Structures algébriques en MP / MPI

Polynômes

Anneaux, corps et polynômes : compléments d'arithmétique algébrique en deuxième année.

Réduction des endomorphismes

Valeurs propres, vecteurs propres, polynôme caractéristique et sous-espaces propres en MP / MPI.

Diagonalisation

Critères de diagonalisabilité, polynômes annulateurs et lemme des noyaux en prépa deuxième année.

Trigonalisation

Trigonalisation des endomorphismes et sous-espaces caractéristiques en MP / MPI.

Espaces euclidiens

Endomorphismes d'un espace euclidien, adjoint, isométries et endomorphismes autoadjoints.

Théorème spectral

Théorème spectral, diagonalisation des matrices symétriques réelles et applications en MP / MPI.

Espaces vectoriels normés

Normes, distances, boules et topologie des espaces vectoriels normés en deuxième année.

Suites, limites, continuité

Suites dans un espace normé, limites et continuité des applications en MP / MPI.

Compacité

Parties compactes, propriétés et théorèmes associés en topologie de prépa deuxième année.

Connexité par arcs

Parties connexes par arcs et applications continues en MP / MPI.

Séries numériques

Convergence des séries numériques, critères de comparaison et séries de référence en MP / MPI.

Séries vectorielles

Séries à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie en deuxième année.

Suites et séries de fonctions

Convergence simple, uniforme et normale des suites et séries de fonctions en MP / MPI.

Séries entières

Rayon de convergence, somme et développement en série entière des fonctions usuelles.

Fonctions vectorielles

Dérivation et intégration des fonctions vectorielles d'une variable réelle en prépa.

Intégrales généralisées

Intégrales sur un intervalle quelconque, convergence et fonctions intégrables en MP / MPI.

Intégrales à paramètre

Continuité, dérivabilité sous le signe intégrale et intégration des suites et séries de fonctions.

Équations différentielles linéaires

Systèmes différentiels linéaires, exponentielle de matrice et résolution en MP / MPI.

Calcul différentiel

Différentielle, dérivées partielles, gradient et calcul différentiel en deuxième année de prépa.

Optimisation

Optimisation du premier et du second ordre, points critiques et extremums en MP / MPI.

Variables aléatoires discrètes

Variables aléatoires discrètes, lois et fonctions de variables aléatoires en MP / MPI.

Lois discrètes

Lois discrètes classiques : géométrique, de Poisson et leurs propriétés en deuxième année.

Espérance et variance

Espérance, variance et covariance des variables aléatoires discrètes en MP / MPI.

Séries génératrices

Fonctions génératrices et applications au calcul de lois et de moments en prépa deuxième année.

Loi faible des grands nombres

Inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychev, loi faible des grands nombres en MP / MPI.