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Exercices corrigés : Développement et factorisation — Troisième

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Développement et factorisation

Niveau: Troisième
Chapitre: Développement et factorisation
Nombre d'exercices: 20 exercices corrigés
Difficulté: Facile à type brevet

Développer transforme un produit en somme ; factoriser fait l'inverse. En Troisième, on utilise la double distributivité et les identités remarquables $(a + b)^{2}$ (a+b)², $(a - b)^{2}$ (a-b)², $(a + b) (a - b)$ (a+b)(a-b). Ces exercices corrigés couvrent développement, identités et factorisation. Difficulté croissante, correction d'un clic.

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Exercice 1 — Double distributivité

Application directe

Développer $(x + 2) (x + 5)$ (x+2)(x+5).

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Correction détaillée

1
$(x + 2) (x + 5) = x \times x + x \times 5 + 2 \times x + 2 \times 5 = x^{2} + 5 x + 2 x + 10$ (x+2)(x+5)=x× x+x× 5+2× x+2× 5=x²+5x+2x+10.
2
$= x^{2} + 7 x + 10$ =x²+7x+10.

Réponse :

x^{2} + 7 x + 10

x²+7x+10.

Rappel de cours : $(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$ (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd, puis on réduit.

Exercice 2 — Avec un signe négatif

Application directe

Développer $(x - 3) (x + 4)$ (x-3)(x+4).

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Correction détaillée

1
$(x - 3) (x + 4) = x^{2} + 4 x - 3 x - 12 = x^{2} + x - 12$ (x-3)(x+4)=x²+4x-3x-12=x²+x-12.

Réponse :

x^{2} + x - 12

x²+x-12.

Rappel de cours : Soigner les signes : $- 3 \times 4 = - 12$ -3× 4=-12, $- 3 \times x = - 3 x$ -3× x=-3x.

Exercice 3 — Développer (a+b)²

Application directe

Développer $(x + 4)^{2}$ (x+4)².

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Correction détaillée

1
$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ (a+b)²=a²+2ab+b² avec $a = x$ a=x, $b = 4$ b=4.
2
$(x + 4)^{2} = x^{2} + 8 x + 16$ (x+4)²=x²+8x+16.

Réponse :

x^{2} + 8 x + 16

x²+8x+16.

Rappel de cours : $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ (a+b)²=a²+2ab+b² : ne pas oublier le double produit $2 ab$ 2ab.

Exercice 4 — Distributivité simple, facteurs variés

Application directe

Développer $A = - 3 (2 x - 5)$ A=-3(2x-5) et $B = 2 x (x + 4)$ B=2x(x+4).

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Correction détaillée

1
On multiplie le facteur devant la parenthèse par chaque terme à l'intérieur.
2
$A = - 3 \times 2 x + (- 3) \times (- 5) = - 6 x + 15$ A=-3× 2x+(-3)×(-5)=-6x+15.
3
$B = 2 x \times x + 2 x \times 4 = 2 x^{2} + 8 x$ B=2x× x+2x× 4=2x²+8x.

Réponse :

A = - 6 x + 15

A=-6x+15 ;

B = 2 x^{2} + 8 x

B=2x²+8x.

Rappel de cours : $k (a + b) = k a + k b$ k(a+b)=ka+kb, en tenant compte du signe de $k$ k.

Erreur fréquente : $- 3 \times (- 5) = + 15$ -3×(-5)=+15 : moins par moins donne plus.

Exercice 5 — Développer (a−b)²

À maîtriser

Développer $(2 x - 3)^{2}$ (2x-3)².

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Correction détaillée

1
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ (a-b)²=a²-2ab+b² avec $a = 2 x$ a=2x, $b = 3$ b=3.
2
$(2 x)^{2} - 2 \times 2 x \times 3 + 3^{2} = 4 x^{2} - 12 x + 9$ (2x)²-2× 2x× 3+3²=4x²-12x+9.

Réponse :

4 x^{2} - 12 x + 9

4x²-12x+9.

Rappel de cours : $(2 x)^{2} = 4 x^{2}$ (2x)²=4x² : on élève coefficient ET variable au carré.

Exercice 6 — Développer (a+b)(a−b)

À maîtriser

Développer $(x + 5) (x - 5)$ (x+5)(x-5).

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Correction détaillée

1
$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ (a+b)(a-b)=a²-b² avec $a = x$ a=x, $b = 5$ b=5.
2
$(x + 5) (x - 5) = x^{2} - 25$ (x+5)(x-5)=x²-25.

Réponse :

x^{2} - 25

x²-25.

Rappel de cours : $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ (a+b)(a-b)=a²-b² : pas de terme en $x$ x dans le résultat.

