Probabilités en Troisième

Les probabilités en 3ème : cours complet

En troisième, tu approfondis les probabilités : tu manipules des expériences à deux étapes, tu utilises l'arbre des possibles, et tu travailles avec des événements composés. C'est un grand classique du brevet, souvent dans des exercices à la fois ludiques et concrets.

Rappels

Vocabulaire

• Expérience aléatoire : expérience dont le résultat dépend du hasard.
• Issue : un résultat possible.
• Événement : ensemble d'issues.
• Probabilité d'un événement : nombre entre $0$0 et $1$1.

Calcul (issues équiprobables)

$$P(A)=\frac{\text{nombre d’issues favorables}}{\text{nombre total d’issues}}$$P(A) = (nombre d'issues favorables)/(nombre total d'issues)

Événement contraire

L'événement contraire de $A$A est l'événement « $A$A ne se réalise pas », noté $\bar{A}$barA.

$$P(\bar{A})=1-P(A)$$P(barA) = 1 - P(A)

Exemple

Dans un jeu de $52$52 cartes, $P(\text{tirer un as})=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$P( tirer un as ) = 4/52 = 1/13.

$P(\text{ne pas tirer un as})=1-\frac{1}{13}=\frac{12}{13}$P( ne pas tirer un as ) = 1 - 1/13 = 12/13.

Événements incompatibles

Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire en même temps.

Propriété

Si $A$A et $B$B sont incompatibles :

$$P(A\text{ ou }B)=P(A)+P(B)$$P(A ou B) = P(A) + P(B)

Expériences à deux étapes

Arbre des possibles

Un arbre liste toutes les issues d'une expérience à plusieurs étapes.

Exemple — Tirage de 2 boules dans une urne

Urne avec $2$2 rouges et $3$3 vertes. Tirage avec remise.

          R (2/5)        R (2/5)        → RR
          /             /
        R - V (3/5)               → RV
          \             /
           V (3/5)       R (2/5)        → VR
                         \
                          V (3/5)        → VV

Probabilité de chaque issue :

• $P(RR)=\frac{2}{5}\times \frac{2}{5}=\frac{4}{25}$P(RR) = 2/5 × 2/5 = 4/25.
• $P(RV)=\frac{2}{5}\times \frac{3}{5}=\frac{6}{25}$P(RV) = 2/5 × 3/5 = 6/25.
• $P(VR)=\frac{3}{5}\times \frac{2}{5}=\frac{6}{25}$P(VR) = 3/5 × 2/5 = 6/25.
• $P(VV)=\frac{3}{5}\times \frac{3}{5}=\frac{9}{25}$P(VV) = 3/5 × 3/5 = 9/25.

Vérification : $\frac{4+6+6+9}{25}=1$(4 + 6 + 6 + 9)/25 = 1 ✓.

Probabilités le long d'une branche

Pour calculer la probabilité d'une issue dans un arbre, on multiplie les probabilités le long de la branche.

Probabilité d'un événement composé

Pour calculer la probabilité d'un événement (regroupant plusieurs issues), on additionne les probabilités des branches favorables.

Exemple

Probabilité d'avoir au moins une rouge dans l'expérience ci-dessus :

$$P=P(RR)+P(RV)+P(VR)=\frac{4+6+6}{25}=\frac{16}{25}$$P = P(RR) + P(RV) + P(VR) = (4 + 6 + 6)/25 = 16/25

Ou plus rapide : $P(\text{au moins une rouge})=1-P(VV)=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$P( au moins une rouge ) = 1 - P(VV) = 1 - 9/25 = 16/25.

Tirages avec ou sans remise

Avec remise

On remet la boule (ou la carte) dans l'urne après chaque tirage. Les probabilités restent les mêmes à chaque étape.

Sans remise

On ne remet pas la boule. Le nombre total et la composition de l'urne changent après chaque tirage.

Exemple sans remise

Urne avec $3$3 rouges et $2$2 vertes. On tire $2$2 boules sans remise.

• $P(R_1)=\frac{3}{5}$P(R₁) = 3/5.
• Si $R_1$R₁ : il reste $2$2 rouges et $2$2 vertes → $P(R_2|R_1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$P(R₂ | R₁) = 2/4 = 1/2.
• $P(RR)=\frac{3}{5}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{10}$P(RR) = 3/5 × 1/2 = 3/10.

Loi des grands nombres

Si on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois, la fréquence observée d'un événement se rapproche de sa probabilité théorique.

Exemple

Sur $6000$6000 lancers de dé non truqué, on devrait obtenir chaque face environ $1000$1000 fois.

Application : calcul d'une probabilité expérimentale

Définition

Si on observe $n$n fois l'événement $A$A sur $N$N expériences :

$$\text{Freˊquence observeˊe}=\frac{n}{N}$$Fréquence observée = n/N

C'est une estimation de $P(A)$P(A). Plus $N$N est grand, meilleure est l'estimation.

Erreurs fréquentes à éviter

• Penser que les expériences précédentes influencent les suivantes : après 5 piles, le 6ème reste à $1/2$1/2.
• Confondre « ou » et « et » : « ou » correspond souvent à une addition, « et » à une multiplication.
• Confondre avec et sans remise : les probabilités changent !
• Mauvaise vérification : la somme des probabilités sur l'arbre doit faire $1$1.

FAQ — Les probabilités en 3ème

Comment savoir si je dois utiliser un arbre ?

Dès qu'il y a une expérience à plusieurs étapes (lancer plusieurs fois, tirer plusieurs cartes), l'arbre est l'outil le plus clair.

Quelle est la différence entre probabilité théorique et fréquence ?

La probabilité théorique est calculée à partir du modèle ; la fréquence est observée lors d'expériences réelles. La loi des grands nombres dit qu'elles se rapprochent quand on répète beaucoup.

Quand additionner les probabilités ?

Quand on cherche $P(A\text{ ou }B)$P(A ou B) pour des événements incompatibles. Ou pour cumuler des branches favorables d'un arbre.

Quand multiplier les probabilités ?

Quand on cherche la probabilité d'une succession d'événements (le long d'une branche de l'arbre).