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Exercices corrigés : Calcul littéral — Troisième

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Calcul littéral

Niveau: Troisième
Chapitre: Calcul littéral
Nombre d'exercices: 14 exercices corrigés
Difficulté: Facile à type brevet

Le calcul littéral consiste à manipuler des expressions contenant des lettres : réduire, développer, factoriser, substituer une valeur. C'est la base de l'algèbre. Ces exercices corrigés couvrent réduction, substitution, développement et premières factorisations. Difficulté croissante, correction d'un clic.

Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée avec rappels de cours et erreurs fréquentes à éviter.

Exercice 1 — Réduire une expression

Application directe

Réduire $3 x + 5 x - 2 x$ 3x+5x-2x.

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Correction détaillée

1
On additionne les coefficients des termes en $x$ x : $3 + 5 - 2 = 6$ 3+5-2=6.
2
$3 x + 5 x - 2 x = 6 x$ 3x+5x-2x=6x.

Réponse :

6 x

6x.

Rappel de cours : Réduire : on regroupe les termes « semblables » (même partie littérale).

Exercice 2 — Réduire avec plusieurs termes

Application directe

Réduire $2 x + 3 + 4 x - 1$ 2x+3+4x-1.

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Correction détaillée

1
Termes en $x$ x : $2 x + 4 x = 6 x$ 2x+4x=6x.
Constantes : $3 - 1 = 2$ 3-1=2.
2
$2 x + 3 + 4 x - 1 = 6 x + 2$ 2x+3+4x-1=6x+2.

Réponse :

6 x + 2

6x+2.

Rappel de cours : On regroupe les $x$ x ensemble et les nombres ensemble.

Exercice 3 — Substituer une valeur

Application directe

Calculer $A = 2 x^{2} - 3 x + 1$ A=2x²-3x+1 pour $x = 2$ x=2.

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Correction détaillée

1
$A = 2 \times 2^{2} - 3 \times 2 + 1 = 2 \times 4 - 6 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3$ A=2× 2²-3× 2+1=2× 4-6+1=8-6+1=3.

Réponse :

A = 3

A=3.

Rappel de cours : Substituer : on remplace la lettre par sa valeur, en respectant les priorités (carrés d'abord).

Exercice 4 — Réduire avec x²

À maîtriser

Réduire $x^{2} + 3 x + 2 x^{2} - x$ x²+3x+2x²-x.

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Correction détaillée

1
Termes en $x^{2}$ x² : $x^{2} + 2 x^{2} = 3 x^{2}$ x²+2x²=3x².
Termes en $x$ x : $3 x - x = 2 x$ 3x-x=2x.
2
$3 x^{2} + 2 x$ 3x²+2x.

Réponse :

3 x^{2} + 2 x

3x²+2x.

Rappel de cours : $x^{2}$ x² et $x$ x ne sont pas semblables : on ne les additionne pas entre eux.

Erreur fréquente : $x^{2} + x$ x²+x ne se réduit PAS en $x^{3}$ x³ ni $2 x$ 2x : ce sont des termes différents.

Exercice 5 — Multiplier des monômes

À maîtriser

Calculer $3 x \times 4 x$ 3x× 4x et $2 x \times 5$ 2x× 5.

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Correction détaillée

1
$3 x \times 4 x = (3 \times 4) \times (x \times x) = 12 x^{2}$ 3x× 4x=(3× 4)×(x× x)=12x².
2
$2 x \times 5 = 10 x$ 2x× 5=10x.

Réponse :

12 x^{2}

12x² ;

10 x

10x.

Rappel de cours : On multiplie les nombres entre eux et les lettres entre elles ( $x \times x = x^{2}$ x× x=x²).

Exercice 6 — Distributivité simple

À maîtriser

Développer $4 (2 x - 3)$ 4(2x-3).

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Correction détaillée

1
$4 (2 x - 3) = 4 \times 2 x - 4 \times 3 = 8 x - 12$ 4(2x-3)=4× 2x-4× 3=8x-12.

Réponse :

8 x - 12

8x-12.

Rappel de cours : $k (a + b) = k a + k b$ k(a+b)=ka+kb.

Exercice 7 — Développer et réduire

Type contrôle

Développer et réduire $3 (x + 2) - 2 (x - 1)$ 3(x+2)-2(x-1).

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Correction détaillée

1
$3 (x + 2) = 3 x + 6$ 3(x+2)=3x+6 et $- 2 (x - 1) = - 2 x + 2$ -2(x-1)=-2x+2.
2
Somme : $3 x + 6 - 2 x + 2 = x + 8$ 3x+6-2x+2=x+8.

Réponse :

x + 8

x+8.

Rappel de cours : Attention au signe $-$ - devant la deuxième parenthèse : $- 2 (x - 1) = - 2 x + 2$ -2(x-1)=-2x+2.

Erreur fréquente : $- 2 \times (- 1) = + 2$ -2×(-1)=+2 : le double produit de signes négatifs est positif.

Exercice 8 — Substitution avec deux lettres

Type contrôle

Calculer $B = 2 a - 3 b$ B=2a-3b pour $a = 4$ a=4 et $b = - 1$ b=-1.

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Correction détaillée

1
$B = 2 \times 4 - 3 \times (- 1) = 8 + 3 = 11$ B=2× 4-3×(-1)=8+3=11.

