Exercices corrigés : Fonctions linéaires — Troisième

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1. 1

   $f(2)=3\times 2=6$f(2)=3× 2=6 ; $f(5)=3\times 5=15$f(5)=3× 5=15 ; $f(-4)=3\times (-4)=-12$f(-4)=3×(-4)=-12.

Rappel de cours : Fonction linéaire $f(x)=ax$f(x)=ax : on multiplie $x$x par le coefficient $a$a.

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1. 1

   $f(x)=ax$f(x)=ax avec $f(4)=4a=12$f(4)=4a=12.

2. 2

   $a=\frac{12}{4}=3$a=12/4=3, donc $f(x)=3x$f(x)=3x.

Rappel de cours : Le coefficient se trouve par $a=\frac{f(x)}{x}$a=f(x)/x (pour un $x\ne 0$x≠ 0 connu).

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1. 1

   Prix proportionnel à la masse : $p=a\times m$p=a× m, avec le prix au kg $a=\frac{6}{3}=2$a=6/3=2 €/kg.

2. 2

   $p=2m$p=2m.

Rappel de cours : Une situation de proportionnalité se modélise par une fonction linéaire $f(x)=ax$f(x)=ax.

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1. 1

   Image : on remplace $x$x par la valeur.

   $f(3)=-2\times 3=-6$f(3)=-2× 3=-6 et $f(-1,5)=-2\times (-1,5)=3$f(-1,5)=-2×(-1,5)=3.

2. 2

   Antécédent de $10$10 : on cherche $x$x tel que $-2x=10$-2x=10, donc $x=\frac{10}{-2}=-5$x=10/(-2)=-5.

3. 3

   Vérification : $f(-5)=-2\times (-5)=10$f(-5)=-2×(-5)=10.

Rappel de cours : Pour une fonction linéaire $f(x)=ax$f(x)=ax ($a\ne 0$a≠ 0), l'antécédent de $y$y est $\frac{y}{a}$y/a.

Erreur fréquente : Le produit de deux nombres négatifs est positif : $-2\times (-1,5)=+3$-2×(-1,5)=+3.

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1. 1

   On résout $5x=35$5x=35, donc $x=7$x=7.

Rappel de cours : Antécédent : on résout $ax=k$ax=k, soit $x=\frac{k}{a}$x=k/a.

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1. 1

   $f(2)=-6$f(2)=-6, donc $2a=-6$2a=-6, soit $a=-3$a=-3.

Rappel de cours : Pour une fonction linéaire, un seul point (autre que l'origine) suffit à trouver $a$a.

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1. 1

   Prendre $20\%$20% revient à multiplier par $\frac{20}{100}=0,2$20/100=0,2.

2. 2

   La fonction est $f(x)=0,2x$f(x)=0,2x.

Rappel de cours : Prendre $t\%$t% = multiplier par $\frac{t}{100}$t/100 : c'est une fonction linéaire de coefficient $\frac{t}{100}$t/100.

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1. 1

   La droite passe par l'origine : c'est bien une fonction linéaire, de la forme $f(x)=ax$f(x)=ax.

2. 2

   Le point $(4;3)$(4 ;3) est sur la droite, donc $f(4)=3$f(4)=3, soit $4a=3$4a=3 et $a=\frac{3}{4}=0,75$a=3/4=0,75.

3. 3

   Donc $f(x)=0,75x$f(x)=0,75x et $f(10)=7,5$f(10)=7,5.

Rappel de cours : Le coefficient d'une fonction linéaire se lit avec un point $(x;y)$(x ;y) de la droite autre que l'origine : $a=\frac{y}{x}$a=y/x.

Erreur fréquente : Ne pas inverser le quotient : $a=\frac{y}{x}=\frac{3}{4}$a=y/x=3/4, pas $\frac{4}{3}$4/3.

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1. 1

   Une fonction linéaire correspond à un tableau de proportionnalité : le quotient $\frac{y}{x}$y/x doit être le même dans chaque colonne.

2. 2

   Tableau 1 : $\frac{7}{2}=3,5$7/2=3,5, $\frac{17,5}{5}=3,5$17,5/5=3,5, $\frac{28}{8}=3,5$28/8=3,5.

   Le quotient est constant, c'est la fonction $f(x)=3,5x$f(x)=3,5x.

3. 3

   Tableau 2 : $\frac{4}{3}\approx 1,33$4/3≈ 1,33 et $\frac{9}{6}=1,5$9/6=1,5.

   Les quotients sont différents : pas de fonction linéaire. (Si $x$x double, $y$y devrait doubler et valoir $8$8, pas $9$9.)

Rappel de cours : Fonction linéaire $⟺$⇔ situation de proportionnalité : le coefficient est le coefficient de proportionnalité.

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1. 1

   Augmenter de $15\%$15% : on garde $100\%$100% et on ajoute $15\%$15%, soit $\times 1,15$× 1,15.

2. 2

   La fonction est $f(x)=1,15x$f(x)=1,15x.

Rappel de cours : Augmenter de $t\%$t% : multiplier par $1+\frac{t}{100}$1+t/100. Diminuer de $t\%$t% : multiplier par $1-\frac{t}{100}$1-t/100.

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1. 1

   On choisit $x=1$x=1 : $f(1)=2$f(1)=2, donc la droite passe par $(1;2)$(1 ;2).

2. 2

   Le coefficient directeur est $a=2$a=2 (pour une fonction linéaire, il est égal au coefficient).

