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Exercices corrigés : Calcul littéral — Troisième

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Calcul littéral

Niveau: Troisième
Chapitre: Calcul littéral
Nombre d'exercices: 20 exercices corrigés
Difficulté: Facile à type brevet

Le calcul littéral consiste à manipuler des expressions contenant des lettres : réduire, développer, factoriser, substituer une valeur. C'est la base de l'algèbre. Ces exercices corrigés couvrent réduction, substitution, développement et premières factorisations. Difficulté croissante, correction d'un clic.

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Exercice 1 — Réduire une expression

Application directe

Réduire $3 x + 5 x - 2 x$ 3x+5x-2x.

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Correction détaillée

1
On additionne les coefficients des termes en $x$ x : $3 + 5 - 2 = 6$ 3+5-2=6.
2
$3 x + 5 x - 2 x = 6 x$ 3x+5x-2x=6x.

Réponse :

6 x

6x.

Rappel de cours : Réduire : on regroupe les termes « semblables » (même partie littérale).

Exercice 2 — Réduire avec plusieurs termes

Application directe

Réduire $2 x + 3 + 4 x - 1$ 2x+3+4x-1.

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Correction détaillée

1
Termes en $x$ x : $2 x + 4 x = 6 x$ 2x+4x=6x.
Constantes : $3 - 1 = 2$ 3-1=2.
2
$2 x + 3 + 4 x - 1 = 6 x + 2$ 2x+3+4x-1=6x+2.

Réponse :

6 x + 2

6x+2.

Rappel de cours : On regroupe les $x$ x ensemble et les nombres ensemble.

Exercice 3 — Substituer une valeur

Application directe

Calculer $A = 2 x^{2} - 3 x + 1$ A=2x²-3x+1 pour $x = 2$ x=2.

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1
$A = 2 \times 2^{2} - 3 \times 2 + 1 = 2 \times 4 - 6 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3$ A=2× 2²-3× 2+1=2× 4-6+1=8-6+1=3.

Réponse :

A = 3

A=3.

Rappel de cours : Substituer : on remplace la lettre par sa valeur, en respectant les priorités (carrés d'abord).

Exercice 4 — Réduire avec des signes

Application directe

Réduire $5 a - 3 - 7 a + 8$ 5a-3-7a+8.

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Correction détaillée

1
On regroupe les termes de même nature : les termes en $a$ a d'un côté, les nombres de l'autre.
2
$5 a - 7 a = - 2 a$ 5a-7a=-2a et $- 3 + 8 = 5$ -3+8=5.

Réponse :

5 a - 3 - 7 a + 8 = - 2 a + 5

5a-3-7a+8=-2a+5.

Rappel de cours : Chaque terme garde le signe écrit devant lui : ici $- 7 a$ -7a et $- 3$ -3.

Erreur fréquente : On ne peut pas additionner $- 2 a$ -2a et $5$ 5 : ce ne sont pas des termes de même nature.

Exercice 5 — Réduire avec x²

À maîtriser

Réduire $x^{2} + 3 x + 2 x^{2} - x$ x²+3x+2x²-x.

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Correction détaillée

1
Termes en $x^{2}$ x² : $x^{2} + 2 x^{2} = 3 x^{2}$ x²+2x²=3x².
Termes en $x$ x : $3 x - x = 2 x$ 3x-x=2x.
2
$3 x^{2} + 2 x$ 3x²+2x.

Réponse :

3 x^{2} + 2 x

3x²+2x.

Rappel de cours : $x^{2}$ x² et $x$ x ne sont pas semblables : on ne les additionne pas entre eux.

Erreur fréquente : $x^{2} + x$ x²+x ne se réduit PAS en $x^{3}$ x³ ni $2 x$ 2x : ce sont des termes différents.

Exercice 6 — Multiplier des monômes

À maîtriser

Calculer $3 x \times 4 x$ 3x× 4x et $2 x \times 5$ 2x× 5.

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Correction détaillée

1
$3 x \times 4 x = (3 \times 4) \times (x \times x) = 12 x^{2}$ 3x× 4x=(3× 4)×(x× x)=12x².
2
$2 x \times 5 = 10 x$ 2x× 5=10x.

Réponse :

12 x^{2}

12x² ;

10 x

10x.

