÷ 5 = 1,25 € : un croissant coûte $1,25$1,25 €.

3. 3

   Prix de $8$8 croissants : $8\times 1,25$8 × 1,25.

4. 4

   $8\times 1,25=8\times 1+8\times 0,25=8+2=10$8 × 1,25 = 8 × 1 + 8 × 0,25 = 8 + 2 = 10 €.

5. 5

   Vérification : $10÷8=1,25$10 ÷ 8 = 1,25 €, c'est bien le prix unitaire trouvé. ✔

Rappel de cours : Règle de trois : on divise par la quantité connue, puis on multiplie par la quantité cherchée.

Erreur fréquente : Ajouter $3$3 croissants « à peu près » au prix de départ, sans repasser par le prix unitaire.

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1. 1

   On calcule d'abord la distance réelle en centimètres : $4\times 25000=100000$4 × 25 000 = 100 000 cm.

2. 2

   On convertit ensuite en mètres : $1$1 m $=100$= 100 cm, donc on divise par $100$100.

3. 3

   $100000÷100=1000$100 000 ÷ 100 = 1000 m.

4. 4

   On convertit en kilomètres : $1$1 km $=1000$= 1000 m, donc $1000$1000 m $=1$= 1 km.

5. 5

   La distance réelle est donc de $1$1 km.

Rappel de cours : Échelle $\frac{1}{n}$1/n : la réalité est $n$n fois plus grande que le plan.

Erreur fréquente : Oublier les conversions : $100000$100 000 cm n'est pas $100000$100 000 m.

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1. 1

   Montant de la réduction : $30\%$30 % de $45$45 €, c'est-à-dire $\frac{30}{100}\times 45$30/100 × 45.

2. 2

   Méthode par $10\%$10 % : $10\%$10 % de $45$45 valent $4,50$4,50 €, donc $30\%$30 % valent $3\times 4,50=13,50$3 × 4,50 = 13,50 €.

3. 3

   Prix payé : on retire la réduction du prix initial, $45-13,50=31,50$45 - 13,50 = 31,50 €.

4. 4

   Autre méthode : si on retire $30\%$30 %, on paie $70\%$70 % du prix.

   $70\%$70 % de $45$45 : $7\times 4,50=31,50$7 × 4,50 = 31,50 €.

   Même résultat. ✔

Rappel de cours : Après une réduction de $p\%$p %, on paie $(100-p)\%$(100-p) % du prix.

Erreur fréquente : Répondre $13,50$13,50 € à la deuxième question : c'est la réduction, pas le prix à payer.

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1. 1

   On cherche le coefficient qui fait passer de $4$4 à $6$6 personnes : $6÷4=1,5$6 ÷ 4 = 1,5.

2. 2

   Farine : $200\times 1,5=300$200 × 1,5 = 300 g.

3. 3

   Sucre : $120\times 1,5=180$120 × 1,5 = 180 g.

4. 4

   Œufs : $3\times 1,5=4,5$3 × 1,5 = 4,5 œufs.

   Comme on ne peut pas couper un œuf en deux facilement, on arrondira en pratique à $4$4 ou $5$5 œufs.

5. 5

   Autre méthode : passer par $1$1 personne ($200÷4=50$200 ÷ 4 = 50 g de farine), puis multiplier par $6$6 ($50\times 6=300$50 × 6 = 300 g).

   Même résultat. ✔

Rappel de cours : Le coefficient peut être décimal : ici $1,5$1,5, c'est-à-dire « une fois et demie ».

Erreur fréquente : Ajouter $2$2 personnes en ajoutant $2$2 fois les quantités « pour 1 personne » sans les avoir calculées.

Correction détaillée

1. 1

   Pour comparer, il faut ramener les deux offres à la même quantité : le prix d'un kilogramme.

2. 2

   Stand A : $6÷1,5$6 ÷ 1,5.

   Comme $1,5\times 4=6$1,5 × 4 = 6, on trouve $4$4 € le kilogramme.

3. 3

   Stand B : $7,60÷2=3,80$7,60 ÷ 2 = 3,80 € le kilogramme.

4. 4

   On compare : $3,80<4$3,80 < 4, donc le kilogramme est moins cher au stand B.

5. 5

   Le stand B est plus avantageux, avec $0,20$0,20 € d'économie par kilogramme.

Rappel de cours : Comparer deux offres se fait toujours à quantité égale : le prix « au kilo » ou « à l'unité ».