Réponse :

B = 11

B=11.

Rappel de cours : On remplace chaque lettre par sa valeur : $- 3 \times (- 1) = + 3$ -3×(-1)=+3.

Exercice 9 — Factoriser (facteur commun)

Type contrôle

Factoriser $6 x + 9$ 6x+9 et $4 x^{2} - 8 x$ 4x²-8x.

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Correction détaillée

1
$6 x + 9 = 3 (2 x + 3)$ 6x+9=3(2x+3) (facteur commun $3$ 3).
2
$4 x^{2} - 8 x = 4 x (x - 2)$ 4x²-8x=4x(x-2) (facteur commun $4 x$ 4x).

Réponse :

3 (2 x + 3)

3(2x+3) ;

4 x (x - 2)

4x(x-2).

Rappel de cours : Factoriser : repérer le facteur commun à tous les termes et le mettre devant.

Exercice 10 — Type brevet : expression d'un périmètre

Approfondissement / défi

Un rectangle a une longueur $L = 2 x + 1$ L=2x+1 et une largeur $ℓ = x$ ℓ=x. 1) Exprimer son périmètre $P$ P réduit. 2) Calculer $P$ P pour $x = 3$ x=3.

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Correction détaillée

1
$P = 2 (L + ℓ) = 2 (2 x + 1 + x) = 2 (3 x + 1) = 6 x + 2$ P=2(L+ℓ)=2(2x+1+x)=2(3x+1)=6x+2.
2
$P (3) = 6 \times 3 + 2 = 20$ P(3)=6× 3+2=20.

Réponse :

P = 6 x + 2

P=6x+2 ;

P (3) = 20

P(3)=20.

Rappel de cours : On exprime la grandeur en fonction de $x$ x, on réduit, puis on substitue.

Exercice 11 — Type brevet : expression d'une aire

Approfondissement / défi

Un carré de côté $x$ x est entouré d'une bande : la figure totale est un carré de côté $x + 2$ x+2.

Exprimer l'aire totale développée.

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Correction détaillée

1
Aire totale : $(x + 2)^{2} = (x + 2) (x + 2)$ (x+2)²=(x+2)(x+2).
2
$= x^{2} + 2 x + 2 x + 4 = x^{2} + 4 x + 4$ =x²+2x+2x+4=x²+4x+4.

Réponse : Aire totale

= x^{2} + 4 x + 4

=x²+4x+4.

Rappel de cours : $(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4$ (x+2)²=x²+4x+4 (identité remarquable, ou double distributivité).

Exercice 12 — Type brevet : démontrer une égalité

Approfondissement / défi

Démontrer que pour tout $x$ x, $3 (x + 1) - 2 (x - 2) = x + 7$ 3(x+1)-2(x-2)=x+7.

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Correction détaillée

1
On développe le membre de gauche : $3 (x + 1) = 3 x + 3$ 3(x+1)=3x+3 et $- 2 (x - 2) = - 2 x + 4$ -2(x-2)=-2x+4.
2
Somme : $3 x + 3 - 2 x + 4 = x + 7$ 3x+3-2x+4=x+7.
On retrouve le membre de droite : l'égalité est démontrée.

Réponse :

3 (x + 1) - 2 (x - 2) = x + 7

3(x+1)-2(x-2)=x+7 (vérifié).

Rappel de cours : Pour prouver une égalité, on développe et réduit un membre jusqu'à retrouver l'autre.

Exercice 13 — Type brevet : programme de calcul

Approfondissement / défi

Programme : « Choisir $x$ x, ajouter $3$ 3, multiplier par $2$ 2, retrancher $6$ 6. » Exprimer le résultat en fonction de $x$ x et simplifier.

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Correction détaillée

1
« Ajouter $3$ 3 » : $x + 3$ x+3. « Multiplier par $2$ 2 » : $2 (x + 3) = 2 x + 6$ 2(x+3)=2x+6. « Retrancher $6$ 6 » : $2 x + 6 - 6 = 2 x$ 2x+6-6=2x.
2
Le résultat est $2 x$ 2x : le programme double le nombre choisi.

Réponse : Résultat

= 2 x

=2x (le double du nombre de départ).

Rappel de cours : On traduit chaque étape du programme en opération algébrique, puis on réduit.

Exercice 14 — Type brevet : conjecture à prouver

Approfondissement / défi

On choisit un nombre, on le met au carré, puis on retranche le carré du nombre diminué de $1$ 1.

Montrer que le résultat est toujours $2 x - 1$ 2x-1.

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Correction détaillée

1
Le calcul est $x^{2} - (x - 1)^{2}$ x²-(x-1)².
On développe $(x - 1)^{2} = x^{2} - 2 x + 1$ (x-1)²=x²-2x+1.
2
$x^{2} - (x^{2} - 2 x + 1) = x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 = 2 x - 1$ x²-(x²-2x+1)=x²-x²+2x-1=2x-1.

Réponse :

x^{2} - (x - 1)^{2} = 2 x - 1

x²-(x-1)²=2x-1 (toujours).

Rappel de cours : Distribuer le signe $-$ - devant la parenthèse : $- (x^{2} - 2 x + 1) = - x^{2} + 2 x - 1$ -(x²-2x+1)=-x²+2x-1.

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Développer, factoriser, résoudre : la partie algébrique du brevet, celle qui revient chaque année.

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