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Exercices corrigés : Puissances — Troisième

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Puissances

Niveau: Troisième
Chapitre: Puissances
Nombre d'exercices: 14 exercices corrigés
Difficulté: Facile à type brevet

Une puissance $a^{n}$ aⁿ est un produit de facteurs identiques. Les règles de calcul ( $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$ a^(m)× aⁿ=a^(m+n), $\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$ a^(m)/aⁿ=a^(m-n), $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ (a^(m))ⁿ=a^(mn)) et les puissances de $10$ 10 (notation scientifique) sont au cœur du chapitre. Ces exercices corrigés couvrent calculs, exposants négatifs et notation scientifique. Difficulté croissante, correction d'un clic.

Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée avec rappels de cours et erreurs fréquentes à éviter.

Exercice 1 — Calculer une puissance

Application directe

Calculer $2^{4}$ 2⁴, $3^{3}$ 3³ et $5^{2}$ 5².

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Correction détaillée

1
$2^{4} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ 2⁴=2× 2× 2× 2=16.
2
$3^{3} = 3 \times 3 \times 3 = 27$ 3³=3× 3× 3=27.
3
$5^{2} = 5 \times 5 = 25$ 5²=5× 5=25.

Réponse :

2^{4} = 16

2⁴=16,

3^{3} = 27

3³=27,

5^{2} = 25

5²=25.

Rappel de cours : $a^{n}$ aⁿ = produit de $n$ n facteurs égaux à $a$ a.

Exercice 2 — Exposant 0 et 1

Application directe

Calculer $7^{0}$ 7⁰, $7^{1}$ 7¹ et $1^{100}$ 1¹⁰⁰.

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Correction détaillée

1
$7^{0} = 1$ 7⁰=1 (tout nombre non nul à la puissance $0$ 0 vaut $1$ 1).
2
$7^{1} = 7$ 7¹=7.
3
$1^{100} = 1$ 1¹⁰⁰=1 ( $1$ 1 à n'importe quelle puissance vaut $1$ 1).

Réponse :

7^{0} = 1

7⁰=1,

7^{1} = 7

7¹=7,

1^{100} = 1

1¹⁰⁰=1.

Rappel de cours : $a^{0} = 1$ a⁰=1 (pour $a \neq = 0$ a≠ 0) et $a^{1} = a$ a¹=a.

Exercice 3 — Puissance d'un négatif

Application directe

Calculer $(- 2)^{2}$ (-2)², $(- 2)^{3}$ (-2)³ et $- 2^{2}$ -2².

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Correction détaillée

1
$(- 2)^{2} = (- 2) \times (- 2) = 4$ (-2)²=(-2)×(-2)=4.
2
$(- 2)^{3} = (- 2) \times (- 2) \times (- 2) = - 8$ (-2)³=(-2)×(-2)×(-2)=-8.
3
$- 2^{2} = - (2^{2}) = - 4$ -2²=-(2²)=-4 (sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur $2$ 2).

Réponse :

(- 2)^{2} = 4

(-2)²=4,

(- 2)^{3} = - 8

(-2)³=-8,

- 2^{2} = - 4

-2²=-4.

Rappel de cours : Un négatif à une puissance paire est positif, impaire négatif. Attention : $- 2^{2} \neq = (- 2)^{2}$ -2²≠(-2)².

Erreur fréquente : $- 2^{2} = - 4$ -2²=-4 mais $(- 2)^{2} = 4$ (-2)²=4 : la présence de parenthèses change le résultat.

Exercice 4 — Produit de puissances

À maîtriser

Simplifier $2^{3} \times 2^{4}$ 2³× 2⁴ et $5^{2} \times 5^{3}$ 5²× 5³.

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Correction détaillée

1
$a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$ a^(m)× aⁿ=a^(m+n).
2
$2^{3} \times 2^{4} = 2^{7}$ 2³× 2⁴=2⁷ ; $5^{2} \times 5^{3} = 5^{5}$ 5²× 5³=5⁵.

Réponse :

2^{7}

2⁷ ;

5^{5}

5⁵.

Rappel de cours : Même base, on ADDITIONNE les exposants pour un produit.

Exercice 5 — Quotient de puissances

À maîtriser

Simplifier $\frac{3 ^{7}}{3 ^{2}}$ 3⁷/3².

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Correction détaillée

1
$\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$ a^(m)/aⁿ=a^(m-n).
2
$\frac{3 ^{7}}{3 ^{2}} = 3^{7 - 2} = 3^{5}$ 3⁷/3²=3⁷⁻²=3⁵.

Réponse :

3^{5}

3⁵.

Rappel de cours : Même base, on SOUSTRAIT les exposants pour un quotient.

Exercice 6 — Puissance de puissance

À maîtriser

Simplifier $(2^{3})^{4}$ (2³)⁴.

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Correction détaillée

1
$(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ (a^(m))ⁿ=a^(m× n).
2
$(2^{3})^{4} = 2^{12}$ (2³)⁴=2¹².

Réponse :

2^{12}

2¹².

Rappel de cours : Puissance d'une puissance : on MULTIPLIE les exposants.

Exercice 7 — Exposant négatif

Type contrôle

Écrire $2^{- 3}$ 2⁻³ sous forme de fraction, puis calculer.

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Correction détaillée

1
$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ a⁻ⁿ=1/aⁿ.
2
$2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}$ 2⁻³=1/2³=1/8.

Réponse :

2^{- 3} = \frac{1}{8}

2⁻³=1/8.

Rappel de cours : $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ a⁻ⁿ=1/aⁿ : un exposant négatif donne l'inverse.

Exercice 8 — Puissances de 10

À maîtriser

Donner l'écriture décimale de $1 0^{4}$ 10⁴, $1 0^{- 2}$ 10⁻² et $1 0^{0}$ 10⁰.

