Exercices corrigés : Fonctions affines — Troisième

Correction détaillée

1. 1

   $f(0)=2\times 0+3=3$f(0)=2× 0+3=3 ; $f(4)=2\times 4+3=11$f(4)=2× 4+3=11 ; $f(-1)=2\times (-1)+3=1$f(-1)=2×(-1)+3=1.

Rappel de cours : $f(x)=ax+b$f(x)=ax+b : on remplace $x$x puis on calcule.

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1. 1

   $f(x)=4x$f(x)=4x est linéaire (de la forme $ax$ax, donc aussi affine avec $b=0$b=0).

2. 2

   $g(x)=4x-2$g(x)=4x-2 est affine (non linéaire, car $b=-2\ne 0$b=-2≠ 0).

3. 3

   $h(x)=7$h(x)=7 est affine constante ($a=0$a=0, $b=7$b=7).

Rappel de cours : Toute fonction linéaire est affine ($b=0$b=0) ; une affine est linéaire seulement si $b=0$b=0.

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1. 1

   Coefficient directeur : $a=-3$a=-3.

   Ordonnée à l'origine : $b=5$b=5.

Rappel de cours : Dans $f(x)=ax+b$f(x)=ax+b : $a$a = pente, $b=f(0)$b=f(0) = ordonnée à l'origine.

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1. 1

   Image de $2$2 : $f(2)=-3\times 2+4=-6+4=-2$f(2)=-3× 2+4=-6+4=-2.

2. 2

   Antécédent de $10$10 : on résout $-3x+4=10$-3x+4=10, soit $-3x=6$-3x=6, donc $x=-2$x=-2.

3. 3

   Vérification : $f(-2)=-3\times (-2)+4=6+4=10$f(-2)=-3×(-2)+4=6+4=10.

Rappel de cours : Image : on calcule $f(\text{nombre})$f( nombre ). Antécédent : on résout l'équation $f(x)=\text{nombre}$f(x)= nombre.

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1. 1

   $f(x)=ax+b$f(x)=ax+b.

   $f(0)=b=2$f(0)=b=2.

2. 2

   $f(3)=3a+2=8$f(3)=3a+2=8, donc $3a=6$3a=6 et $a=2$a=2.

   Ainsi $f(x)=2x+2$f(x)=2x+2.

Rappel de cours : $f(0)$f(0) donne $b$b directement ; un second point donne $a$a.

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1. 1

   $a=\frac{f(4)-f(1)}{4-1}=\frac{14-5}{3}=\frac{9}{3}=3$a=(f(4)-f(1))/(4-1)=(14-5)/3=9/3=3.

Rappel de cours : $a=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$a=(f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁) : variation des images sur variation des $x$x.

Correction détaillée

1. 1

   $f(x)=3x+b$f(x)=3x+b.

   $f(1)=3+b=5$f(1)=3+b=5, donc $b=2$b=2.

2. 2

   $f(x)=3x+2$f(x)=3x+2.

Rappel de cours : Connaissant $a$a et un point, on trouve $b$b en injectant les coordonnées.

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1. 1

   Le sens dépend du signe du coefficient directeur $a$a.

2. 2

   $a=-2<0$a=-2<0 : la fonction est décroissante.

Rappel de cours : $a>0$a>0 : croissante ; $a<0$a<0 : décroissante ; $a=0$a=0 : constante.

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1. 1

   L'ordonnée à l'origine $b$b se lit à l'intersection avec l'axe des ordonnées : la droite passe par $(0;3)$(0 ;3), donc $b=3$b=3.

2. 2

   Coefficient directeur : de $(0;3)$(0 ;3) à $(2;-1)$(2 ;-1), quand $x$x augmente de $2$2, $y$y varie de $-1-3=-4$-1-3=-4.

   Donc $a=\frac{-4}{2}=-2$a=(-4)/2=-2.

3. 3

   Donc $f(x)=-2x+3$f(x)=-2x+3.

   Contrôle : $f(2)=-4+3=-1$f(2)=-4+3=-1.

Rappel de cours : $a=\frac{\text{variation de }y}{\text{variation de }x}$a=(variation de y)/(variation de x). Une droite qui descend a un coefficient directeur négatif.

Erreur fréquente : Le signe de $a$a doit être cohérent avec le dessin : la droite descend, donc $a<0$a<0.

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1. 1

   Un point $(x;y)$(x ;y) est sur la droite si et seulement si $y=f(x)$y=f(x).

2. 2

   Pour $A$A : $f(4)=1,5\times 4-2=6-2=4$f(4)=1,5× 4-2=6-2=4, égal à l'ordonnée de $A$A.

   $A$A est sur la droite.

3. 3

   Pour $B$B : $f(-2)=1,5\times (-2)-2=-3-2=-5\ne -4$f(-2)=1,5×(-2)-2=-3-2=-5≠ -4.

   $B$B n'est pas sur la droite.

Rappel de cours : Tester un point : on calcule l'image de son abscisse et on compare avec son ordonnée.

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1. 1

   On résout $4x-12=0$4x-12=0, donc $4x=12$4x=12 et $x=3$x=3.

Rappel de cours : La droite coupe l'axe des abscisses en l'antécédent de $0$0 : on résout $ax+b=0$ax+b=0.

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1. 1

   Ordonnée à l'origine : $b=-1$b=-1 (point d'abscisse $0$0).

2. 2

   $a=\frac{3-(-1)}{2-0}=\frac{4}{2}=2$a=(3-(-1))/(2-0)=4/2=2.

   Donc $f(x)=2x-1$f(x)=2x-1.

Rappel de cours : Le point sur l'axe des ordonnées donne $b$b ; la pente donne $a$a.