Exercice 7 — Développer et réduire

À maîtriser

Développer et réduire $(x + 1)^{2} - (x - 2)^{2}$ (x+1)²-(x-2)².

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Correction détaillée

1
$(x + 1)^{2} = x^{2} + 2 x + 1$ (x+1)²=x²+2x+1 ; $(x - 2)^{2} = x^{2} - 4 x + 4$ (x-2)²=x²-4x+4.
2
Différence : $(x^{2} + 2 x + 1) - (x^{2} - 4 x + 4) = x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} + 4 x - 4 = 6 x - 3$ (x²+2x+1)-(x²-4x+4)=x²+2x+1-x²+4x-4=6x-3.

Réponse :

6 x - 3

6x-3.

Rappel de cours : Distribuer le $-$ - devant la parenthèse : $- (x^{2} - 4 x + 4) = - x^{2} + 4 x - 4$ -(x²-4x+4)=-x²+4x-4.

Exercice 8 — Factoriser (facteur commun)

À maîtriser

Factoriser $5 x + 15$ 5x+15 et $x^{2} + 3 x$ x²+3x.

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Correction détaillée

1
$5 x + 15 = 5 (x + 3)$ 5x+15=5(x+3).
2
$x^{2} + 3 x = x (x + 3)$ x²+3x=x(x+3).

Réponse :

5 (x + 3)

5(x+3) ;

x (x + 3)

x(x+3).

Rappel de cours : On met en facteur le terme commun à tous les morceaux.

Exercice 9 — Double distributivité avec coefficients

À maîtriser

Développer et réduire $(2 x + 3) (3 x - 1)$ (2x+3)(3x-1).

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Correction détaillée

1
Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde : 4 produits.
2
$2 x \times 3 x = 6 x^{2}$ 2x× 3x=6x², $2 x \times (- 1) = - 2 x$ 2x×(-1)=-2x, $3 \times 3 x = 9 x$ 3× 3x=9x, $3 \times (- 1) = - 3$ 3×(-1)=-3.
3
On réduit : $6 x^{2} - 2 x + 9 x - 3 = 6 x^{2} + 7 x - 3$ 6x²-2x+9x-3=6x²+7x-3.

Réponse :

(2 x + 3) (3 x - 1) = 6 x^{2} + 7 x - 3

(2x+3)(3x-1)=6x²+7x-3.

Rappel de cours : $(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$ (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.

Erreur fréquente : Contrôle rapide avec $x = 1$ x=1 : $(5) (2) = 10$ (5)(2)=10 et $6 + 7 - 3 = 10$ 6+7-3=10.

Exercice 10 — Facteur commun (parenthèse)

Type contrôle

Factoriser $(x + 1) (x + 3) + (x + 1) (2 x - 5)$ (x+1)(x+3)+(x+1)(2x-5).

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Correction détaillée

1
Facteur commun $(x + 1)$ (x+1) : $(x + 1) [(x + 3) + (2 x - 5)]$ (x+1)[(x+3)+(2x-5)].
2
$= (x + 1) (3 x - 2)$ =(x+1)(3x-2).

Réponse :

(x + 1) (3 x - 2)

(x+1)(3x-2).

Rappel de cours : Le facteur commun peut être une parenthèse entière.

Exercice 11 — Factoriser une différence de carrés

Type contrôle

Factoriser $x^{2} - 16$ x²-16 et $9 x^{2} - 4$ 9x²-4.

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Correction détaillée

1
$x^{2} - 16 = x^{2} - 4^{2} = (x - 4) (x + 4)$ x²-16=x²-4²=(x-4)(x+4).
2
$9 x^{2} - 4 = (3 x)^{2} - 2^{2} = (3 x - 2) (3 x + 2)$ 9x²-4=(3x)²-2²=(3x-2)(3x+2).

Réponse :

(x - 4) (x + 4)

(x-4)(x+4) ;

(3 x - 2) (3 x + 2)

(3x-2)(3x+2).

Rappel de cours : $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ a²-b²=(a-b)(a+b). Repérer les carrés (même de $9 x^{2} = (3 x)^{2}$ 9x²=(3x)²).

Exercice 12 — Factoriser un carré parfait

Type contrôle

Factoriser $x^{2} + 10 x + 25$ x²+10x+25.

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Correction détaillée

1
$x^{2} + 10 x + 25 = x^{2} + 2 \times x \times 5 + 5^{2} = (x + 5)^{2}$ x²+10x+25=x²+2× x× 5+5²=(x+5)².

Réponse :

(x + 5)^{2}

(x+5)².

Rappel de cours : $a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ a²+2ab+b²=(a+b)² : vérifier que le terme du milieu est le double produit.

Exercice 13 — Facteur commun et carré

Type contrôle

Factoriser $C = (x - 2) (3 x + 1) - (x - 2)^{2}$ C=(x-2)(3x+1)-(x-2)².

