Exercices corrigés : Produit scalaire dans l'espace — Terminale spécialité

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1. 1

   $\vec{u}\cdot \vec{v}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }+z{z}^{\prime }$vecteur u · vecteur v =xx'+yy'+zz'.

2. 2

   $=3\times 1+0\times 4+(-2)\times 2=3+0-4=-1$=3× 1+0× 4+(-2)× 2=3+0-4=-1.

Rappel de cours : Produit scalaire en repère orthonormé : on multiplie les coordonnées deux à deux et on additionne.

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1. 1

   $\vec{u}\cdot \vec{u}=2^2+(-1{)}^2+2^2=4+1+4=9$vecteur u · vecteur u =2²+(-1)²+2²=4+1+4=9.

2. 2

   Or $\vec{u}\cdot \vec{u}=\Vert \vec{u}{\Vert }^2$vecteur u · vecteur u =‖ vecteur u ‖², donc $\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{9}=3$‖ vecteur u ‖= √9 =3.

Rappel de cours : $\vec{u}\cdot \vec{u}=\Vert \vec{u}{\Vert }^2$vecteur u · vecteur u =‖ vecteur u ‖² : le produit scalaire d'un vecteur par lui-même est le carré de sa norme.

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1. 1

   $\vec{u}\cdot \vec{v}=1\times 2+2\times 1+2\times (-2)=2+2-4=0$vecteur u · vecteur v =1× 2+2× 1+2×(-2)=2+2-4=0.

2. 2

   Le produit scalaire est nul : $\vec{u}$vecteur u et $\vec{v}$vecteur v sont orthogonaux.

Rappel de cours : $\vec{u}\perp \vec{v}⟺\vec{u}\cdot \vec{v}=0$vecteur u ⊥ vecteur v ⇔ vecteur u · vecteur v =0.

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1. 1

   Formule : $\vec{u}\cdot \vec{v}=\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert \cos \theta$vecteur u · vecteur v =‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖cosθ.

2. 2

   $=3\times 4\times \cos 60°=12\times 0,5=6$=3× 4×cos 60°=12× 0,5=6.

Rappel de cours : $\vec{u}\cdot \vec{v}=\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert \cos \theta$vecteur u · vecteur v =‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖cosθ, où $\theta$θ est l'angle entre les vecteurs. $\cos 60°=0,5$cos 60°=0,5.

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1. 1

   Orthogonaux $⟺\vec{u}\cdot \vec{v}=0$⇔ vecteur u · vecteur v =0.

2. 2

   $\vec{u}\cdot \vec{v}=1\times 2+a\times (-1)+3\times 1=2-a+3=5-a$vecteur u · vecteur v =1× 2+a×(-1)+3× 1=2-a+3=5-a.

3. 3

   $5-a=0$5-a=0, donc $a=5$a=5.

Rappel de cours : On pose le produit scalaire égal à $0$0 et on résout l'équation en l'inconnue.

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1. 1

   $\cos \theta =\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert }$cosθ=( vecteur u · vecteur v )/(‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖).

2. 2

   $\vec{u}\cdot \vec{v}=1$vecteur u · vecteur v =1, $\Vert \vec{u}\Vert =1$‖ vecteur u ‖=1, $\Vert \vec{v}\Vert =\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$‖ vecteur v ‖=√(1²+1²)= √2.

3. 3

   $\cos \theta =\frac{1}{1\times \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ=1/(1× √2 )=1/( √2 )=( √2 )/2, soit $\theta =45°$θ=45°.

Rappel de cours : $\cos \theta =\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert }$cosθ=( vecteur u · vecteur v )/(‖ vecteur u ‖‖ vecteur v ‖). On reconnaît $\frac{\sqrt{2}}{2}$sqrt2/2 comme cosinus de $45°$45°.

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1. 1

   $\vec{n}$vecteur n doit être orthogonal à $\vec{u}$vecteur u et à $\vec{v}$vecteur v : $\vec{n}\cdot \vec{u}=0$vecteur n · vecteur u =0 et $\vec{n}\cdot \vec{v}=0$vecteur n · vecteur v =0.

2. 2

   $\vec{n}\cdot \vec{u}=a+c=0$vecteur n · vecteur u =a+c=0 et $\vec{n}\cdot \vec{v}=b+c=0$vecteur n · vecteur v =b+c=0.

   Donc $a=-c$a=-c et $b=-c$b=-c.

3. 3

   En choisissant $c=1$c=1 : $\vec{n}=(-1;-1;1)$vecteur n =(-1 ;-1 ;1) (ou tout vecteur colinéaire).

