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Exercices corrigés : Suites numériques — Première STMG

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Suites numériques

Niveau: Première STMG
Chapitre: Suites numériques
Nombre d'exercices: 20 exercices corrigés
Difficulté: Application directe à type bac

Tout le chapitre tient dans une question à se poser devant un énoncé de gestion : ce qui se répète, est-ce un MONTANT ou un TAUX ? Un loyer qui augmente de $50$ 50 € par an, un amortissement linéaire, des intérêts simples : on ajoute toujours la même chose, c'est une suite arithmétique. Un chiffre d'affaires qui progresse de $6 %$ 6 % par an, des intérêts composés, un amortissement dégressif : on multiplie toujours par la même chose, c'est une suite géométrique — et l'on retrouve le coefficient multiplicateur du chapitre 1. Ces 20 exercices installent les deux modèles, leur terme général, leur lecture graphique, puis les font travailler sur ce que le bac STMG demande vraiment : comparer deux offres, chercher un seuil au tableur, et dire à partir de quand une activité devient rentable.

Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée avec rappels de cours et erreurs fréquentes à éviter.

Exercice 1 — Calculer les termes d'une suite

Application directe

Un service en ligne facture $250$ 250 € de frais d'ouverture, puis $30$ 30 € par mois.

On note $u_{n}$ uₙ le montant total payé après $n$ n mois d'abonnement.

1.Justifie que $u_{n} = 250 + 30 n$ uₙ = 250 + 30n, puis calcule $u_{0}$ u₀, $u_{1}$ u₁ et $u_{12}$ u₁₂.
2.Combien l'entreprise aura-t-elle payé au bout de deux ans ?

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Correction détaillée

1
Le montant total se compose des frais d'ouverture, payés une seule fois, et des mensualités, payées $n$ n fois.
2
Après $n$ n mois : $250$ 250 € de frais $+ n$ + n mensualités de $30$ 30 €, soit $u_{n} = 250 + 30 n$ uₙ = 250 + 30n.
3
$u_{0} = 250 + 0 = 250$ u₀ = 250 + 0 = 250 €.
C'est le montant payé à l'ouverture, avant toute mensualité.
4
$u_{1} = 250 + 30 = 280$ u₁ = 250 + 30 = 280 € après un mois.
5
$u_{12} = 250 + 30 \times 12 = 250 + 360 = 610$ u₁₂ = 250 + 30 × 12 = 250 + 360 = 610 € après un an.
6
Deux ans, c'est $24$ 24 mois : $u_{24} = 250 + 30 \times 24 = 250 + 720 = 970$ u₂₄ = 250 + 30 × 24 = 250 + 720 = 970 €.
7
Vérification par le raisonnement : de la fin de la première année à la fin de la seconde, on paie $12$ 12 mensualités de $30$ 30 €, soit $360$ 360 € de plus.
Or $610 + 360 = 970$ 610 + 360 = 970 €. ✔
8
Attention au rang : $u_{12}$ u₁₂ correspond à douze mois écoulés, c'est-à-dire à la fin de la première année.
Ce n'est pas le douzième terme de la liste, puisqu'on a commencé à compter à $u_{0}$ u₀.
9
Vocabulaire à fixer : $u_{n}$ uₙ se lit « u indice n ».
Ce n'est ni un produit $u \times n$ u × n, ni une puissance.

Réponse :

u_{n} = 250 + 30 n

uₙ = 250 + 30n ·

u_{0} = 250

u₀ = 250 € ;

u_{1} = 280

u₁ = 280 € ;

u_{12} = 610

u₁₂ = 610 € ·

970

970 € au bout de deux ans.

Rappel de cours : Un montant payé UNE fois donne la constante, un montant payé à CHAQUE période donne le coefficient de $n$ n.

Erreur fréquente : Confondre $u_{12}$ u₁₂ et « le douzième mois ». $u_{12}$ u₁₂ est le cumul APRÈS douze mois ; la douzième mensualité seule vaut toujours $30$ 30 €.

Exercice 2 — Suite définie par récurrence

Application directe

Une entreprise dispose de $1200$ 1 200 € sur un compte et y verse $150$ 150 € chaque mois.

On note $u_{0} = 1200$ u₀ = 1 200 le solde initial et $u_{n}$ uₙ le solde après $n$ n mois.

1.Exprime $u_{n + 1}$ uₙ₊₁ en fonction de $u_{n}$ uₙ.
2.Calcule $u_{1}$ u₁, $u_{2}$ u₂, $u_{3}$ u₃ et $u_{4}$ u₄.

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1
Chaque mois, le solde augmente de $150$ 150 € : le solde suivant est donc le solde actuel augmenté de $150$ 150.
2
Relation de récurrence : $u_{n + 1} = u_{n} + 150$ uₙ₊₁ = uₙ + 150.
3
Cette écriture décrit le passage d'un terme au suivant, sans donner directement $u_{n}$ uₙ.
On calcule donc en cascade.
4
$u_{1} = u_{0} + 150 = 1200 + 150 = 1350$ u₁ = u₀ + 150 = 1 200 + 150 = 1 350 €.
5
$u_{2} = u_{1} + 150 = 1350 + 150 = 1500$ u₂ = u₁ + 150 = 1 350 + 150 = 1 500 €.
6
$u_{3} = 1500 + 150 = 1650$ u₃ = 1 500 + 150 = 1 650 € et $u_{4} = 1650 + 150 = 1800$ u₄ = 1 650 + 150 = 1 800 €.
7
Vérification par une autre route : après $4$ 4 mois, on a versé $4 \times 150 = 600$ 4 × 150 = 600 €, donc $1200 + 600 = 1800$ 1 200 + 600 = 1 800 €. ✔
8
Cette seconde méthode donne d'ailleurs la formule explicite : $u_{n} = 1200 + 150 n$ uₙ = 1 200 + 150n.
9
Les deux écritures décrivent la même suite.
La récurrence est plus proche de l'énoncé, l'explicite permet de calculer n'importe quel terme d'un coup.
10
Erreur à éviter : écrire $u_{n + 1} = u_{n} + 1$ uₙ₊₁ = uₙ + 1.
Le « $+ 1$ +1 » de l'indice signifie « le mois suivant » ; il ne s'ajoute pas au montant.

Réponse :

u_{n + 1} = u_{n} + 150

uₙ₊₁ = uₙ + 150 ·

u_{1} = 1350

u₁ = 1 350 ;

u_{2} = 1500

u₂ = 1 500 ;

u_{3} = 1650

u₃ = 1 650 ;

u_{4} = 1800

u₄ = 1 800 €.

Rappel de cours : Une suite par récurrence a besoin de DEUX informations : le premier terme et la relation. L'une sans l'autre ne définit rien.

Erreur fréquente : Confondre $u_{n + 1}$ uₙ₊₁ (le terme suivant) et $u_{n} + 1$ uₙ + 1 (le terme actuel augmenté de $1$ 1).

Exercice 3 — Arithmétique ou géométrique ?

Application directe

Pour chaque situation, dis si la suite est arithmétique, géométrique, ou ni l'une ni l'autre, et donne la raison quand elle existe.

1.Un loyer de $700$ 700 € augmente de $50$ 50 € chaque année.
2.Un chiffre d'affaires de $80000$ 80 000 € progresse de $4 %$ 4 % par an.
3.Un effectif suit la série $100$ 100 ; $110$ 110 ; $121$ 121 ; $133, 1$ 133,1.
4.Un stock suit la série $2000$ 2 000 ; $1800$ 1 800 ; $1600$ 1 600 ; $1400$ 1 400.
5.Des ventes suivent la série $5$ 5 ; $10$ 10 ; $20$ 20 ; $35$ 35.

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Correction détaillée

1
La question à se poser est toujours la même : ce qui se répète, est-ce un MONTANT (on ajoute) ou un TAUX (on multiplie) ?
2
a) Un loyer qui augmente de $50$ 50 € : on ajoute chaque année le même montant.
Suite ARITHMÉTIQUE de raison $r = 50$ r = 50.
3
b) Un chiffre d'affaires qui progresse de $4 %$ 4 % : on multiplie chaque année par le même coefficient $1, 04$ 1,04.
Suite GÉOMÉTRIQUE de raison $q = 1, 04$ q = 1,04.
4
C'est le lien direct avec le chapitre 1 : la raison d'une suite géométrique EST le coefficient multiplicateur.
5
c) On teste les quotients : $\frac{110}{100} = 1, 1$ 110/100 = 1,1, $\frac{121}{110} = 1, 1$ 121/110 = 1,1, $\frac{133 , 1}{121} = 1, 1$ 133,1/121 = 1,1.
Suite GÉOMÉTRIQUE de raison $1, 1$ 1,1, soit $+ 10 %$ +10 % par an.
6
d) On teste les différences : $1800 - 2000 = - 200$ 1 800 - 2 000 = -200, puis $- 200$ -200, puis $- 200$ -200.
Suite ARITHMÉTIQUE de raison $r = - 200$ r = -200.
7
Une raison négative signifie que la suite décroît : le stock diminue de $200$ 200 unités par période.
8
e) Différences : $5$ 5, $10$ 10, $15$ 15 — non constantes.
Quotients : $2$ 2, $2$ 2, $1, 75$ 1,75 — non constants non plus.
La suite n'est NI arithmétique NI géométrique.
9
C'est d'ailleurs le cas le plus fréquent dans la réalité : les deux modèles du cours sont des situations idéalisées.
10
Méthode à retenir : on teste d'ABORD les différences, PUIS les quotients, et toujours sur tous les couples disponibles — pas seulement le premier.

