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Exercices corrigés : Équations — Troisième

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Équations

Niveau: Troisième
Chapitre: Équations
Nombre d'exercices: 20 exercices corrigés
Difficulté: Facile à type brevet

Résoudre une équation, c'est trouver la (ou les) valeur(s) de l'inconnue qui la vérifient. En Troisième on résout les équations du premier degré et les équations produit (en factorisant). Ces exercices corrigés couvrent équations simples, avec parenthèses, équations produit et mises en équation de problèmes. Difficulté croissante, correction d'un clic.

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Exercice 1 — Premier degré simple

Application directe

Résoudre $2 x + 5 = 13$ 2x+5=13.

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Correction détaillée

1
On retranche $5$ 5 : $2 x = 8$ 2x=8.
2
On divise par $2$ 2 : $x = 4$ x=4.

Réponse :

x = 4

x=4.

Rappel de cours : On isole $x$ x en faisant les mêmes opérations des deux côtés.

Exercice 2 — Inconnue des deux côtés

Application directe

Résoudre $5 x - 4 = 2 x + 8$ 5x-4=2x+8.

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Correction détaillée

1
$5 x - 2 x = 8 + 4$ 5x-2x=8+4, soit $3 x = 12$ 3x=12.
2
$x = 4$ x=4.

Réponse :

x = 4

x=4.

Rappel de cours : On regroupe les $x$ x d'un côté, les nombres de l'autre (en changeant de signe).

Exercice 3 — Avec parenthèses

Application directe

Résoudre $3 (x - 2) = 12$ 3(x-2)=12.

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Correction détaillée

1
On développe : $3 x - 6 = 12$ 3x-6=12, soit $3 x = 18$ 3x=18, donc $x = 6$ x=6. (Ou : diviser par $3$ 3, $x - 2 = 4$ x-2=4.)

Réponse :

x = 6

x=6.

Rappel de cours : On peut développer ou diviser par le facteur commun.

Exercice 4 — Coefficient négatif

Application directe

Résoudre $- 3 x + 7 = 19$ -3x+7=19.

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Correction détaillée

1
On isole le terme en $x$ x en retranchant $7$ 7 aux deux membres : $- 3 x = 12$ -3x=12.
2
On divise les deux membres par $- 3$ -3 : $x = \frac{12}{- 3} = - 4$ x=12/(-3)=-4.
3
Vérification : $- 3 \times (- 4) + 7 = 12 + 7 = 19$ -3×(-4)+7=12+7=19.

Réponse :

x = - 4

x=-4.

Rappel de cours : On peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser (par un nombre non nul) les deux membres d'une équation par le même nombre.

Erreur fréquente : On divise par $- 3$ -3, pas par $3$ 3 : le signe du coefficient fait partie du nombre.

Exercice 5 — Avec fractions

À maîtriser

Résoudre $\frac{x}{4} + 2 = 5$ x/4+2=5.

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Correction détaillée

1
$\frac{x}{4} = 3$ x/4=3, puis on multiplie par $4$ 4 : $x = 12$ x=12.

Réponse :

x = 12

x=12.

Rappel de cours : Pour supprimer une division par $4$ 4, on multiplie par $4$ 4.

Exercice 6 — Équation avec un quotient

À maîtriser

Résoudre $\frac{3 x - 1}{2} = 4$ (3x-1)/2=4.

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Correction détaillée

1
On multiplie par $2$ 2 : $3 x - 1 = 8$ 3x-1=8, donc $3 x = 9$ 3x=9 et $x = 3$ x=3.

Réponse :

x = 3

x=3.

Rappel de cours : On supprime le dénominateur en multipliant les deux membres par celui-ci.

Exercice 7 — Équation produit

À maîtriser

Résoudre $(x - 3) (x + 5) = 0$ (x-3)(x+5)=0.

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Correction détaillée

1
Un produit est nul si l'un des facteurs l'est.
2
$x - 3 = 0$ x-3=0 ou $x + 5 = 0$ x+5=0, donc $x = 3$ x=3 ou $x = - 5$ x=-5.

