Notion de fonction en Troisième

La notion de fonction en 3ème : cours complet

Une fonction est un outil mathématique qui associe à chaque nombre (l'antécédent) un autre nombre (l'image). En troisième, tu découvres cette notion fondamentale qui sera omniprésente au lycée.

Définition d'une fonction

Définition

Une fonction $f$f est une règle qui associe à chaque nombre $x$x un seul nombre, noté $f(x)$f(x).

Notation

$$f:x⟼f(x)$$f : x longmapsto f(x)

• $x$x est l'antécédent.
• $f(x)$f(x) est l'image de $x$x par la fonction $f$f.

Exemple

Si $f(x)=2x+3$f(x) = 2x + 3, alors :

• L'image de $5$5 est $f(5)=2\times 5+3=13$f(5) = 2 × 5 + 3 = 13.
• Un antécédent de $13$13 est $5$5 (mais il pourrait y en avoir d'autres pour d'autres fonctions).

Calculer une image

Pour calculer $f(a)$f(a), on remplace $x$x par $a$a dans l'expression.

Exemple

$f(x)=x^2-4$f(x) = x² - 4 → $f(3)=3^2-4=5$f(3) = 3² - 4 = 5 ; $f(-2)=(-2{)}^2-4=0$f(-2) = (-2)² - 4 = 0.

Trouver un antécédent

Pour trouver un (ou plusieurs) antécédents d'un nombre $b$b, on résout l'équation $f(x)=b$f(x) = b.

Exemple

$f(x)=3x-7$f(x) = 3x - 7. Trouver l'antécédent de $5$5 :

$$3x-7=5⟺3x=12⟺x=4$$3x - 7 = 5 ⇔ 3x = 12 ⇔ x = 4

L'antécédent de $5$5 est $4$4.

Tableau de valeurs

On présente souvent une fonction par un tableau de valeurs :

(Ici pour $f(x)=x^2-3$f(x) = x² - 3.)

Représentation graphique

Définition

La représentation graphique d'une fonction $f$f est l'ensemble des points $(x;f(x))$(x ; f(x)) dans un repère.

Lecture graphique

• Pour lire l'image de $a$a : on monte verticalement depuis $a$a, jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée.
• Pour lire un antécédent de $b$b : on trace une ligne horizontale à hauteur $b$b et on lit les abscisses des points d'intersection avec la courbe.

Allure de la courbe

Selon la fonction, la courbe peut être :

• une droite (fonctions linéaires et affines, vu plus loin) ;
• une parabole (fonctions du second degré) ;
• une hyperbole (fonctions du type $\frac{a}{x}$a/x) ;
• etc.

Fonctions usuelles à connaître

Fonction linéaire

$$f(x)=ax$$f(x) = ax

La représentation est une droite passant par l'origine. Caractéristique de la proportionnalité.

Fonction affine

$$f(x)=ax+b$$f(x) = ax + b

La représentation est une droite (qui ne passe pas par l'origine si $b\ne 0$b ≠ 0).

Fonction carrée

$$f(x)=x^2$$f(x) = x²

La représentation est une parabole dont le sommet est l'origine.

Fonction inverse

$$f(x)=\frac{1}{x}$$f(x) = 1/x

La représentation est une hyperbole (deux branches, non définie en $x=0$x = 0).

Domaine de définition

Le domaine de définition de $f$f est l'ensemble des nombres $x$x pour lesquels $f(x)$f(x) existe.

Exemples

• $f(x)=2x+3$f(x) = 2x + 3 : définie pour tous les réels.
• $f(x)=\frac{1}{x}$f(x) = 1/x : définie pour $x\ne 0$x ≠ 0.
• $f(x)=\sqrt{x}$f(x) = √(x) : définie pour $x\ge 0$x ≥ 0.

Lien avec une situation concrète

Une fonction peut modéliser une situation : aire d'un carré en fonction de son côté, prix d'un trajet en fonction de la distance, hauteur d'une balle en fonction du temps, etc.

Exemple

Le périmètre $P$P d'un carré de côté $c$c est $P(c)=4c$P(c) = 4c. C'est une fonction linéaire.

L'aire $A$A du même carré est $A(c)=c^2$A(c) = c². C'est une fonction carrée.

Lecture pratique d'un graphique

Sur un graphique de fonction, on peut :

• Lire des valeurs (image, antécédent).
• Comparer : pour quelles valeurs de $x$x a-t-on $f(x)>0$f(x) > 0 ?
• Décrire les variations : croissance, décroissance.
• Trouver les extremums : valeur maximale, minimale.

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre image et antécédent : pour $f(x)=2x$f(x) = 2x, l'image de $3$3 est $6$6, et l'antécédent de $6$6 est $3$3.
• Lire l'inverse sur un graphique : penser à bien identifier l'axe des $x$x (horizontal) et celui des $y$y (vertical).
• Croire qu'une fonction est forcément linéaire : il existe beaucoup d'autres types de fonctions.
• Oublier le domaine de définition : certaines fonctions ne sont pas définies partout.

FAQ — La notion de fonction

Pourquoi étudier les fonctions ?

Parce qu'elles modélisent presque tous les phénomènes : physique, économie, biologie, informatique. C'est l'outil mathématique central du lycée et au-delà.

Une fonction peut-elle avoir plusieurs antécédents pour une image donnée ?

Oui : par exemple pour $f(x)=x^2$f(x) = x², l'image $4$4 a deux antécédents : $2$2 et $-2$-2.

Une fonction peut-elle avoir plusieurs images pour un même antécédent ?

Non : c'est la définition même d'une fonction. Un seul $x$x donne un seul $f(x)$f(x).

Quelle est la différence entre fonction linéaire et affine ?

Une fonction linéaire est de la forme $f(x)=ax$f(x) = ax (droite passant par l'origine). Une fonction affine est de la forme $f(x)=ax+b$f(x) = ax + b (droite quelconque). Toute linéaire est affine, mais l'inverse n'est pas vrai si $b\ne 0$b ≠ 0.