Exercices corrigés : Fonctions affines — Troisième

Correction détaillée

1. 1

   $f(0)=2\times 0+3=3$f(0)=2× 0+3=3 ; $f(4)=2\times 4+3=11$f(4)=2× 4+3=11 ; $f(-1)=2\times (-1)+3=1$f(-1)=2×(-1)+3=1.

Rappel de cours : $f(x)=ax+b$f(x)=ax+b : on remplace $x$x puis on calcule.

Correction détaillée

1. 1

   $f(x)=4x$f(x)=4x est linéaire (de la forme $ax$ax, donc aussi affine avec $b=0$b=0).

2. 2

   $g(x)=4x-2$g(x)=4x-2 est affine (non linéaire, car $b=-2\ne 0$b=-2≠ 0).

3. 3

   $h(x)=7$h(x)=7 est affine constante ($a=0$a=0, $b=7$b=7).

Rappel de cours : Toute fonction linéaire est affine ($b=0$b=0) ; une affine est linéaire seulement si $b=0$b=0.

Correction détaillée

1. 1

   Coefficient directeur : $a=-3$a=-3.

   Ordonnée à l'origine : $b=5$b=5.

Rappel de cours : Dans $f(x)=ax+b$f(x)=ax+b : $a$a = pente, $b=f(0)$b=f(0) = ordonnée à l'origine.

Correction détaillée

1. 1

   $f(x)=ax+b$f(x)=ax+b.

   $f(0)=b=2$f(0)=b=2.

2. 2

   $f(3)=3a+2=8$f(3)=3a+2=8, donc $3a=6$3a=6 et $a=2$a=2.

   Ainsi $f(x)=2x+2$f(x)=2x+2.

Rappel de cours : $f(0)$f(0) donne $b$b directement ; un second point donne $a$a.

Correction détaillée

1. 1

   $a=\frac{f(4)-f(1)}{4-1}=\frac{14-5}{3}=\frac{9}{3}=3$a=(f(4)-f(1))/(4-1)=(14-5)/3=9/3=3.

Rappel de cours : $a=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$a=(f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁) : variation des images sur variation des $x$x.

Correction détaillée

1. 1

   $f(x)=3x+b$f(x)=3x+b.

   $f(1)=3+b=5$f(1)=3+b=5, donc $b=2$b=2.

2. 2

   $f(x)=3x+2$f(x)=3x+2.

Rappel de cours : Connaissant $a$a et un point, on trouve $b$b en injectant les coordonnées.

Correction détaillée

1. 1

   Le sens dépend du signe du coefficient directeur $a$a.

2. 2

   $a=-2<0$a=-2<0 : la fonction est décroissante.

Rappel de cours : $a>0$a>0 : croissante ; $a<0$a<0 : décroissante ; $a=0$a=0 : constante.

Correction détaillée

1. 1

   On résout $4x-12=0$4x-12=0, donc $4x=12$4x=12 et $x=3$x=3.

Rappel de cours : La droite coupe l'axe des abscisses en l'antécédent de $0$0 : on résout $ax+b=0$ax+b=0.

Correction détaillée

1. 1

   Ordonnée à l'origine : $b=-1$b=-1 (point d'abscisse $0$0).

2. 2

   $a=\frac{3-(-1)}{2-0}=\frac{4}{2}=2$a=(3-(-1))/(2-0)=4/2=2.

   Donc $f(x)=2x-1$f(x)=2x-1.

Rappel de cours : Le point sur l'axe des ordonnées donne $b$b ; la pente donne $a$a.

Correction détaillée

1. 1

   $f$f s'annule en $x=3$x=3.

   $a=2>0$a=2>0 : la fonction est croissante.

2. 2

   $f(x)<0$f(x)<0 pour $x<3$x<3, $f(x)>0$f(x)>0 pour $x>3$x>3.

Rappel de cours : Une fonction affine change de signe en sa racine ; l'ordre des signes dépend du signe de $a$a.

Correction détaillée

1. 1

   $A(x)=2x+20$A(x)=2x+20 (affine) ; $B(x)=5x$B(x)=5x (linéaire).

2. 2

   « A plus avantageuse » : $A(x)<B(x)$A(x)<B(x), soit $2x+20<5x$2x+20<5x, donc $20<3x$20<3x et $x>\frac{20}{3}\approx 6,7$x>20/3≈ 6,7.

3. 3

   À partir de $7$7 séances, A est plus avantageuse.

Rappel de cours : Comparer deux tarifs = résoudre l'inéquation entre les deux fonctions.

Correction détaillée

1. 1

   $a=\frac{-3-7}{3-(-2)}=\frac{-10}{5}=-2$a=(-3-7)/(3-(-2))=(-10)/5=-2.

2. 2

   $f(x)=-2x+b$f(x)=-2x+b.

   Avec $f(3)=-3$f(3)=-3 : $-6+b=-3$-6+b=-3, donc $b=3$b=3.

   Ainsi $f(x)=-2x+3$f(x)=-2x+3.

Rappel de cours : On calcule $a$a avec les deux points, puis $b$b avec l'un d'eux.

Correction détaillée

1. 1

   $C(v)=3v+15$C(v)=3v+15.

2. 2

   On résout $3v+15=60$3v+15=60, soit $3v=45$3v=45, donc $v=15$v=15 m³.

Rappel de cours : Abonnement = ordonnée à l'origine $b$b ; prix par unité = coefficient directeur $a$a.

Correction détaillée

1. 1

   Au point d'intersection, $f(x)=g(x)$f(x)=g(x) : $3x-2=-x+6$3x-2=-x+6.

2. 2

   $4x=8$4x=8, donc $x=2$x=2, puis $y=3\times 2-2=4$y=3× 2-2=4.

Rappel de cours : Intersection : on résout $f(x)=g(x)$f(x)=g(x), puis on calcule l'ordonnée.