Réponse : a) arithmétique,

r = 50

r = 50 · b) géométrique,

q = 1, 04

q = 1,04 · c) géométrique,

q = 1, 1

q = 1,1 · d) arithmétique,

r = - 200

r = -200 · e) ni l'une ni l'autre.

Rappel de cours : Montant constant ajouté → ARITHMÉTIQUE · taux constant appliqué → GÉOMÉTRIQUE, de raison $q = 1 + \frac{t}{100}$ q = 1 + t/100.

Erreur fréquente : Conclure sur un seul calcul. Dans la série e), le premier quotient vaut $2$ 2 : s'arrêter là ferait annoncer une suite géométrique, ce qui est faux dès le terme suivant.

Exercice 4 — Terme général d'une suite arithmétique

Application directe

Un entrepôt contient $1800$ 1 800 palettes.

Chaque semaine, $120$ 120 palettes sont expédiées sans être remplacées.

On note $u_{n}$ uₙ le stock après $n$ n semaines.

1.Exprime $u_{n}$ uₙ en fonction de $n$ n.
2.Quel est le stock au bout de $10$ 10 semaines ?
3.Au bout de combien de semaines l'entrepôt sera-t-il vide ?

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Correction détaillée

1
Le stock diminue de $120$ 120 palettes par semaine : c'est un montant constant, donc une suite arithmétique de raison $r = - 120$ r = -120.
2
Le signe est négatif parce que le stock DIMINUE.
C'est le point où l'on perd le plus souvent des points.
3
Terme général d'une suite arithmétique : $u_{n} = u_{0} + n \times r$ uₙ = u₀ + n × r.
4
Ici : $u_{n} = 1800 + n \times (- 120)$ uₙ = 1 800 + n × (-120), soit $u_{n} = 1800 - 120 n$ uₙ = 1 800 - 120n.
5
Au bout de $10$ 10 semaines : $u_{10} = 1800 - 120 \times 10 = 1800 - 1200 = 600$ u₁₀ = 1 800 - 120 × 10 = 1 800 - 1 200 = 600 palettes.
6
L'entrepôt est vide quand $u_{n} = 0$ uₙ = 0, c'est-à-dire $1800 - 120 n = 0$ 1 800 - 120n = 0.
7
On résout : $120 n = 1800$ 120n = 1 800, donc $n = \frac{1 800}{120} = 15$ n = (1 800)/120 = 15.
8
L'entrepôt sera vide au bout de $15$ 15 semaines.
9
Vérification : $u_{15} = 1800 - 1800 = 0$ u₁₅ = 1 800 - 1 800 = 0 ✔, et $u_{14} = 1800 - 1680 = 120$ u₁₄ = 1 800 - 1 680 = 120 palettes, soit exactement de quoi tenir une dernière semaine. ✔
10
Remarque sur le modèle : au-delà de la quinzième semaine, la formule donnerait un stock négatif, ce qui n'a aucun sens.
Le modèle n'est valable que pour $n$ n compris entre $0$ 0 et $15$ 15.

Réponse :

u_{n} = 1800 - 120 n

uₙ = 1 800 - 120n ·

u_{10} = 600

u₁₀ = 600 palettes · entrepôt vide au bout de

15

15 semaines.

Rappel de cours : $u_{n} = u_{0} + n r$ uₙ = u₀ + nr. Le domaine de validité fait partie de la réponse : un stock, un effectif ou un prix ne peuvent pas devenir négatifs.

Erreur fréquente : Oublier le signe de la raison et écrire $u_{n} = 1800 + 120 n$ uₙ = 1 800 + 120n. Le stock augmenterait au lieu de se vider.

Exercice 5 — Terme général d'une suite géométrique

Application directe

Le chiffre d'affaires d'une société est de $25000$ 25 000 € et progresse de $6 %$ 6 % par an.

On note $v_{n}$ vₙ le chiffre d'affaires après $n$ n années, avec $v_{0} = 25000$ v₀ = 25 000.

1.Exprime $v_{n + 1}$ vₙ₊₁ en fonction de $v_{n}$ vₙ, puis $v_{n}$ vₙ en fonction de $n$ n.
2.Calcule le chiffre d'affaires au bout de $5$ 5 ans, puis de $10$ 10 ans, arrondi à l'euro.

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Correction détaillée

1
Une hausse de $6 %$ 6 % correspond au coefficient multiplicateur $1 + 0, 06 = 1, 06$ 1 + 0,06 = 1,06, vu au chapitre 1.
2
Chaque année, le chiffre d'affaires est donc multiplié par $1, 06$ 1,06 : $v_{n + 1} = 1, 06 \times v_{n}$ vₙ₊₁ = 1,06 × vₙ.
3
C'est exactement la définition d'une suite géométrique, de raison $q = 1, 06$ q = 1,06.
4
Terme général d'une suite géométrique : $v_{n} = v_{0} \times q^{n}$ vₙ = v₀ × q^(n).
5
Ici : $v_{n} = 25000 \times 1, 0 6^{n}$ vₙ = 25 000 × 1,06^(n).
6
Au bout de $5$ 5 ans : $v_{5} = 25000 \times 1, 0 6^{5}$ v₅ = 25 000 × 1,06⁵.
7
$1, 0 6^{5} \approx 1, 338226$ 1,06⁵ ≈ 1,338226, donc $v_{5} \approx 33455, 64$ v₅ ≈ 33 455,64, soit environ $33456$ 33 456 €.
8
Au bout de $10$ 10 ans : $1, 0 6^{10} \approx 1, 790847$ 1,06¹⁰ ≈ 1,790847, donc $v_{10} \approx 44771, 19$ v₁₀ ≈ 44 771,19, soit environ $44771$ 44 771 €.
9
Contrôle de vraisemblance : en dix ans, le chiffre d'affaires est multiplié par environ $1, 79$ 1,79 — presque le double.
Une hausse de $6 %$ 6 % par an qui aboutit à $+ 79 %$ +79 % en dix ans est cohérente. ✔
10
Attention à la priorité des opérations : $25000 \times 1, 0 6^{5}$ 25 000 × 1,06⁵ signifie « $1, 06$ 1,06 puissance $5$ 5, puis multiplié par $25000$ 25 000 ».
Ce n'est pas $(25000 \times 1, 06)^{5}$ (25 000 × 1,06)⁵.
11
Erreur fréquente à écarter : appliquer $6 \times 5 = 30 %$ 6 × 5 = 30 % sur cinq ans.
On obtiendrait $32500$ 32 500 € au lieu de $33456$ 33 456 € — c'est l'erreur des taux additionnés du chapitre 1.

Réponse :

v_{n + 1} = 1, 06 v_{n}

vₙ₊₁ = 1,06 vₙ et

v_{n} = 25000 \times 1, 0 6^{n}

vₙ = 25 000 × 1,06^(n) ·

v_{5} \approx 33456

v₅ ≈ 33 456 € et

v_{10} \approx 44771

v₁₀ ≈ 44 771 €.

Rappel de cours : $v_{n} = v_{0} \times q^{n}$ vₙ = v₀ × q^(n), avec $q = 1 + \frac{t}{100}$ q = 1 + t/100. La raison est le coefficient multiplicateur.

Erreur fréquente : Multiplier le taux par le nombre d'années. Les évolutions se composent par multiplication, jamais par addition.

Exercice 6 — Intérêts simples ou intérêts composés

À maîtriser

Une entreprise place $5000$ 5 000 € à $3 %$ 3 % par an.

Deux formules existent : les intérêts SIMPLES, calculés chaque année sur le capital initial, et les intérêts COMPOSÉS, calculés sur le capital de l'année précédente.

1.Exprime $u_{n}$ uₙ (intérêts simples) et $v_{n}$ vₙ (intérêts composés) en fonction de $n$ n, et donne la nature de chaque suite.
2.Compare les deux capitaux au bout de $5$ 5 ans, puis de $10$ 10 ans.

