Proportionnalité en Sixième

La proportionnalité en 6ème : cours complet

Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre. La proportionnalité est partout : prix d'achat selon la quantité, distance parcourue selon le temps à vitesse constante, ingrédients d'une recette… Cette fiche t'explique comment reconnaître la proportionnalité et faire les calculs.

Reconnaître une situation de proportionnalité

Définition

Deux grandeurs sont proportionnelles si on peut passer de l'une à l'autre en multipliant par un même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.

Exemple

$1$1 croissant coûte $1,20$1,20 €. Combien coûtent $2$2, $3$3, $5$5 croissants ?

On passe du nombre de croissants au prix en multipliant par $1,20$1,20. Le coefficient de proportionnalité est $1,20$1,20.

Contre-exemple

L'âge d'un enfant et sa taille ne sont pas proportionnels : à $2$2 ans il mesure $85$85 cm, à $4$4 ans il ne mesure pas $170$170 cm !

Comment reconnaître la proportionnalité dans un tableau

Pour vérifier qu'un tableau est un tableau de proportionnalité, on regarde si on passe de chaque valeur de la première ligne à la valeur correspondante de la deuxième ligne en multipliant par le même nombre.

• $3\times 2=6$3 × 2 = 6 ✓
• $5\times 2=10$5 × 2 = 10 ✓
• $8\times 2=16$8 × 2 = 16 ✓

Le coefficient est $2$2 : c'est bien proportionnel.

Calculer une quatrième valeur

C'est la question la plus fréquente : on connaît trois valeurs, il faut trouver la quatrième.

Méthode 1 : Le coefficient de proportionnalité

$5$5 kg de pommes coûtent $7$7 €. Combien coûtent $12$12 kg ?

• Coefficient : $7÷5=1,4$7 ÷ 5 = 1,4 € par kg.
• Prix de $12$12 kg : $12\times 1,4=16,80$12 × 1,4 = 16,80 €.

Méthode 2 : Le passage par l'unité (règle de trois)

• $5$5 kg coûtent $7$7 € ;
• donc $1$1 kg coûte $7÷5=1,4$7 ÷ 5 = 1,4 € ;
• donc $12$12 kg coûtent $12\times 1,4=16,80$12 × 1,4 = 16,80 €.

Méthode 3 : Le produit en croix

On dispose les données dans un tableau :

Le produit en croix donne : $5\times ?=12\times 7$5 × ? = 12 × 7, donc $?=\frac{12\times 7}{5}=\frac{84}{5}=16,80$? = (12 × 7)/5 = 84/5 = 16,80.

Pourcentages : un cas particulier de proportionnalité

Un pourcentage indique « pour cent ». Calculer $25\%$25% d'une quantité, c'est calculer $\frac{25}{100}$25/100 de cette quantité.

Calculer un pourcentage

$25\%$25% de $80$80 € :

$$\frac{25}{100}\times 80=\frac{25\times 80}{100}=\frac{2000}{100}=20\text{€}$$25/100 × 80 = (25 × 80)/100 = 2000/100 = 20 €

Pourcentages courants

• $50\%$50% d'une quantité = la moitié ($50\%=\frac{1}{2}$50% = 1/2).
• $25\%$25% d'une quantité = le quart ($25\%=\frac{1}{4}$25% = 1/4).
• $10\%$10% d'une quantité = on divise par $10$10.
• $100\%$100% = la totalité.

Échelles

Sur une carte ou un plan, l'échelle est un coefficient de proportionnalité entre les longueurs sur le dessin et les longueurs réelles.

Exemple : à l'échelle $\frac{1}{100}$1/100, $1$1 cm sur le plan représente $100$100 cm $=1$= 1 m en réalité.

Vitesse moyenne

La vitesse est aussi une situation de proportionnalité. Si une voiture roule à $80$80 km/h :

$$\text{Distance}=\text{Vitesse}\times \text{Temps}$$Distance = Vitesse × Temps

Erreurs fréquentes à éviter

• Croire que tout est proportionnel : l'âge et la taille ne le sont pas, le prix avec une réduction non plus.
• Mélanger les unités : si on travaille en euros, tout doit être en euros (pas mélanger € et centimes).
• Confondre coefficient et résultat : le coefficient est ce par quoi on multiplie, pas le résultat.
• Mal placer le produit en croix : les valeurs en croix se multiplient entre elles, jamais celles de la même colonne.

FAQ — La proportionnalité

Comment reconnaître à coup sûr une situation de proportionnalité ?

Il faut qu'en doublant une grandeur, l'autre double aussi ; en triplant l'une, l'autre triple, etc.

À quoi sert la règle de trois ?

À calculer une quatrième valeur à partir de trois valeurs connues. Très utile pour les recettes, les achats, les conversions.

Comment calculer rapidement $10\%$10% d'un nombre ?

Il suffit de diviser par $10$10 (déplacer la virgule d'un cran vers la gauche). Exemple : $10\%$10% de $35$35 € = $3,50$3,50 €.

Quelle est la différence entre une fraction et un pourcentage ?

C'est la même chose ! $50\%=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$50% = 50/100 = 1/2. Le pourcentage est juste une écriture avec un dénominateur de $100$100.