Exercices corrigés : Puissances — Troisième

Correction détaillée

1. 1

   $2^4=2\times 2\times 2\times 2=16$2⁴=2× 2× 2× 2=16.

2. 2

   $3^3=3\times 3\times 3=27$3³=3× 3× 3=27.

3. 3

   $5^2=5\times 5=25$5²=5× 5=25.

Rappel de cours : $a^n$aⁿ = produit de $n$n facteurs égaux à $a$a.

Correction détaillée

1. 1

   $7^0=1$7⁰=1 (tout nombre non nul à la puissance $0$0 vaut $1$1).

2. 2

   $7^1=7$7¹=7.

3. 3

   $1^{100}=1$1¹⁰⁰=1 ($1$1 à n'importe quelle puissance vaut $1$1).

Rappel de cours : $a^0=1$a⁰=1 (pour $a\ne 0$a≠ 0) et $a^1=a$a¹=a.

Correction détaillée

1. 1

   $(-2{)}^2=(-2)\times (-2)=4$(-2)²=(-2)×(-2)=4.

2. 2

   $(-2{)}^3=(-2)\times (-2)\times (-2)=-8$(-2)³=(-2)×(-2)×(-2)=-8.

3. 3

   $-2^2=-(2^2)=-4$-2²=-(2²)=-4 (sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur $2$2).

Rappel de cours : Un négatif à une puissance paire est positif, impaire négatif. Attention : $-2^2\ne (-2{)}^2$-2²≠(-2)².

Erreur fréquente : $-2^2=-4$-2²=-4 mais $(-2{)}^2=4$(-2)²=4 : la présence de parenthèses change le résultat.

Correction détaillée

1. 1

   Les préfixes correspondent à des puissances de $10$10 : kilo $=10^3$=10³, méga $=10^6$=10⁶, giga $=10^9$=10⁹, milli $=10^{-3}$=10⁻³, micro $=10^{-6}$=10⁻⁶.

2. 2

   $1$1 Go $=10^9$=10⁹ octets, $1$1 km $=10^3$=10³ m, $3\mu \text{m}=3\times 10^{-6}$3 μ m =3× 10⁻⁶ m.

Rappel de cours : $10^{-n}=\frac{1}{10^n}=0,0\dots 01$10⁻ⁿ=1/10ⁿ=0,0…01 avec $n$n chiffres après la virgule.

Correction détaillée

1. 1

   $a^m\times a^n=a^{m+n}$a^(m)× aⁿ=a^(m+n).

2. 2

   $2^3\times 2^4=2^7$2³× 2⁴=2⁷ ; $5^2\times 5^3=5^5$5²× 5³=5⁵.

Rappel de cours : Même base, on ADDITIONNE les exposants pour un produit.

Correction détaillée

1. 1

   $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$a^(m)/aⁿ=a^(m-n).

2. 2

   $\frac{3^7}{3^2}=3^{7-2}=3^5$3⁷/3²=3⁷⁻²=3⁵.

Rappel de cours : Même base, on SOUSTRAIT les exposants pour un quotient.

Correction détaillée

1. 1

   $(a^m{)}^n=a^{m\times n}$(a^(m))ⁿ=a^(m× n).

2. 2

   $(2^3{)}^4=2^{12}$(2³)⁴=2¹².

Rappel de cours : Puissance d'une puissance : on MULTIPLIE les exposants.

Correction détaillée

1. 1

   $10^4=10000$10⁴=10000 (un $1$1 suivi de $4$4 zéros).

2. 2

   $10^{-2}=\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100}=0,01$10⁻²=1/10²=1/100=0,01.

3. 3

   $10^0=1$10⁰=1.

Rappel de cours : $10^n$10ⁿ = $1$1 suivi de $n$n zéros ; $10^{-n}$10⁻ⁿ = $0,0\dots 1$0,0… 1 (le $1$1 au $n$n-ième rang).

Correction détaillée

1. 1

   Produit : on additionne les exposants.

   $A=10^{5+(-8)}=10^{-3}$A=10⁵⁺⁽⁻⁸⁾=10⁻³.

2. 2

   Quotient : on soustrait les exposants.

   $B=10^{-2-(-6)}=10^{-2+6}=10^4$B=10⁻²⁻⁽⁻⁶⁾=10⁻²⁺⁶=10⁴.

3. 3

   Puissance de puissance : on multiplie les exposants.

   $C=10^{-3\times 2}=10^{-6}$C=10^(-3× 2)=10⁻⁶.

Rappel de cours : $10^a\times 10^b=10^{a+b}$10^(a)× 10^(b)=10^(a+b), $\frac{10^a}{10^b}=10^{a-b}$10^(a)/10^(b)=10^(a-b), $(10^a{)}^b=10^{ab}$(10^(a))^(b)=10^(ab).

Erreur fréquente : Soustraire un exposant négatif revient à ajouter : $-2-(-6)=+4$-2-(-6)=+4.

Correction détaillée

1. 1

   Même base $-3$-3 : on additionne les exposants, $(-3{)}^2\times (-3{)}^3=(-3{)}^5$(-3)²×(-3)³=(-3)⁵.

2. 2

   Un nombre négatif élevé à une puissance impaire est négatif : $(-3{)}^5=-3^5=-243$(-3)⁵=-3⁵=-243.

3. 3

   Contrôle : $(-3{)}^2=9$(-3)²=9, $(-3{)}^3=-27$(-3)³=-27, et $9\times (-27)=-243$9×(-27)=-243.

Rappel de cours : Signe de $(-a{)}^n$(-a)ⁿ : positif si $n$n est pair, négatif si $n$n est impair.

Correction détaillée

1. 1

   $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$a⁻ⁿ=1/aⁿ.