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Correction détaillée

1
Intérêts SIMPLES : chaque année, les intérêts valent $3 %$ 3 % de $5000$ 5 000 €, soit $150$ 150 € — un montant fixe, année après année.
2
On ajoute donc toujours la même chose : $u_{n} = 5000 + 150 n$ uₙ = 5 000 + 150n, suite ARITHMÉTIQUE de raison $150$ 150.
3
Intérêts COMPOSÉS : chaque année, le capital est multiplié par $1, 03$ 1,03, car les intérêts produisent eux-mêmes des intérêts.
4
$v_{n} = 5000 \times 1, 0 3^{n}$ vₙ = 5 000 × 1,03^(n), suite GÉOMÉTRIQUE de raison $1, 03$ 1,03.
5
Au bout de $5$ 5 ans : $u_{5} = 5000 + 750 = 5750$ u₅ = 5 000 + 750 = 5 750 €.
6
Et $v_{5} = 5000 \times 1, 0 3^{5} \approx 5000 \times 1, 159274 \approx 5796, 37$ v₅ = 5 000 × 1,03⁵ ≈ 5 000 × 1,159274 ≈ 5 796,37 €.
7
L'écart n'est que de $46, 37$ 46,37 € après cinq ans : sur une courte durée, les deux formules donnent des résultats proches.
8
Au bout de $10$ 10 ans : $u_{10} = 5000 + 1500 = 6500$ u₁₀ = 5 000 + 1 500 = 6 500 €.
9
Et $v_{10} = 5000 \times 1, 0 3^{10} \approx 5000 \times 1, 343916 \approx 6719, 58$ v₁₀ = 5 000 × 1,03¹⁰ ≈ 5 000 × 1,343916 ≈ 6 719,58 €.
10
L'écart atteint cette fois $219, 58$ 219,58 €, soit près de cinq fois celui de la cinquième année.
11
Explication : avec les intérêts simples, on gagne $150$ 150 € chaque année, indéfiniment.
Avec les intérêts composés, on gagne $3 %$ 3 % d'un capital qui grossit — donc de plus en plus.
12
Idée générale à retenir : une suite géométrique de raison supérieure à $1$ 1 finit toujours par dépasser une suite arithmétique, et l'écart se creuse ensuite de plus en plus vite.

Réponse :

u_{n} = 5000 + 150 n

uₙ = 5 000 + 150n (arithmétique) et

v_{n} = 5000 \times 1, 0 3^{n}

vₙ = 5 000 × 1,03^(n) (géométrique) · à

5

5 ans :

5750

5 750 € contre

5796, 37

5 796,37 € · à

10

10 ans :

6500

6 500 € contre

6719, 58

6 719,58 €.

Rappel de cours : Intérêts simples → suite arithmétique · intérêts composés → suite géométrique. C'est la distinction la plus rentable du chapitre.

Erreur fréquente : Traiter les intérêts simples comme une hausse de $3 %$ 3 % par an. Les intérêts simples portent TOUJOURS sur le capital initial, jamais sur le capital acquis.

Exercice 7 — Retrouver une suite arithmétique

À maîtriser

Le loyer annuel d'un local commercial suit une suite arithmétique.

La troisième année ( $u_{3}$ u₃), il s'élève à $2100$ 2 100 € ; la huitième année ( $u_{8}$ u₈), à $2850$ 2 850 €.

1.Calcule la raison de la suite.
2.Détermine $u_{0}$ u₀, puis le terme général.
3.Quel sera le loyer la douzième année ?

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1
Entre le rang $3$ 3 et le rang $8$ 8, il y a $8 - 3 = 5$ 8 - 3 = 5 pas, chacun valant la raison $r$ r.
2
On peut donc écrire $u_{8} = u_{3} + 5 r$ u₈ = u₃ + 5r, relation qui évite de repasser par $u_{0}$ u₀.
3
En remplaçant : $2850 = 2100 + 5 r$ 2 850 = 2 100 + 5r, d'où $5 r = 750$ 5r = 750 et $r = 150$ r = 150.
4
Formulation équivalente : $r = \frac{u _{8} - u _{3}}{8 - 3} = \frac{750}{5} = 150$ r = (u₈ - u₃)/(8 - 3) = 750/5 = 150 € par an.
5
Pour $u_{0}$ u₀, on remonte de $3$ 3 pas depuis $u_{3}$ u₃ : $u_{0} = u_{3} - 3 r = 2100 - 450 = 1650$ u₀ = u₃ - 3r = 2 100 - 450 = 1 650 €.
6
Terme général : $u_{n} = 1650 + 150 n$ uₙ = 1 650 + 150n.
7
Vérification sur les deux données : $u_{3} = 1650 + 450 = 2100$ u₃ = 1 650 + 450 = 2 100 ✔ et $u_{8} = 1650 + 1200 = 2850$ u₈ = 1 650 + 1 200 = 2 850 ✔.
8
Douzième année : $u_{12} = 1650 + 150 \times 12 = 1650 + 1800 = 3450$ u₁₂ = 1 650 + 150 × 12 = 1 650 + 1 800 = 3 450 €.
9
Contrôle par un autre chemin : $u_{12} = u_{8} + 4 r = 2850 + 600 = 3450$ u₁₂ = u₈ + 4r = 2 850 + 600 = 3 450 €. ✔
10
Attention au décompte des pas : de $u_{3}$ u₃ à $u_{8}$ u₈, il y a $5$ 5 intervalles, même si l'on énumère $6$ 6 termes.
On compte les SAUTS, pas les termes.

Réponse :

r = 150

r = 150 € ·

u_{0} = 1650

u₀ = 1 650 € et

u_{n} = 1650 + 150 n

uₙ = 1 650 + 150n ·

u_{12} = 3450

u₁₂ = 3 450 €.

Rappel de cours : Formule utilisable dans les deux sens : $u_{p} = u_{k} + (p - k) r$ uₚ = uₖ + (p-k) r.

Erreur fréquente : Diviser par $8$ 8 au lieu de $8 - 3$ 8 - 3. On trouverait une raison de $93, 75$ 93,75 € qui ne vérifie aucune des deux données.

Exercice 8 — Retrouver une suite géométrique

À maîtriser

Le nombre d'abonnés d'un service suit une suite géométrique croissante.

On sait que $v_{2} = 6050$ v₂ = 6 050 et $v_{5} = 8052, 55$ v₅ = 8 052,55.

1.Calcule la raison de la suite, puis le taux d'évolution annuel correspondant.
2.Détermine $v_{0}$ v₀.

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Correction détaillée

1
Entre le rang $2$ 2 et le rang $5$ 5, il y a $3$ 3 pas, donc $3$ 3 multiplications par la raison $q$ q.
2
On écrit donc $v_{5} = v_{2} \times q^{3}$ v₅ = v₂ × q³.
3
En remplaçant : $8052, 55 = 6050 \times q^{3}$ 8 052,55 = 6 050 × q³, d'où $q^{3} = \frac{8 052 , 55}{6 050} = 1, 331$ q³ = (8 052,55)/(6 050) = 1,331.
4
On reconnaît $1, 331 = 1, 1^{3}$ 1,331 = 1,1³, donc $q = 1, 1$ q = 1,1. (À la calculatrice : $1, 33 1^{1/3} = 1, 1$ 1,331^(1/3) = 1,1.)
5
Taux d'évolution correspondant : $t = (1, 1 - 1) \times 100 = 10 %$ t = (1,1 - 1) × 100 = 10 % par an.
6
Le nombre d'abonnés progresse donc de $10 %$ 10 % chaque année.
7
Pour $v_{0}$ v₀, on remonte de $2$ 2 pas depuis $v_{2}$ v₂, donc on DIVISE deux fois par $q$ q.
8
$v_{0} = \frac{v _{2}}{q ^{2}} = \frac{6 050}{1 , 21} = 5000$ v₀ = v₂/q² = (6 050)/1,21 = 5 000 abonnés.
9
Vérification : $5000 \times 1, 1^{2} = 5000 \times 1, 21 = 6050$ 5 000 × 1,1² = 5 000 × 1,21 = 6 050 ✔ et $5000 \times 1, 1^{5} = 5000 \times 1, 61051 = 8052, 55$ 5 000 × 1,1⁵ = 5 000 × 1,61051 = 8 052,55 ✔.
10
Point de méthode : pour remonter dans une suite géométrique on DIVISE par la raison, alors que dans une suite arithmétique on SOUSTRAIT la raison.
L'opération inverse change de nature selon le modèle.

Réponse :

q^{3} = 1, 331

q³ = 1,331 donc

q = 1, 1

q = 1,1, soit

+ 10 %

+10 % par an ·

v_{0} = 5000

v₀ = 5 000 abonnés.

Rappel de cours : $v_{p} = v_{k} \times q^{p - k}$ vₚ = vₖ × q^(p-k). On isole $q^{p - k}$ q^(p-k), puis on prend la racine correspondante.

Erreur fréquente : Annoncer $q = 1, 331$ q = 1,331. C'est $q^{3}$ q³ qui vaut $1, 331$ 1,331 ; la raison est sa racine cubique.

Exercice 9 — Sens de variation

À maîtriser

Pour chaque suite, dis si elle est croissante ou décroissante, et justifie sans calculer tous les termes.

