Exercices corrigés : Trigonométrie — Troisième

Correction détaillée

1. 1

   L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : $[BC]$[BC].

2. 2

   Pour l'angle $\hat{B}$B̂ : le côté opposé est $[AC]$[AC] (en face de $B$B), le côté adjacent est $[AB]$[AB] (qui touche $B$B sans être l'hypoténuse).

Rappel de cours : Hypoténuse = face à l'angle droit. Opposé = face à l'angle considéré. Adjacent = côté de l'angle (hors hypoténuse).

Correction détaillée

1. 1

   On relie opposé et hypoténuse : c'est le sinus.

2. 2

   $\sin (\text{angle})=\frac{\text{opposeˊ}}{\text{hypoteˊnuse}}$sin( angle )=opposé/hypoténuse.

Rappel de cours : SOH-CAH-TOA : Sinus = Opposé/Hypoténuse, Cosinus = Adjacent/Hypoténuse, Tangente = Opposé/Adjacent.

Correction détaillée

1. 1

   Pour $\hat{B}$B̂ : adjacent $=AB=4$=AB=4, hypoténuse $=BC=5$=BC=5.

2. 2

   $\cos \hat{B}=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoteˊnuse}}=\frac{4}{5}=0,8$cosB̂=adjacent/hypoténuse=4/5=0,8.

Rappel de cours : $\cos =\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoteˊnuse}}$cos=adjacent/hypoténuse.

Correction détaillée

1. 1

   Pour l'angle $\hat{B}$B̂ : l'hypoténuse est $[BC]$[BC], le côté adjacent est $[AB]$[AB] (il touche $B$B) et le côté opposé est $[AC]$[AC].

2. 2

   $\cos \hat{B}=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoteˊnuse}}=\frac{12}{13}$cosB̂=adjacent/hypoténuse=12/13.

3. 3

   $\sin \hat{B}=\frac{\text{opposeˊ}}{\text{hypoteˊnuse}}=\frac{5}{13}$sinB̂=opposé/hypoténuse=5/13.

4. 4

   $\tan \hat{B}=\frac{\text{opposeˊ}}{\text{adjacent}}=\frac{5}{12}$tanB̂=opposé/adjacent=5/12.

Rappel de cours : Moyen mnémotechnique : SOH CAH TOA (Sinus = Opposé/Hypoténuse, Cosinus = Adjacent/Hypoténuse, Tangente = Opposé/Adjacent).

Erreur fréquente : « Adjacent » et « opposé » dépendent de l'angle choisi : pour $\hat{C}$Ĉ, ces deux côtés s'échangent.

Correction détaillée

1. 1

   $\cos \hat{B}=\frac{AB}{BC}$cosB̂=AB/BC, donc $AB=BC\times \cos \hat{B}$AB=BC×cosB̂.

2. 2

   $AB=10\times \cos 40°\approx 10\times 0,766=7,66$AB=10×cos 40°≈ 10× 0,766=7,66 cm.

Rappel de cours : Pour trouver l'adjacent connaissant l'hypoténuse et l'angle : adjacent $=$= hypoténuse $\times \cos$×cos.

Correction détaillée

1. 1

   $\sin \hat{B}=\frac{AC}{BC}$sinB̂=AC/BC, donc $AC=BC\times \sin \hat{B}$AC=BC×sinB̂.

2. 2

   $AC=12\times \sin 35°\approx 12\times 0,574=6,88$AC=12×sin 35°≈ 12× 0,574=6,88 cm.

Rappel de cours : Opposé $=$= hypoténuse $\times \sin$×sin.

Correction détaillée

1. 1

   $\tan \hat{B}=\frac{AC}{AB}$tanB̂=AC/AB, donc $AC=AB\times \tan \hat{B}$AC=AB×tanB̂.

2. 2

   $AC=6\times \tan 50°\approx 6\times 1,19=7,15$AC=6×tan 50°≈ 6× 1,19=7,15 cm.

Rappel de cours : La tangente relie les deux côtés de l'angle droit : $\tan =\frac{\text{opposeˊ}}{\text{adjacent}}$tan=opposé/adjacent.

Correction détaillée

1. 1

   Pour $\hat{B}$B̂, on connaît le côté adjacent $AB$AB et on cherche l'hypoténuse $BC$BC : on utilise le cosinus.

2. 2

   $\cos \hat{B}=\frac{AB}{BC}$cosB̂=AB/BC, soit $\cos 25^{\circ }=\frac{8}{BC}$cos 25°=8/BC.

3. 3

   Produit en croix : $BC=\frac{8}{\cos 25^{\circ }}\approx \frac{8}{0,9063}\approx 8,827$BC=dfrac8cos 25°≈8/0,9063≈ 8,827.

Rappel de cours : Quand l'inconnue est au dénominateur, on divise : $BC=\frac{AB}{\cos \hat{B}}$BC=AB/cosB̂.

