Exercices corrigés : Information chiffrée et évolutions — Première STMG

Correction détaillée

1. 1

   Une proportion se calcule toujours de la même façon : $p=\frac{\text{effectif de la partie}}{\text{effectif total}}$p = (effectif de la partie)/(effectif total).

2. 2

   Ici la partie, ce sont les femmes ($187$187), et le total, l'ensemble des salariés ($340$340).

3. 3

   $p=\frac{187}{340}=0,55$p = 187/340 = 0,55.

4. 4

   Pour convertir en pourcentage, on multiplie par $100$100 : $0,55\times 100=55\%$0,55 × 100 = 55 %.

5. 5

   Il y a donc $55\%$55 % de femmes dans l'entreprise.

6. 6

   Contrôle de vraisemblance : $187$187 est un peu plus que la moitié de $340$340 (qui vaut $170$170), donc la proportion doit être un peu supérieure à $50\%$50 %. ✔

7. 7

   Pour la seconde question, on fait le chemin inverse : on connaît la proportion et le total, on cherche la partie.

8. 8

   $\text{partie}=p\times \text{total}=0,25\times 340$partie = p × total = 0,25 × 340.

9. 9

   $0,25\times 340=85$0,25 × 340 = 85 salariés travaillent à temps partiel.

10. 10

    Vérification : $85$85 est bien le quart de $340$340, puisque $340÷4=85$340 ÷ 4 = 85. ✔

11. 11

    Point de méthode à retenir pour tout le chapitre : un pourcentage n'a de sens que rapporté à un TOTAL.

    Toujours identifier ce total avant de calculer — c'est lui qui change dans presque tous les pièges.

Rappel de cours : Proportion $p=\frac{\text{partie}}{\text{total}}$p = partie/total · partie $=p\times \text{total}$= p × total. Le résultat en pourcentage s'obtient en multipliant par $100$100.

Erreur fréquente : Diviser par la partie au lieu du total. $\frac{340}{187}\approx 1,82$340/187 ≈ 1,82 ne peut pas être une proportion : une proportion est toujours comprise entre $0$0 et $1$1.

Correction détaillée

1. 1

   On connaît la partie ($42000$42 000 €) et la proportion ($15\%$15 %), on cherche le total.

2. 2

   De la relation $\text{partie}=p\times \text{total}$partie = p × total, on tire $\text{total}=\frac{\text{partie}}{p}$total = partie/p.

3. 3

   On convertit d'abord le pourcentage en nombre décimal : $15\%=0,15$15 % = 0,15.

4. 4

   $\text{total}=\frac{42000}{0,15}$total = (42 000)/0,15.

5. 5

   Pour calculer sans hésiter, on multiplie numérateur et dénominateur par $100$100 : $\frac{4200000}{15}$(4 200 000)/15.

6. 6

   $4200000÷15=280000$4 200 000 ÷ 15 = 280 000.

7. 7

   Le chiffre d'affaires total du magasin est donc de $280000$280 000 €.

8. 8

   Vérification : $0,15\times 280000=42000$0,15 × 280 000 = 42 000 €. ✔

9. 9

   Contrôle de vraisemblance : le rayon informatique ne représente qu'une petite part du magasin, donc le total doit être BEAUCOUP plus grand que $42000$42 000 €.

   Un résultat plus petit que $42000$42 000 signalerait une division inversée.

10. 10

    Erreur classique : multiplier par $0,15$0,15 au lieu de diviser.

    On obtiendrait $6300$6 300 €, soit un total inférieur à l'une de ses parties — impossible.

Rappel de cours : Pour remonter au total, on DIVISE la partie par la proportion. Le total est toujours plus grand que chacune de ses parties : c'est le contrôle immédiat.

Erreur fréquente : Diviser par $15$15 au lieu de $0,15$0,15. On trouverait $2800$2 800 €, cent fois trop petit — il faut convertir le pourcentage avant de diviser.

Correction détaillée

1. 1

   Le taux d'évolution mesure la variation RELATIVE : de combien la grandeur a varié, rapporté à ce qu'elle valait au départ.

2. 2

   Formule : $t=\frac{V_{\text{arriveˊe}}-V_{\text{deˊpart}}}{V_{\text{deˊpart}}}$t = (V_arrivée - V_départ)/V_départ.

3. 3

   Le dénominateur est toujours la valeur de DÉPART.

   C'est ce qui rend la comparaison possible entre deux entreprises de tailles différentes.

4. 4

   Variation absolue : $137500-125000=12500$137 500 - 125 000 = 12 500 €.

5. 5

   Taux : $t=\frac{12500}{125000}=0,1$t = (12 500)/(125 000) = 0,1.

6. 6

   Soit une hausse de $10\%$10 % du chiffre d'affaires.

7. 7

   Vérification : $125000\times 1,1=137500$125 000 × 1,1 = 137 500 €. ✔

8. 8

   Contrôle de vraisemblance : $12500$12 500 €, c'est exactement le dixième de $125000$125 000 €, donc $10\%$10 %. ✔

9. 9

   Attention à ne pas confondre les deux informations : la variation ABSOLUE vaut $12500$12 500 € (elle s'exprime en euros), le taux d'évolution vaut $10\%$10 % (il n'a pas d'unité).