1. $u_{n} = 4500 - 250 n$ uₙ = 4 500 - 250n
2. $v_{n} = 12000 \times 1, 0 8^{n}$ vₙ = 12 000 × 1,08^(n)
3. $w_{n} = 30000 \times 0, 8 5^{n}$ wₙ = 30 000 × 0,85^(n)
4. $t_{n} = 900 + 40 n$ tₙ = 900 + 40n

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Correction détaillée

1
Pour une suite ARITHMÉTIQUE, tout se lit dans le signe de la raison : positive, la suite croît ; négative, elle décroît.
2
$u_{n} = 4500 - 250 n$ uₙ = 4 500 - 250n : la raison vaut $- 250$ -250, donc $u$ u est DÉCROISSANTE.
On retire $250$ 250 à chaque étape.
3
$t_{n} = 900 + 40 n$ tₙ = 900 + 40n : la raison vaut $+ 40$ +40, donc $t$ t est CROISSANTE.
4
Pour une suite GÉOMÉTRIQUE à termes positifs, tout se lit dans la position de la raison par rapport à $1$ 1.
5
$v_{n} = 12000 \times 1, 0 8^{n}$ vₙ = 12 000 × 1,08^(n) : la raison $1, 08$ 1,08 est supérieure à $1$ 1, donc $v$ v est CROISSANTE.
Cela correspond à une hausse de $8 %$ 8 % par période.
6
$w_{n} = 30000 \times 0, 8 5^{n}$ wₙ = 30 000 × 0,85^(n) : la raison $0, 85$ 0,85 est comprise entre $0$ 0 et $1$ 1, donc $w$ w est DÉCROISSANTE.
Cela correspond à une baisse de $15 %$ 15 % par période.
7
Vérification rapide sur deux termes de $w$ w : $w_{0} = 30000$ w₀ = 30 000 et $w_{1} = 25500$ w₁ = 25 500.
La suite diminue bien. ✔
8
Vérification sur $v$ v : $v_{0} = 12000$ v₀ = 12 000 et $v_{1} = 12960$ v₁ = 12 960. ✔
9
Récapitulatif à connaître : arithmétique → signe de $r$ r · géométrique (termes positifs) → $q > 1$ q > 1 croissante, $0 < q < 1$ 0 < q < 1 décroissante, $q = 1$ q = 1 constante.
10
Attention : une suite géométrique décroissante ne devient jamais négative ni nulle.
$w_{n}$ wₙ se rapproche indéfiniment de $0$ 0 sans l'atteindre — contrairement au stock de l'exercice 4, qui s'annule vraiment.

Réponse :

u

u décroissante (

r = - 250

r = -250) ·

v

v croissante (

q = 1, 08 > 1

q = 1,08 > 1) ·

w

w décroissante (

0 < q = 0, 85 < 1

0 < q = 0,85 < 1) ·

t

t croissante (

r = 40

r = 40).

Rappel de cours : Arithmétique : signe de la raison. Géométrique à termes positifs : raison comparée à $1$ 1.

Erreur fréquente : Croire qu'une raison géométrique inférieure à $1$ 1 est « négative ». $0, 85$ 0,85 est bien positif : la suite décroît, mais reste toujours positive.

Exercice 10 — Reconnaître les deux modèles sur un graphique

À maîtriser

Deux placements de $1000$ 1 000 € sont représentés ci-dessous sur $12$ 12 ans.

Le placement A (points reliés en trait plein) rapporte un montant fixe chaque année ; le placement B (pointillés) rapporte un pourcentage fixe.

1.Attribue chaque courbe à son placement en justifiant par la forme.
2.Détermine la raison de chaque suite par lecture graphique.
3.À partir de quelle année le placement B devient-il le plus intéressant ?

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Correction détaillée

1
Une suite ARITHMÉTIQUE progresse du même montant à chaque étape : ses points sont donc ALIGNÉS.
Sur le graphique, c'est le tracé rectiligne.
2
Une suite GÉOMÉTRIQUE de raison supérieure à $1$ 1 progresse d'un montant qui grandit : sa courbe s'INCURVE vers le haut, de plus en plus fort.
3
Le tracé rectiligne correspond donc au placement A (montant fixe), et le tracé incurvé au placement B (pourcentage fixe).
4
Lecture de la raison de A : la droite passe de $1000$ 1 000 € au rang $0$ 0 à $1800$ 1 800 € au rang $10$ 10, soit $800$ 800 € gagnés en $10$ 10 ans.
5
Raison : $r = \frac{800}{10} = 80$ r = 800/10 = 80 € par an, donc $u_{n} = 1000 + 80 n$ uₙ = 1 000 + 80n.
6
Lecture de la raison de B : au rang $2$ 2, on lit environ $1124$ 1 124 € pour un capital initial de $1000$ 1 000 €.
7
Donc $q^{2} \approx 1, 124$ q² ≈ 1,124, d'où $q \approx 1, 06$ q ≈ 1,06 : le placement B rapporte environ $6 %$ 6 % par an, et $v_{n} = 1000 \times 1, 0 6^{n}$ vₙ = 1 000 × 1,06^(n).
8
Pour le croisement, on compare les deux au voisinage du rang $10$ 10, là où les tracés se rejoignent.
9
Rang $10$ 10 : $u_{10} = 1800$ u₁₀ = 1 800 € et $v_{10} = 1000 \times 1, 0 6^{10} \approx 1790, 85$ v₁₀ = 1 000 × 1,06¹⁰ ≈ 1 790,85 €.
A est encore devant, de $9, 15$ 9,15 €.
10
Rang $11$ 11 : $u_{11} = 1880$ u₁₁ = 1 880 € et $v_{11} \approx 1898, 30$ v₁₁ ≈ 1 898,30 €.
B passe devant.
11
Le placement B devient donc le plus intéressant à partir de la onzième année.
12
Conclusion de gestion : sur une courte durée, le montant fixe l'emporte ; sur une longue durée, c'est toujours le pourcentage.
Le choix dépend de l'horizon de placement.

Réponse : Trait plein = A (arithmétique, points alignés), pointillés = B (géométrique, courbe qui s'incurve) ·

r = 80

r = 80 € et

q \approx 1, 06

q ≈ 1,06 · B devient plus intéressant à partir de la

1 1^{e}

11ᵉ année.

Rappel de cours : Sur un graphique : points ALIGNÉS → suite arithmétique · courbe qui s'incurve vers le haut → suite géométrique de raison $> 1$ > 1.

Erreur fréquente : Conclure « B est meilleur » sans préciser à partir de quand. Pendant dix ans, c'est bien A qui rapporte le plus.

Exercice 11 — Amortissement linéaire ou dégressif

Type contrôle

Une machine est achetée $40000$ 40 000 €.

Deux modes d'amortissement sont envisagés : le mode LINÉAIRE, qui répartit la valeur en parts égales sur $5$ 5 ans, et le mode DÉGRESSIF, qui retire $30 %$ 30 % de la valeur restante chaque année.

1.Exprime la valeur comptable $u_{n}$ uₙ (linéaire) et $v_{n}$ vₙ (dégressif) après $n$ n années.
2.Compare les deux valeurs au bout de $3$ 3 ans, puis de $5$ 5 ans.
3.Quel mode l'entreprise a-t-elle intérêt à choisir si elle veut réduire son résultat imposable les premières années ?

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Correction détaillée

1
Mode LINÉAIRE : on répartit $40000$ 40 000 € sur $5$ 5 ans, soit $\frac{40 000}{5} = 8000$ (40 000)/5 = 8 000 € retirés chaque année.
2
C'est un montant fixe : suite arithmétique de raison $- 8000$ -8 000, donc $u_{n} = 40000 - 8000 n$ uₙ = 40 000 - 8 000n.
3
Mode DÉGRESSIF : on retire $30 %$ 30 % de la valeur restante, donc il en reste $70 %$ 70 %, soit un coefficient de $0, 70$ 0,70.
4
C'est un taux fixe : suite géométrique de raison $0, 70$ 0,70, donc $v_{n} = 40000 \times 0, 7 0^{n}$ vₙ = 40 000 × 0,70^(n).
5
Au bout de $3$ 3 ans : $u_{3} = 40000 - 24000 = 16000$ u₃ = 40 000 - 24 000 = 16 000 €.
6
Et $v_{3} = 40000 \times 0, 7 0^{3} = 40000 \times 0, 343 = 13720$ v₃ = 40 000 × 0,70³ = 40 000 × 0,343 = 13 720 €.
7
La valeur dégressive est plus basse : la machine a été amortie plus vite.
8
Au bout de $5$ 5 ans : $u_{5} = 40000 - 40000 = 0$ u₅ = 40 000 - 40 000 = 0 € — la machine est entièrement amortie.
9
Et $v_{5} = 40000 \times 0, 7 0^{5} = 40000 \times 0, 16807 = 6722, 80$ v₅ = 40 000 × 0,70⁵ = 40 000 × 0,16807 = 6 722,80 €.
10
Différence de nature essentielle : l'amortissement linéaire s'achève exactement au bout de $5$ 5 ans, tandis que le dégressif ne s'annule JAMAIS — il se rapproche de $0$ 0 sans l'atteindre.
11
C'est la propriété des suites géométriques de raison comprise entre $0$ 0 et $1$ 1 : on retire toujours un pourcentage de ce qui reste, donc il reste toujours quelque chose.
12
Réponse à la question de gestion : le mode DÉGRESSIF retire davantage les premières années ( $12000$ 12 000 € dès la première année contre $8000$ 8 000 €), ce qui diminue davantage le résultat imposable au début.
13
Vérification de ce montant : $40000 - v_{1} = 40000 - 28000 = 12000$ 40 000 - v₁ = 40 000 - 28 000 = 12 000 €. ✔

Réponse :

u_{n} = 40000 - 8000 n

uₙ = 40 000 - 8 000n (arithmétique) et

v_{n} = 40000 \times 0, 7 0^{n}

vₙ = 40 000 × 0,70^(n) (géométrique) · à

3

3 ans :

16000

16 000 € contre

13720

13 720 € · à

5

5 ans :

0

0 € contre

6722, 80

6 722,80 € · le dégressif, qui amortit plus vite au début.