Rappel de cours : On multiplie les nombres entre eux et les lettres entre elles ( $x \times x = x^{2}$ x× x=x²).

Exercice 7 — Distributivité simple

À maîtriser

Développer $4 (2 x - 3)$ 4(2x-3).

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Correction détaillée

1
$4 (2 x - 3) = 4 \times 2 x - 4 \times 3 = 8 x - 12$ 4(2x-3)=4× 2x-4× 3=8x-12.

Réponse :

8 x - 12

8x-12.

Rappel de cours : $k (a + b) = k a + k b$ k(a+b)=ka+kb.

Exercice 8 — Un signe moins devant une parenthèse

À maîtriser

Développer et réduire $- (3 x - 4) + 2 (x + 5)$ -(3x-4)+2(x+5).

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1
Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chaque terme : $- (3 x - 4) = - 3 x + 4$ -(3x-4)=-3x+4.
2
Distributivité : $2 (x + 5) = 2 x + 10$ 2(x+5)=2x+10.
3
On réduit : $- 3 x + 4 + 2 x + 10 = - x + 14$ -3x+4+2x+10=-x+14.

Réponse :

- (3 x - 4) + 2 (x + 5) = - x + 14

-(3x-4)+2(x+5)=-x+14.

Rappel de cours : $- (a - b) = - a + b$ -(a-b)=-a+b : enlever des parenthèses précédées de « $-$ - » change tous les signes à l'intérieur.

Erreur fréquente : Écrire $- 3 x - 4$ -3x-4 : le $- 4$ -4 devient $+ 4$ +4.

Exercice 9 — Calculer avec un nombre négatif

À maîtriser

Calculer $C = x^{2} - 5 x + 3$ C=x²-5x+3 pour $x = - 2$ x=-2.

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Correction détaillée

1
On remplace $x$ x par $- 2$ -2, entre parenthèses : $C = (- 2)^{2} - 5 \times (- 2) + 3$ C=(-2)²-5×(-2)+3.
2
$(- 2)^{2} = 4$ (-2)²=4 et $- 5 \times (- 2) = + 10$ -5×(-2)=+10.
3
$C = 4 + 10 + 3 = 17$ C=4+10+3=17.

Réponse : Pour

x = - 2

x=-2,

C = 17

C=17.

Rappel de cours : Pour substituer un nombre négatif, on l'écrit toujours entre parenthèses.

Erreur fréquente : $- 2^{2} = - 4$ -2²=-4 mais $(- 2)^{2} = 4$ (-2)²=4 : sans parenthèses, le carré ne porte que sur $2$ 2.

Exercice 10 — Développer et réduire

Type contrôle

Développer et réduire $3 (x + 2) - 2 (x - 1)$ 3(x+2)-2(x-1).

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Correction détaillée

1
$3 (x + 2) = 3 x + 6$ 3(x+2)=3x+6 et $- 2 (x - 1) = - 2 x + 2$ -2(x-1)=-2x+2.
2
Somme : $3 x + 6 - 2 x + 2 = x + 8$ 3x+6-2x+2=x+8.

Réponse :

x + 8

x+8.

Rappel de cours : Attention au signe $-$ - devant la deuxième parenthèse : $- 2 (x - 1) = - 2 x + 2$ -2(x-1)=-2x+2.

Erreur fréquente : $- 2 \times (- 1) = + 2$ -2×(-1)=+2 : le double produit de signes négatifs est positif.

Exercice 11 — Substitution avec deux lettres

Type contrôle

Calculer $B = 2 a - 3 b$ B=2a-3b pour $a = 4$ a=4 et $b = - 1$ b=-1.

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Correction détaillée

1
$B = 2 \times 4 - 3 \times (- 1) = 8 + 3 = 11$ B=2× 4-3×(-1)=8+3=11.

Réponse :

B = 11

B=11.

Rappel de cours : On remplace chaque lettre par sa valeur : $- 3 \times (- 1) = + 3$ -3×(-1)=+3.

Exercice 12 — Factoriser (facteur commun)

Type contrôle

Factoriser $6 x + 9$ 6x+9 et $4 x^{2} - 8 x$ 4x²-8x.

