Exercices corrigés : Figures planes — Sixième

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1. 1

   Le diamètre d'un cercle est deux fois son rayon.

2. 2

   Diamètre $=2\times 4=8$= 2 × 4 = 8 cm.

3. 3

   Le rayon est la distance entre le centre et n'importe quel point du cercle.

4. 4

   Comme $M$M est sur le cercle, la distance $OM$OM est égale au rayon, soit $4$4 cm.

Rappel de cours : Tous les points d'un cercle sont à la même distance du centre : cette distance est le rayon.

Erreur fréquente : Confondre rayon et diamètre : le diamètre traverse le cercle en entier, le rayon va du centre au bord.

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1. 1

   On compare les longueurs des trois côtés : $5$5 cm, $5$5 cm et $7$7 cm.

2. 2

   Deux côtés ont la même longueur ($AB$AB et $BC$BC), le troisième est différent.

3. 3

   Un triangle qui a exactement deux côtés de même longueur est un triangle isocèle.

4. 4

   Les deux côtés égaux partent tous les deux du point $B$B : le triangle est isocèle en $B$B.

Rappel de cours : Isocèle = deux côtés égaux · équilatéral = trois côtés égaux · quelconque = tous différents.

Erreur fréquente : Oublier de préciser le sommet : « isocèle en $B$B » est plus précis que « isocèle ».

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1. 1

   Les trois côtés ont la même longueur : le triangle est équilatéral.

2. 2

   Dans un triangle équilatéral, les trois angles ont aussi la même mesure.

3. 3

   La somme des angles d'un triangle vaut toujours $180°$180°.

4. 4

   Chaque angle mesure donc $180÷3=60°$180 ÷ 3 = 60°.

Rappel de cours : Un triangle équilatéral a trois côtés égaux ET trois angles de $60°$60°.

Erreur fréquente : Croire que les angles valent $90°$90° : seul le triangle rectangle a un angle droit.

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1. 1

   Un rectangle a quatre angles droits, c'est-à-dire quatre angles de $90°$90°.

2. 2

   Ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.

3. 3

   Ses côtés opposés ont la même longueur : la longueur en face de la longueur, la largeur en face de la largeur.

4. 4

   On peut ajouter une quatrième propriété : ses deux diagonales ont la même longueur et se coupent en leur milieu.

Rappel de cours : Le carré est un rectangle particulier : il a en plus ses quatre côtés égaux.

Erreur fréquente : Dire que « tous les côtés sont égaux » : c'est vrai pour le carré, pas pour un rectangle quelconque.

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1. 1

   Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.

2. 2

   Un carré a bien quatre angles droits : c'est donc un rectangle.

   C'est un rectangle particulier, celui dont tous les côtés sont égaux.

3. 3

   En revanche, un rectangle n'a pas forcément ses quatre côtés égaux : un rectangle de $3$3 cm sur $7$7 cm n'est pas un carré.

4. 4

   Conclusion : tout carré est un rectangle, mais tout rectangle n'est pas un carré.

Rappel de cours : Le carré cumule les propriétés du rectangle et celles du losange.

Erreur fréquente : Répondre « non » aux deux questions : la première inclusion est vraie.

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1. 1

   On trace d'abord le segment le plus long pour bien placer la figure : $[AB]$[AB] de $6$6 cm, à la règle graduée.

2. 2

   Le point $C$C doit être à $4$4 cm de $A$A : on trace donc, au compas pointé en $A$A, un arc de cercle de rayon $4$4 cm.

3. 3

   Le point $C$C doit aussi être à $5$5 cm de $B$B : on trace, au compas pointé en $B$B, un arc de cercle de rayon $5$5 cm.

4. 4

   Le point $C$C est à l'intersection des deux arcs : il vérifie les deux conditions à la fois.

5. 5

   On termine en traçant les segments $[AC]$[AC] et $[BC]$[BC] à la règle.

6. 6

   Remarque : les deux arcs se coupent en deux points, un de chaque côté de $(AB)$(AB).

   Les deux triangles obtenus conviennent.