Rappel de cours : Amortissement linéaire → suite arithmétique qui atteint $0$ 0 · amortissement dégressif → suite géométrique qui tend vers $0$ 0 sans l'atteindre.

Erreur fréquente : Croire que le dégressif finit par annuler la valeur. Multiplier indéfiniment par $0, 70$ 0,70 ne donne jamais exactement zéro.

Exercice 12 — Chercher un seuil

Type contrôle

Un capital de $5000$ 5 000 € est placé à $3 %$ 3 % par an à intérêts composés, donc $v_{n} = 5000 \times 1, 0 3^{n}$ vₙ = 5 000 × 1,03^(n).

À partir de quelle année le capital dépassera-t-il $7000$ 7 000 € ?

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Correction détaillée

1
On cherche le plus petit entier $n$ n tel que $5000 \times 1, 0 3^{n} > 7000$ 5 000 × 1,03^(n) > 7 000.
2
On isole la puissance en divisant les deux membres par $5000$ 5 000 : $1, 0 3^{n} > 1, 4$ 1,03^(n) > 1,4.
3
Cette inéquation ne se résout pas directement avec les outils de Première STMG : on procède par BALAYAGE, au tableur ou à la calculatrice, en testant les valeurs successives de $n$ n.
4
$n = 10$ n = 10 : $v_{10} = 5000 \times 1, 343916 \approx 6719, 58$ v₁₀ = 5 000 × 1,343916 ≈ 6 719,58 € — insuffisant.
5
$n = 11$ n = 11 : $v_{11} \approx 6921, 17$ v₁₁ ≈ 6 921,17 € — toujours insuffisant, mais on s'en approche.
6
$n = 12$ n = 12 : $v_{12} \approx 7128, 80$ v₁₂ ≈ 7 128,80 € — le seuil est franchi.
7
Le capital dépasse donc $7000$ 7 000 € au bout de $12$ 12 ans.
8
Justification à rédiger : il ne suffit pas de donner $12$ 12, il faut montrer que $11$ 11 ne convient PAS et que $12$ 12 convient.
C'est ce double encadrement qui vaut les points.
9
Le raisonnement est valable parce que la suite est strictement croissante : dès qu'un rang dépasse le seuil, tous les suivants le dépassent aussi.
10
Au tableur : on remplit une colonne $n$ n ( $0$ 0, $1$ 1, $2$ 2…) et une colonne $v_{n}$ vₙ avec la formule « =5000*1,03^A2 », puis on recopie vers le bas et on lit la première ligne supérieure à $7000$ 7 000.
11
Autre méthode possible au tableur, sans puissance : mettre 5000 dans la première cellule, puis « =B2*1,03 » dans la suivante et recopier.
Les deux colonnes donnent les mêmes valeurs.
12
Contrôle de vraisemblance : $1, 0 3^{12} \approx 1, 426$ 1,03¹² ≈ 1,426, et $5000 \times 1, 426 \approx 7128$ 5 000 × 1,426 ≈ 7 128 €. ✔

Réponse : Au bout de

12

12 ans (

v_{11} \approx 6921, 17

v₁₁ ≈ 6 921,17 € et

v_{12} \approx 7128, 80

v₁₂ ≈ 7 128,80 €).

Rappel de cours : Un seuil se cherche par balayage, puis se JUSTIFIE en encadrant : le rang précédent ne convient pas, le rang trouvé convient.

Erreur fréquente : Répondre $11$ 11 parce que $6921$ 6 921 € est « presque » $7000$ 7 000 €. Le seuil demande un dépassement strict.

Exercice 13 — Fidélisation : ni arithmétique ni géométrique

Type contrôle

Un salon de sport compte $3000$ 3 000 adhérents.

Chaque année, il perd $10 %$ 10 % de ses adhérents mais en recrute $500$ 500 nouveaux.

On note $u_{n}$ uₙ le nombre d'adhérents après $n$ n années, avec $u_{0} = 3000$ u₀ = 3 000.

1.Exprime $u_{n + 1}$ uₙ₊₁ en fonction de $u_{n}$ uₙ.
2.Calcule $u_{1}$ u₁, $u_{2}$ u₂ et $u_{3}$ u₃.
3.Montre que la suite n'est ni arithmétique ni géométrique.
4.Vers quel effectif la fréquentation semble-t-elle se stabiliser ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Deux effets se succèdent chaque année : une perte de $10 %$ 10 % (il reste donc $90 %$ 90 %, coefficient $0, 9$ 0,9), puis l'arrivée de $500$ 500 nouveaux adhérents.
2
Relation de récurrence : $u_{n + 1} = 0, 9 u_{n} + 500$ uₙ₊₁ = 0,9 uₙ + 500.
3
$u_{1} = 0, 9 \times 3000 + 500 = 2700 + 500 = 3200$ u₁ = 0,9 × 3 000 + 500 = 2 700 + 500 = 3 200 adhérents.
4
$u_{2} = 0, 9 \times 3200 + 500 = 2880 + 500 = 3380$ u₂ = 0,9 × 3 200 + 500 = 2 880 + 500 = 3 380 adhérents.
5
$u_{3} = 0, 9 \times 3380 + 500 = 3042 + 500 = 3542$ u₃ = 0,9 × 3 380 + 500 = 3 042 + 500 = 3 542 adhérents.
6
Test « arithmétique » : $u_{1} - u_{0} = 200$ u₁ - u₀ = 200 mais $u_{2} - u_{1} = 180$ u₂ - u₁ = 180.
Les différences ne sont pas constantes.
7
Test « géométrique » : $\frac{u _{1}}{u _{0}} \approx 1, 0667$ u₁/u₀ ≈ 1,0667 mais $\frac{u _{2}}{u _{1}} = 1, 05625$ u₂/u₁ = 1,05625.
Les quotients ne le sont pas non plus.
8
La suite n'est donc ni arithmétique ni géométrique : c'est normal, elle combine un pourcentage ET un montant fixe.
9
Pour la stabilisation, on poursuit : $u_{4} \approx 3687, 8$ u₄ ≈ 3 687,8 puis $u_{5} \approx 3819, 02$ u₅ ≈ 3 819,02.
La suite croît, mais de moins en moins vite.
10
Si l'effectif se stabilisait autour d'une valeur $x$ x, on aurait $x = 0, 9 x + 500$ x = 0,9x + 500, donc $0, 1 x = 500$ 0,1x = 500 et $x = 5000$ x = 5 000.
11
La fréquentation tend donc vers $5000$ 5 000 adhérents, sans jamais les atteindre.
12
Vérification du raisonnement : avec $5000$ 5 000 adhérents, la perte annuelle vaut $500$ 500 personnes, exactement compensée par les $500$ 500 recrutements.
L'effectif ne bouge plus. ✔
13
Lecture de gestion : tant que le salon recrute $500$ 500 adhérents par an avec ce taux de perte, il ne pourra jamais dépasser durablement $5000$ 5 000 membres.
Pour aller au-delà, il faut soit recruter davantage, soit mieux fidéliser.

Réponse :

u_{n + 1} = 0, 9 u_{n} + 500

uₙ₊₁ = 0,9 uₙ + 500 ·

u_{1} = 3200

u₁ = 3 200 ;

u_{2} = 3380

u₂ = 3 380 ;

u_{3} = 3542

u₃ = 3 542 · ni arithmétique (différences

200

200 puis

180

180) ni géométrique (quotients

1, 0667

1,0667 puis

1, 056

1,056) · l'effectif tend vers

5000

5 000 adhérents.

Rappel de cours : Un modèle « pourcentage + montant fixe » n'est ni arithmétique ni géométrique. Son point d'équilibre se trouve en résolvant $x = a x + b$ x = a x + b.

Erreur fréquente : Conclure « géométrique » parce qu'il y a un pourcentage. La présence d'un terme fixe suffit à casser les deux modèles.

Exercice 14 — Construire la feuille de calcul

Type contrôle

On veut comparer au tableur deux modèles sur $15$ 15 ans.

La colonne A contient les rangs $0$ 0, $1$ 1, $2$ 2… La cellule B2 contient le capital initial $4000$ 4 000, la colonne B suit une suite arithmétique de raison $250$ 250, la colonne C une suite géométrique de raison $1, 05$ 1,05 partant elle aussi de $4000$ 4 000 (cellule C2).

Le taux $0, 05$ 0,05 est saisi une fois pour toutes en cellule F1.