Réponse :

S = {- 5; 3}

S={-5 ;3}.

Rappel de cours : $A \times B = 0 ⟺ A = 0$ A× B=0⇔ A=0 ou $B = 0$ B=0.

Exercice 8 — Équation produit à trois facteurs

À maîtriser

Résoudre $x (2 x + 5) (x - 7) = 0$ x(2x+5)(x-7)=0.

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Correction détaillée

1
Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
2
$x = 0$ x=0, ou $2 x + 5 = 0 ⟺ x = - \frac{5}{2}$ 2x+5=0⇔ x=-5/2, ou $x - 7 = 0 ⟺ x = 7$ x-7=0⇔ x=7.

Réponse : Trois solutions :

- \frac{5}{2}

-5/2,

0

0 et

7

Rappel de cours : Équation produit : $A \times B \times C = 0 ⟺ A = 0$ A× B× C=0⇔ A=0 ou $B = 0$ B=0 ou $C = 0$ C=0.

Erreur fréquente : Ne pas oublier la solution $x = 0$ x=0, qui vient du premier facteur.

Exercice 9 — Fractions des deux côtés

À maîtriser

Résoudre $\frac{x}{3} + \frac{1}{2} = \frac{x}{4} + 2$ x/3+1/2=x/4+2.

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Correction détaillée

1
On supprime les dénominateurs en multipliant les deux membres par $12$ 12, multiple commun de $3$ 3, $2$ 2 et $4$ 4.
2
$12 \times \frac{x}{3} + 12 \times \frac{1}{2} = 12 \times \frac{x}{4} + 12 \times 2$ 12timesx/3+12×1/2=12timesx/4+12× 2, soit $4 x + 6 = 3 x + 24$ 4x+6=3x+24.
3
$4 x - 3 x = 24 - 6$ 4x-3x=24-6, donc $x = 18$ x=18.
4
Vérification : $\frac{18}{3} + \frac{1}{2} = 6, 5$ 18/3+1/2=6,5 et $\frac{18}{4} + 2 = 4, 5 + 2 = 6, 5$ 18/4+2=4,5+2=6,5.

Réponse :

x = 18

x=18.

Rappel de cours : Multiplier par le dénominateur commun transforme une équation à fractions en équation à coefficients entiers.

Erreur fréquente : Multiplier tous les termes, y compris ceux sans fraction ( $2$ 2 devient $24$ 24).

Exercice 10 — Se ramener à une équation produit

Type contrôle

Résoudre $x^{2} - 4 x = 0$ x²-4x=0.

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Correction détaillée

1
On factorise par $x$ x : $x (x - 4) = 0$ x(x-4)=0.
2
$x = 0$ x=0 ou $x = 4$ x=4.

Réponse :

S = {0; 4}

S={0 ;4}.

Rappel de cours : On factorise pour obtenir un produit nul. Ne pas diviser par $x$ x (perte de $x = 0$ x=0).

Exercice 11 — Équation avec carré

Type contrôle

Résoudre $x^{2} = 49$ x²=49.

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Correction détaillée

1
$x^{2} = 49 ⟺ x = \pm 7$ x²=49 ⇔ x=± 7.

Réponse :

S = {- 7; 7}

S={-7 ;7}.

Rappel de cours : $x^{2} = k$ x²=k ( $k > 0$ k>0) a deux solutions $\pm k$ ± √k.

Exercice 12 — Factoriser puis résoudre

Type contrôle

Résoudre $(2 x - 1) (x + 3) = (2 x - 1) (x - 4)$ (2x-1)(x+3)=(2x-1)(x-4).

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Correction détaillée

1
On ramène tout d'un côté : $(2 x - 1) (x + 3) - (2 x - 1) (x - 4) = 0$ (2x-1)(x+3)-(2x-1)(x-4)=0.
2
Facteur commun $(2 x - 1)$ (2x-1) : $(2 x - 1) [(x + 3) - (x - 4)] = (2 x - 1) (7) = 0$ (2x-1)[(x+3)-(x-4)]=(2x-1)(7)=0.
3
Comme $7 \neq = 0$ 7≠ 0, il reste $2 x - 1 = 0$ 2x-1=0, donc $x = \frac{1}{2}$ x=1/2.