10. 10

    En gestion, c'est le taux qu'on communique : une hausse de $12500$12 500 € n'a pas le même sens pour une entreprise à $125000$125 000 € de CA que pour une autre à $5$5 millions.

Rappel de cours : $t=\frac{V_A-V_D}{V_D}$t = (V_A - V_D)/V_D : le dénominateur est la valeur de départ, jamais celle d'arrivée.

Erreur fréquente : Diviser par $137500$137 500. On obtiendrait $9,09\%$9,09 % — une valeur crédible en apparence, donc difficile à repérer sans vérification.

Correction détaillée

1. 1

   Le coefficient multiplicateur (CM) est le nombre par lequel on multiplie la valeur de départ pour obtenir la valeur d'arrivée.

   C'est l'outil central de tout le chapitre.

2. 2

   Du taux vers le coefficient : $CM=1+\frac{t}{100}$CM = 1 + t/100, avec $t$t SIGNÉ.

3. 3

   $+12\%$+12 % : $CM=1+0,12=1,12$CM = 1 + 0,12 = 1,12.

4. 4

   $-8\%$-8 % : $CM=1-0,08=0,92$CM = 1 - 0,08 = 0,92.

   On peut aussi le lire directement : après une baisse de $8\%$8 %, il reste $92\%$92 % de la valeur.

5. 5

   $+150\%$+150 % : $CM=1+1,5=2,5$CM = 1 + 1,5 = 2,5.

   La grandeur est multipliée par $2,5$2,5, c'est-à-dire qu'elle fait deux fois et demie sa valeur de départ.

6. 6

   Du coefficient vers le taux : $t=(CM-1)\times 100$t = (CM - 1) × 100.

7. 7

   $CM=0,55$CM = 0,55 : $t=(0,55-1)\times 100=-45$t = (0,55 - 1) × 100 = -45, soit une baisse de $45\%$45 %.

8. 8

   $CM=1,025$CM = 1,025 : $t=0,025\times 100=2,5$t = 0,025 × 100 = 2,5, soit une hausse de $2,5\%$2,5 %.

9. 9

   Repère pour se relire : un CM supérieur à $1$1 traduit une hausse, un CM entre $0$0 et $1$1 une baisse.

   Un CM négatif n'existe pas.

10. 10

    Attention aux taux décimaux : $+2,5\%$+2,5 % donne $1,025$1,025, pas $1,25$1,25 — cette dernière valeur correspondrait à $+25\%$+25 %, dix fois plus.

Rappel de cours : $CM=1+\frac{t}{100}$CM = 1 + t/100 et $t=(CM-1)\times 100$t = (CM-1)× 100. Hausse → $CM>1$CM > 1 · baisse → $0<CM<1$0 < CM < 1.

Erreur fréquente : Écrire $1,25$1,25 pour $+2,5\%$+2,5 %. On divise le taux par $100$100, jamais par $10$10.

Correction détaillée

1. 1

   Ajouter la TVA, c'est appliquer une hausse de $20\%$20 % au prix hors taxes.

2. 2

   Coefficient multiplicateur : $CM=1+0,20=1,20$CM = 1 + 0,20 = 1,20.

3. 3

   Prix TTC : $45\times 1,20=54$45 × 1,20 = 54 €.

4. 4

   Vérification : la TVA vaut $45\times 0,20=9$45 × 0,20 = 9 €, et $45+9=54$45 + 9 = 54 €. ✔

5. 5

   Pour la remise, on applique une baisse de $15\%$15 % au prix TTC, donc un coefficient de $0,85$0,85.

6. 6

   Prix payé : $54\times 0,85$54 × 0,85.

7. 7

   $54\times 0,85=54-54\times 0,15=54-8,10=45,90$54 × 0,85 = 54 - 54 × 0,15 = 54 - 8,10 = 45,90 €.

8. 8

   Le client paie donc $45,90$45,90 €.

9. 9

   Remarque instructive : le client paie $45,90$45,90 € alors que le prix hors taxes était de $45$45 € — les deux montants sont proches, mais ce n'est PAS une coïncidence à interpréter comme « la remise annule la TVA ».

10. 10

    En effet, $1,20\times 0,85=1,02$1,20 × 0,85 = 1,02, soit une hausse globale de $2\%$2 % par rapport au prix HT.

    Pour annuler exactement la TVA, il aurait fallu une remise de $16,67\%$16,67 %.

11. 11

    Attention à l'ordre des calculs : la remise porte sur le prix TTC, comme l'indique l'énoncé.

    C'est d'ailleurs sans conséquence ici, puisque $1,20\times 0,85=0,85\times 1,20$1,20 × 0,85 = 0,85 × 1,20 — la multiplication est commutative.

Rappel de cours : TVA à $20\%$20 % : $\text{TTC}=\text{HT}\times 1,20$TTC = HT × 1,20, et $\text{HT}=\frac{\text{TTC}}{1,20}$HT = TTC/1,20.

Erreur fréquente : Retrancher $20\%$20 % au prix TTC pour retrouver le prix HT. $54\times 0,8=43,20$54 × 0,8 = 43,20 € et non $45$45 € : il faut DIVISER par $1,20$1,20.