1.Quelle formule saisir en B3 pour obtenir le terme suivant de la suite arithmétique ?
2.Quelle formule saisir en C3, en utilisant la cellule F1 ?
3.Pourquoi écrit-on $$ F $1$ $F$1 et non $F 1$ F1 ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Une suite définie par récurrence se construit naturellement au tableur : chaque cellule se calcule à partir de celle du dessus.
2
Pour la colonne arithmétique, on ajoute la raison au terme précédent : en B3, on saisit « =B2+250 ».
3
On recopie ensuite cette formule vers le bas jusqu'à la ligne $17$ 17 (pour aller jusqu'au rang $15$ 15).
Le tableur adapte automatiquement : B4 devient « =B3+250 », et ainsi de suite.
4
Pour la colonne géométrique, on multiplie le terme précédent par la raison.
En utilisant le taux stocké en F1, cela s'écrit « =C2*(1+$F$1) ».
5
On aurait aussi pu écrire « =C2*1,05 », mais la version avec F1 est bien meilleure : si le taux change, il suffit de modifier UNE cellule et toute la colonne se recalcule.
6
Sur la troisième question : le tableur décale automatiquement les références quand on recopie une formule vers le bas.
7
Avec « F1 » (référence dite relative), la formule recopiée en C4 deviendrait « =C3*(1+F2) » — or F2 est vide, donc le tableur multiplierait par $1$ 1 et la colonne cesserait de croître.
8
Les signes « $ » FIGENT la référence : « $F$1 » reste « $F$1 » quelle que soit la cellule où la formule est recopiée.
On parle de référence absolue.
9
Contrôle des premières valeurs attendues, colonne B : $4000$ 4 000, $4250$ 4 250, $4500$ 4 500, $4750$ 4 750…
10
Colonne C : $4000$ 4 000, $4200$ 4 200, $4410$ 4 410, $4630, 50$ 4 630,50… La progression s'accélère, contrairement à celle de la colonne B.
11
Vérification par la formule explicite au rang $15$ 15 : $4000 + 250 \times 15 = 7750$ 4 000 + 250 × 15 = 7 750 € pour la colonne B, et $4000 \times 1, 0 5^{15} \approx 8315, 71$ 4 000 × 1,05¹⁵ ≈ 8 315,71 € pour la colonne C. ✔ La géométrique l'emporte, comme attendu.

Réponse : B3 : « =B2+250 » · C3 : « =C2*(1+$F$1) » · les « $ » figent la cellule du taux, qui sinon se décalerait vers F2, F3… à la recopie.

Rappel de cours : Référence RELATIVE (« F1 ») : se décale à la recopie. Référence ABSOLUE (« $F$1 ») : reste figée. Tout paramètre commun se met dans une cellule à part, en absolu.

Erreur fréquente : Oublier les « $ ». L'erreur est invisible sur la première ligne recopiée et fausse toute la colonne ensuite — c'est le grand classique du tableur.

Exercice 15 — Comparer deux offres d'abonnement

Type contrôle

Deux prestataires proposent le même service.

L'offre A demande $60$ 60 € de frais d'inscription puis $25$ 25 € par mois.

L'offre B ne demande aucun frais d'inscription mais $35$ 35 € par mois.

1.Exprime le coût total $a_{n}$ aₙ et $b_{n}$ bₙ après $n$ n mois.
2.Compare les deux offres au bout de $4$ 4 mois, puis de $10$ 10 mois.
3.À partir de combien de mois l'offre A devient-elle la plus avantageuse ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Offre A : $60$ 60 € payés une fois, puis $25$ 25 € par mois.
Donc $a_{n} = 60 + 25 n$ aₙ = 60 + 25n, suite arithmétique de raison $25$ 25.
2
Offre B : aucun frais fixe, $35$ 35 € par mois.
Donc $b_{n} = 35 n$ bₙ = 35n, suite arithmétique de raison $35$ 35.
3
Au bout de $4$ 4 mois : $a_{4} = 60 + 100 = 160$ a₄ = 60 + 100 = 160 € et $b_{4} = 140$ b₄ = 140 €.
L'offre B est moins chère.
4
Au bout de $10$ 10 mois : $a_{10} = 60 + 250 = 310$ a₁₀ = 60 + 250 = 310 € et $b_{10} = 350$ b₁₀ = 350 €.
Cette fois, c'est l'offre A la moins chère.
5
Il existe donc un moment où les deux offres se croisent : on le trouve en résolvant $a_{n} = b_{n}$ aₙ = bₙ.
6
$60 + 25 n = 35 n$ 60 + 25n = 35n, donc $60 = 10 n$ 60 = 10n et $n = 6$ n = 6.
7
Au bout de $6$ 6 mois, les deux offres coûtent exactement la même chose : $a_{6} = 60 + 150 = 210$ a₆ = 60 + 150 = 210 € et $b_{6} = 210$ b₆ = 210 €. ✔
8
Pour $n < 6$ n < 6, l'offre B est moins chère ; pour $n > 6$ n > 6, c'est l'offre A.
Elle devient donc strictement plus avantageuse à partir du $7^{e}$ 7ᵉ mois.
9
Vérification au rang $7$ 7 : $a_{7} = 235$ a₇ = 235 € contre $b_{7} = 245$ b₇ = 245 €. ✔
10
Interprétation : l'offre A fait payer d'emblée $60$ 60 €, mais économise $10$ 10 € chaque mois.
Il faut donc $60 \div 10 = 6$ 60 ÷ 10 = 6 mois pour rentabiliser les frais d'inscription.
11
Conseil de gestion : le choix dépend uniquement de la durée d'engagement prévue.
En dessous de six mois, B ; au-delà, A — et l'écart se creuse ensuite de $10$ 10 € par mois.

Réponse :

a_{n} = 60 + 25 n

aₙ = 60 + 25n et

b_{n} = 35 n

bₙ = 35n · à

4

4 mois :

160

160 € contre

140

140 € (B gagne) ; à

10

10 mois :

310

310 € contre

350

350 € (A gagne) · égalité à

6

6 mois, A l'emporte à partir du

7^{e}

7ᵉ mois.

Rappel de cours : Deux suites arithmétiques se croisent au plus une fois : on résout l'égalité, puis on conclut de part et d'autre du point de croisement.

Erreur fréquente : Répondre « $6$ 6 mois » à la question « à partir de quand A est-elle plus avantageuse ? ». Au sixième mois, les deux offres coûtent la même chose : A ne devient strictement meilleure qu'au septième.

Exercice 16 — Croissance linéaire contre croissance en pourcentage

Type bac / défi

Deux entreprises réalisent aujourd'hui $200000$ 200 000 € de chiffre d'affaires.

L'entreprise A prévoit de gagner $15000$ 15 000 € de plus chaque année, l'entreprise B prévoit une croissance de $6 %$ 6 % par an.

Le graphique représente les deux prévisions.

1.Exprime $a_{n}$ aₙ et $b_{n}$ bₙ, et donne la nature de chaque suite.
2.Compare les deux chiffres d'affaires au bout de $5$ 5 ans, puis de $8$ 8 ans.
3.À partir de quelle année l'entreprise B dépasse-t-elle l'entreprise A ?
4.Que vaut l'écart au bout de $15$ 15 ans ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Entreprise A : un montant fixe s'ajoute chaque année, donc suite arithmétique de raison $15000$ 15 000 : $a_{n} = 200000 + 15000 n$ aₙ = 200 000 + 15 000n.
2
Entreprise B : un taux fixe s'applique chaque année, donc suite géométrique de raison $1, 06$ 1,06 : $b_{n} = 200000 \times 1, 0 6^{n}$ bₙ = 200 000 × 1,06^(n).
3
Au bout de $5$ 5 ans : $a_{5} = 200000 + 75000 = 275000$ a₅ = 200 000 + 75 000 = 275 000 €.
4
Et $b_{5} = 200000 \times 1, 0 6^{5} \approx 200000 \times 1, 338226 \approx 267645, 12$ b₅ = 200 000 × 1,06⁵ ≈ 200 000 × 1,338226 ≈ 267 645,12 €.
A est devant, de plus de $7000$ 7 000 €.
5
Au bout de $8$ 8 ans : $a_{8} = 200000 + 120000 = 320000$ a₈ = 200 000 + 120 000 = 320 000 €.
6
Et $b_{8} \approx 200000 \times 1, 593848 \approx 318769, 61$ b₈ ≈ 200 000 × 1,593848 ≈ 318 769,61 €.
A est encore devant, mais de $1230$ 1 230 € seulement : l'écart se referme.
7
Ce resserrement annonce un croisement.
On teste donc le rang suivant.
8
Rang $9$ 9 : $a_{9} = 335000$ a₉ = 335 000 € et $b_{9} \approx 337895, 79$ b₉ ≈ 337 895,79 €.
B passe devant, de près de $2900$ 2 900 €.
9
L'entreprise B dépasse donc l'entreprise A à partir de la neuvième année.
10
Vérification que le dépassement est durable : au rang $10$ 10, $a_{10} = 350000$ a₁₀ = 350 000 € contre $b_{10} \approx 358169, 54$ b₁₀ ≈ 358 169,54 €.
L'écart continue de croître. ✔
11
Au bout de $15$ 15 ans : $a_{15} = 200000 + 225000 = 425000$ a₁₅ = 200 000 + 225 000 = 425 000 € et $b_{15} \approx 479311, 64$ b₁₅ ≈ 479 311,64 €.
12
L'écart atteint alors $54311, 64$ 54 311,64 € en faveur de B, soit près de dix-neuf fois l'écart de la neuvième année.
13
Idée générale, et c'est tout l'intérêt de l'exercice : une croissance en pourcentage part plus lentement mais finit TOUJOURS par dépasser une croissance à montant fixe, puis creuse l'écart de plus en plus vite.