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1. 1

   $f$f s'annule en $x=3$x=3.

   $a=2>0$a=2>0 : la fonction est croissante.

2. 2

   $f(x)<0$f(x)<0 pour $x<3$x<3, $f(x)>0$f(x)>0 pour $x>3$x>3.

Rappel de cours : Une fonction affine change de signe en sa racine ; l'ordre des signes dépend du signe de $a$a.

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1. 1

   1) $P(x)=1,2x+4$P(x)=1,2x+4.

   C'est une fonction affine mais pas linéaire, à cause du terme fixe $4$4 : le prix n'est pas proportionnel à la distance ($30$30 km ne coûtent pas le double de $15$15 km).

2. 2

   2) $P(15)=1,2\times 15+4=18+4=22$P(15)=1,2× 15+4=18+4=22 €.

3. 3

   3) On résout $1,2x+4=31$1,2x+4=31 : $1,2x=27$1,2x=27, donc $x=\frac{27}{1,2}=22,5$x=27/1,2=22,5 km.

Rappel de cours : Dans $f(x)=ax+b$f(x)=ax+b, $b$b est la partie fixe et $a$a le coût par unité.

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1. 1

   1) $F(100)=1,8\times 100+32=212{}^{\circ }$F(100)=1,8× 100+32=212 °F.

2. 2

   2) On résout $1,8x+32=77$1,8x+32=77 : $1,8x=45$1,8x=45, donc $x=25{}^{\circ }$x=25 °C.

3. 3

   3) On cherche $x$x tel que $F(x)=x$F(x)=x : $1,8x+32=x$1,8x+32=x, soit $0,8x=-32$0,8x=-32, donc $x=-40$x=-40.

4. 4

   Vérification : $F(-40)=-72+32=-40$F(-40)=-72+32=-40.

   Il fait aussi froid à $-40{}^{\circ }$-40 °C qu'à $-40{}^{\circ }$-40 °F.

Rappel de cours : Chercher un nombre qui ne change pas revient à résoudre $f(x)=x$f(x)=x : c'est l'intersection de la droite avec la droite d'équation $y=x$y=x.

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1. 1

   $A(x)=2x+20$A(x)=2x+20 (affine) ; $B(x)=5x$B(x)=5x (linéaire).

2. 2

   « A plus avantageuse » : $A(x)<B(x)$A(x)<B(x), soit $2x+20<5x$2x+20<5x, donc $20<3x$20<3x et $x>\frac{20}{3}\approx 6,7$x>20/3≈ 6,7.

3. 3

   À partir de $7$7 séances, A est plus avantageuse.

Rappel de cours : Comparer deux tarifs = résoudre l'inéquation entre les deux fonctions.

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1. 1

   $a=\frac{-3-7}{3-(-2)}=\frac{-10}{5}=-2$a=(-3-7)/(3-(-2))=(-10)/5=-2.

2. 2

   $f(x)=-2x+b$f(x)=-2x+b.

   Avec $f(3)=-3$f(3)=-3 : $-6+b=-3$-6+b=-3, donc $b=3$b=3.

   Ainsi $f(x)=-2x+3$f(x)=-2x+3.

Rappel de cours : On calcule $a$a avec les deux points, puis $b$b avec l'un d'eux.

Correction détaillée

1. 1

   $C(v)=3v+15$C(v)=3v+15.

2. 2

   On résout $3v+15=60$3v+15=60, soit $3v=45$3v=45, donc $v=15$v=15 m³.

Rappel de cours : Abonnement = ordonnée à l'origine $b$b ; prix par unité = coefficient directeur $a$a.

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1. 1

   Au point d'intersection, $f(x)=g(x)$f(x)=g(x) : $3x-2=-x+6$3x-2=-x+6.

2. 2

   $4x=8$4x=8, donc $x=2$x=2, puis $y=3\times 2-2=4$y=3× 2-2=4.

Rappel de cours : Intersection : on résout $f(x)=g(x)$f(x)=g(x), puis on calcule l'ordonnée.

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1. 1

   1) Chaque bougie perd la même hauteur chaque heure : $h_1(t)=20-1,5t$h₁(t)=20-1,5t et $h_2(t)=15-0,9t$h₂(t)=15-0,9t, deux fonctions affines décroissantes.

2. 2

   2) $h_1(t)=0⟺1,5t=20⟺t=\frac{20}{1,5}=\frac{40}{3}$h₁(t)=0⇔ 1,5t=20⇔ t=20/1,5=40/3 h.

   Or $\frac{40}{3}=13+\frac{1}{3}$40/3=13+1/3 et $\frac{1}{3}$1/3 h $=20$=20 min : $13$13 h $20$20 min.

3. 3

   3) On résout $20-1,5t=15-0,9t$20-1,5t=15-0,9t : $5=0,6t$5=0,6t, donc $t=\frac{5}{0,6}=\frac{25}{3}$t=5/0,6=25/3 h $=8$=8 h $20$20 min.

4. 4

   Hauteur commune : $h_1\left(\frac{25}{3}\right)=20-1,5\times \frac{25}{3}=20-12,5=7,5$h₁ (25/3)=20-1,5×25/3=20-12,5=7,5 cm (et $h_2=15-0,9\times \frac{25}{3}=15-7,5=7,5$h₂=15-0,9×25/3=15-7,5=7,5).

Rappel de cours : « Même valeur au même instant » se traduit par l'équation $h_1(t)=h_2(t)$h₁(t)=h₂(t) : c'est l'abscisse du point d'intersection des deux droites.

Erreur fréquente : $13,33$13,33 h ne fait pas $13$13 h $33$33 min : on convertit la partie décimale, $0,33\times 60\approx 20$0,33× 60≈ 20 min.