Exercices corrigés : Fonctions linéaires — Troisième

Correction détaillée

1. 1

   $f(2)=3\times 2=6$f(2)=3× 2=6 ; $f(5)=3\times 5=15$f(5)=3× 5=15 ; $f(-4)=3\times (-4)=-12$f(-4)=3×(-4)=-12.

Rappel de cours : Fonction linéaire $f(x)=ax$f(x)=ax : on multiplie $x$x par le coefficient $a$a.

Correction détaillée

1. 1

   $f(x)=ax$f(x)=ax avec $f(4)=4a=12$f(4)=4a=12.

2. 2

   $a=\frac{12}{4}=3$a=12/4=3, donc $f(x)=3x$f(x)=3x.

Rappel de cours : Le coefficient se trouve par $a=\frac{f(x)}{x}$a=f(x)/x (pour un $x\ne 0$x≠ 0 connu).

Correction détaillée

1. 1

   Prix proportionnel à la masse : $p=a\times m$p=a× m, avec le prix au kg $a=\frac{6}{3}=2$a=6/3=2 €/kg.

2. 2

   $p=2m$p=2m.

Rappel de cours : Une situation de proportionnalité se modélise par une fonction linéaire $f(x)=ax$f(x)=ax.

Correction détaillée

1. 1

   On résout $5x=35$5x=35, donc $x=7$x=7.

Rappel de cours : Antécédent : on résout $ax=k$ax=k, soit $x=\frac{k}{a}$x=k/a.

Correction détaillée

1. 1

   $f(2)=-6$f(2)=-6, donc $2a=-6$2a=-6, soit $a=-3$a=-3.

Rappel de cours : Pour une fonction linéaire, un seul point (autre que l'origine) suffit à trouver $a$a.

Correction détaillée

1. 1

   Prendre $20\%$20% revient à multiplier par $\frac{20}{100}=0,2$20/100=0,2.

2. 2

   La fonction est $f(x)=0,2x$f(x)=0,2x.

Rappel de cours : Prendre $t\%$t% = multiplier par $\frac{t}{100}$t/100 : c'est une fonction linéaire de coefficient $\frac{t}{100}$t/100.

Correction détaillée

1. 1

   Augmenter de $15\%$15% : on garde $100\%$100% et on ajoute $15\%$15%, soit $\times 1,15$× 1,15.

2. 2

   La fonction est $f(x)=1,15x$f(x)=1,15x.

Rappel de cours : Augmenter de $t\%$t% : multiplier par $1+\frac{t}{100}$1+t/100. Diminuer de $t\%$t% : multiplier par $1-\frac{t}{100}$1-t/100.

Correction détaillée

1. 1

   On choisit $x=1$x=1 : $f(1)=2$f(1)=2, donc la droite passe par $(1;2)$(1 ;2).

2. 2

   Le coefficient directeur est $a=2$a=2 (pour une fonction linéaire, il est égal au coefficient).

Rappel de cours : La droite de $f(x)=ax$f(x)=ax passe toujours par l'origine ; son coefficient directeur est $a$a.

Correction détaillée

1. 1

   Vitesse $=\frac{150}{2}=75$=150/2=75 km/h.

   Distance proportionnelle au temps : $d=75t$d=75t.

2. 2

   $d(3,5)=75\times 3,5=262,5$d(3,5)=75× 3,5=262,5 km.

Rappel de cours : À vitesse constante, distance $=$= vitesse $\times$× temps : fonction linéaire de coefficient la vitesse.

Correction détaillée

1. 1

   Une remise de $30\%$30% fait payer $70\%$70% : $p=0,7x$p=0,7x.

2. 2

   $p(80)=0,7\times 80=56$p(80)=0,7× 80=56 €.

Rappel de cours : Remise de $t\%$t% : prix payé $=(1-\frac{t}{100})x$=(1-t/100)x.

Correction détaillée

1. 1

   On résout $0,7x=42$0,7x=42, donc $x=\frac{42}{0,7}=60$x=42/0,7=60 €.

Rappel de cours : Pour remonter au prix initial, on divise par le coefficient $0,7$0,7.

Erreur fréquente : Ne pas ajouter $30\%$30% à $42$42 : on divise par $0,7$0,7 pour retrouver l'original.

Correction détaillée

1. 1

   Augmenter de $10\%$10% : $\times 1,1$× 1,1.

   Baisser de $10\%$10% : $\times 0,9$× 0,9.

   Au total : $\times (1,1\times 0,9)=\times 0,99$×(1,1× 0,9)=× 0,99.

2. 2

   Le prix final vaut $99\%$99% du prix initial : il est légèrement inférieur, pas égal.

Rappel de cours : Les évolutions se composent par multiplication des coefficients (pas par addition/soustraction des pourcentages).

Correction détaillée

1. 1

   Masse proportionnelle au nombre de personnes : coefficient $\frac{150}{4}=37,5$150/4=37,5 g/personne.

2. 2

   Pour $10$10 personnes : $37,5\times 10=375$37,5× 10=375 g.

Rappel de cours : On calcule le coefficient (quantité par unité), puis on multiplie. C'est la « quatrième proportionnelle ».

Correction détaillée

1. 1

   $f(3)=2\times 3=6$f(3)=2× 3=6 € (offre A) ; $g(3)=1,5\times 3=4,5$g(3)=1,5× 3=4,5 € (offre B).

2. 2

   L'offre B est moins chère, de $6-4,5=1,5$6-4,5=1,5 €.

Rappel de cours : Pour des fonctions linéaires, la moins « pentue » (coefficient plus petit) est toujours la moins chère (au-delà de l'origine).