Rappel de cours : Le compas sert à reporter une distance : « être à $4$4 cm de $A$A » se traduit par un arc de centre $A$A et de rayon $4$4 cm.

Erreur fréquente : Vouloir placer $C$C « à peu près » à la règle : seule l'intersection des deux arcs garantit les deux longueurs.

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1. 1

   Pour construire un triangle, il faut que le plus long côté soit plus court que la somme des deux autres.

2. 2

   Ici le plus long côté mesure $9$9 cm.

3. 3

   La somme des deux autres vaut $3+4=7$3 + 4 = 7 cm.

4. 4

   Or $7<9$7 < 9 : les deux petits côtés sont trop courts pour se rejoindre.

5. 5

   Concrètement, les deux arcs de compas de rayons $3$3 cm et $4$4 cm ne se couperaient jamais : ils sont trop éloignés.

6. 6

   Le triangle est donc impossible à construire.

Rappel de cours : Inégalité triangulaire : le plus grand côté doit être inférieur à la somme des deux autres.

Erreur fréquente : Vérifier seulement une somme au hasard : c'est bien le PLUS GRAND côté qu'il faut comparer à la somme des deux autres.

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1. 1

   Deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit, c'est-à-dire un angle de $90°$90°.

2. 2

   On vérifie avec l'équerre : on place son angle droit au point d'intersection et on regarde si les deux côtés suivent exactement les deux droites.

3. 3

   Sur la figure, on code l'angle droit par un petit carré placé au point d'intersection.

4. 4

   On note cette propriété $(d)\perp (d^{\prime })$(d) ⊥ (d').

Rappel de cours : Perpendiculaires = angle droit · parallèles = jamais de point commun, écart constant.

Erreur fréquente : Se fier à l'aspect « en croix » du dessin : seule l'équerre prouve l'angle droit.

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1. 1

   $(d_1)$(d₁) coupe $(D)$(D) en formant un angle droit, et $(d_2)$(d₂) aussi.

2. 2

   Les deux droites « partent » donc dans exactement la même direction par rapport à $(D)$(D).

3. 3

   D'après la propriété du cours : si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.

4. 4

   Donc $(d_1)$(d₁) et $(d_2)$(d₂) sont parallèles, ce que l'on note $(d_1)\parallel (d_2)$(d₁) parallel (d₂).

Rappel de cours : Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.

Erreur fréquente : Croire qu'elles sont perpendiculaires entre elles : elles le sont chacune à $(D)$(D), pas l'une à l'autre.

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1. 1

   Le milieu partage le segment en deux parties de même longueur.

2. 2

   $AI=8÷2=4$AI = 8 ÷ 2 = 4 cm, et de même $IB=4$IB = 4 cm.

3. 3

   La médiatrice de $[AB]$[AB] est la droite qui passe par le milieu $I$I et qui est perpendiculaire à $[AB]$[AB].

4. 4

   Elle a une propriété importante : tous ses points sont à égale distance de $A$A et de $B$B.

Rappel de cours : Médiatrice = perpendiculaire + passe par le milieu. Les deux conditions sont nécessaires.

Erreur fréquente : Confondre la médiatrice (perpendiculaire au milieu) et la médiane d'un triangle (qui joint un sommet au milieu du côté opposé).

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1. 1

   On trace le segment $[AB]$[AB] de $7$7 cm à la règle graduée.

2. 2

   En $B$B, on trace la perpendiculaire à $(AB)$(AB) en utilisant l'équerre : on place l'angle droit de l'équerre sur $B$B, un côté le long de $[AB]$[AB].

3. 3

   Sur cette perpendiculaire, on reporte $4$4 cm à partir de $B$B : on obtient le point $C$C.

4. 4

   On recommence en $A$A : on trace la perpendiculaire à $(AB)$(AB) passant par $A$A, et on reporte $4$4 cm dans le même sens que $C$C pour obtenir $D$D.

5. 5

   On termine en traçant $[CD]$[CD].

6. 6

   Vérification : $[DC]$[DC] doit mesurer $7$7 cm, comme $[AB]$[AB].

   Si ce n'est pas le cas, un angle droit a été mal tracé.