Correction détaillée

1. 1

   Attention au piège de lecture : les $35\%$35 % ne portent PAS sur la clientèle totale, mais uniquement sur les femmes.

   Le mot « parmi » l'indique.

2. 2

   Pour obtenir la proportion d'une sous-population dans le total, on MULTIPLIE les deux proportions.

3. 3

   $p=0,60\times 0,35=0,21$p = 0,60 × 0,35 = 0,21, soit $21\%$21 % de la clientèle totale.

4. 4

   On ne les additionne surtout pas : $60+35=95\%$60 + 35 = 95 % n'a aucun sens ici, puisque ces deux pourcentages ne se rapportent pas au même ensemble.

5. 5

   Vérification par le raisonnement sur $100$100 clients : $60$60 sont des femmes, et $35\%$35 % de ces $60$60 font $0,35\times 60=21$0,35 × 60 = 21 clientes.

   Soit bien $21$21 sur $100$100. ✔

6. 6

   Pour la seconde question, on applique cette proportion à l'effectif réel.

7. 7

   $0,21\times 2500=525$0,21 × 2 500 = 525 personnes.

8. 8

   Vérification en deux étapes : $0,60\times 2500=1500$0,60 × 2 500 = 1 500 clientes, puis $0,35\times 1500=525$0,35 × 1 500 = 525. ✔ Les deux chemins concordent.

9. 9

   Contrôle de vraisemblance : $525$525 doit être inférieur au nombre de femmes ($1500$1 500) et représenter environ un cinquième de la clientèle totale. ✔

10. 10

    Cette règle de multiplication est la base des arbres de probabilités qu'on verra plus tard dans l'année : c'est exactement le même mécanisme.

Rappel de cours : Proportion d'une sous-population : on MULTIPLIE les proportions. Le mot « parmi » (ou « sur les… ») signale qu'on change de population de référence.

Erreur fréquente : Additionner les deux pourcentages, ou appliquer les $35\%$35 % au total. Cela donnerait $875$875 personnes, soit plus que le nombre de femmes concernées.

Correction détaillée

1. 1

   « Revenir au tarif d'avant » signifie que le coefficient global vaut exactement $1$1.

2. 2

   On cherche donc le coefficient $C{M}_2$CM₂ tel que $C{M}_1\times C{M}_2=1$CM₁ × CM₂ = 1, c'est-à-dire l'INVERSE du premier.

3. 3

   Coefficient de la hausse : $C{M}_1=1,25$CM₁ = 1,25.

4. 4

   Coefficient recherché : $C{M}_2=\frac{1}{1,25}=\frac{100}{125}=0,8$CM₂ = 1/1,25 = 100/125 = 0,8.

5. 5

   Taux correspondant : $t=(0,8-1)\times 100=-20$t = (0,8 - 1) × 100 = -20, soit une baisse de $20\%$20 %.

6. 6

   Il faut donc négocier $-20\%$-20 %, et non $-25\%$-25 %.

7. 7

   Vérification sur un tarif de $200$200 € : après la hausse, $250$250 € ; après une baisse de $20\%$20 %, $250\times 0,8=200$250 × 0,8 = 200 €.

   On est bien revenu au départ. ✔

8. 8

   Pourquoi la baisse est-elle plus faible que la hausse ?

   Parce qu'elle s'applique à une base plus GRANDE : $20\%$20 % de $250$250 €, c'est $50$50 €, exactement ce qu'avait ajouté la hausse.

9. 9

   Erreur à ne pas commettre : appliquer $-25\%$-25 %.

   On obtiendrait $1,25\times 0,75=0,9375$1,25 × 0,75 = 0,9375, soit une baisse globale de $6,25\%$6,25 % — le tarif finirait sous celui de départ.

10. 10

    Règle générale à retenir : l'évolution réciproque d'une hausse est toujours une baisse de taux INFÉRIEUR, et réciproquement.

Rappel de cours : Évolution réciproque : $C{M}^{\prime }=\frac{1}{CM}$CM' = 1/CM. Le taux réciproque n'est jamais l'opposé du taux initial.

Erreur fréquente : Répondre $-25\%$-25 % par symétrie. Les taux ne se compensent pas, seuls les coefficients s'annulent en se multipliant.

Correction détaillée

1. 1

   Deux évolutions successives ne s'additionnent pas : on multiplie leurs coefficients, car la seconde s'applique à une valeur déjà modifiée.

2. 2

   Coefficient de la baisse : $0,90$0,90.

   Coefficient de la hausse : $1,10$1,10.

3. 3

   Coefficient global : $CM=0,90\times 1,10=0,99$CM = 0,90 × 1,10 = 0,99.

4. 4

   Taux global : $t=(0,99-1)\times 100=-1$t = (0,99 - 1) × 100 = -1, soit une BAISSE de $1\%$1 %.

5. 5

   Le gérant a donc tort : son chiffre d'affaires est inférieur de $1\%$1 % à celui de 2022.

6. 6

   Illustration sur $200000$200 000 € : après la baisse, $180000$180 000 € ; après la hausse, $180000\times 1,10=198000$180 000 × 1,10 = 198 000 €.