Réponse :

x = \frac{1}{2}

x=1/2.

Rappel de cours : Quand un facteur commun apparaît des deux côtés, on factorise au lieu de tout développer.

Exercice 13 — Aucune solution, ou une infinité

Type contrôle

Résoudre les deux équations : (E₁) $2 (x + 3) = 2 x + 5$ 2(x+3)=2x+5 ; (E₂) $3 (x - 1) + x = 4 x - 3$ 3(x-1)+x=4x-3.

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Correction détaillée

1
(E₁) On développe : $2 x + 6 = 2 x + 5$ 2x+6=2x+5.
En retranchant $2 x$ 2x : $6 = 5$ 6=5, ce qui est faux quel que soit $x$ x. (E₁) n'a aucune solution.
2
(E₂) On développe et on réduit : $3 x - 3 + x = 4 x - 3$ 3x-3+x=4x-3, soit $4 x - 3 = 4 x - 3$ 4x-3=4x-3.
En retranchant $4 x$ 4x : $- 3 = - 3$ -3=-3, toujours vrai.
Tout nombre est solution.

Réponse : (E₁) n'a pas de solution ; (E₂) a pour solutions tous les nombres.

Rappel de cours : Si les $x$ x disparaissent, on obtient soit une égalité fausse (aucune solution), soit une égalité toujours vraie (tous les nombres sont solutions).

Erreur fréquente : Écrire « $x = 0$ x=0 » quand les $x$ x disparaissent est une erreur : il faut conclure selon que l'égalité restante est vraie ou fausse.

Exercice 14 — Type brevet : mise en équation (nombres)

Approfondissement / défi

Le double d'un nombre augmenté de $7$ 7 est égal à $25$ 25.

Quel est ce nombre ?

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Correction détaillée

1
Soit $x$ x le nombre : « le double augmenté de $7$ 7 » s'écrit $2 x + 7$ 2x+7.
Équation : $2 x + 7 = 25$ 2x+7=25.
2
$2 x = 18$ 2x=18, donc $x = 9$ x=9.

Réponse : Le nombre est

9

Rappel de cours : On traduit l'énoncé mot à mot en expression algébrique, puis on résout.

Exercice 15 — Type brevet : géométrie

Approfondissement / défi

Un rectangle a une longueur de $x + 4$ x+4 et une largeur de $x$ x.

Son périmètre vaut $28$ 28 cm.

Déterminer $x$ x, puis les dimensions.

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Correction détaillée

1
Périmètre : $2 ((x + 4) + x) = 2 (2 x + 4) = 4 x + 8$ 2((x+4)+x)=2(2x+4)=4x+8.
Équation : $4 x + 8 = 28$ 4x+8=28.
2
$4 x = 20$ 4x=20, donc $x = 5$ x=5.
Largeur $5$ 5 cm, longueur $9$ 9 cm.

Réponse :

x = 5

x=5 : largeur

5

5 cm, longueur

9

9 cm.

Rappel de cours : Périmètre d'un rectangle : $2 (longueur + largeur)$ 2( longueur + largeur ).

Exercice 16 — Type brevet : problème de proportions

Approfondissement / défi

Dans une classe, il y a $8$ 8 filles de plus que de garçons, et $30$ 30 élèves au total.

Combien de garçons ?

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Correction détaillée

1
Soit $x$ x le nombre de garçons ; les filles sont $x + 8$ x+8.
Total : $x + (x + 8) = 30$ x+(x+8)=30.
2
$2 x + 8 = 30$ 2x+8=30, soit $2 x = 22$ 2x=22, donc $x = 11$ x=11.
Il y a $11$ 11 garçons (et $19$ 19 filles).