Rappel de cours : Dans un rectangle, il suffit de construire trois angles droits : le quatrième est automatiquement droit.

Erreur fréquente : Reporter les $4$4 cm dans des sens opposés : on obtiendrait un parallélogramme croisé, pas un rectangle.

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1. 1

   Un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur est un losange.

2. 2

   Dans un losange, les diagonales ont deux propriétés remarquables.

3. 3

   Premièrement, elles se coupent en leur milieu.

4. 4

   Deuxièmement, elles sont perpendiculaires entre elles.

5. 5

   Attention : contrairement au rectangle, les deux diagonales d'un losange n'ont pas la même longueur (sauf si le losange est un carré).

Rappel de cours : Losange : 4 côtés égaux, diagonales perpendiculaires se coupant en leur milieu.

Erreur fréquente : Dire que les diagonales sont égales : c'est vrai pour le rectangle, pas pour le losange.

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1. 1

   La somme des trois angles d'un triangle vaut toujours $180°$180°.

2. 2

   On additionne les deux angles connus : $50+70=120°$50 + 70 = 120°.

3. 3

   L'angle restant vaut donc $180-120=60°$180 - 120 = 60°.

4. 4

   Vérification : $50+70+60=180°$50 + 70 + 60 = 180°. ✔

5. 5

   Remarque : ce triangle a trois angles différents et aucun angle droit, c'est un triangle quelconque.

Rappel de cours : Dans tout triangle, la somme des angles vaut $180°$180°.

Erreur fréquente : Soustraire un seul angle de $180°$180° : il faut retirer la somme des deux angles connus.

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1. 1

   Rectangle en $R$R signifie que l'angle en $R$R mesure $90°$90°.

2. 2

   Isocèle en $R$R signifie que les deux côtés issus de $R$R sont égaux, donc que les deux autres angles (en $S$S et en $T$T) sont égaux.

3. 3

   La somme des trois angles vaut $180°$180° : les angles en $S$S et $T$T totalisent $180-90=90°$180 - 90 = 90°.

4. 4

   Comme ils sont égaux, chacun vaut $90÷2=45°$90 ÷ 2 = 45°.

5. 5

   Vérification : $90+45+45=180°$90 + 45 + 45 = 180°. ✔

Rappel de cours : Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont égaux.

Erreur fréquente : Croire que les trois angles valent $60°$60° : ce serait un triangle équilatéral, qui n'a pas d'angle droit.

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1. 1

   Les marques identiques signifient « ces côtés ont la même longueur ».

2. 2

   $[AB]$[AB] et $[CD]$[CD] portent une marque : ils sont égaux entre eux.

   $[BC]$[BC] et $[AD]$[AD] portent deux marques : ils sont égaux entre eux, mais d'une longueur différente des premiers.

3. 3

   Les quatre petits carrés indiquent quatre angles droits.

4. 4

   Un quadrilatère avec quatre angles droits est un rectangle.

   Ses côtés opposés sont bien égaux deux à deux, ce que confirme le codage.

5. 5

   Ce n'est pas un carré, puisque les marques indiquent deux longueurs différentes.

Rappel de cours : Le codage remplace les mesures : mêmes marques = mêmes longueurs, petit carré = angle droit.

Erreur fréquente : Lire « deux marques » comme « longueur double » : les marques indiquent l'égalité, pas une proportion.

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1. 1

   $A$A est sur le cercle de centre $O$O, donc $OA=3$OA = 3 cm (le rayon).

2. 2

   $B$B est aussi sur le cercle, donc $OB=3$OB = 3 cm.

3. 3

   Le triangle $OAB$OAB a donc deux côtés égaux : $OA=OB=3$OA = OB = 3 cm.

4. 4

   Il est donc isocèle en $O$O.

5. 5

   On ne peut rien dire de plus sans connaître la position de $A$A et $B$B : la longueur $AB$AB peut varier, et le triangle peut même être équilatéral dans un cas particulier.

Rappel de cours : Deux points d'un même cercle sont à la même distance du centre : cela fabrique automatiquement un triangle isocèle.

Erreur fréquente : Affirmer que $AB=3$AB = 3 cm : seule la distance au centre est imposée par le cercle.