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Correction détaillée

1
$6 x + 9 = 3 (2 x + 3)$ 6x+9=3(2x+3) (facteur commun $3$ 3).
2
$4 x^{2} - 8 x = 4 x (x - 2)$ 4x²-8x=4x(x-2) (facteur commun $4 x$ 4x).

Réponse :

3 (2 x + 3)

3(2x+3) ;

4 x (x - 2)

4x(x-2).

Rappel de cours : Factoriser : repérer le facteur commun à tous les termes et le mettre devant.

Exercice 13 — Deux programmes de calcul

Type contrôle

Programme A : choisir un nombre, le multiplier par $4$ 4, ajouter $6$ 6, diviser le tout par $2$ 2.

Programme B : choisir un nombre, ajouter $1, 5$ 1,5, multiplier par $2$ 2.

Les deux programmes donnent-ils toujours le même résultat ?

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Correction détaillée

1
On note $x$ x le nombre choisi et on traduit chaque programme.
2
A : $\frac{4 x + 6}{2} = \frac{4 x}{2} + \frac{6}{2} = 2 x + 3$ (4x+6)/2=4x/2+6/2=2x+3.
3
B : $(x + 1, 5) \times 2 = 2 x + 3$ (x+1,5)× 2=2x+3.
4
Les deux expressions sont égales pour tout $x$ x : les programmes donnent toujours le même résultat.
Exemple : avec $5$ 5, A donne $(20 + 6) \div 2 = 13$ (20+6)÷ 2=13 et B donne $6, 5 \times 2 = 13$ 6,5× 2=13.

Réponse : Oui : les deux programmes donnent

2 x + 3

2x+3.

Rappel de cours : Un exemple ne prouve rien pour tous les nombres ; le calcul littéral, si.

Exercice 14 — Aire d'une figure en L

Type contrôle

Dans un rectangle de longueur $x + 5$ x+5 et de largeur $x$ x (en cm, avec $x > 2$ x>2), on découpe un carré de côté $2$ 2 cm dans un coin.

Exprimer l'aire $S$ S de la figure restante sous forme développée, puis la calculer pour $x = 3$ x=3.

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Correction détaillée

1
Aire du rectangle : $x (x + 5) = x^{2} + 5 x$ x(x+5)=x²+5x.
Aire du carré découpé : $2^{2} = 4$ 2²=4.
2
$S = x^{2} + 5 x - 4$ S=x²+5x-4.
3
Pour $x = 3$ x=3 : $S = 9 + 15 - 4 = 20 cm^{2}$ S=9+15-4=20 cm ².
Contrôle : rectangle de $8$ 8 cm sur $3$ 3 cm, soit $24 cm^{2}$ 24 cm ², moins $4 cm^{2}$ 4 cm ².

Réponse :

S = x^{2} + 5 x - 4

S=x²+5x-4 ; pour

x = 3

x=3,

20 cm^{2}

20 cm ².

Rappel de cours : Pour une figure découpée, aire restante = aire totale − aire enlevée.

Exercice 15 — Type brevet : expression d'un périmètre

Approfondissement / défi

Un rectangle a une longueur $L = 2 x + 1$ L=2x+1 et une largeur $ℓ = x$ ℓ=x. 1) Exprimer son périmètre $P$ P réduit. 2) Calculer $P$ P pour $x = 3$ x=3.

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Correction détaillée

1
$P = 2 (L + ℓ) = 2 (2 x + 1 + x) = 2 (3 x + 1) = 6 x + 2$ P=2(L+ℓ)=2(2x+1+x)=2(3x+1)=6x+2.
2
$P (3) = 6 \times 3 + 2 = 20$ P(3)=6× 3+2=20.

Réponse :

P = 6 x + 2

P=6x+2 ;

P (3) = 20

P(3)=20.

Rappel de cours : On exprime la grandeur en fonction de $x$ x, on réduit, puis on substitue.

Exercice 16 — Type brevet : expression d'une aire

Approfondissement / défi

Un carré de côté $x$ x est entouré d'une bande : la figure totale est un carré de côté $x + 2$ x+2.

Exprimer l'aire totale développée.

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Correction détaillée

1
Aire totale : $(x + 2)^{2} = (x + 2) (x + 2)$ (x+2)²=(x+2)(x+2).
2
$= x^{2} + 2 x + 2 x + 4 = x^{2} + 4 x + 4$ =x²+2x+2x+4=x²+4x+4.

