Fonctions linéaires et affines en Troisième

Fonctions linéaires et affines en 3ème : cours complet

Les fonctions linéaires et affines sont les premières fonctions à connaître par cœur. Elles modélisent toutes les situations « proportionnelles » ou « linéaires », et leur représentation graphique est une droite. Ce chapitre est un pilier du brevet.

La fonction linéaire

Définition

Une fonction linéaire est une fonction de la forme :

$$f(x)=ax$$f(x) = ax

où $a$a est un nombre fixé (le coefficient).

Propriété fondamentale

Une fonction linéaire modélise une situation de proportionnalité : $f(x)$f(x) est proportionnel à $x$x, et $a$a est le coefficient de proportionnalité.

Calculer une image

$$f(x)=3x⟹f(5)=15;f(-2)=-6$$f(x) = 3x ⇒ f(5) = 15 ; f(-2) = -6

Trouver un antécédent

Pour $f(x)=ax$f(x) = ax, l'antécédent de $b$b est $x=\frac{b}{a}$x = b/a (si $a\ne 0$a ≠ 0).

Calculer $a$a connaissant un couple $(x,f(x))$(x, f(x))

$$a=\frac{f(x)}{x}$$a = f(x)/x

Exemple

$f$f est linéaire et $f(4)=20$f(4) = 20. Donc $a=\frac{20}{4}=5$a = 20/4 = 5, et $f(x)=5x$f(x) = 5x.

Représentation graphique de la fonction linéaire

C'est une droite passant par l'origine du repère.

• $a>0$a > 0 : droite croissante (monte de gauche à droite).
• $a<0$a < 0 : droite décroissante (descend de gauche à droite).
• $a=0$a = 0 : droite horizontale $y=0$y = 0 (axe des abscisses).

Tracer la droite

On a besoin d'un seul point en plus de l'origine. On choisit un $x$x pratique (souvent $x=1$x = 1), on calcule $f(x)$f(x), et on relie à l'origine.

Exemple

Pour $f(x)=2x$f(x) = 2x : passe par $(0,0)$(0, 0) et $(1,2)$(1, 2).

La fonction affine

Définition

Une fonction affine est une fonction de la forme :

$$f(x)=ax+b$$f(x) = ax + b

où $a$a et $b$b sont des nombres fixés.

• $a$a est le coefficient directeur (pente).
• $b$b est l'ordonnée à l'origine (valeur de $f$f en $0$0 : $f(0)=b$f(0) = b).

Cas particuliers

• Si $b=0$b = 0 : $f(x)=ax$f(x) = ax → fonction linéaire (cas particulier).
• Si $a=0$a = 0 : $f(x)=b$f(x) = b → fonction constante (droite horizontale).

Calculer une image

$f(x)=-3x+5⟹f(2)=-3\times 2+5=-1$f(x) = -3x + 5 ⇒ f(2) = -3 × 2 + 5 = -1.

Trouver un antécédent

Résoudre $f(x)=b^{\prime }$f(x) = b' : $ax+b=b^{\prime }⟺x=\frac{b^{\prime }-b}{a}$ax + b = b' ⇔ x = (b' - b)/a.

Représentation graphique de la fonction affine

C'est une droite dans le repère.

• Elle passe par le point $(0;b)$(0 ; b) sur l'axe des ordonnées (ordonnée à l'origine).
• Sa pente est $a$a : quand $x$x augmente de $1$1, $y$y augmente de $a$a.

Tracer la droite

1. Placer le point $(0;b)$(0 ; b) sur l'axe des ordonnées.
2. Choisir un autre $x$x pratique (par exemple $x=1$x = 1 ou $x=5$x = 5).
3. Calculer $f(x)$f(x) et placer le point.
4. Relier les deux points par une droite.

Exemple

$f(x)=2x-3$f(x) = 2x - 3 : passe par $(0;-3)$(0 ; -3) et par $(1;-1)$(1 ; -1).

Calculer $a$a et $b$b à partir de deux points

Si la fonction affine $f$f passe par les points $(x_1;y_1)$(x₁ ; y₁) et $(x_2;y_2)$(x₂ ; y₂) :

$$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$a = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

Puis on utilise un point pour trouver $b$b : $b=y_1-a{x}_1$b = y₁ - a x₁.

Exemple

Droite passant par $(2;5)$(2 ; 5) et $(6;17)$(6 ; 17) :

$$a=\frac{17-5}{6-2}=\frac{12}{4}=3$$a = (17 - 5)/(6 - 2) = 12/4 = 3 $$b=5-3\times 2=-1$$b = 5 - 3 × 2 = -1

Donc $f(x)=3x-1$f(x) = 3x - 1.

Pourcentages et fonctions affines

Augmentation de $p\%$p%

$f(x)=x\times (1+\frac{p}{100})$f(x) = x × (1 + p/100) : linéaire.

Diminution de $p\%$p%

$f(x)=x\times (1-\frac{p}{100})$f(x) = x × (1 - p/100) : linéaire.

Exemple

Une augmentation de $20\%$20% : $f(x)=1,2x$f(x) = 1,2 x. Une réduction de $30\%$30% : $f(x)=0,7x$f(x) = 0,7 x.

Lien avec la proportionnalité

• Proportionnalité ↔ fonction linéaire (droite passant par l'origine).
• Pas de proportionnalité ↔ fonction affine non linéaire (droite ne passant pas par l'origine).

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre linéaire et affine : toute linéaire est affine, mais l'inverse est faux si $b\ne 0$b ≠ 0.
• Confondre coefficient directeur et ordonnée à l'origine : $a$a est la pente, $b$b est où la droite coupe l'axe des $y$y.
• Mal lire la pente sur un graphique : pour $a$a, on compare la variation de $y$y à la variation de $x$x.
• Oublier les signes lors du calcul de $a$a : $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$(y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) peut être négatif.

FAQ — Fonctions linéaires et affines

Comment reconnaître une fonction linéaire ?

Sa courbe est une droite qui passe par l'origine. Et elle s'écrit $f(x)=ax$f(x) = ax (sans constante).

Pourquoi $b$b s'appelle « ordonnée à l'origine » ?

Parce que c'est la valeur de $y$y quand $x=0$x = 0, c'est-à-dire le point où la droite coupe l'axe des ordonnées.

Comment savoir si une situation est linéaire ?

Si en doublant l'entrée, on double la sortie (et si elle vaut $0$0 quand l'entrée vaut $0$0), alors c'est linéaire.

À quoi sert le coefficient directeur ?

À mesurer la pente d'une droite : combien $y$y change quand $x$x change de $1$1. Plus $|a|$|a| est grand, plus la droite est « raide ».