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1. 1

   Le point $C$C appartient au cercle de centre $A$A et de rayon $6$6 cm : donc $AC=6$AC = 6 cm.

2. 2

   Le point $C$C appartient aussi au cercle de centre $B$B et de rayon $6$6 cm : donc $BC=6$BC = 6 cm.

3. 3

   Par ailleurs, le segment de départ donne $AB=6$AB = 6 cm.

4. 4

   Les trois côtés du triangle mesurent donc $6$6 cm : le triangle est équilatéral.

5. 5

   Conséquence : ses trois angles mesurent $60°$60° chacun.

6. 6

   C'est la construction classique du triangle équilatéral au compas, sans avoir besoin du rapporteur.

Rappel de cours : Un point situé à l'intersection de deux cercles est à la fois à la distance du premier rayon et à celle du second.

Erreur fréquente : Croire qu'il faut mesurer les angles : les longueurs suffisent à prouver que le triangle est équilatéral.

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1. 1

   Étape 1 : tracer le segment $[MN]$[MN] de $5$5 cm à la règle graduée.

2. 2

   Étape 2 : à l'aide de l'équerre, tracer la perpendiculaire à $(MN)$(MN) passant par $N$N.

3. 3

   Étape 3 : sur cette perpendiculaire, placer le point $P$P tel que $NP=5$NP = 5 cm.

4. 4

   Étape 4 : tracer la perpendiculaire à $(MN)$(MN) passant par $M$M, et placer $Q$Q tel que $MQ=5$MQ = 5 cm, du même côté que $P$P.

5. 5

   Étape 5 : tracer le segment $[PQ]$[PQ] pour fermer la figure.

6. 6

   Vérification : $[PQ]$[PQ] doit mesurer $5$5 cm et l'angle en $P$P doit être droit.

   Si c'est le cas, la construction est juste.

Rappel de cours : Un bon programme de construction est une suite d'ordres numérotés, sans ambiguïté, qu'une autre personne peut suivre.

Erreur fréquente : Écrire « tracer un carré de $5$5 cm » : ce n'est pas un programme, cela ne dit pas comment faire.

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1. 1

   a) Deux angles droits feraient déjà $90+90=180°$90 + 90 = 180°.

   Il ne resterait $0°$0° pour le troisième angle, ce qui est impossible : les deux côtés seraient parallèles et ne se rejoindraient jamais.

   L'affirmation est FAUSSE.

2. 2

   b) Un losange a ses quatre côtés égaux ; un rectangle a ses quatre angles droits.

   Une figure qui a les deux propriétés est un carré.

   Un losange peut donc être un rectangle, à condition d'être un carré.

   L'affirmation est VRAIE.

3. 3

   c) Les trois médiatrices d'un triangle se coupent effectivement en un même point.

   Ce point est à égale distance des trois sommets : c'est le centre du cercle qui passe par les trois sommets (le cercle circonscrit).

   L'affirmation est VRAIE.

Rappel de cours : Pour montrer qu'une affirmation est fausse, un seul contre-exemple ou un raisonnement d'impossibilité suffit.

Erreur fréquente : Répondre « faux » à b) sans penser au carré : « peut être » signifie « il existe au moins un cas ».

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1. 1

   Premier indice : les diagonales se coupent en leur milieu.

   Cela caractérise les parallélogrammes : la figure est donc au moins un parallélogramme.

2. 2

   Deuxième indice : les diagonales sont perpendiculaires.

   Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange, donc ses quatre côtés sont égaux.

3. 3

   Troisième indice : les diagonales ont la même longueur.

   Un parallélogramme dont les diagonales sont égales est un rectangle, donc il a quatre angles droits.

4. 4

   La figure est donc à la fois un losange (côtés égaux) et un rectangle (angles droits).

5. 5

   Une figure qui a ces deux propriétés est un carré.

Rappel de cours : Chaque propriété des diagonales correspond à une famille : milieu → parallélogramme, perpendiculaires → losange, égales → rectangle.

Erreur fréquente : S'arrêter à « losange » après le deuxième indice : le troisième ajoute une information décisive.