Réponse : Aire totale

= x^{2} + 4 x + 4

=x²+4x+4.

Rappel de cours : $(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4$ (x+2)²=x²+4x+4 (identité remarquable, ou double distributivité).

Exercice 17 — Type brevet : démontrer une égalité

Approfondissement / défi

Démontrer que pour tout $x$ x, $3 (x + 1) - 2 (x - 2) = x + 7$ 3(x+1)-2(x-2)=x+7.

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Correction détaillée

1
On développe le membre de gauche : $3 (x + 1) = 3 x + 3$ 3(x+1)=3x+3 et $- 2 (x - 2) = - 2 x + 4$ -2(x-2)=-2x+4.
2
Somme : $3 x + 3 - 2 x + 4 = x + 7$ 3x+3-2x+4=x+7.
On retrouve le membre de droite : l'égalité est démontrée.

Réponse :

3 (x + 1) - 2 (x - 2) = x + 7

3(x+1)-2(x-2)=x+7 (vérifié).

Rappel de cours : Pour prouver une égalité, on développe et réduit un membre jusqu'à retrouver l'autre.

Exercice 18 — Type brevet : programme de calcul

Approfondissement / défi

Programme : « Choisir $x$ x, ajouter $3$ 3, multiplier par $2$ 2, retrancher $6$ 6. » Exprimer le résultat en fonction de $x$ x et simplifier.

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Correction détaillée

1
« Ajouter $3$ 3 » : $x + 3$ x+3. « Multiplier par $2$ 2 » : $2 (x + 3) = 2 x + 6$ 2(x+3)=2x+6. « Retrancher $6$ 6 » : $2 x + 6 - 6 = 2 x$ 2x+6-6=2x.
2
Le résultat est $2 x$ 2x : le programme double le nombre choisi.

Réponse : Résultat

= 2 x

=2x (le double du nombre de départ).

Rappel de cours : On traduit chaque étape du programme en opération algébrique, puis on réduit.

Exercice 19 — Type brevet : conjecture à prouver

Approfondissement / défi

On choisit un nombre, on le met au carré, puis on retranche le carré du nombre diminué de $1$ 1.

Montrer que le résultat est toujours $2 x - 1$ 2x-1.

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Correction détaillée

1
Le calcul est $x^{2} - (x - 1)^{2}$ x²-(x-1)².
On développe $(x - 1)^{2} = x^{2} - 2 x + 1$ (x-1)²=x²-2x+1.
2
$x^{2} - (x^{2} - 2 x + 1) = x^{2} - x^{2} + 2 x - 1 = 2 x - 1$ x²-(x²-2x+1)=x²-x²+2x-1=2x-1.

Réponse :

x^{2} - (x - 1)^{2} = 2 x - 1

x²-(x-1)²=2x-1 (toujours).

Rappel de cours : Distribuer le signe $-$ - devant la parenthèse : $- (x^{2} - 2 x + 1) = - x^{2} + 2 x - 1$ -(x²-2x+1)=-x²+2x-1.

Exercice 20 — Type brevet : trois entiers consécutifs

Approfondissement / défi

Léo remarque : $4 + 5 + 6 = 15$ 4+5+6=15, $10 + 11 + 12 = 33$ 10+11+12=33, $27 + 28 + 29 = 84$ 27+28+29=84.

Il affirme que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de $3$ 3.

Démontrer cette affirmation.

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Correction détaillée

1
On note $n$ n le plus petit des trois entiers.
Les deux suivants sont $n + 1$ n+1 et $n + 2$ n+2.
2
Somme : $n + (n + 1) + (n + 2) = 3 n + 3$ n+(n+1)+(n+2)=3n+3.
3
On factorise par $3$ 3 : $3 n + 3 = 3 (n + 1)$ 3n+3=3(n+1).
Comme $n + 1$ n+1 est un entier, la somme est un multiple de $3$ 3.
4
Bonus : la somme vaut $3$ 3 fois l'entier du milieu ( $n + 1$ n+1).
Par exemple, $27 + 28 + 29 = 3 \times 28 = 84$ 27+28+29=3× 28=84.