   Il manque bien $2000$2 000 €. ✔

7. 7

   Explication : la baisse de $10\%$10 % porte sur $200000$200 000 € (soit $-20000$-20 000 €), tandis que la hausse de $10\%$10 % porte sur $180000$180 000 € (soit $+18000$+18 000 €).

   Les bases diffèrent, donc les montants aussi.

8. 8

   L'ordre n'y change rien : $1,10\times 0,90=0,99$1,10 × 0,90 = 0,99 également.

   Une hausse suivie d'une baisse de même taux donne le même résultat.

9. 9

   Généralisation utile : appliquer $+t$+t puis $-t$-t donne toujours un coefficient inférieur à $1$1.

   On y perd toujours, quel que soit le taux.

10. 10

    Avec des taux plus grands, l'effet devient spectaculaire : $+50\%$+50 % puis $-50\%$-50 % donne $1,5\times 0,5=0,75$1,5 × 0,5 = 0,75, soit une perte de $25\%$25 %.

Rappel de cours : $C{M}_{\text{global}}=C{M}_1\times C{M}_2$CM_global = CM₁ × CM₂. On multiplie les coefficients, jamais on n'additionne les taux.

Erreur fréquente : Conclure « $-10$-10 puis $+10$+10, ça s'annule ». C'est l'erreur que l'exercice cherche à faire commettre, et elle tombe très régulièrement au bac.

Correction détaillée

1. 1

   Ces deux formulations décrivent la même réalité, mais ne se calculent pas de la même manière — et ne donnent pas le même nombre.

2. 2

   Le POINT de pourcentage mesure l'écart absolu entre deux pourcentages.

   C'est une simple soustraction.

3. 3

   $14-12,5=1,5$14 - 12,5 = 1,5.

   La part de marché a augmenté de $1,5$1,5 POINT.

4. 4

   Le POURCENTAGE D'ÉVOLUTION mesure la variation relative de cette part, rapportée à sa valeur de départ.

5. 5

   $t=\frac{14-12,5}{12,5}=\frac{1,5}{12,5}=0,12$t = (14 - 12,5)/12,5 = 1,5/12,5 = 0,12, soit une hausse de $12\%$12 %.

6. 6

   La part de marché a donc gagné $1,5$1,5 point, ce qui représente une progression de $12\%$12 %.

7. 7

   Vérification : $12,5\times 1,12=14$12,5 × 1,12 = 14. ✔

8. 8

   Le service commercial communiquera évidemment sur les $12\%$12 % : le chiffre est bien plus spectaculaire que « $1,5$1,5 point », alors que les deux sont exacts.

9. 9

   C'est précisément pour cela qu'il faut savoir lire les deux : en gestion comme dans la presse, le choix de la formulation est un choix de communication.

10. 10

    Règle de vocabulaire : quand la grandeur qui évolue est ELLE-MÊME un pourcentage (part de marché, taux de chômage, taux de marge), on parle de POINTS pour l'écart absolu et de POURCENTAGE pour l'écart relatif.

Rappel de cours : Écart entre deux pourcentages → POINTS · évolution relative de ce pourcentage → POURCENTAGE. Les deux sont justes, ils ne mesurent pas la même chose.

Erreur fréquente : Écrire « la part de marché a augmenté de $1,5\%$1,5 % ». Ce serait $12,5\times 1,015=12,69\%$12,5 × 1,015 = 12,69 %, très loin des $14\%$14 % annoncés.

Correction détaillée

1. 1

   Un indice base $100$100 est un coefficient multiplicateur exprimé en base $100$100 plutôt qu'en base $1$1.

   Il permet de comparer d'un coup d'œil des grandeurs d'ordres différents.

2. 2

   Formule : $I=\frac{V}{V_{\text{base}}}\times 100$I = V/V_base × 100.

3. 3

   Indice 2024 : $I_{2024}=\frac{275000}{250000}\times 100=1,1\times 100=110$I₂₀₂₄ = (275 000)/(250 000) × 100 = 1,1 × 100 = 110.

4. 4

   Lecture immédiate : un indice de $110$110 signifie $+10\%$+10 % par rapport à l'année de base.

   C'est tout l'intérêt de cette écriture.

5. 5

   Pour 2025, on fait le chemin inverse : $V=\frac{I}{100}\times V_{\text{base}}=1,21\times 250000$V = I/100 × V_base = 1,21 × 250 000.

6. 6

   $1,21\times 250000=302500$1,21 × 250 000 = 302 500 €.

7. 7

   Pour l'évolution 2024 → 2025, attention : les deux indices sont calculés par rapport à 2023, pas l'un par rapport à l'autre.

8. 8

   On ne peut donc PAS écrire $121-110=11\%$121 - 110 = 11 %.

   Il faut passer par le rapport des indices.

9. 9

   $CM=\frac{I_{2025}}{I_{2024}}=\frac{121}{110}=1,1$CM = I₂₀₂₅/I₂₀₂₄ = 121/110 = 1,1, soit une hausse de $10\%$10 %.

10. 10

    Vérification directe : $\frac{302500}{275000}=1,1$(302 500)/(275 000) = 1,1. ✔ Les deux méthodes concordent.

