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Exercices corrigés : Trigonométrie — Troisième

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Trigonométrie

Niveau: Troisième
Chapitre: Trigonométrie
Nombre d'exercices: 14 exercices corrigés
Difficulté: Facile à type brevet

Dans un triangle rectangle, le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu relient cet angle aux côtés : $cos = \frac{adjacent}{hypot e ˊ nuse}$ cos=adjacent/hypoténuse, $sin = \frac{oppos e ˊ}{hypot e ˊ nuse}$ sin=opposé/hypoténuse, $tan = \frac{oppos e ˊ}{adjacent}$ tan=opposé/adjacent (moyen mnémotechnique « SOH-CAH-TOA »). Ces exercices corrigés couvrent le calcul d'un côté, d'un angle, et des applications type brevet. Difficulté croissante, correction d'un clic.

Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée avec rappels de cours et erreurs fréquentes à éviter.

Exercice 1 — Identifier les côtés

Application directe

Dans un triangle $A B C$ ABC rectangle en $A$ A, pour l'angle $B$ B̂, nommer le côté opposé, le côté adjacent et l'hypoténuse.

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Correction détaillée

1
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : $[B C]$ [BC].
2
Pour l'angle $B$ B̂ : le côté opposé est $[A C]$ [AC] (en face de $B$ B), le côté adjacent est $[A B]$ [AB] (qui touche $B$ B sans être l'hypoténuse).

Réponse : Opposé :

[A C]

[AC] ; adjacent :

[A B]

[AB] ; hypoténuse :

[B C]

[BC].

Rappel de cours : Hypoténuse = face à l'angle droit. Opposé = face à l'angle considéré. Adjacent = côté de l'angle (hors hypoténuse).

Exercice 2 — Choisir la bonne formule

Application directe

Dans un triangle rectangle, on connaît l'hypoténuse et on cherche le côté opposé à un angle.

Quelle relation utiliser ?

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Correction détaillée

1
On relie opposé et hypoténuse : c'est le sinus.
2
$sin (angle) = \frac{oppos e ˊ}{hypot e ˊ nuse}$ sin( angle )=opposé/hypoténuse.

Réponse : Le sinus (

sin = \frac{oppos e ˊ}{hypot e ˊ nuse}

sin=opposé/hypoténuse).

Rappel de cours : SOH-CAH-TOA : Sinus = Opposé/Hypoténuse, Cosinus = Adjacent/Hypoténuse, Tangente = Opposé/Adjacent.

Exercice 3 — Calculer un cosinus

Application directe

Triangle $A B C$ ABC rectangle en $A$ A, $A B = 4$ AB=4, $B C = 5$ BC=5.

Calculer $cos B$ cosB̂.

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Correction détaillée

1
Pour $B$ B̂ : adjacent $= A B = 4$ =AB=4, hypoténuse $= B C = 5$ =BC=5.
2
$cos B = \frac{adjacent}{hypot e ˊ nuse} = \frac{4}{5} = 0, 8$ cosB̂=adjacent/hypoténuse=4/5=0,8.

Réponse :

cos B = 0, 8

cosB̂=0,8.

Rappel de cours : $cos = \frac{adjacent}{hypot e ˊ nuse}$ cos=adjacent/hypoténuse.

Exercice 4 — Calculer un côté (cosinus)

À maîtriser

Triangle rectangle en $A$ A, $B = 40°$ B̂=40°, $B C = 10$ BC=10 cm (hypoténuse).

Calculer $A B$ AB (adjacent à $B$ B̂).

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Correction détaillée

1
$cos B = \frac{A B}{B C}$ cosB̂=AB/BC, donc $A B = B C \times cos B$ AB=BC×cosB̂.
2
$A B = 10 \times cos 40° \approx 10 \times 0, 766 = 7, 66$ AB=10×cos 40°≈ 10× 0,766=7,66 cm.

Réponse :

A B \approx 7, 7

AB≈ 7,7 cm.

Rappel de cours : Pour trouver l'adjacent connaissant l'hypoténuse et l'angle : adjacent $=$ = hypoténuse $\times cos$ ×cos.

Exercice 5 — Calculer un côté (sinus)

À maîtriser

Triangle rectangle en $A$ A, $B = 35°$ B̂=35°, $B C = 12$ BC=12 cm.

Calculer $A C$ AC (opposé à $B$ B̂).