Rappel de cours : La droite de $f(x)=ax$f(x)=ax passe toujours par l'origine ; son coefficient directeur est $a$a.

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1. 1

   Vitesse $=\frac{150}{2}=75$=150/2=75 km/h.

   Distance proportionnelle au temps : $d=75t$d=75t.

2. 2

   $d(3,5)=75\times 3,5=262,5$d(3,5)=75× 3,5=262,5 km.

Rappel de cours : À vitesse constante, distance $=$= vitesse $\times$× temps : fonction linéaire de coefficient la vitesse.

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1. 1

   1) Chaque euro donne $1,08$1,08 dollar : la situation est proportionnelle, $d(x)=1,08x$d(x)=1,08x.

2. 2

   2) $d(250)=1,08\times 250=270$d(250)=1,08× 250=270 dollars.

3. 3

   3) On cherche l'antécédent de $540$540 : $1,08x=540$1,08x=540, donc $x=\frac{540}{1,08}=500$x=540/1,08=500 €.

Rappel de cours : Une question « combien faut-il… pour obtenir… » demande un antécédent : on résout une équation.

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1. 1

   Une fonction linéaire vérifie $f(a+b)=f(a)+f(b)$f(a+b)=f(a)+f(b) et $f(ka)=kf(a)$f(k a)=k f(a).

2. 2

   $8=3+5$8=3+5, donc $f(8)=f(3)+f(5)=7,5+12,5=20$f(8)=f(3)+f(5)=7,5+12,5=20.

3. 3

   $15=3\times 5$15=3× 5, donc $f(15)=3\times f(5)=3\times 12,5=37,5$f(15)=3× f(5)=3× 12,5=37,5.

4. 4

   $2=5-3$2=5-3, donc $f(2)=f(5)-f(3)=12,5-7,5=5$f(2)=f(5)-f(3)=12,5-7,5=5.

5. 5

   Contrôle : le coefficient est $\frac{7,5}{3}=2,5$7,5/3=2,5, et $2,5\times 8=20$2,5× 8=20, $2,5\times 15=37,5$2,5× 15=37,5, $2,5\times 2=5$2,5× 2=5.

Rappel de cours : Propriétés de linéarité : on peut additionner, soustraire ou multiplier les colonnes d'un tableau de proportionnalité.

Erreur fréquente : Cette propriété est propre aux fonctions linéaires : pour $g(x)=2x+1$g(x)=2x+1, on a $g(8)\ne g(3)+g(5)$g(8)≠ g(3)+g(5).

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1. 1

   Une remise de $30\%$30% fait payer $70\%$70% : $p=0,7x$p=0,7x.

2. 2

   $p(80)=0,7\times 80=56$p(80)=0,7× 80=56 €.

Rappel de cours : Remise de $t\%$t% : prix payé $=(1-\frac{t}{100})x$=(1-t/100)x.

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1. 1

   On résout $0,7x=42$0,7x=42, donc $x=\frac{42}{0,7}=60$x=42/0,7=60 €.

Rappel de cours : Pour remonter au prix initial, on divise par le coefficient $0,7$0,7.

Erreur fréquente : Ne pas ajouter $30\%$30% à $42$42 : on divise par $0,7$0,7 pour retrouver l'original.

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1. 1

   Augmenter de $10\%$10% : $\times 1,1$× 1,1.

   Baisser de $10\%$10% : $\times 0,9$× 0,9.

   Au total : $\times (1,1\times 0,9)=\times 0,99$×(1,1× 0,9)=× 0,99.

2. 2

   Le prix final vaut $99\%$99% du prix initial : il est légèrement inférieur, pas égal.

Rappel de cours : Les évolutions se composent par multiplication des coefficients (pas par addition/soustraction des pourcentages).

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1. 1

   Masse proportionnelle au nombre de personnes : coefficient $\frac{150}{4}=37,5$150/4=37,5 g/personne.

2. 2

   Pour $10$10 personnes : $37,5\times 10=375$37,5× 10=375 g.

Rappel de cours : On calcule le coefficient (quantité par unité), puis on multiplie. C'est la « quatrième proportionnelle ».

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1. 1

   $f(3)=2\times 3=6$f(3)=2× 3=6 € (offre A) ; $g(3)=1,5\times 3=4,5$g(3)=1,5× 3=4,5 € (offre B).

2. 2

   L'offre B est moins chère, de $6-4,5=1,5$6-4,5=1,5 €.

Rappel de cours : Pour des fonctions linéaires, la moins « pentue » (coefficient plus petit) est toujours la moins chère (au-delà de l'origine).

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1. 1

   1) Baisser de $20\%$20 %, c'est multiplier par $1-0,20=0,8$1-0,20=0,8.

   Baisser ensuite de $10\%$10 %, c'est multiplier par $0,9$0,9.

   Donc $p(x)=0,9\times 0,8x=0,72x$p(x)=0,9× 0,8 x=0,72x.

2. 2

   2) Multiplier par $0,72=1-0,28$0,72=1-0,28 correspond à une baisse de $28\%$28 %, et non de $30\%$30 %.

   Le client a tort : la seconde remise s'applique à un prix déjà réduit.

3. 3

   3) $p(85)=0,72\times 85=61,20$p(85)=0,72× 85=61,20 €.

Rappel de cours : Des évolutions successives se multiplient, elles ne s'additionnent pas.

Erreur fréquente : $20\%+10\%\ne 30\%$20 %+10 %≠ 30 % : les pourcentages ne portent pas sur la même base.