Critère de coplanarité : la formule et un exemple

En écriture simple : w = a × u + b × v (w combinaison linéaire de u et v non colinéaires)

Ce que dit la formule

Si $u$ vecteur u et $v$ vecteur v ne sont pas colinéaires, alors $u$ vecteur u, $v$ vecteur v, $w$ vecteur w sont coplanaires si et seulement s'il existe deux réels $a$ a et $b$ b tels que $w = a u + b v$ vecteur w = a vecteur u + b vecteur v.

En pratique, on cherche $a$ a et $b$ b en résolvant un système obtenu coordonnée par coordonnée. Si le système a une solution, les vecteurs sont coplanaires ; sinon, ils ne le sont pas.

Trois vecteurs sont coplanaires quand ils tiennent dans un même plan. Le critère traduit cette idée : $w$ vecteur w doit s'atteindre en combinant $u$ vecteur u et $v$ vecteur v, qui engendrent le plan.

En pratique, on écrit l'égalité coordonnée par coordonnée, ce qui donne trois équations à deux inconnues $a$ a et $b$ b. Le système peut être incompatible : c'est alors la preuve que les vecteurs ne sont pas coplanaires.

Exemple

u (1; 0; 0)

vecteur u (1 ;0 ;0),

v (0; 1; 0)

vecteur v (0 ;1 ;0),

w (2; 3; 0)

vecteur w (2 ;3 ;0) : on a

w = 2 u + 3 v

vecteur w = 2 vecteur u + 3 vecteur v, donc les trois vecteurs sont coplanaires (ici tous dans le plan

z = 0

z = 0).

Deuxième exemple

u (1; 1; 0)

vecteur u (1 ;1 ;0),

v (0; 1; 1)

vecteur v (0 ;1 ;1),

w (1; 0; - 1)

vecteur w (1 ;0 ;-1) : on cherche

a

a et

b

b tels que

w = a u + b v

vecteur w = a vecteur u + b vecteur v. La première coordonnée donne

a = 1

a = 1, la troisième

b = - 1

b = -1, et la deuxième vérifie

1 - 1 = 0

1 - 1 = 0 ✓. Les trois vecteurs sont coplanaires.

Piège à éviter

Le critère suppose que

u

vecteur u et

v

vecteur v ne sont pas colinéaires. S'ils le sont, deux d'entre eux suffisent et la question se ramène à la colinéarité.

Questions fréquentes

Que faire si le système n'a pas de solution ?

Les vecteurs ne sont pas coplanaires : ils engendrent tout l'espace. C'est une conclusion valable, pas un échec de la méthode.

Combien d'équations obtient-on ?

Trois, une par coordonnée, pour seulement deux inconnues. On en résout deux, puis la troisième sert de vérification.

À quoi sert ce critère en géométrie dans l'espace ?

À démontrer que quatre points sont coplanaires, ou qu'une droite est contenue dans un plan.

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