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Correction détaillée

1
$sin B = \frac{A C}{B C}$ sinB̂=AC/BC, donc $A C = B C \times sin B$ AC=BC×sinB̂.
2
$A C = 12 \times sin 35° \approx 12 \times 0, 574 = 6, 88$ AC=12×sin 35°≈ 12× 0,574=6,88 cm.

Réponse :

A C \approx 6, 9

AC≈ 6,9 cm.

Rappel de cours : Opposé $=$ = hypoténuse $\times sin$ ×sin.

Exercice 6 — Calculer un côté (tangente)

À maîtriser

Triangle rectangle en $A$ A, $B = 50°$ B̂=50°, $A B = 6$ AB=6 cm (adjacent).

Calculer $A C$ AC (opposé).

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Correction détaillée

1
$tan B = \frac{A C}{A B}$ tanB̂=AC/AB, donc $A C = A B \times tan B$ AC=AB×tanB̂.
2
$A C = 6 \times tan 50° \approx 6 \times 1, 19 = 7, 15$ AC=6×tan 50°≈ 6× 1,19=7,15 cm.

Réponse :

A C \approx 7, 2

AC≈ 7,2 cm.

Rappel de cours : La tangente relie les deux côtés de l'angle droit : $tan = \frac{oppos e ˊ}{adjacent}$ tan=opposé/adjacent.

Exercice 7 — Calculer un angle (cosinus)

Type contrôle

Triangle rectangle en $A$ A, $A B = 3$ AB=3, $B C = 6$ BC=6.

Calculer l'angle $B$ B̂ (arrondi au degré).

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Correction détaillée

1
$cos B = \frac{A B}{B C} = \frac{3}{6} = 0, 5$ cosB̂=AB/BC=3/6=0,5.
2
$B = cos^{- 1} (0, 5) = 60°$ B̂=cos⁻¹(0,5)=60°.

Réponse :

B = 60°

B̂=60°.

Rappel de cours : Pour trouver l'angle, on utilise la touche $cos^{- 1}$ cos⁻¹ (ou Arccos) de la calculatrice.

Exercice 8 — Calculer un angle (tangente)

Type contrôle

Triangle rectangle en $A$ A, $A B = 4$ AB=4, $A C = 3$ AC=3.

Calculer l'angle $B$ B̂ (au degré).

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Correction détaillée

1
Pour $B$ B̂ : opposé $= A C = 3$ =AC=3, adjacent $= A B = 4$ =AB=4.
$tan B = \frac{3}{4} = 0, 75$ tanB̂=3/4=0,75.
2
$B = tan^{- 1} (0, 75) \approx 36, 9° \approx 37°$ B̂=tan⁻¹(0,75)≈ 36,9°≈ 37°.

Réponse :

B \approx 37°

B̂≈ 37°.

Rappel de cours : $tan^{- 1}$ tan⁻¹ (Arctan) donne l'angle à partir de sa tangente.

Exercice 9 — Relation cos²+sin²

Type contrôle

Sachant $cos x = 0, 6$ cos x=0,6 pour un angle aigu, calculer $sin x$ sin x.

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Correction détaillée

1
Relation : $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ cos²x+sin²x=1, donc $sin^{2} x = 1 - 0, 6^{2} = 1 - 0, 36 = 0, 64$ sin²x=1-0,6²=1-0,36=0,64.
2
$sin x = 0, 64 = 0, 8$ sin x=√(0,64)=0,8 (positif car $x$ x est aigu).

Réponse :

sin x = 0, 8

sin x=0,8.

Rappel de cours : $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ cos²x+sin²x=1 : pour un angle aigu, le sinus est positif.

Exercice 10 — Type brevet : hauteur d'un bâtiment

Approfondissement / défi

D'un point situé à $50$ 50 m d'un immeuble, on voit son sommet sous un angle de $30°$ 30° par rapport à l'horizontale.

Calculer la hauteur de l'immeuble.

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Correction détaillée

1
On a un triangle rectangle : distance horizontale $50$ 50 m (adjacent), hauteur $h$ h (opposé), angle $30°$ 30°.
2
$tan 30° = \frac{h}{50}$ tan 30°=h/50, donc $h = 50 \times tan 30° \approx 50 \times 0, 577 = 28, 9$ h=50×tan 30°≈ 50× 0,577=28,9 m.

Réponse : Hauteur

\approx 28, 9

≈ 28,9 m.

Rappel de cours : Angle d'élévation : la tangente relie la hauteur (opposé) à la distance horizontale (adjacent).