Erreur fréquente : Multiplier ($8\times \cos 25^{\circ }\approx 7,3$8×cos25°≈ 7,3) donnerait une hypoténuse plus courte qu'un autre côté, ce qui est impossible.

Correction détaillée

1. 1

   Pour $\hat{B}$B̂, $[AC]$[AC] est le côté opposé et $[BC]$[BC] l'hypoténuse : on utilise le sinus.

2. 2

   $\sin \hat{B}=\frac{AC}{BC}=\frac{7}{10}=0,7$sinB̂=AC/BC=7/10=0,7.

3. 3

   À la calculatrice (touche ${\sin }^{-1}$sin⁻¹ ou Arcsin, en mode degrés) : $\hat{B}\approx 44,4^{\circ }$B̂≈ 44,4°.

Rappel de cours : Pour retrouver un angle, on calcule le rapport puis on utilise la touche inverse : ${\sin }^{-1}$sin⁻¹, ${\cos }^{-1}$cos⁻¹ ou ${\tan }^{-1}$tan⁻¹.

Erreur fréquente : Vérifier que la calculatrice est en degrés et non en radians.

Correction détaillée

1. 1

   $\cos \hat{B}=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{6}=0,5$cosB̂=AB/BC=3/6=0,5.

2. 2

   $\hat{B}={\cos }^{-1}(0,5)=60°$B̂=cos⁻¹(0,5)=60°.

Rappel de cours : Pour trouver l'angle, on utilise la touche ${\cos }^{-1}$cos⁻¹ (ou Arccos) de la calculatrice.

Correction détaillée

1. 1

   Pour $\hat{B}$B̂ : opposé $=AC=3$=AC=3, adjacent $=AB=4$=AB=4.

   $\tan \hat{B}=\frac{3}{4}=0,75$tanB̂=3/4=0,75.

2. 2

   $\hat{B}={\tan }^{-1}(0,75)\approx 36,9°\approx 37°$B̂=tan⁻¹(0,75)≈ 36,9°≈ 37°.

Rappel de cours : ${\tan }^{-1}$tan⁻¹ (Arctan) donne l'angle à partir de sa tangente.

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1. 1

   Relation : ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$cos²x+sin²x=1, donc ${\sin }^{2}x=1-0,6^2=1-0,36=0,64$sin²x=1-0,6²=1-0,36=0,64.

2. 2

   $\sin x=\sqrt{0,64}=0,8$sin x=√(0,64)=0,8 (positif car $x$x est aigu).

Rappel de cours : ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$cos²x+sin²x=1 : pour un angle aigu, le sinus est positif.

Correction détaillée

1. 1

   1) On forme un triangle rectangle : côté horizontal $100$100 m (adjacent à l'angle $\alpha$α de la route) et côté vertical $10$10 m (opposé).

2. 2

   $\tan \alpha =\frac{10}{100}=0,1$tanα=10/100=0,1, donc $\alpha ={\tan }^{-1}(0,1)\approx 5,7^{\circ }$α=tan⁻¹(0,1)≈ 5,7°.

3. 3

   2) La pente est la même sur tout le trajet : sur $2000$2 000 m horizontaux, on monte $0,1\times 2000=200$0,1× 2 000=200 m.

Rappel de cours : Une pente en pourcentage est une tangente : dénivelé ÷ distance horizontale.

Erreur fréquente : Une pente de $10\%$10 % ne correspond pas à un angle de $10^{\circ }$10° : $\tan 10^{\circ }\approx 0,176$tan 10°≈ 0,176, soit $17,6\%$17,6 %.

Correction détaillée

1. 1

   On a un triangle rectangle : distance horizontale $50$50 m (adjacent), hauteur $h$h (opposé), angle $30°$30°.

2. 2

   $\tan 30°=\frac{h}{50}$tan 30°=h/50, donc $h=50\times \tan 30°\approx 50\times 0,577=28,9$h=50×tan 30°≈ 50× 0,577=28,9 m.

Rappel de cours : Angle d'élévation : la tangente relie la hauteur (opposé) à la distance horizontale (adjacent).

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1. 1

   La rampe est l'hypoténuse, la hauteur ($0,8$0,8) est le côté opposé à l'angle $15°$15°.

2. 2

   $\sin 15°=\frac{0,8}{L}$sin 15°=0,8/L, donc $L=\frac{0,8}{\sin 15°}\approx \frac{0,8}{0,259}\approx 3,09$L=0,8/(sin 15°)≈0,8/0,259≈ 3,09 m.

Rappel de cours : Quand l'inconnue est au dénominateur ($\sin =\frac{0,8}{L}$sin=0,8/L), on isole : $L=\frac{0,8}{\sin 15°}$L=0,8/(sin 15°).

Correction détaillée

1. 1

   L'échelle ($4$4 m) est l'hypoténuse, la distance au mur ($1,2$1,2 m) est l'adjacent à l'angle au sol.

