Géométrie dans l'espace (vecteurs) en Terminale spé maths

Géométrie dans l'espace : vecteurs en Terminale spé : cours complet

En Terminale spé, tu manipules les vecteurs de l'espace dans un repère 3D. Tu calcules en coordonnées, étudies la colinéarité, la coplanarité, et le produit scalaire dans l'espace.

Vecteurs dans l'espace

Définition

Comme dans le plan, un vecteur $\overrightarrow{AB}$vecteur AB est défini par une direction, un sens et une longueur (sa norme).

Coordonnées

Dans un repère $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$(O ; vecteur i , vecteur j , vecteur k ) :

$$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)$$vecteur AB = (x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)

Opérations

Somme et multiplication

$$\vec{u}+\vec{v}=(x+x^{\prime };y+y^{\prime };z+z^{\prime })$$vecteur u + vecteur v = (x + x' ; y + y' ; z + z')

$$k\vec{u}=(kx;ky;kz)$$k vecteur u = (kx ; ky ; kz)

Relation de Chasles

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$$vecteur AB + vecteur BC = vecteur AC

Norme et distance (repère orthonormé)

$$\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$‖ vecteur u ‖ = √(x² + y² + z²)

$$AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2+(z_B-z_A{)}^2}$$AB = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)²)

Colinéarité

Définition

Deux vecteurs sont colinéaires s'il existe $k$k tel que $\vec{v}=k\vec{u}$vecteur v = k vecteur u.

Conséquences

• $A,B,C$A, B, C alignés $⟺\overrightarrow{AB}$⇔ vecteur AB et $\overrightarrow{AC}$vecteur AC colinéaires.
• $(AB)\parallel (CD)⟺\overrightarrow{AB}$(AB) parallel (CD) ⇔ vecteur AB et $\overrightarrow{CD}$vecteur CD colinéaires.

Bases et coordonnées

Base

Une base de l'espace est un triplet $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$( vecteur i , vecteur j , vecteur k ) de vecteurs non coplanaires.

Coordonnées dans une base

Tout vecteur $\vec{u}$vecteur u se décompose de manière unique :

$$\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$$vecteur u = x vecteur i + y vecteur j + z vecteur k

Coplanarité

Définition

Trois vecteurs $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$vecteur u , vecteur v , vecteur w sont coplanaires s'ils sont parallèles à un même plan.

Caractérisation

$\vec{u},\vec{v},\vec{w}$vecteur u , vecteur v , vecteur w coplanaires $⟺$⇔ il existe $a,b$a, b tels que $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$vecteur w = a vecteur u + b vecteur v (combinaison linéaire).

Application : quatre points coplanaires

$A,B,C,D$A, B, C, D coplanaires $⟺\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$⇔ vecteur AB , vecteur AC , vecteur AD coplanaires.

Produit scalaire dans l'espace

Définition (en repère orthonormé)

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }+z{z}^{\prime }$$vecteur u · vecteur v = x x' + y y' + z z'

Avec angle

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert \cos (\theta )$$vecteur u · vecteur v = ‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖ cos(θ)

Orthogonalité

$$\vec{u}\perp \vec{v}⟺\vec{u}\cdot \vec{v}=0$$vecteur u ⊥ vecteur v ⇔ vecteur u · vecteur v = 0

Norme

$$\Vert \vec{u}{\Vert }^2=\vec{u}\cdot \vec{u}=x^2+y^2+z^2$$‖ vecteur u ‖² = vecteur u · vecteur u = x² + y² + z²

Caractérisation d'un plan

Un plan est défini par :

• Un point et deux vecteurs non colinéaires (vecteurs directeurs).
• OU trois points non alignés.
• OU un point et un vecteur normal (orthogonal au plan).

Vecteur normal et équation de plan

Vecteur normal

Un vecteur normal $\vec{n}$vecteur n à un plan est orthogonal à tout vecteur du plan.

Équation cartésienne d'un plan

Soit $\vec{n}(a;b;c)$vecteur n (a ; b ; c) normal au plan et $A(x_A;y_A;z_A)$A(x_A ; y_A ; z_A) un point :

$$a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$$a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0

ou de façon générale :

$$ax+by+cz+d=0$$ax + by + cz + d = 0

avec $(a,b,c)=\vec{n}$(a, b, c) = vecteur n.

Exemple

Plan passant par $A(1;2;3)$A(1 ; 2 ; 3) de normale $\vec{n}(2;-1;3)$vecteur n (2 ; -1 ; 3) :

$$2(x-1)-(y-2)+3(z-3)=0⟺2x-y+3z-9=0$$2(x - 1) - (y - 2) + 3(z - 3) = 0 ⇔ 2x - y + 3z - 9 = 0

Erreurs fréquentes à éviter

• Mauvaise norme : il y a $3$3 termes, pas $2$2.
• Confondre vecteurs colinéaires et coplanaires.
• Mauvais signe dans les coordonnées d'un vecteur (fin moins début).
• Confondre vecteur directeur et vecteur normal d'un plan.

FAQ — Géométrie dans l'espace : vecteurs

Combien faut-il de points pour définir un plan ?

Trois points non alignés. Ou un point et un vecteur normal. Ou un point et deux vecteurs directeurs non colinéaires.

Comment vérifier que $4$4 points sont coplanaires ?

On vérifie que les trois vecteurs $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$vecteur AB , vecteur AC , vecteur AD sont coplanaires (déterminant nul, ou décomposition).

Pourquoi un vecteur normal ?

Il définit l'orientation du plan : un point + un vecteur normal suffit pour caractériser le plan.

Comment calculer un vecteur normal à un plan ?

On calcule le produit vectoriel de deux vecteurs directeurs (vu en BTS / sup), ou on identifie les coefficients de l'équation cartésienne.