Exercice 11 — Type brevet : longueur d'une rampe

Approfondissement / défi

Une rampe fait un angle de $15°$ 15° avec le sol et doit atteindre une hauteur de $0, 8$ 0,8 m.

Quelle est sa longueur ?

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Correction détaillée

1
La rampe est l'hypoténuse, la hauteur ( $0, 8$ 0,8) est le côté opposé à l'angle $15°$ 15°.
2
$sin 15° = \frac{0 , 8}{L}$ sin 15°=0,8/L, donc $L = \frac{0 , 8}{sin 15°} \approx \frac{0 , 8}{0 , 259} \approx 3, 09$ L=0,8/(sin 15°)≈0,8/0,259≈ 3,09 m.

Réponse : Longueur

\approx 3, 1

≈ 3,1 m.

Rappel de cours : Quand l'inconnue est au dénominateur ( $sin = \frac{0 , 8}{L}$ sin=0,8/L), on isole : $L = \frac{0 , 8}{s i n 15°}$ L=0,8/(sin 15°).

Exercice 12 — Type brevet : angle d'une échelle

Approfondissement / défi

Une échelle de $4$ 4 m a son pied à $1, 2$ 1,2 m du mur.

Quel angle fait-elle avec le sol (au degré) ?

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Correction détaillée

1
L'échelle ( $4$ 4 m) est l'hypoténuse, la distance au mur ( $1, 2$ 1,2 m) est l'adjacent à l'angle au sol.
2
$cos (angle) = \frac{1 , 2}{4} = 0, 3$ cos( angle )=1,2/4=0,3, donc l'angle $= cos^{- 1} (0, 3) \approx 72, 5°$ =cos⁻¹(0,3)≈ 72,5°.

Réponse : L'échelle fait environ

72, 5°

72,5° avec le sol.

Rappel de cours : On choisit le rapport selon les côtés connus : ici adjacent et hypoténuse $\Rightarrow$ ⇒ cosinus.

Exercice 13 — Type brevet : deux angles complémentaires

Approfondissement / défi

Dans un triangle $A B C$ ABC rectangle en $A$ A, $B = 32°$ B̂=32°.

Calculer $C$ Ĉ, puis comparer $sin B$ sinB̂ et $cos C$ cosĈ.

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Correction détaillée

1
La somme des angles d'un triangle vaut $180°$ 180° ; avec l'angle droit en $A$ A ( $90°$ 90°), $B + C = 90°$ B̂+Ĉ=90°.
2
$C = 90° - 32° = 58°$ Ĉ=90°-32°=58°.
3
Or $sin B = cos (90° - B) = cos C$ sinB̂=cos(90°-B̂)=cosĈ : donc $sin 32° = cos 58°$ sin 32°=cos 58°.

Réponse :

C = 58°

Ĉ=58° ;

sin B = cos C

sinB̂=cosĈ.

Rappel de cours : Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : $sin x = cos (90° - x)$ sin x=cos(90°-x).

Exercice 14 — Type brevet : aire par la trigonométrie

Approfondissement / défi

Triangle rectangle en $A$ A, $B = 40°$ B̂=40°, $B C = 10$ BC=10 cm.

Calculer $A B$ AB et $A C$ AC, puis l'aire du triangle.

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Correction détaillée

1
$A B = B C cos 40° \approx 10 \times 0, 766 = 7, 66$ AB=BCcos 40°≈ 10× 0,766=7,66 cm ; $A C = B C sin 40° \approx 10 \times 0, 643 = 6, 43$ AC=BCsin 40°≈ 10× 0,643=6,43 cm.
2
Aire $= \frac{A B \times A C}{2} \approx \frac{7 , 66 \times 6 , 43}{2} \approx 24, 6 cm^{2}$ =(AB× AC)/2≈(7,66× 6,43)/2≈ 24,6 cm ².

Réponse :

A B \approx 7, 7

AB≈ 7,7 cm,

A C \approx 6, 4

AC≈ 6,4 cm ; aire

\approx 24, 6 cm^{2}

≈ 24,6 cm ².

Rappel de cours : On calcule les deux côtés de l'angle droit par la trigonométrie, puis l'aire $= \frac{base \times hauteur}{2}$ =(base × hauteur)/2.

Tout sur thalès et pythagore

Les deux théorèmes du brevet : calculer une longueur, prouver un parallélisme, prouver un angle droit.

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