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Correction détaillée

1
$(x - 2)^{2} = (x - 2) (x - 2)$ (x-2)²=(x-2)(x-2) : le facteur $(x - 2)$ (x-2) apparaît dans les deux termes.
2
$C = (x - 2) [(3 x + 1) - (x - 2)]$ C=(x-2)[(3x+1)-(x-2)].
3
Dans le crochet, le signe moins change les signes de $(x - 2)$ (x-2) : $3 x + 1 - x + 2 = 2 x + 3$ 3x+1-x+2=2x+3.
4
$C = (x - 2) (2 x + 3)$ C=(x-2)(2x+3).

Réponse :

C = (x - 2) (2 x + 3)

C=(x-2)(2x+3).

Rappel de cours : Un carré $A^{2}$ A² cache le facteur $A$ A : $A^{2} = A \times A$ A²=A× A.

Erreur fréquente : Écrire $(3 x + 1) - x - 2$ (3x+1)-x-2 : on oublie de changer le signe du $- 2$ -2.

Exercice 14 — Calcul mental avec les identités

Type contrôle

Sans calculatrice, calculer $10 1^{2}$ 101², $9 9^{2}$ 99² et $52 \times 48$ 52× 48 à l'aide des identités remarquables.

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Correction détaillée

1
$10 1^{2} = (100 + 1)^{2} = 10 0^{2} + 2 \times 100 \times 1 + 1^{2} = 10000 + 200 + 1 = 10201$ 101²=(100+1)²=100²+2× 100× 1+1²=10 000+200+1=10 201.
2
$9 9^{2} = (100 - 1)^{2} = 10000 - 200 + 1 = 9801$ 99²=(100-1)²=10 000-200+1=9 801.
3
$52 \times 48 = (50 + 2) (50 - 2) = 5 0^{2} - 2^{2} = 2500 - 4 = 2496$ 52× 48=(50+2)(50-2)=50²-2²=2 500-4=2 496.

Réponse :

10 1^{2} = 10201

101²=10 201,

9 9^{2} = 9801

99²=9 801,

52 \times 48 = 2496

52× 48=2 496.

Rappel de cours : $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ (a+b)²=a²+2ab+b², $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ (a-b)²=a²-2ab+b², $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ (a+b)(a-b)=a²-b².

Exercice 15 — Type brevet : factoriser avec parenthèse au carré

Approfondissement / défi

Factoriser $(x + 1)^{2} - 9$ (x+1)²-9.

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Correction détaillée

1
Différence de carrés : $(x + 1)^{2} - 3^{2}$ (x+1)²-3².
2
$(x + 1 - 3) (x + 1 + 3) = (x - 2) (x + 4)$ (x+1-3)(x+1+3)=(x-2)(x+4).

Réponse :

(x - 2) (x + 4)

(x-2)(x+4).

Rappel de cours : $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ A²-B²=(A-B)(A+B) marche même si $A = (x + 1)$ A=(x+1).

Exercice 16 — Type brevet : factoriser puis résoudre

Approfondissement / défi

Factoriser $x^{2} - 6 x + 9$ x²-6x+9, puis résoudre $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ x²-6x+9=0.

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Correction détaillée

1
$x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ x²-6x+9=(x-3)².
2
$(x - 3)^{2} = 0 ⟺ x = 3$ (x-3)²=0 ⇔ x=3.

Réponse : Factorisation

(x - 3)^{2}

(x-3)² ; solution

x = 3

x=3.

Rappel de cours : Factoriser ramène l'équation à un produit (ou un carré) nul.

Exercice 17 — Type brevet : double factorisation

Approfondissement / défi

Factoriser $(3 x - 1)^{2} - (x + 2)^{2}$ (3x-1)²-(x+2)².

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Correction détaillée

1
$A^{2} - B^{2}$ A²-B² avec $A = 3 x - 1$ A=3x-1, $B = x + 2$ B=x+2.
2
$(A - B) (A + B) = [(3 x - 1) - (x + 2)] [(3 x - 1) + (x + 2)] = (2 x - 3) (4 x + 1)$ (A-B)(A+B)=[(3x-1)-(x+2)][(3x-1)+(x+2)]=(2x-3)(4x+1).

Réponse :

(2 x - 3) (4 x + 1)

(2x-3)(4x+1).

Rappel de cours : Distribuer le $-$ - : $A - B = (3 x - 1) - (x + 2) = 2 x - 3$ A-B=(3x-1)-(x+2)=2x-3.

Exercice 18 — Type brevet : choisir développer ou factoriser

Approfondissement / défi

Soit $A = (x + 3)^{2} - (x + 3) (x - 1)$ A=(x+3)²-(x+3)(x-1). 1) Développer puis réduire. 2) Factoriser $A$ A.