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Correction détaillée

1
$1 0^{4} = 10000$ 10⁴=10000 (un $1$ 1 suivi de $4$ 4 zéros).
2
$1 0^{- 2} = \frac{1}{1 0 ^{2}} = \frac{1}{100} = 0, 01$ 10⁻²=1/10²=1/100=0,01.
3
$1 0^{0} = 1$ 10⁰=1.

Réponse :

1 0^{4} = 10000

10⁴=10000,

1 0^{- 2} = 0, 01

10⁻²=0,01,

1 0^{0} = 1

10⁰=1.

Rappel de cours : $1 0^{n}$ 10ⁿ = $1$ 1 suivi de $n$ n zéros ; $1 0^{- n}$ 10⁻ⁿ = $0, 0 \dots 1$ 0,0… 1 (le $1$ 1 au $n$ n-ième rang).

Exercice 9 — Notation scientifique

Type contrôle

Écrire $45000$ 45000 et $0, 003$ 0,003 en notation scientifique.

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Correction détaillée

1
$45000 = 4, 5 \times 1 0^{4}$ 45000=4,5× 10⁴ (on place la virgule après le premier chiffre).
2
$0, 003 = 3 \times 1 0^{- 3}$ 0,003=3× 10⁻³.

Réponse :

4, 5 \times 1 0^{4}

4,5× 10⁴ ;

3 \times 1 0^{- 3}

3× 10⁻³.

Rappel de cours : Notation scientifique : $a \times 1 0^{n}$ a× 10ⁿ avec $1 \leq a < 10$ 1≤ a<10. Compter les décalages de virgule.

Exercice 10 — Calcul avec puissances de 10

Type contrôle

Calculer $(2 \times 1 0^{3}) \times (4 \times 1 0^{5})$ (2× 10³)×(4× 10⁵) en notation scientifique.

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Correction détaillée

1
On regroupe : $(2 \times 4) \times (1 0^{3} \times 1 0^{5}) = 8 \times 1 0^{8}$ (2× 4)×(10³× 10⁵)=8× 10⁸.

Réponse :

8 \times 1 0^{8}

8× 10⁸.

Rappel de cours : On multiplie les nombres entre eux et on additionne les exposants de $10$ 10.

Exercice 11 — Type brevet : simplifier une expression

Approfondissement / défi

Simplifier $\frac{2 ^{5} \times 2 ^{3}}{2 ^{6}}$ (2⁵× 2³)/2⁶ sous la forme d'une puissance de $2$ 2, puis calculer.

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Correction détaillée

1
Numérateur : $2^{5} \times 2^{3} = 2^{8}$ 2⁵× 2³=2⁸.
2
$\frac{2 ^{8}}{2 ^{6}} = 2^{8 - 6} = 2^{2} = 4$ 2⁸/2⁶=2⁸⁻⁶=2²=4.

Réponse :

2^{2} = 4

2²=4.

Rappel de cours : On applique les règles dans l'ordre : produit au numérateur, puis quotient.

Exercice 12 — Type brevet : notation scientifique d'un calcul

Approfondissement / défi

Calculer $\frac{6 \times 1 0 ^{7}}{3 \times 1 0 ^{2}}$ (6× 10⁷)/(3× 10²) en notation scientifique.

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Correction détaillée

1
$\frac{6}{3} = 2$ 6/3=2 et $\frac{1 0 ^{7}}{1 0 ^{2}} = 1 0^{5}$ 10⁷/10²=10⁵.
2
Résultat : $2 \times 1 0^{5}$ 2× 10⁵.

Réponse :

2 \times 1 0^{5}

2× 10⁵.

Rappel de cours : On divise les nombres et on soustrait les exposants de $10$ 10.

Exercice 13 — Type brevet : ordre de grandeur

Approfondissement / défi

La distance Terre-Soleil est environ $150$ 150 millions de km.

L'exprimer en mètres en notation scientifique ( $1$ 1 km $= 1 0^{3}$ =10³ m).

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Correction détaillée

1
$150$ 150 millions $= 150000000 = 1, 5 \times 1 0^{8}$ =150 000 000=1,5× 10⁸ km.
2
En mètres : $1, 5 \times 1 0^{8} \times 1 0^{3} = 1, 5 \times 1 0^{11}$ 1,5× 10⁸× 10³=1,5× 10¹¹ m.

Réponse :

1, 5 \times 1 0^{11}

1,5× 10¹¹ m.

Rappel de cours : Pour convertir, on multiplie par la puissance de $10$ 10 correspondant à l'unité (ici $\times 1 0^{3}$ × 10³ pour km→m).

Exercice 14 — Type brevet : comparaison

Approfondissement / défi

Comparer $3 \times 1 0^{5}$ 3× 10⁵ et $2, 5 \times 1 0^{6}$ 2,5× 10⁶.

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Correction détaillée

1
On compare d'abord les exposants : $1 0^{6} > 1 0^{5}$ 10⁶>10⁵.
2
$2, 5 \times 1 0^{6} = 2500000$ 2,5× 10⁶=2 500 000 et $3 \times 1 0^{5} = 300000$ 3× 10⁵=300 000.
Donc $2, 5 \times 1 0^{6} > 3 \times 1 0^{5}$ 2,5× 10⁶>3× 10⁵.

Réponse :

2, 5 \times 1 0^{6} > 3 \times 1 0^{5}

2,5× 10⁶>3× 10⁵.

Rappel de cours : En notation scientifique, on compare d'abord les puissances de $10$ 10 : la plus grande l'emporte (à $a$ a comparable).

Tout sur puissances et nombres rationnels

Puissances de 10, notation scientifique et fractions : les automatismes de calcul du cycle 4.

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