11. 11

    Remarque : le chiffre d'affaires a progressé de $10\%$10 % deux années de suite, et l'indice est passé de $100$100 à $110$110 puis $121$121 — soit $1,1^2=1,21$1,1² = 1,21.

    Les indices se composent exactement comme les coefficients multiplicateurs.

Rappel de cours : Un indice se lit comme un coefficient $\times 100$× 100. Pour comparer deux années autres que la base, on DIVISE les indices.

Erreur fréquente : Soustraire les indices ($121-110$121 - 110) et annoncer $+11\%$+11 %. L'écart d'indices ne donne un pourcentage que par rapport à l'année de BASE.

Correction détaillée

1. 1

   La méthode ne change pas avec le nombre d'évolutions : on multiplie tous les coefficients, quel que soit leur sens.

2. 2

   $C{M}_1=1,08$CM₁ = 1,08 · $C{M}_2=0,95$CM₂ = 0,95 · $C{M}_3=1,12$CM₃ = 1,12.

3. 3

   Coefficient global : $CM=1,08\times 0,95\times 1,12$CM = 1,08 × 0,95 × 1,12.

4. 4

   On procède par étapes pour limiter les erreurs.

   D'abord $1,08\times 0,95=1,026$1,08 × 0,95 = 1,026.

5. 5

   Puis $1,026\times 1,12=1,026+1,026\times 0,12=1,026+0,12312=1,14912$1,026 × 1,12 = 1,026 + 1,026 × 0,12 = 1,026 + 0,12312 = 1,14912.

6. 6

   Taux global : $t=(1,14912-1)\times 100=14,912$t = (1,14912 - 1) × 100 = 14,912, soit environ $+14,91\%$+14,91 %.

7. 7

   Vérification sur une base de $100$100 : $100\to 108\to 102,6\to 114,912$100 → 108 → 102,6 → 114,912.

   On retrouve bien $+14,91\%$+14,91 %. ✔

8. 8

   Prendre $100$100 comme valeur de départ fictive est la méthode la plus sûre pour contrôler un enchaînement d'évolutions : le résultat se lit directement en pourcentage.

9. 9

   Remarque : la somme naïve des taux donnerait $8-5+12=15\%$8 - 5 + 12 = 15 %.

   L'écart avec la valeur exacte est ici faible, mais il grandit vite avec l'ampleur des taux.

10. 10

    Point de rédaction attendu au bac : présenter le calcul du coefficient global AVANT de conclure, et donner le taux avec l'arrondi demandé.

Rappel de cours : Tester sur une base de $100$100 permet de vérifier n'importe quel enchaînement d'évolutions en quelques secondes.

Erreur fréquente : Additionner les taux signés ($+15\%$+15 %). Le résultat approché est parfois proche du vrai, ce qui rend l'erreur d'autant plus difficile à repérer.

Correction détaillée

1. 1

   On connaît le coefficient global et l'un des deux coefficients : on retrouve l'autre par division.

2. 2

   De $C{M}_1\times C{M}_2=C{M}_{\text{global}}$CM₁ × CM₂ = CM_global, on tire $C{M}_2=\frac{C{M}_{\text{global}}}{C{M}_1}$CM₂ = CM_global/CM₁.

3. 3

   Coefficient global : une hausse de $21\%$21 % donne $CM=1,21$CM = 1,21.

4. 4

   Coefficient de la première année : $C{M}_1=1,10$CM₁ = 1,10.

5. 5

   $C{M}_2=\frac{1,21}{1,10}$CM₂ = 1,21/1,10.

6. 6

   Pour calculer sans calculatrice, on multiplie haut et bas par $100$100 : $\frac{121}{110}=1,1$121/110 = 1,1.

7. 7

   Taux de la deuxième année : $t=(1,1-1)\times 100=10\%$t = (1,1 - 1) × 100 = 10 %.

8. 8

   L'entreprise a donc progressé de $10\%$10 % la seconde année également.

9. 9

   Vérification : $1,10\times 1,10=1,21$1,10 × 1,10 = 1,21. ✔ Deux hausses de $10\%$10 % donnent bien $+21\%$+21 %, et non $+20\%$+20 %.

10. 10

    Ce $1\%$1 % supplémentaire, c'est la hausse de $10\%$10 % appliquée aux $10\%$10 % déjà gagnés la première année.

11. 11

    Erreur classique : soustraire les taux ($21-10=11\%$21 - 10 = 11 %).

    Les taux ne se soustraient pas plus qu'ils ne s'additionnent ; seuls les coefficients se composent.

Rappel de cours : Coefficient manquant = coefficient global DIVISÉ par le coefficient connu.

Erreur fréquente : Répondre $11\%$11 % en soustrayant les taux. La vérification $1,10\times 1,11=1,221\ne 1,21$1,10 × 1,11 = 1,221 ≠ 1,21 démasque l'erreur.

Correction détaillée

1. 1

   Coefficient global : $CM=\frac{605}{500}=1,21$CM = 605/500 = 1,21, soit une hausse globale de $21\%$21 % sur deux ans.

2. 2

   On cherche un taux $t$t tel que, appliqué deux fois, il donne ce coefficient global.