2. 2

   $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$2⁻³=1/2³=1/8.

Rappel de cours : $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$a⁻ⁿ=1/aⁿ : un exposant négatif donne l'inverse.

Correction détaillée

1. 1

   $45000=4,5\times 10^4$45000=4,5× 10⁴ (on place la virgule après le premier chiffre).

2. 2

   $0,003=3\times 10^{-3}$0,003=3× 10⁻³.

Rappel de cours : Notation scientifique : $a\times 10^n$a× 10ⁿ avec $1\le a<10$1≤ a<10. Compter les décalages de virgule.

Correction détaillée

1. 1

   On regroupe : $(2\times 4)\times (10^3\times 10^5)=8\times 10^8$(2× 4)×(10³× 10⁵)=8× 10⁸.

Rappel de cours : On multiplie les nombres entre eux et on additionne les exposants de $10$10.

Correction détaillée

1. 1

   La notation scientifique est $a\times 10^n$a× 10ⁿ avec $1\le a<10$1≤ a<10.

2. 2

   $0,45=4,5\times 10^{-1}$0,45=4,5× 10⁻¹, donc $0,45\times 10^5=4,5\times 10^{-1}\times 10^5=4,5\times 10^4$0,45× 10⁵=4,5× 10⁻¹× 10⁵=4,5× 10⁴.

3. 3

   $320=3,2\times 10^2$320=3,2× 10², donc $320\times 10^{-7}=3,2\times 10^2\times 10^{-7}=3,2\times 10^{-5}$320× 10⁻⁷=3,2× 10²× 10⁻⁷=3,2× 10⁻⁵.

Rappel de cours : Rendre $a$a plus grand (virgule vers la droite) fait baisser l'exposant d'autant, et inversement.

Erreur fréquente : Contrôle par l'écriture décimale : $0,45\times 10^5=45000=4,5\times 10^4$0,45× 10⁵=45 000=4,5× 10⁴.

Correction détaillée

1. 1

   On convertit : $1$1 cm $=10^{-2}$=10⁻² m.

2. 2

   Nombre de globules : $\frac{10^{-2}}{7\times 10^{-6}}=\frac{1}{7}\times 10^{-2-(-6)}=\frac{1}{7}\times 10^4\approx 0,143\times 10^4$10⁻²/(7× 10⁻⁶)=1/7× 10⁻²⁻⁽⁻⁶⁾=1/7× 10⁴≈ 0,143× 10⁴.

3. 3

   Soit environ $1,43\times 10^3$1,43× 10³, c'est-à-dire à peu près $1400$1 400 globules rouges.

Rappel de cours : Pour un quotient en notation scientifique, on divise les nombres $a$a entre eux et on soustrait les exposants.

Erreur fréquente : Mettre les deux longueurs dans la même unité avant de diviser.

Correction détaillée

1. 1

   Numérateur : $2^5\times 2^3=2^8$2⁵× 2³=2⁸.

2. 2

   $\frac{2^8}{2^6}=2^{8-6}=2^2=4$2⁸/2⁶=2⁸⁻⁶=2²=4.

Rappel de cours : On applique les règles dans l'ordre : produit au numérateur, puis quotient.

Correction détaillée

1. 1

   $\frac{6}{3}=2$6/3=2 et $\frac{10^7}{10^2}=10^5$10⁷/10²=10⁵.

2. 2

   Résultat : $2\times 10^5$2× 10⁵.

Rappel de cours : On divise les nombres et on soustrait les exposants de $10$10.

Correction détaillée

1. 1

   $150$150 millions $=150000000=1,5\times 10^8$=150 000 000=1,5× 10⁸ km.

2. 2

   En mètres : $1,5\times 10^8\times 10^3=1,5\times 10^{11}$1,5× 10⁸× 10³=1,5× 10¹¹ m.

Rappel de cours : Pour convertir, on multiplie par la puissance de $10$10 correspondant à l'unité (ici $\times 10^3$× 10³ pour km→m).

Correction détaillée

1. 1

   On compare d'abord les exposants : $10^6>10^5$10⁶>10⁵.

2. 2

   $2,5\times 10^6=2500000$2,5× 10⁶=2 500 000 et $3\times 10^5=300000$3× 10⁵=300 000.

   Donc $2,5\times 10^6>3\times 10^5$2,5× 10⁶>3× 10⁵.

Rappel de cours : En notation scientifique, on compare d'abord les puissances de $10$10 : la plus grande l'emporte (à $a$a comparable).

Correction détaillée

1. 1

   1) $365\times 24\times 3600=31536000$365× 24× 3 600=31 536 000 s, soit environ $3,15\times 10^7$3,15× 10⁷ s.

2. 2

   2) Distance $=$= vitesse $\times$× durée $=3\times 10^5\times 3,1536\times 10^7=9,4608\times 10^{12}\approx 9,46\times 10^{12}$=3× 10⁵× 3,1536× 10⁷=9,4608× 10¹²≈ 9,46× 10¹² km.

3. 3

   3) $4,2\times 9,4608\times 10^{12}\approx 39,7\times 10^{12}=3,97\times 10^{13}$4,2× 9,4608× 10¹²≈ 39,7× 10¹²=3,97× 10¹³ km.

Rappel de cours : Produit en notation scientifique : $(a\times 10^n)(b\times 10^p)=(ab)\times 10^{n+p}$(a× 10ⁿ)(b× 10^(p))=(ab)× 10^(n+p), puis on réajuste $ab$ab entre $1$1 et $10$10.

Erreur fréquente : $39,7\times 10^{12}$39,7× 10¹² n'est pas en notation scientifique : on écrit $3,97\times 10^{13}$3,97× 10¹³.