Les vecteurs coplanaires — exercices types corrigés

1. 1.
   $\vec{w}$vecteur w est combinaison linéaire de $\vec{u}$vecteur u et $\vec{v}$vecteur v.

   → Critère de coplanarité
2. 2.
   Donc oui, coplanaires.

1. 1.
   $\vec{w}=4\vec{u}-2\vec{v}$vecteur w = 4 vecteur u - 2 vecteur v (troisième coordonnée nulle partout).

   → Critère de coplanarité
2. 2.
   Oui, coplanaires.

1. 1.
   On ne peut pas écrire $\vec{k}$vecteur k avec $\vec{i}$vecteur i et $\vec{j}$vecteur j (sa troisième coordonnée est $1$1).

   → Critère de coplanarité
2. 2.
   Non coplanaires : ils forment une base.

1. 1.
   On cherche $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$vecteur w =a vecteur u +b vecteur v : $1=a$1=a, $3=a+b$3=a+b, $2=b$2=b.
2. 2.
   $a=1$a=1, $b=2$b=2, et $a+b=3$a+b=3 : les trois équations sont vérifiées.

   → Critère de coplanarité
3. 3.
   Oui, coplanaires.

1. 1.
   On étudie la coplanarité de $\overrightarrow{AB}$vecteur AB, $\overrightarrow{AC}$vecteur AC, $\overrightarrow{AD}$vecteur AD.
2. 2.
   S'ils sont coplanaires, les quatre points le sont aussi.

1. 1.
   L'absence de solution signifie que $\vec{w}$vecteur w n'est pas combinaison de $\vec{u}$vecteur u et $\vec{v}$vecteur v.

   → Critère de coplanarité
2. 2.
   Les vecteurs ne sont pas coplanaires.

1. 1.
   $\vec{w}=5\vec{u}-3\vec{v}$vecteur w =5 vecteur u -3 vecteur v (toutes les 3ᵉ coordonnées sont nulles).

   → Critère de coplanarité
2. 2.
   $\vec{w}$vecteur w est combinaison linéaire de $\vec{u}$vecteur u et $\vec{v}$vecteur v.

Méthode utilisée : Critère : l'un est combinaison linéaire des deux autres.

Erreur fréquente : Conclure « non » car les coordonnées diffèrent.

1. 1.
   On cherche $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$vecteur w =a vecteur u +b vecteur v : $a+b=2$a+b=2, $a=1$a=1, $a-b=0$a-b=0.
2. 2.
   $a=1$a=1, $b=1$b=1 ; on vérifie $a+b=2$a+b=2 ✓ et $a-b=0$a-b=0 ✓.

   → Critère de coplanarité

Méthode utilisée : On résout le système des coordonnées.

Erreur fréquente : Conclure sans vérifier les trois coordonnées.

1. 1.
   On cherche $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$vecteur w =a vecteur u +b vecteur v : $a=2$a=2, $2a+b=5\Rightarrow b=1$2a+b=5⇒ b=1.
2. 2.
   Vérification 3ᵉ coordonnée : $3a+b=6+1=7$3a+b=6+1=7 ✓.

   → Critère de coplanarité

Méthode utilisée : Résolution du système des coordonnées.

Erreur fréquente : Ne pas vérifier la 3ᵉ coordonnée.

1. 1.
   $\overrightarrow{AB}(1;1;0)$vecteur AB (1 ;1 ;0), $\overrightarrow{AC}(0;1;1)$vecteur AC (0 ;1 ;1), $\overrightarrow{AD}(1;2;1)$vecteur AD (1 ;2 ;1).
2. 2.
   $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$vecteur AD = vecteur AB + vecteur AC : $(1;2;1)$(1 ;2 ;1) ✓.

   → Critère de coplanarité

Méthode utilisée : On teste la coplanarité de $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$vecteur AB , vecteur AC , vecteur AD.

Erreur fréquente : Tester les points sans passer par des vecteurs.