Séries vectorielles en MP / MPI
Séries à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie en deuxième année.
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Cours et fiche
Exercices corrigés
5 exercicesPlaquette 1 – Séries dans un Banach, convergence normale et exponentielle de matrices
Plaquette 2 – Calculs d'exponentielles et de séries de matrices
Plaquette 3 – Exponentielle de matrices : dérivation et systèmes différentiels
Plaquette 4 – Séries dans un espace de Banach : complétude, séries de Neumann et applications
Plaquette 5 – Problèmes de synthèse : fonctions de matrices, chaînes de Markov et systèmes
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Tous les chapitres de Prépa MP / MPI (2ᵉ année)
Poursuis ta révision avec les autres chapitres du programme de Prépa MP / MPI (2ᵉ année).
Structures algébriques
Compléments sur les groupes, anneaux, corps et polynômes d'endomorphismes en MP / MPI.
Polynômes
Anneaux, corps et polynômes : compléments d'arithmétique algébrique en deuxième année.
Réduction des endomorphismes
Valeurs propres, vecteurs propres, polynôme caractéristique et sous-espaces propres en MP / MPI.
Diagonalisation
Critères de diagonalisabilité, polynômes annulateurs et lemme des noyaux en prépa deuxième année.
Trigonalisation
Trigonalisation des endomorphismes et sous-espaces caractéristiques en MP / MPI.
Espaces euclidiens
Endomorphismes d'un espace euclidien, adjoint, isométries et endomorphismes autoadjoints.
Théorème spectral
Théorème spectral, diagonalisation des matrices symétriques réelles et applications en MP / MPI.
Espaces vectoriels normés
Normes, distances, boules et topologie des espaces vectoriels normés en deuxième année.
Suites, limites, continuité
Suites dans un espace normé, limites et continuité des applications en MP / MPI.
Compacité
Parties compactes, propriétés et théorèmes associés en topologie de prépa deuxième année.
Connexité par arcs
Parties connexes par arcs et applications continues en MP / MPI.
Séries numériques
Convergence des séries numériques, critères de comparaison et séries de référence en MP / MPI.
Suites et séries de fonctions
Convergence simple, uniforme et normale des suites et séries de fonctions en MP / MPI.
Séries entières
Rayon de convergence, somme et développement en série entière des fonctions usuelles.
Fonctions vectorielles
Dérivation et intégration des fonctions vectorielles d'une variable réelle en prépa.
Intégrales généralisées
Intégrales sur un intervalle quelconque, convergence et fonctions intégrables en MP / MPI.
Intégrales à paramètre
Continuité, dérivabilité sous le signe intégrale et intégration des suites et séries de fonctions.
Équations différentielles linéaires
Systèmes différentiels linéaires, exponentielle de matrice et résolution en MP / MPI.
Calcul différentiel
Différentielle, dérivées partielles, gradient et calcul différentiel en deuxième année de prépa.
Optimisation
Optimisation du premier et du second ordre, points critiques et extremums en MP / MPI.
Variables aléatoires discrètes
Variables aléatoires discrètes, lois et fonctions de variables aléatoires en MP / MPI.
Lois discrètes
Lois discrètes classiques : géométrique, de Poisson et leurs propriétés en deuxième année.
Espérance et variance
Espérance, variance et covariance des variables aléatoires discrètes en MP / MPI.
Séries génératrices
Fonctions génératrices et applications au calcul de lois et de moments en prépa deuxième année.
Loi faible des grands nombres
Inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychev, loi faible des grands nombres en MP / MPI.