2. 2

   $\cos (\text{angle})=\frac{1,2}{4}=0,3$cos( angle )=1,2/4=0,3, donc l'angle $={\cos }^{-1}(0,3)\approx 72,5°$=cos⁻¹(0,3)≈ 72,5°.

Rappel de cours : On choisit le rapport selon les côtés connus : ici adjacent et hypoténuse $\Rightarrow$⇒ cosinus.

Correction détaillée

1. 1

   La somme des angles d'un triangle vaut $180°$180° ; avec l'angle droit en $A$A ($90°$90°), $\hat{B}+\hat{C}=90°$B̂+Ĉ=90°.

2. 2

   $\hat{C}=90°-32°=58°$Ĉ=90°-32°=58°.

3. 3

   Or $\sin \hat{B}=\cos (90°-\hat{B})=\cos \hat{C}$sinB̂=cos(90°-B̂)=cosĈ : donc $\sin 32°=\cos 58°$sin 32°=cos 58°.

Rappel de cours : Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : $\sin x=\cos (90°-x)$sin x=cos(90°-x).

Correction détaillée

1. 1

   $AB=BC\cos 40°\approx 10\times 0,766=7,66$AB=BCcos 40°≈ 10× 0,766=7,66 cm ; $AC=BC\sin 40°\approx 10\times 0,643=6,43$AC=BCsin 40°≈ 10× 0,643=6,43 cm.

2. 2

   Aire $=\frac{AB\times AC}{2}\approx \frac{7,66\times 6,43}{2}\approx 24,6{\text{cm}}^2$=(AB× AC)/2≈(7,66× 6,43)/2≈ 24,6 cm ².

Rappel de cours : On calcule les deux côtés de l'angle droit par la trigonométrie, puis l'aire $=\frac{\text{base}\times \text{hauteur}}{2}$=(base × hauteur)/2.

Correction détaillée

1. 1

   Soit $P$P le pied du phare, $S$S son sommet, $B_1$B₁ et $B_2$B₂ les bateaux.

   Les triangles $SP{B}_1$SPB₁ et $SP{B}_2$SPB₂ sont rectangles en $P$P.

2. 2

   L'angle sous l'horizontale en $S$S est égal à l'angle $\widehat{S{B}_{1}P}$SB₁P̂ au niveau du bateau (angles alternes-internes, la ligne horizontale en $S$S étant parallèle à la mer).

   Donc $\widehat{S{B}_{1}P}=30^{\circ }$SB₁P̂=30° et $\widehat{S{B}_{2}P}=20^{\circ }$SB₂P̂=20°.

3. 3

   Pour l'angle en $B_1$B₁, $SP$SP est le côté opposé et $P{B}_1$PB₁ le côté adjacent : $\tan 30^{\circ }=\frac{50}{P{B}_1}$tan 30°=50/PB₁, donc $P{B}_1=\frac{50}{\tan 30^{\circ }}\approx 86,6$PB₁=dfrac50tan30°≈ 86,6 m.

4. 4

   De même $P{B}_2=\frac{50}{\tan 20^{\circ }}\approx 137,4$PB₂=dfrac50tan20°≈ 137,4 m.

5. 5

   Distance entre les bateaux : $P{B}_2-P{B}_1\approx 137,4-86,6=50,8$PB₂-PB₁≈ 137,4-86,6=50,8 m.

Rappel de cours : Un angle « sous l'horizontale » vu du haut se retrouve au niveau de l'objet observé (angles alternes-internes).

Erreur fréquente : Le bateau le plus éloigné est vu sous l'angle le plus petit : vérifier la cohérence ($137>87$137>87).

Correction détaillée

1. 1

   1) Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est aussi hauteur et bissectrice : $(AH)\perp (BC)$(AH)⊥(BC) et $\widehat{BAH}=\frac{50^{\circ }}{2}=25^{\circ }$BAĤ=dfrac50°2=25°.

2. 2

   2) Dans $AHB$AHB rectangle en $H$H, d'hypoténuse $AB=10$AB=10 : $BH=AB\times \sin 25^{\circ }\approx 10\times 0,4226\approx 4,23$BH=AB×sin25°≈ 10× 0,4226≈ 4,23 cm et $AH=AB\times \cos 25^{\circ }\approx 10\times 0,9063\approx 9,06$AH=AB×cos25°≈ 10× 0,9063≈ 9,06 cm.

3. 3

   3) $BC=2BH\approx 8,45$BC=2 BH≈ 8,45 cm.

   Aire $=\frac{BC\times AH}{2}\approx \frac{8,45\times 9,06}{2}\approx 38,3{\text{cm}}^2$=(BC× AH)/2≈(8,45× 9,06)/2≈ 38,3 cm ².

Rappel de cours : Pour utiliser la trigonométrie dans un triangle non rectangle, on trace une hauteur qui crée un triangle rectangle.

Erreur fréquente : Arrondir à la fin seulement : en partant de $BH=4,2$BH=4,2 et $AH=9,1$AH=9,1, l'aire serait $38,22$38,22 et non $38,30$38,30.