Réponse :

11

11 garçons.

Rappel de cours : On exprime tout en fonction d'une seule inconnue, puis on pose l'équation du total.

Exercice 17 — Type brevet : équation produit développée

Approfondissement / défi

Résoudre $x^{2} - 9 = 0$ x²-9=0 en factorisant.

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Correction détaillée

1
$x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ x²-9=(x-3)(x+3) (différence de carrés).
2
$(x - 3) (x + 3) = 0$ (x-3)(x+3)=0, donc $x = 3$ x=3 ou $x = - 3$ x=-3.

Réponse :

S = {- 3; 3}

S={-3 ;3}.

Rappel de cours : Une différence de carrés se factorise en $(a - b) (a + b)$ (a-b)(a+b), puis on résout le produit nul.

Exercice 18 — Type brevet : âges

Approfondissement / défi

Dans $6$ 6 ans, Marc aura le double de l'âge qu'il avait il y a $4$ 4 ans.

Quel âge a-t-il aujourd'hui ?

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Correction détaillée

1
Soit $x$ x son âge actuel.
Dans $6$ 6 ans : $x + 6$ x+6.
Il y a $4$ 4 ans : $x - 4$ x-4.
Équation : $x + 6 = 2 (x - 4)$ x+6=2(x-4).
2
$x + 6 = 2 x - 8$ x+6=2x-8, soit $6 + 8 = 2 x - x$ 6+8=2x-x, donc $x = 14$ x=14.

Réponse : Marc a

14

14 ans.

Rappel de cours : On exprime chaque âge (passé, futur) en fonction de l'âge actuel $x$ x.

Exercice 19 — Type brevet : billets de concert

Approfondissement / défi

Un groupe achète $25$ 25 billets de concert pour $240$ 240 €.

Un billet adulte coûte $12$ 12 € et un billet enfant $7$ 7 €.

Combien y a-t-il d'adultes et d'enfants ?

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Correction détaillée

1
Choix de l'inconnue : on note $a$ a le nombre d'adultes.
Il y a alors $25 - a$ 25-a enfants.
2
Mise en équation sur le prix total : $12 a + 7 (25 - a) = 240$ 12a+7(25-a)=240.
3
Résolution : $12 a + 175 - 7 a = 240$ 12a+175-7a=240, donc $5 a = 65$ 5a=65 et $a = 13$ a=13.
4
Il y a $13$ 13 adultes et $25 - 13 = 12$ 25-13=12 enfants.
Vérification : $13 \times 12 + 12 \times 7 = 156 + 84 = 240$ 13× 12+12× 7=156+84=240 €.

Réponse :

13

13 adultes et

12

12 enfants.

Rappel de cours : Méthode : choisir l'inconnue, exprimer les autres quantités avec elle, écrire l'équation, résoudre, vérifier, conclure par une phrase.

Erreur fréquente : Avec deux inconnues liées par un total, on exprime la seconde en fonction de la première ( $25 - a$ 25-a) pour n'avoir qu'une seule lettre.

Exercice 20 — Type brevet : agrandir un carré

Approfondissement / défi

Quand on augmente de $3$ 3 cm le côté d'un carré, son aire augmente de $39 cm^{2}$ 39 cm ².

Quel est le côté du carré de départ ?

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Correction détaillée

1
On note $x$ x le côté du carré de départ (en cm).
Son aire est $x^{2}$ x², celle du grand carré est $(x + 3)^{2}$ (x+3)².
2
Équation : $(x + 3)^{2} - x^{2} = 39$ (x+3)²-x²=39.
3
On développe : $x^{2} + 6 x + 9 - x^{2} = 39$ x²+6x+9-x²=39, soit $6 x + 9 = 39$ 6x+9=39.
Les $x^{2}$ x² s'éliminent : c'est une équation du premier degré.
4
$6 x = 30$ 6x=30, donc $x = 5$ x=5.
Vérification : $8^{2} - 5^{2} = 64 - 25 = 39$ 8²-5²=64-25=39.