Rappel de cours : Un vecteur normal au plan est orthogonal à deux vecteurs directeurs : on résout le système de deux produits scalaires nuls.

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1. 1

   Équation de la forme $3x-y+2z+d=0$3x-y+2z+d=0 (les coefficients sont ceux de $\vec{n}$vecteur n).

2. 2

   $A$A appartient au plan : $3\times 2-1+2\times 0+d=0$3× 2-1+2× 0+d=0, soit $6-1+d=0$6-1+d=0, donc $d=-5$d=-5.

3. 3

   Équation : $3x-y+2z-5=0$3x-y+2z-5=0.

Rappel de cours : Plan de normale $(a;b;c)$(a;b;c) passant par $A$A : $ax+by+cz+d=0$ax+by+cz+d=0, avec $d$d déterminé en injectant $A$A.

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1. 1

   On remplace les coordonnées de $B$B dans l'équation.

2. 2

   $2\times 1+2-3-1=2+2-3-1=0$2× 1+2-3-1=2+2-3-1=0.

3. 3

   Le résultat est $0$0 : $B$B appartient au plan $P$P.

Rappel de cours : Un point est dans un plan si ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne (on doit obtenir $0$0).

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1. 1

   $\overrightarrow{AB}=(2;0;0)$vecteur AB =(2;0;0) et $\overrightarrow{AC}=(2;3;0)$vecteur AC =(2;3;0).

2. 2

   $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2\times 2+0\times 3+0\times 0=4$vecteur AB · vecteur AC =2× 2+0× 3+0× 0=4.

3. 3

   $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4>0$vecteur AB · vecteur AC =4>0 : l'angle $\widehat{BAC}$BAĈ est aigu (le cosinus, de même signe que le produit scalaire, est positif).

Rappel de cours : Signe du produit scalaire = signe du cosinus : $>0$>0 angle aigu, $=0$=0 angle droit, $<0$<0 angle obtus.

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1. 1

   Vecteurs directeurs : $\overrightarrow{AB}=(-1;2;0)$vecteur AB =(-1;2;0) et $\overrightarrow{AC}=(-1;0;3)$vecteur AC =(-1;0;3).

2. 2

   On cherche $\vec{n}=(a;b;c)$vecteur n =(a;b;c) orthogonal aux deux : $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=-a+2b=0$vecteur n · vecteur AB =-a+2b=0 et $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AC}=-a+3c=0$vecteur n · vecteur AC =-a+3c=0.

   Donc $a=2b$a=2b et $a=3c$a=3c.

   En prenant $a=6$a=6 : $b=3$b=3, $c=2$c=2, soit $\vec{n}=(6;3;2)$vecteur n =(6;3;2).

3. 3

   Équation $6x+3y+2z+d=0$6x+3y+2z+d=0.

   Avec $A(1;0;0)$A(1;0;0) : $6+d=0$6+d=0, donc $d=-6$d=-6.

4. 4

   Équation : $6x+3y+2z-6=0$6x+3y+2z-6=0.

Rappel de cours : Plan par 3 points : deux vecteurs $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$vecteur AB , vecteur AC, un vecteur normal par produits scalaires nuls, puis l'équation en injectant un point.

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1. 1

   Formule : $d(A,P)=\frac{|a{x}_A+b{y}_A+c{z}_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$d(A,P)=(|a x_A+b y_A+c z_A+d|)/(√(a²+b²+c²)) avec $(a;b;c)=(2;1;-2)$(a;b;c)=(2;1;-2).

2. 2

   Numérateur : $|2\times 1+2-2\times 2+1|=|2+2-4+1|=|1|=1$|2× 1+2-2× 2+1|=|2+2-4+1|=|1|=1.

3. 3

   Dénominateur : $\sqrt{2^2+1^2+(-2{)}^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3$√(2²+1²+(-2)²)=√(4+1+4)= √9 =3.

4. 4

   $d(A,P)=\frac{1}{3}$d(A,P)=1/3.

Rappel de cours : Distance point-plan : $d=\frac{|a{x}_A+b{y}_A+c{z}_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$d=(|ax_A+by_A+cz_A+d|)/(√(a²+b²+c²)). Valeur absolue au numérateur, norme de la normale au dénominateur.

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1. 1

   La droite $(AH)$(AH) est orthogonale à $P$P, donc dirigée par $\vec{n}=(1;1;1)$vecteur n =(1;1;1) : $H=A+t\vec{n}$H=A+t vecteur n, soit $H(2+t;2+t;2+t)$H(2+t ;2+t ;2+t).