Réponse :

a_{n} = 200000 + 15000 n

aₙ = 200 000 + 15 000n (arithmétique) et

b_{n} = 200000 \times 1, 0 6^{n}

bₙ = 200 000 × 1,06^(n) (géométrique) · à

5

5 ans A mène (

275000

275 000 contre

267645

267 645 €), à

8

8 ans encore de peu · B dépasse à partir de la

9^{e}

9ᵉ année · écart de

54312

54 312 € à

15

15 ans.

Rappel de cours : Toujours conclure une comparaison par « à partir de quel rang », jamais par un vainqueur absolu : chaque modèle gagne sur un horizon différent.

Erreur fréquente : S'arrêter à la cinquième année et conclure que le modèle A est meilleur. La comparaison n'a de sens qu'assortie d'une durée.

Exercice 17 — Valeur résiduelle d'un véhicule

Type bac / défi

Un véhicule utilitaire acheté $28000$ 28 000 € perd $25 %$ 25 % de sa valeur chaque année.

1.Exprime sa valeur $v_{n}$ vₙ après $n$ n années et donne la nature de la suite.
2.Calcule sa valeur au bout de $3$ 3 ans.
3.Au bout de combien d'années vaudra-t-il moins de $10000$ 10 000 € ?
4.L'entreprise prévoit de le revendre $5000$ 5 000 € au bout de $6$ 6 ans. Est-ce cohérent avec le modèle ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Une perte de $25 %$ 25 % laisse $75 %$ 75 % de la valeur : le coefficient multiplicateur vaut $0, 75$ 0,75.
2
Suite géométrique de raison $0, 75$ 0,75 : $v_{n} = 28000 \times 0, 7 5^{n}$ vₙ = 28 000 × 0,75^(n).
3
Comme $0 < 0, 75 < 1$ 0 < 0,75 < 1, la suite est décroissante — ce qui correspond bien à une perte de valeur.
4
Au bout de $3$ 3 ans : $0, 7 5^{3} = 0, 421875$ 0,75³ = 0,421875, donc $v_{3} = 28000 \times 0, 421875 = 11812, 50$ v₃ = 28 000 × 0,421875 = 11 812,50 €.
5
Pour le seuil, on cherche le premier rang tel que $v_{n} < 10000$ vₙ < 10 000, par balayage.
6
$n = 3$ n = 3 : $11812, 50$ 11 812,50 € — encore au-dessus.
7
$n = 4$ n = 4 : $v_{4} = 28000 \times 0, 31640625 \approx 8859, 38$ v₄ = 28 000 × 0,31640625 ≈ 8 859,38 € — le seuil est franchi.
8
Le véhicule vaut donc moins de $10000$ 10 000 € au bout de $4$ 4 ans.
9
Justification complète : $v_{3} = 11812, 50 > 10000$ v₃ = 11 812,50 > 10 000 et $v_{4} \approx 8859, 38 < 10000$ v₄ ≈ 8 859,38 < 10 000. ✔
10
Pour la dernière question, on calcule la valeur prévue par le modèle au bout de $6$ 6 ans.
11
$0, 7 5^{6} \approx 0, 177979$ 0,75⁶ ≈ 0,177979, donc $v_{6} \approx 28000 \times 0, 177979 \approx 4983, 42$ v₆ ≈ 28 000 × 0,177979 ≈ 4 983,42 €.
12
Le modèle prévoit environ $4983$ 4 983 €, et l'entreprise espère en tirer $5000$ 5 000 € : la prévision est donc parfaitement cohérente, à $17$ 17 € près.
13
Nuance à apporter tout de même : ce modèle suppose une perte de $25 %$ 25 % régulière, alors qu'en pratique la décote est plus forte la première année.
La valeur réelle de revente dépendra aussi de l'état du véhicule et du marché de l'occasion.
14
C'est le type de commentaire attendu au bac : le modèle donne un ordre de grandeur fiable, pas une certitude.

Réponse :

v_{n} = 28000 \times 0, 7 5^{n}

vₙ = 28 000 × 0,75^(n), géométrique décroissante ·

v_{3} = 11812, 50

v₃ = 11 812,50 € · sous

10000

10 000 € au bout de

4

4 ans ·

v_{6} \approx 4983

v₆ ≈ 4 983 €, donc la revente à

5000

5 000 € est cohérente.

Rappel de cours : Perdre $t %$ t % revient à multiplier par $1 - \frac{t}{100}$ 1 - t/100. Une décote de $25 %$ 25 % donne le coefficient $0, 75$ 0,75, pas $0, 25$ 0,25.

Erreur fréquente : Utiliser $0, 25$ 0,25 comme raison. La valeur tomberait à $437, 50$ 437,50 € dès la troisième année : le coefficient représente ce qui RESTE, pas ce qui est perdu.

Exercice 18 — Épargne avec versements annuels

Type bac / défi

Une entreprise place $2000$ 2 000 € sur un compte rémunéré à $2 %$ 2 % par an.

Chaque année, juste après le versement des intérêts, elle ajoute $600$ 600 €.

On note $u_{n}$ uₙ le capital après $n$ n années, avec $u_{0} = 2000$ u₀ = 2 000.

1.Exprime $u_{n + 1}$ uₙ₊₁ en fonction de $u_{n}$ uₙ.
2.Calcule le capital au bout de $3$ 3 ans, au centime près.
3.Compare avec un compte non rémunéré alimenté des mêmes versements.

Voir la correction

Correction détaillée

1
Chaque année, deux opérations se succèdent : le capital est d'abord multiplié par $1, 02$ 1,02 (intérêts de $2 %$ 2 %), puis augmenté de $600$ 600 € (versement).
2
Relation de récurrence : $u_{n + 1} = 1, 02 u_{n} + 600$ uₙ₊₁ = 1,02 uₙ + 600.
3
Cette suite n'est ni arithmétique (on ne se contente pas d'ajouter) ni géométrique (on ne se contente pas de multiplier) : c'est le modèle réaliste d'un plan d'épargne.
4
$u_{1} = 2000 \times 1, 02 + 600 = 2040 + 600 = 2640$ u₁ = 2 000 × 1,02 + 600 = 2 040 + 600 = 2 640 €.
5
$u_{2} = 2640 \times 1, 02 + 600 = 2692, 80 + 600 = 3292, 80$ u₂ = 2 640 × 1,02 + 600 = 2 692,80 + 600 = 3 292,80 €.
6
$u_{3} = 3292, 80 \times 1, 02 + 600 = 3358, 656 + 600 = 3958, 656$ u₃ = 3 292,80 × 1,02 + 600 = 3 358,656 + 600 = 3 958,656, soit $3958, 66$ 3 958,66 € au centime près.
7
Sans rémunération, le capital vaudrait simplement $2000 + 3 \times 600 = 3800$ 2 000 + 3 × 600 = 3 800 €.
8
Les intérêts ont donc rapporté $3958, 66 - 3800 = 158, 66$ 3 958,66 - 3 800 = 158,66 € en trois ans.
9
Contrôle de vraisemblance : le capital moyen sur la période avoisine $3000$ 3 000 €, et $3000 \times 0, 02 \times 3 = 180$ 3 000 × 0,02 × 3 = 180 €.
L'ordre de grandeur est correct. ✔
10
Point de méthode : on garde toutes les décimales dans les calculs intermédiaires et on n'arrondit qu'à la fin.
Arrondir $u_{2}$ u₂ à $3293$ 3 293 € donnerait $3958, 86$ 3 958,86 €, soit $20$ 20 centimes d'écart — qui grandiraient sur vingt ans.
11
Attention aussi à l'ORDRE imposé par l'énoncé : ici les intérêts portent sur le capital AVANT le nouveau versement.
Si le versement avait lieu d'abord, on aurait $u_{n + 1} = 1, 02 (u_{n} + 600)$ uₙ₊₁ = 1,02 (uₙ + 600) et $u_{1}$ u₁ vaudrait $2652$ 2 652 € au lieu de $2640$ 2 640 €.
12
Ce détail de $12$ 12 € n'est pas anodin : sur un contrat réel, la date de versement change le rendement, et c'est une clause à lire attentivement.

Réponse :

u_{n + 1} = 1, 02 u_{n} + 600

uₙ₊₁ = 1,02 uₙ + 600 ·

u_{3} = 3958, 66

u₃ = 3 958,66 € · soit

158, 66

158,66 € de plus que les

3800

3 800 € d'un compte non rémunéré.

Rappel de cours : Un modèle « intérêts + versement fixe » se calcule terme à terme : en Première STMG, on ne cherche pas de formule explicite.

Erreur fréquente : Inverser l'ordre des deux opérations dans l'année. Lire précisément l'énoncé : ici, les intérêts sont calculés avant le nouveau versement.

Exercice 19 — Doublement d'un chiffre d'affaires

Type bac / défi

Le chiffre d'affaires d'une entreprise est de $200000$ 200 000 € et progresse de $8 %$ 8 % par an.

