Droites et plans dans l'espace en Terminale spé maths

Droites et plans dans l'espace en Terminale spé : cours complet

En Terminale spé, tu maîtrises les équations de droites (paramétriques) et de plans (cartésiennes), ainsi que les intersections et les positions relatives de ces objets.

Représentation paramétrique d'une droite

Définition

Une droite $\mathcal{D}$D passant par $A(x_A;y_A;z_A)$A(x_A ; y_A ; z_A) et de vecteur directeur $\vec{u}(\alpha ;\beta ;\gamma )$vecteur u (α ; β ; γ) a pour représentation paramétrique :

$$\{\begin{array}{l}x=x_A+t\alpha \\ y=y_A+t\beta \\ z=z_A+t\gamma \end{array},t\in \mathbb{R}$$x = x_A + t α ; y = y_A + t β ; z = z_A + t γ , t ∈ ℝ

Exemple

Droite passant par $A(1;2;-1)$A(1 ; 2 ; -1) de vecteur directeur $\vec{u}(2;-1;3)$vecteur u (2 ; -1 ; 3) :

$$\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2-t\\ z=-1+3t\end{array}$$x = 1 + 2t ; y = 2 - t ; z = -1 + 3t

Équation cartésienne d'un plan

Forme

Le plan passant par $A(x_A;y_A;z_A)$A(x_A ; y_A ; z_A) de vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$vecteur n (a ; b ; c) a pour équation :

$$a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$$a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0

soit $ax+by+cz+d=0$ax + by + cz + d = 0.

Exemple

Plan passant par $A(1;0;2)$A(1 ; 0 ; 2) de normale $\vec{n}(3;-1;2)$vecteur n (3 ; -1 ; 2) :

$$3(x-1)-y+2(z-2)=0⟺3x-y+2z-7=0$$3(x - 1) - y + 2(z - 2) = 0 ⇔ 3x - y + 2z - 7 = 0

Positions relatives de droite et plan

Cas

1. Droite incluse dans le plan : tous les points de la droite vérifient l'équation du plan.
2. Droite parallèle au plan : vecteur directeur orthogonal au vecteur normal (donc $\vec{u}\cdot \vec{n}=0$vecteur u · vecteur n = 0), mais un point de la droite n'est pas dans le plan.
3. Droite sécante au plan : un seul point d'intersection.

Critère

$\vec{u}\cdot \vec{n}=0$vecteur u · vecteur n = 0 : droite parallèle au plan (incluse ou disjointe).

$\vec{u}\cdot \vec{n}\ne 0$vecteur u · vecteur n ≠ 0 : sécante (un point d'intersection).

Calcul de l'intersection

On substitue la représentation paramétrique dans l'équation du plan, on résout pour $t$t, puis on calcule le point.

Exemple

Droite $\mathcal{D}$D : $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-t\\ z=3\end{array}$x = 1 + 2t ; y = -t ; z = 3, plan $\mathcal{P}$P : $x+y+z-5=0$x + y + z - 5 = 0.

Substitution : $(1+2t)+(-t)+3-5=0⟺t-1=0⟺t=1$(1 + 2t) + (-t) + 3 - 5 = 0 ⇔ t - 1 = 0 ⇔ t = 1.

Point d'intersection : $(3;-1;3)$(3 ; -1 ; 3).

Positions relatives de deux plans

Cas

1. Confondus : mêmes équations (à un facteur près).
2. Parallèles distincts : vecteurs normaux colinéaires, équations non proportionnelles.
3. Sécants : intersection = une droite.

Critère

$\vec{n},{\vec{n}}^{\prime }$vecteur n , vecteur n ' colinéaires $⟺$⇔ plans parallèles.

Calcul de la droite d'intersection

On résout le système des deux équations cartésiennes : on obtient une droite paramétrée par un paramètre libre.

Exemple

$${\mathcal{P}}_1:x+y+z=1,{\mathcal{P}}_2:x-y+2z=4$$P ₁ : x + y + z = 1, P ₂ : x - y + 2z = 4

En soustrayant : $2y-z=-3$2y - z = -3, soit $z=2y+3$z = 2y + 3.

En remplaçant dans ${\mathcal{P}}_1$P ₁ : $x+y+2y+3=1⟺x=-2-3y$x + y + 2y + 3 = 1 ⇔ x = -2 - 3y.

Posons $y=t$y = t :

$$\{\begin{array}{l}x=-2-3t\\ y=t\\ z=3+2t\end{array}$$x = -2 - 3t ; y = t ; z = 3 + 2t

Droite paramétrée.

Positions relatives de deux droites

Cas

1. Confondues : mêmes points.
2. Parallèles distinctes : vecteurs directeurs colinéaires, mais pas confondues.
3. Sécantes : un point d'intersection.
4. Non coplanaires : pas d'intersection, pas parallèles.

Critère

• Parallèles : $\vec{u},{\vec{u}}^{\prime }$vecteur u , vecteur u ' colinéaires.
• Sécantes : non colinéaires + il existe $(t,s)$(t, s) vérifiant les deux équations.
• Non coplanaires : non colinéaires + pas d'intersection.

Distance d'un point à un plan

$$d(A,\mathcal{P})=\frac{|a{x}_A+b{y}_A+c{z}_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$d(A, P ) = (|a x_A + b y_A + c z_A + d|)/(√(a² + b² + c²))

Exemple

Distance de $A(1;2;3)$A(1 ; 2 ; 3) au plan $2x-y+2z-1=0$2x - y + 2z - 1 = 0 :

$$d=\frac{|2-2+6-1|}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{5}{3}$$d = (|2 - 2 + 6 - 1|)/(√(4 + 1 + 4)) = 5/3

Projection orthogonale d'un point sur un plan

Le projeté orthogonal $H$H de $A$A sur $\mathcal{P}$P se calcule en :

1. Écrivant la droite passant par $A$A et de vecteur directeur $\vec{n}$vecteur n (normal au plan).
2. Cherchant l'intersection de cette droite avec le plan.

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre vecteur directeur et vecteur normal.
• Mauvais paramètre : utiliser des paramètres distincts pour deux droites.
• Mauvais signe dans la distance d'un point à un plan.
• Confondre coplanaires et parallèles (non coplanaires existent en 3D).

FAQ — Droites et plans dans l'espace

Comment trouver l'intersection de deux plans ?

On résout le système de leurs équations cartésiennes : on obtient en général une droite paramétrée.

Comment savoir si deux droites sont coplanaires ?

Si elles sont parallèles ou sécantes, elles sont coplanaires. Sinon, elles ne le sont pas.

À quoi sert la distance point-plan ?

Beaucoup d'applications : approche d'un obstacle, optimisation, infographie 3D, mécanique.

Comment passer de paramétrique à cartésienne pour une droite ?

On élimine le paramètre $t$t entre les trois équations, ce qui donne deux équations cartésiennes (intersection de deux plans).