Erreur fréquente : Comparer directement $6$6 € et $7,60$7,60 € : les quantités ne sont pas les mêmes.

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1. 1

   Surface d'un mur : $3\times 2,5=7,5$3 × 2,5 = 7,5 m².

2. 2

   Surface des $4$4 murs : $4\times 7,5=30$4 × 7,5 = 30 m².

3. 3

   Nombre de pots nécessaires : $30÷8=3,75$30 ÷ 8 = 3,75.

4. 4

   On ne peut pas acheter $3,75$3,75 pot : avec $3$3 pots on ne couvrirait que $3\times 8=24$3 × 8 = 24 m², ce qui est insuffisant.

   Il faut donc $4$4 pots.

5. 5

   Coût : $4\times 12=48$4 × 12 = 48 €.

6. 6

   Vérification : $4$4 pots couvrent $32$32 m², c'est bien assez pour $30$30 m². ✔

Rappel de cours : Quand un résultat n'est pas entier mais qu'on achète des objets entiers, on arrondit toujours à l'entier supérieur.

Erreur fréquente : Arrondir $3,75$3,75 à $4$4 « parce que c'est plus proche » : la vraie raison est qu'il en manquerait sinon.

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1. 1

   On connaît la valeur d'un pourcentage et on cherche le total : c'est le raisonnement inverse de l'habitude.

2. 2

   $25\%$25 % correspond à la fraction $\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$25/100=1/4 : le quart de la classe, c'est $7$7 élèves.

3. 3

   Si un quart vaut $7$7 élèves, alors la classe entière vaut $4$4 quarts.

4. 4

   Effectif total : $4\times 7=28$4 × 7 = 28 élèves.

5. 5

   Vérification : $25\%$25 % de $28$28 valent $28÷4=7$28 ÷ 4 = 7 élèves. ✔

Rappel de cours : Pour remonter au total, on divise par le pourcentage exprimé en fraction — ici, on multiplie par $4$4.

Erreur fréquente : Calculer $25\%$25 % de $7$7 : on chercherait un pourcentage de la part, pas le total.

Correction détaillée

1. 1

   On convertit d'abord les dimensions réelles en centimètres : $4,5$4,5 m $=450$= 450 cm et $3$3 m $=300$= 300 cm.

2. 2

   Sur le plan, chaque longueur est $50$50 fois plus petite : on divise donc par $50$50.

3. 3

   Longueur sur le plan : $450÷50=9$450 ÷ 50 = 9 cm.

4. 4

   Largeur sur le plan : $300÷50=6$300 ÷ 50 = 6 cm.

5. 5

   Aire réelle de la pièce : $4,5\times 3=13,5$4,5 × 3 = 13,5 m².

6. 6

   Remarque intéressante : sur le plan, l'aire vaut $9\times 6=54$9 × 6 = 54 cm², et non l'aire réelle divisée par $50$50 — les aires ne se réduisent pas comme les longueurs.

Rappel de cours : À l'échelle $\frac{1}{n}$1/n, on divise les longueurs réelles par $n$n après les avoir converties dans la même unité.

Erreur fréquente : Diviser $4,5$4,5 par $50$50 sans convertir : on obtiendrait $0,09$0,09, un résultat en mètres qu'on lirait à tort en centimètres.

Correction détaillée

1. 1

   La boisson est composée de $1$1 volume de sirop et $6$6 volumes d'eau : au total $1+6=7$1+6=7 volumes.

2. 2

   Ces $7$7 volumes représentent $2,1$2,1 litres, donc un volume vaut $2,1÷7=0,3$2,1 ÷ 7 = 0,3 litre.

3. 3

   Sirop : $1$1 volume, soit $0,3$0,3 L (c'est-à-dire $30$30 cL).

4. 4

   Eau : $6$6 volumes, soit $6\times 0,3=1,8$6 × 0,3 = 1,8 L.

5. 5

   Vérification : $0,3+1,8=2,1$0,3 + 1,8 = 2,1 L, et le rapport est bien de $1$1 pour $6$6 puisque $1,8÷0,3=6$1,8 ÷ 0,3 = 6. ✔

Rappel de cours : Dans un mélange « 1 pour 6 », le total vaut $7$7 parts : c'est ce total qu'il faut ramener à la quantité voulue.

Erreur fréquente : Partager $2,1$2,1 L en $6$6 parts : le sirop compte aussi dans le volume final.