La représentation paramétrique d'une droite — exercices types corrigés

1. 1.
   Point ($t=0$t=0) : $A(2;1;0)$A(2 ;1 ;0) ; vecteur directeur $\vec{u}(1;-3;4)$vecteur u (1 ;-3 ;4).

   → Système de la représentation paramétrique

1. 1.
   $x=2t$x = 2t, $y=1$y = 1, $z=-1+3t$z = -1 + 3t.

   → Système de la représentation paramétrique

1. 1.
   $\overrightarrow{AB}(3;0;6)$vecteur AB (3 ;0 ;6).
2. 2.
   $x=1+3t$x = 1 + 3t, $y=2$y = 2, $z=6t$z = 6t.

   → Système de la représentation paramétrique

1. 1.
   De $x=5$x = 5 : $1+2t=5$1 + 2t = 5 donc $t=2$t = 2.
2. 2.
   On vérifie : $y=-2$y = -2 ✓ et $z=2+6=8$z = 2 + 6 = 8 ✓.

   → Système de la représentation paramétrique

1. 1.
   De $x=3$x = 3 : $t=1$t = 1. Alors $y=-1\ne 0$y = -1 ≠ 0.
2. 2.
   Une coordonnée ne colle pas : $N$N n'appartient pas à la droite.

1. 1.
   $\vec{v}=2\vec{u}$vecteur v = 2 vecteur u : ils sont colinéaires, donc même direction.
2. 2.
   Une droite a une infinité de vecteurs directeurs proportionnels.

1. 1.
   $x=2+t$x=2+t, $y=3t$y=3t, $z=1-t$z=1-t, $t\in \mathbb{R}$t∈ℝ.

   → Système de la représentation paramétrique

Méthode utilisée : $x=x_A+ta$x=x_A+ta, etc., avec un seul paramètre $t$t.

Erreur fréquente : Utiliser un paramètre différent par ligne.

1. 1.
   De $x=4$x=4 : $2+t=4\Rightarrow t=2$2+t=4⇒ t=2.

   → Système de la représentation paramétrique
2. 2.
   Vérification : $y=3\times 2=6$y=3× 2=6 ✓ et $z=1-2=-1$z=1-2=-1 ✓.

Méthode utilisée : On détermine $t$t avec une coordonnée, on vérifie les autres.

Erreur fréquente : Conclure dès la première coordonnée sans vérifier $y$y et $z$z.

1. 1.
   $\overrightarrow{AB}(3;0;2)$vecteur AB (3 ;0 ;2).
2. 2.
   $x=1+3t$x=1+3t, $y=2$y=2, $z=3+2t$z=3+2t.

   → Système de la représentation paramétrique

Méthode utilisée : Point $A$A et vecteur directeur $\overrightarrow{AB}$vecteur AB.

Erreur fréquente : Calculer $\overrightarrow{BA}$vecteur BA au lieu de $\overrightarrow{AB}$vecteur AB.

1. 1.
   De $x=3$x=3 : $1+t=3\Rightarrow t=2$1+t=3⇒ t=2.

   → Système de la représentation paramétrique
2. 2.
   Vérification : $y=2\times 2=4$y=2× 2=4 ✓ et $z=3-2=1$z=3-2=1 ✓.

Méthode utilisée : On détermine $t$t, puis on vérifie toutes les coordonnées.

Erreur fréquente : Conclure dès la coordonnée $x$x sans vérifier $y$y et $z$z.