Symétrie axiale en Sixième

La symétrie axiale en 6ème : cours complet

La symétrie axiale est une transformation géométrique qu'on observe partout : dans la nature (papillons, feuilles), dans l'art, dans l'architecture. En sixième, tu apprends à reconnaître, à construire et à utiliser la symétrie par rapport à une droite (appelée axe de symétrie).

Qu'est-ce que la symétrie axiale ?

Définition

La symétrie axiale par rapport à une droite $(d)$(d) est une transformation qui, à chaque point $M$M du plan, associe un point $M^{\prime }$M' tel que la droite $(d)$(d) soit la médiatrice du segment $[M{M}^{\prime }]$[MM'].

Autrement dit, $M^{\prime }$M' est l'image de $M$M par la symétrie d'axe $(d)$(d) si :

• la droite $(M{M}^{\prime })$(MM') est perpendiculaire à $(d)$(d) ;
• $M$M et $M^{\prime }$M' sont à la même distance de $(d)$(d).

Image d'une figure

L'image d'une figure par symétrie axiale est la figure obtenue en construisant le symétrique de chacun de ses points. On obtient une figure de même forme et de même dimensions, comme « reflétée dans un miroir ».

Axe de symétrie d'une figure

Une figure admet un axe de symétrie si elle se superpose à elle-même lorsqu'on la plie le long de cet axe.

Exemples

Comment trouver les axes ?

Tu peux plier mentalement la figure : si les deux moitiés se superposent exactement, le pli est un axe de symétrie.

Construire le symétrique d'un point

Méthode au compas et à l'équerre

Pour construire le symétrique $M^{\prime }$M' de $M$M par rapport à l'axe $(d)$(d) :

1. Trace la perpendiculaire à $(d)$(d) passant par $M$M (avec l'équerre).
2. Repère le point d'intersection $H$H de cette perpendiculaire avec $(d)$(d).
3. Reporte la longueur $MH$MH de l'autre côté de $(d)$(d) : $M^{\prime }$M' est le point tel que $H$H est le milieu de $[M{M}^{\prime }]$[MM'].

Méthode rapide au compas

Tu peux aussi placer la pointe du compas sur deux points de $(d)$(d) et tracer des arcs : leur intersection de l'autre côté donne $M^{\prime }$M'.

Construire le symétrique d'une figure

Pour construire le symétrique d'une figure (segment, triangle, polygone) :

1. Construis le symétrique de chaque sommet (chaque point essentiel).
2. Relie les symétriques dans le même ordre.

Cas particuliers

• Segment : on construit le symétrique de ses deux extrémités, puis on les relie.
• Cercle : le symétrique du centre est le centre du nouveau cercle, qui a le même rayon.
• Droite : il suffit de symétriser deux points.

Propriétés conservées par la symétrie axiale

La symétrie axiale conserve :

• les longueurs (un segment garde sa longueur) ;
• les angles (un angle garde sa mesure) ;
• les aires (une figure et son image ont la même aire) ;
• les alignements (des points alignés restent alignés) ;
• le parallélisme et la perpendicularité.

Attention : la symétrie inverse l'orientation (comme dans un miroir, la main droite devient main gauche).

Médiatrice d'un segment

La médiatrice d'un segment $[AB]$[AB] est la droite perpendiculaire à $[AB]$[AB] passant par son milieu.

Propriété fondamentale

Un point appartient à la médiatrice d'un segment si et seulement si il est à égale distance des deux extrémités de ce segment.

Construction au compas

1. Pointe du compas en $A$A, trace un arc.
2. Pointe en $B$B, trace un arc avec le même écartement.
3. Les deux arcs se coupent en deux points.
4. La droite qui les relie est la médiatrice.

Erreurs fréquentes à éviter

• Penser qu'un parallélogramme a un axe de symétrie : sauf cas particulier (rectangle, losange, carré), il n'en a aucun.
• Mal construire le symétrique : la droite $(M{M}^{\prime })$(MM') doit être perpendiculaire à l'axe.
• Oublier de conserver l'ordre des sommets lorsqu'on relie les symétriques.
• Confondre axe et centre de symétrie : ce n'est pas la même chose (le centre de symétrie sera étudié plus tard).
• Ne pas vérifier l'égalité des distances $MH$MH et $H{M}^{\prime }$HM'.

FAQ — La symétrie axiale

Comment savoir si une figure a un axe de symétrie ?

Tu plies (mentalement) la figure : si les deux moitiés se superposent exactement, il y a un axe de symétrie.

Combien d'axes de symétrie a un carré ?

Un carré a $4$4 axes de symétrie : les deux diagonales et les deux médiatrices des côtés.

Le symétrique d'un point sur l'axe, c'est quoi ?

Si $M$M est sur l'axe $(d)$(d), alors son symétrique est lui-même : $M^{\prime }=M$M' = M.

Peut-on utiliser la symétrie pour vérifier qu'on a bien construit une figure ?

Oui : si la figure est symétrique par rapport à un axe, tu peux plier la feuille le long de cet axe et vérifier que les points se superposent.