3. 3

   Autrement dit : $C{M}_m\times C{M}_m=1,21$CM_m × CM_m = 1,21, c'est-à-dire ${\left(C{M}_m\right)}^2=1,21$(CM_m)² = 1,21.

4. 4

   Donc $C{M}_m=\sqrt{1,21}=1,1$CM_m = √(1,21) = 1,1.

5. 5

   Taux annuel moyen : $t=(1,1-1)\times 100=10\%$t = (1,1 - 1) × 100 = 10 %.

6. 6

   Vérification : $500\to 550\to 605$500 → 550 → 605. ✔ Deux hausses de $10\%$10 % mènent bien de $500$500 à $605$605.

7. 7

   Point de méthode essentiel : le taux moyen n'est PAS la moyenne des taux annuels.

   Ici, diviser $21\%$21 % par $2$2 donnerait $10,5\%$10,5 %, ce qui est faux.

8. 8

   Pourquoi ?

   Parce que les évolutions se composent par multiplication.

   Le taux moyen est une moyenne GÉOMÉTRIQUE, pas arithmétique.

9. 9

   Test de la valeur erronée : $1,105^2=1,221$1,105² = 1,221, soit $+22,1\%$+22,1 % au lieu de $+21\%$+21 %.

   L'écart confirme que la moyenne arithmétique ne convient pas.

10. 10

    Cas général, à connaître pour le bac : sur $n$n périodes, $C{M}_m={\left(C{M}_{\text{global}}\right)}^{1/n}$CM_m = (CM_global)^(1/n), qu'on obtient à la calculatrice avec la touche de racine $n$n-ième ou l'exposant $\frac{1}{n}$1/n.

11. 11

    Le taux moyen est toujours INFÉRIEUR à la moyenne arithmétique des taux : c'est une conséquence directe de la composition multiplicative.

Rappel de cours : Taux moyen sur $n$n périodes : $C{M}_m={\left(C{M}_{\text{global}}\right)}^{1/n}$CM_m = (CM_global)^(1/n). Sur deux périodes, c'est une racine carrée.

Erreur fréquente : Diviser le taux global par le nombre d'années. C'est l'erreur systématique sur ce type de question, et elle donne toujours un résultat trop élevé.

Correction détaillée

1. 1

   On lit d'abord les six valeurs : janvier $32000$32 000 €, février $40000$40 000 €, mars $36000$36 000 €, avril $45000$45 000 €, mai $48000$48 000 €, juin $42000$42 000 €.

2. 2

   Janvier → février : $CM=\frac{40000}{32000}=1,25$CM = (40 000)/(32 000) = 1,25, soit une hausse de $25\%$25 %.

3. 3

   Février → mars : $CM=\frac{36000}{40000}=0,9$CM = (36 000)/(40 000) = 0,9, soit une baisse de $10\%$10 %.

4. 4

   Janvier → juin : $CM=\frac{42000}{32000}=1,3125$CM = (42 000)/(32 000) = 1,3125, soit une hausse globale de $31,25\%$31,25 %.

5. 5

   Vérification par le produit des coefficients mensuels : $1,25\times 0,9\times 1,25\times 1,0667\times 0,875$1,25 × 0,9 × 1,25 × 1,0667 × 0,875.

6. 6

   $1,25\times 0,9=1,125$1,25 × 0,9 = 1,125 ; $\times 1,25=1,40625$× 1,25 = 1,40625 ; $\times 1,0667\approx 1,5$× 1,0667 ≈ 1,5 ; $\times 0,875\approx 1,3125$× 0,875 ≈ 1,3125. ✔ On retrouve bien le coefficient global.

7. 7

   Ce contrôle est le plus sûr : si le produit des coefficients mensuels ne redonne pas le coefficient global, c'est qu'une lecture graphique est fausse.

8. 8

   Pour la dernière question, on compare simplement les six valeurs : le maximum est bien $48000$48 000 € en mai.

9. 9

   Le gérant a donc raison sur le montant : mai est le meilleur mois en chiffre d'affaires.

10. 10

    Mais attention à la nuance : c'est le mois où l'on a le plus VENDU, pas nécessairement celui où l'on a le mieux progressé.

    La plus forte HAUSSE, elle, a eu lieu en février et en avril ($+25\%$+25 % chacun).

11. 11

    En mai, la progression n'est que de $\frac{48000}{45000}=1,0667$(48 000)/(45 000) = 1,0667, soit environ $+6,7\%$+6,7 %.

12. 12

    Distinguer « le plus gros montant » et « la plus forte progression » est exactement ce qu'on attend d'une analyse de gestion : les deux répondent à des questions différentes.

Rappel de cours : Le coefficient global se lit directement : $CM=\frac{\text{valeur finale}}{\text{valeur initiale}}$CM = (valeur finale)/(valeur initiale), sans passer par les étapes intermédiaires.

Erreur fréquente : Additionner les variations lues sur le graphique. Seul le rapport des valeurs extrêmes donne le taux global.

Correction détaillée

1. 1

   Marge commerciale : $\text{prix de vente}-\text{prix d’achat}=120-80=40$prix de vente - prix d'achat = 120 - 80 = 40 €.