2. 2

   $H\in P$H∈ P : $(2+t)+(2+t)+(2+t)-3=0$(2+t)+(2+t)+(2+t)-3=0, soit $6+3t-3=0$6+3t-3=0, donc $3t=-3$3t=-3 et $t=-1$t=-1.

3. 3

   $H(2-1;2-1;2-1)=H(1;1;1)$H(2-1 ;2-1 ;2-1)=H(1 ;1 ;1).

Rappel de cours : Projeté orthogonal : suivre la droite passant par $A$A dirigée par la normale $\vec{n}$vecteur n, et trouver son intersection avec le plan.

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1. 1

   Le plan $(OBC)$(OBC) est dirigé par $\overrightarrow{OB}=(0;1;0)$vecteur OB =(0;1;0) et $\overrightarrow{OC}=(0;0;1)$vecteur OC =(0;0;1).

2. 2

   $\overrightarrow{OA}=(1;0;0)$vecteur OA =(1;0;0).

   On calcule : $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$vecteur OA · vecteur OB =0 et $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}=0$vecteur OA · vecteur OC =0.

3. 3

   $\overrightarrow{OA}$vecteur OA est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de $(OBC)$(OBC) : donc $(OA)$(OA) est orthogonale au plan $(OBC)$(OBC).

Rappel de cours : Une droite est orthogonale à un plan si son vecteur directeur est orthogonal à DEUX vecteurs directeurs non colinéaires du plan.

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1. 1

   $\vec{u}\cdot \vec{v}=1\times 1+1\times 0+0\times 1=1$vecteur u · vecteur v =1×1+1×0+0×1=1.

2. 2

   $\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{2}$‖ vecteur u ‖=√(2), $\Vert \vec{v}\Vert =\sqrt{2}$‖ vecteur v ‖=√(2).

   $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$cosθ=1/sqrt2×sqrt2=1/2, donc $\theta =60°$θ=60°.

Rappel de cours : $\cos \theta =\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert }$cosθ=( vecteur u · vecteur v )/(‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖).

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1. 1

   $\overrightarrow{AG}=(1;1;1)$vecteur AG =(1;1;1), $\overrightarrow{AB}=(1;0;0)$vecteur AB =(1;0;0), $\overrightarrow{AC}=(1;1;0)$vecteur AC =(1;1;0).

   $\Vert \overrightarrow{AG}\Vert =\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$‖ vecteur AG ‖=√(1+1+1)=sqrt3 et $\Vert \overrightarrow{AC}\Vert =\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2}$‖ vecteur AC ‖=√(1+1+0)=sqrt2.

2. 2

   $\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{AC}=1\times 1+1\times 1+1\times 0=2$vecteur AG · vecteur AC =1×1+1×1+1×0=2.

3. 3

   $\cos \widehat{CAG}=\frac{\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{AC}}{\Vert \overrightarrow{AG}\Vert \Vert \overrightarrow{AC}\Vert }=\frac{2}{\sqrt{3}\times \sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\approx 0,816$cosCAĜ=(vecteur AG · vecteur AC)/(‖ vecteur AG ‖ ‖ vecteur AC ‖)=2/sqrt3×sqrt2=2/sqrt6=sqrt6/3≈0,816, donc $\widehat{CAG}\approx 35,3°$CAĜ≈35,3°.

4. 4

   $\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{AB}=1$vecteur AG · vecteur AB =1.

   $\cos \widehat{BAG}=\frac{1}{\sqrt{3}\times 1}=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,577$cosBAĜ=1/sqrt3×1=1/sqrt3≈0,577, donc $\widehat{BAG}\approx 54,7°$BAĜ≈54,7°.

5. 5

   $\widehat{CAG}\approx 35,3°<\widehat{BAG}\approx 54,7°$CAĜ≈35,3°<BAĜ≈54,7° : la diagonale $(AG)$(AG) fait un angle plus petit avec la diagonale de face $(AC)$(AC) qu'avec l'arête $(AB)$(AB).

   La diagonale du cube est « plus proche » du plan de la base que de l'arête verticale.

Rappel de cours : $\vec{u}\cdot \vec{v}=\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert \cos \theta$vecteur u · vecteur v =‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖cosθ donne l'angle : $\cos \theta =\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert }$cosθ=( vecteur u · vecteur v )/(‖ vecteur u ‖ ‖ vecteur v ‖).