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Correction détaillée

1
Développement : $(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ (x+3)²=x²+6x+9 et $(x + 3) (x - 1) = x^{2} + 2 x - 3$ (x+3)(x-1)=x²+2x-3.
$A = (x^{2} + 6 x + 9) - (x^{2} + 2 x - 3) = 4 x + 12$ A=(x²+6x+9)-(x²+2x-3)=4x+12.
2
Factorisation (directe) : facteur commun $(x + 3)$ (x+3) dans $A = (x + 3) [(x + 3) - (x - 1)] = (x + 3) (4) = 4 (x + 3)$ A=(x+3)[(x+3)-(x-1)]=(x+3)(4)=4(x+3).
3
Cohérent : $4 (x + 3) = 4 x + 12$ 4(x+3)=4x+12. ✓

Réponse : Développé :

4 x + 12

4x+12 ; factorisé :

4 (x + 3)

4(x+3).

Rappel de cours : Repérer le facteur commun $(x + 3)$ (x+3) évite de tout développer pour factoriser.

Exercice 19 — Type brevet : factoriser pour résoudre

Approfondissement / défi

Résoudre $(2 x + 1)^{2} - 16 = 0$ (2x+1)²-16=0.

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Correction détaillée

1
On reconnaît $a^{2} - b^{2}$ a²-b² avec $a = 2 x + 1$ a=2x+1 et $b = 4$ b=4 (car $16 = 4^{2}$ 16=4²).
2
$(2 x + 1)^{2} - 4^{2} = (2 x + 1 - 4) (2 x + 1 + 4) = (2 x - 3) (2 x + 5)$ (2x+1)²-4²=(2x+1-4)(2x+1+4)=(2x-3)(2x+5).
3
L'équation devient $(2 x - 3) (2 x + 5) = 0$ (2x-3)(2x+5)=0 : un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul.
4
$2 x - 3 = 0 ⟺ x = \frac{3}{2}$ 2x-3=0⇔ x=3/2 ; $2 x + 5 = 0 ⟺ x = - \frac{5}{2}$ 2x+5=0⇔ x=-5/2.
5
Vérification : $(2 \times 1, 5 + 1)^{2} = 16$ (2× 1,5+1)²=16 et $(2 \times (- 2, 5) + 1)^{2} = (- 4)^{2} = 16$ (2×(-2,5)+1)²=(-4)²=16.

Réponse :

x = \frac{3}{2}

x=3/2 ou

x = - \frac{5}{2}

x=-5/2.

Rappel de cours : Pour résoudre une équation du second degré au collège, on factorise pour obtenir une équation produit.

Erreur fréquente : Développer donnerait $4 x^{2} + 4 x - 15 = 0$ 4x²+4x-15=0, qu'on ne sait pas résoudre en 3ᵉ : il faut factoriser.

Exercice 20 — Type brevet : programme et identité remarquable

Approfondissement / défi

Programme : choisir un nombre, lui ajouter $5$ 5, élever le résultat au carré, puis retrancher $25$ 25.

1.Tester le programme avec $1$ 1 et avec $- 3$ -3.
2.Montrer que le résultat s'écrit $x (x + 10)$ x(x+10), où $x$ x est le nombre choisi.
3.Quels nombres faut-il choisir pour obtenir $0$ 0 ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
1) Avec $1$ 1 : $(1 + 5)^{2} - 25 = 36 - 25 = 11$ (1+5)²-25=36-25=11.
Avec $- 3$ -3 : $(2)^{2} - 25 = 4 - 25 = - 21$ (2)²-25=4-25=-21.
2
2) Le résultat est $(x + 5)^{2} - 25$ (x+5)²-25.
On développe : $x^{2} + 10 x + 25 - 25 = x^{2} + 10 x$ x²+10x+25-25=x²+10x, puis on factorise par $x$ x : $x (x + 10)$ x(x+10).
3
Contrôle : $1 \times 11 = 11$ 1× 11=11 et $- 3 \times 7 = - 21$ -3× 7=-21.
4
3) $x (x + 10) = 0 ⟺ x = 0$ x(x+10)=0⇔ x=0 ou $x = - 10$ x=-10.

Réponse :

11

11 et

- 21

-21 ; résultat

x (x + 10)

x(x+10) ; il faut choisir

0

0 ou

- 10

-10.

Rappel de cours : On peut aussi factoriser directement $(x + 5)^{2} - 5^{2} = (x + 5 - 5) (x + 5 + 5) = x (x + 10)$ (x+5)²-5²=(x+5-5)(x+5+5)=x(x+10).

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Développer, factoriser, résoudre : la partie algébrique du brevet, celle qui revient chaque année.

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