2. 2

   Ces deux taux répondent à des questions différentes, et c'est le rapport de référence qui change — exactement comme pour une proportion.

3. 3

   Taux de MARGE : la marge rapportée au prix d'ACHAT.

   $\frac{40}{80}=0,5$40/80 = 0,5, soit $50\%$50 %.

4. 4

   Taux de MARQUE : la marge rapportée au prix de VENTE.

   $\frac{40}{120}=0,3333$40/120 = 0,3333, soit environ $33,33\%$33,33 %.

5. 5

   Les deux sont exacts et décrivent la même opération : le taux de marge est toujours le plus élevé, puisque le prix d'achat est plus petit que le prix de vente.

6. 6

   Pour la troisième question, le nouveau prix d'achat vaut $80\times 1,10=88$80 × 1,10 = 88 €.

7. 7

   Conserver le même taux de marge ($50\%$50 %) signifie que la marge doit rester égale à la moitié du prix d'achat.

8. 8

   Nouvelle marge : $0,5\times 88=44$0,5 × 88 = 44 €.

9. 9

   Nouveau prix de vente : $88+44=132$88 + 44 = 132 €.

10. 10

    On peut aller plus vite : conserver le taux de marge revient à multiplier le prix de vente par le même coefficient que le prix d'achat, soit $120\times 1,10=132$120 × 1,10 = 132 €. ✔

11. 11

    Vérification du taux : $\frac{132-88}{88}=\frac{44}{88}=0,5$(132 - 88)/88 = 44/88 = 0,5, soit bien $50\%$50 %. ✔

12. 12

    Remarque de gestion : le taux de marque, lui, est également conservé ($\frac{44}{132}=33,33\%$44/132 = 33,33 %) — quand les deux prix évoluent du même coefficient, tous les rapports restent identiques.

Rappel de cours : Taux de marge $=\frac{\text{marge}}{\text{prix d’achat}}$= marge/(prix d'achat) · taux de marque $=\frac{\text{marge}}{\text{prix de vente}}$= marge/(prix de vente). Même marge, deux références différentes.

Erreur fréquente : Confondre les deux taux. Annoncer « $50\%$50 % de marque » surestime nettement la rentabilité affichée : le taux de marque correct est $33,33\%$33,33 %.

Correction détaillée

1. 1

   Prix TTC avant soldes : $250\times 1,20=300$250 × 1,20 = 300 €.

2. 2

   Chaque démarque s'applique au prix EN COURS, et non au prix initial : c'est le sens du mot « supplémentaires ».

3. 3

   Après la première démarque : $300\times 0,70=210$300 × 0,70 = 210 €.

4. 4

   Après la seconde : $210\times 0,80=168$210 × 0,80 = 168 €.

5. 5

   Méthode plus directe, à privilégier : on calcule d'abord le coefficient global.

6. 6

   $CM=0,70\times 0,80=0,56$CM = 0,70 × 0,80 = 0,56.

7. 7

   Prix payé : $300\times 0,56=168$300 × 0,56 = 168 €. ✔ Les deux méthodes concordent.

8. 8

   Taux de réduction global : $t=(0,56-1)\times 100=-44$t = (0,56 - 1) × 100 = -44, soit une réduction de $44\%$44 %.

9. 9

   Le client a donc TORT : il a bénéficié de $44\%$44 % de réduction, et non de $50\%$50 %.

10. 10

    Son erreur consiste à additionner les taux ($30+20=50$30 + 20 = 50).

    Or la seconde démarque porte sur $210$210 € et non sur $300$300 €.

11. 11

    Vérification par le montant : il a économisé $300-168=132$300 - 168 = 132 €, et $\frac{132}{300}=0,44$132/300 = 0,44, soit bien $44\%$44 %. ✔

12. 12

    Contrôle de vraisemblance : il reste $56\%$56 % du prix, soit un peu plus de la moitié.

    Un prix final de $168$168 € sur $300$300 € est cohérent. ✔

13. 13

    Remarque : une réduction réelle de $50\%$50 % aurait donné $150$150 €.

    L'écart de $18$18 € avec le prix réellement payé est exactement ce que masque l'addition des taux.

Rappel de cours : Le coefficient global se calcule en une seule fois : c'est plus rapide et cela évite d'accumuler les arrondis intermédiaires.

Erreur fréquente : Additionner les taux de démarque. C'est l'erreur la plus fréquente en période de soldes, et elle est systématiquement sanctionnée au bac.

Correction détaillée

1. 1

   Une part de marché est une proportion : les ventes de l'entreprise rapportées aux ventes totales du marché.

2. 2

   L'an dernier : $\frac{4000}{25000}=0,16$(4 000)/(25 000) = 0,16, soit $16\%$16 % de part de marché.

3. 3

   Cette année : $\frac{4400}{30000}\approx 0,1467$(4 400)/(30 000) ≈ 0,1467, soit environ $14,67\%$14,67 %.

4. 4

   Évolution des ventes : $CM=\frac{4400}{4000}=1,10$CM = (4 400)/(4 000) = 1,10, soit une hausse de $10\%$10 %.