1.Exprime $u_{n}$ uₙ et calcule le chiffre d'affaires au bout de $4$ 4 ans.
2.En combien d'années le chiffre d'affaires aura-t-il doublé ?
3.Un dirigeant affirme : « à $8 %$ 8 % par an, il faut environ $12$ 12 ans pour doubler ». Que penser de cette affirmation ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Une hausse de $8 %$ 8 % donne le coefficient $1, 08$ 1,08, donc $u_{n} = 200000 \times 1, 0 8^{n}$ uₙ = 200 000 × 1,08^(n).
2
Au bout de $4$ 4 ans : $1, 0 8^{4} \approx 1, 360489$ 1,08⁴ ≈ 1,360489, donc $u_{4} \approx 272097, 79$ u₄ ≈ 272 097,79 €.
3
Doubler signifie atteindre $2 \times 200000 = 400000$ 2 × 200 000 = 400 000 €.
On cherche donc le premier rang tel que $u_{n} > 400000$ uₙ > 400 000.
4
Cela revient à chercher $1, 0 8^{n} > 2$ 1,08^(n) > 2, condition qui ne dépend pas du capital de départ — c'est important pour la troisième question.
5
Balayage : $n = 8$ n = 8 donne $1, 0 8^{8} \approx 1, 850930$ 1,08⁸ ≈ 1,850930, soit $u_{8} \approx 370186, 04$ u₈ ≈ 370 186,04 € — insuffisant.
6
$n = 9$ n = 9 : $1, 0 8^{9} \approx 1, 999005$ 1,08⁹ ≈ 1,999005, soit $u_{9} \approx 399800, 93$ u₉ ≈ 399 800,93 €.
C'est extrêmement proche de $400000$ 400 000 €, mais toujours EN DESSOUS.
7
$n = 10$ n = 10 : $1, 0 8^{10} \approx 2, 158925$ 1,08¹⁰ ≈ 2,158925, soit $u_{10} \approx 431785$ u₁₀ ≈ 431 785 €.
Le doublement est atteint.
8
Le chiffre d'affaires double donc au bout de $10$ 10 ans.
9
Ce cas illustre pourquoi il faut toujours vérifier le rang précédent : au rang $9$ 9, il manquait $199, 07$ 199,07 € — un arrondi trop rapide aurait fait répondre $9$ 9.
10
Sur l'affirmation du dirigeant : le doublement demande $10$ 10 ans, pas $12$ 12.
Son estimation est donc trop pessimiste d'environ deux ans.
11
D'où vient son chiffre ?
Sans doute d'un raisonnement additif : $8 \times 12 = 96 %$ 8 × 12 = 96 %, soit « presque $100 %$ 100 % donc le double ».
C'est l'erreur des taux additionnés — elle ignore que les intérêts produisent des intérêts.
12
Le même raisonnement additif donnerait $8 \times 10 = 80 %$ 8 × 10 = 80 % au bout de dix ans, alors que la hausse réelle est de $115, 9 %$ 115,9 %.
L'écart entre les deux méthodes est considérable.
13
Repère professionnel utile : pour un taux $t$ t faible, le temps de doublement est d'environ $\frac{70}{t}$ 70/t années.
Ici $\frac{70}{8} = 8, 75$ 70/8 = 8,75, ce qui donne un bon ordre de grandeur, à confirmer par le balayage.

Réponse :

u_{n} = 200000 \times 1, 0 8^{n}

uₙ = 200 000 × 1,08^(n) et

u_{4} \approx 272098

u₄ ≈ 272 098 € · le CA double au bout de

10

10 ans (

u_{9} \approx 399801

u₉ ≈ 399 801 €, tout juste insuffisant) · le dirigeant surestime :

10

10 ans et non

12

12.

Rappel de cours : Le temps de doublement ne dépend PAS du montant de départ, seulement du taux : la condition s'écrit $q^{n} > 2$ q^(n) > 2.

Erreur fréquente : Répondre $9$ 9 parce que $399801$ 399 801 € est « presque » $400000$ 400 000 €. Il manque $199$ 199 € : le seuil n'est pas franchi.

Exercice 20 — Synthèse : à partir de quand l'activité est-elle rentable ?

Type bac / défi

Une jeune entreprise réalise $90000$ 90 000 € de chiffre d'affaires la première année, avec une croissance prévue de $10 %$ 10 % par an.

Ses charges s'élèvent à $120000$ 120 000 € la première année et augmentent de $5000$ 5 000 € par an.

On note $n$ n le nombre d'années écoulées, $c_{n}$ cₙ le chiffre d'affaires et $d_{n}$ dₙ les charges.

Le graphique représente les deux prévisions.

1.Exprime $c_{n}$ cₙ et $d_{n}$ dₙ, et donne la nature de chaque suite.
2.Calcule le résultat (chiffre d'affaires moins charges) pour $n = 0$ n = 0, $n = 3$ n = 3 et $n = 5$ n = 5.
3.À partir de quelle année l'entreprise devient-elle bénéficiaire ?
4.Que penser de la prévision « nous serons rentables dans cinq ans » faite par le fondateur ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Chiffre d'affaires : croissance à taux constant, donc suite géométrique de raison $1, 10$ 1,10 : $c_{n} = 90000 \times 1, 1 0^{n}$ cₙ = 90 000 × 1,10^(n).
2
Charges : augmentation d'un montant fixe, donc suite arithmétique de raison $5000$ 5 000 : $d_{n} = 120000 + 5000 n$ dₙ = 120 000 + 5 000n.
3
C'est la situation typique d'une jeune entreprise : les charges progressent régulièrement, le chiffre d'affaires progresse en pourcentage — donc de plus en plus vite.
4
Année $0$ 0 : $c_{0} = 90000$ c₀ = 90 000 € et $d_{0} = 120000$ d₀ = 120 000 €, donc un résultat de $90000 - 120000 = - 30000$ 90 000 - 120 000 = -30 000 €.
L'entreprise perd $30000$ 30 000 €.
5
Année $3$ 3 : $c_{3} = 90000 \times 1, 331 = 119790$ c₃ = 90 000 × 1,331 = 119 790 € et $d_{3} = 135000$ d₃ = 135 000 €, donc un résultat de $- 15210$ -15 210 €.
La perte a diminué de moitié.
6
Année $5$ 5 : $c_{5} = 90000 \times 1, 61051 = 144945, 90$ c₅ = 90 000 × 1,61051 = 144 945,90 € et $d_{5} = 145000$ d₅ = 145 000 €.
7
Résultat : $144945, 90 - 145000 = - 54, 10$ 144 945,90 - 145 000 = -54,10 €.
L'entreprise est encore en perte, mais de $54$ 54 € seulement.
8
Année $6$ 6 : $c_{6} = 90000 \times 1, 771561 \approx 159440, 49$ c₆ = 90 000 × 1,771561 ≈ 159 440,49 € et $d_{6} = 150000$ d₆ = 150 000 €, soit un résultat de $+ 9440, 49$ +9 440,49 €.
9
L'entreprise devient donc bénéficiaire à partir de la sixième année.
10
Sur la prévision du fondateur : elle est presque juste, et c'est ce qui la rend intéressante à commenter.
Au bout de cinq ans, il manque $54, 10$ 54,10 € pour atteindre l'équilibre.
11
Autrement dit, l'entreprise atteint son point mort en toute fin de cinquième année : le fondateur a raison sur l'ordre de grandeur, mais le résultat comptable de l'année $5$ 5 sera bien négatif, ne serait-ce que de quelques dizaines d'euros.
12
C'est un cas d'école pour la rédaction : on ne peut pas répondre « environ cinq ans » sans calculer.
Ici, $54$ 54 € font la différence entre un exercice déficitaire et un exercice bénéficiaire.
13
Contrôle de cohérence de l'ensemble : les pertes diminuent d'année en année ( $- 30000$ -30 000, $- 26000$ -26 000, $- 21100$ -21 100, $- 15210$ -15 210, $- 8231$ -8 231, $- 54$ -54, puis $+ 9440$ +9 440), ce qui est cohérent avec un chiffre d'affaires qui accélère face à des charges régulières. ✔
14
Lecture de gestion : la fragilité du modèle tient à l'hypothèse des $10 %$ 10 % de croissance.
Si elle tombait à $7 %$ 7 %, l'équilibre serait repoussé de plusieurs années — c'est la première chose qu'un investisseur vérifiera.

Réponse :

c_{n} = 90000 \times 1, 1 0^{n}

cₙ = 90 000 × 1,10^(n) (géométrique) et

d_{n} = 120000 + 5000 n

dₙ = 120 000 + 5 000n (arithmétique) · résultats :

- 30000

-30 000 €,

- 15210

-15 210 € et

- 54, 10

-54,10 € · l'entreprise devient bénéficiaire la

6^{e}

6ᵉ année · le fondateur se trompe de peu : il manque

54

54 € au bout de cinq ans.

Rappel de cours : Résultat $=$ = chiffre d'affaires $-$ - charges. Le point mort se cherche en comparant les deux suites, jamais en les regardant séparément.

Erreur fréquente : Arrondir $c_{5}$ c₅ à $145000$ 145 000 € et conclure à l'équilibre. Toutes les décimales comptent quand deux courbes se croisent presque.

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