5. 5

   Évolution de la part de marché : $CM=\frac{0,1467}{0,16}\approx 0,9167$CM = 0,1467/0,16 ≈ 0,9167, soit une BAISSE d'environ $8,33\%$8,33 %.

6. 6

   On peut l'obtenir plus élégamment sans passer par les parts : la part de marché est un quotient, donc son coefficient est le quotient des coefficients.

7. 7

   $C{M}_{\text{part}}=\frac{C{M}_{\text{ventes}}}{C{M}_{\text{marcheˊ}}}=\frac{1,10}{1,20}=0,91\overline{6}$CM_part = CM_ventes/CM_marché = 1,10/1,20 = 0,916̅, soit $-8,33\%$-8,33 %. ✔ Même résultat, et le raisonnement est plus rapide.

8. 8

   En points de pourcentage, la part a perdu $16-14,67=1,33$16 - 14,67 = 1,33 point.

9. 9

   Explication à donner au directeur commercial : les ventes ont bien progressé de $10\%$10 %, mais le marché, lui, a progressé de $20\%$20 % (de $25000$25 000 à $30000$30 000 unités).

10. 10

    L'entreprise a donc grandi MOINS VITE que son marché : mécaniquement, sa part recule, alors même que son activité augmente.

11. 11

    C'est une situation classique en gestion : sur un marché en forte croissance, maintenir sa part de marché exige de croître au moins au même rythme que lui.

12. 12

    Pour simplement conserver ses $16\%$16 %, l'entreprise aurait dû vendre $0,16\times 30000=4800$0,16 × 30 000 = 4 800 unités, soit $400$400 de plus. ✔

Rappel de cours : Part de marché $=\frac{\text{ventes de l’entreprise}}{\text{ventes du marcheˊ}}$= (ventes de l'entreprise)/(ventes du marché). Son coefficient est le QUOTIENT des deux coefficients.

Erreur fréquente : Conclure « les ventes montent, donc la part de marché monte ». Une part est un rapport : elle dépend autant du dénominateur que du numérateur.

Correction détaillée

1. 1

   Coefficient global : $CM=\frac{219615}{150000}=1,4641$CM = (219 615)/(150 000) = 1,4641.

2. 2

   Taux global : $t=(1,4641-1)\times 100=46,41\%$t = (1,4641 - 1) × 100 = 46,41 % sur la période.

3. 3

   Attention au nombre de périodes : de 2020 à 2024, il s'est écoulé $2024-2020=4$2024 - 2020 = 4 ANNÉES, et non $5$5.

   On compte les intervalles, pas les millésimes.

4. 4

   Taux moyen : on cherche $C{M}_m$CM_m tel que ${\left(C{M}_m\right)}^4=1,4641$(CM_m)⁴ = 1,4641, donc $C{M}_m=1,4641^{1/4}$CM_m = 1,4641^(1/4).

5. 5

   À la calculatrice, $C{M}_m=1,1$CM_m = 1,1 exactement.

6. 6

   Taux annuel moyen : $+10\%$+10 % par an.

7. 7

   Vérification en reconstituant les quatre années : $150000\to 165000\to 181500\to 199650\to 219615$150 000 → 165 000 → 181 500 → 199 650 → 219 615 €. ✔ On retombe exactement sur la valeur de l'énoncé.

8. 8

   Prévision pour 2026 : deux années de plus au même rythme, donc $219615\times 1,1^2=219615\times 1,21$219 615 × 1,1² = 219 615 × 1,21.

9. 9

   $219615\times 1,21=265734,15$219 615 × 1,21 = 265 734,15 €, soit environ $265734$265 734 €.

10. 10

    On peut le vérifier autrement : $150000\times 1,1^6=150000\times 1,771561=265734,15$150 000 × 1,1⁶ = 150 000 × 1,771561 = 265 734,15 €. ✔

11. 11

    Réserve à formuler, et attendue au bac : cette prévision suppose que la croissance de $10\%$10 % par an se poursuive à l'identique.

12. 12

    Rien ne le garantit : un marché peut saturer, un concurrent arriver, la conjoncture se retourner.

    Un taux moyen DÉCRIT le passé, il ne prédit pas l'avenir.

13. 13

    Contrôle de la méthode fausse : diviser le taux global par $4$4 donnerait $46,41÷4\approx 11,60\%$46,41 ÷ 4 ≈ 11,60 %, et $1,116^4\approx 1,551$1,116⁴ ≈ 1,551, soit $+55,1\%$+55,1 % au lieu de $+46,41\%$+46,41 %.

    La moyenne arithmétique surestime toujours.

Rappel de cours : De l'année $A$A à l'année $B$B, le nombre de périodes est $B-A$B - A. Compter une année de trop fausse tout le calcul du taux moyen.

Erreur fréquente : Prendre $5$5 périodes pour 2020 → 2024. On obtiendrait $1,4641^{1/5}\approx 1,0792$1,4641^(1/5) ≈ 1,0792, soit $7,92\%$7,92 % au lieu de $10\%$10 %.

Correction détaillée

1. 1

   Le pouvoir d'achat est le rapport entre le salaire et le niveau des prix : ce que l'on gagne, divisé par ce que coûtent les choses.

2. 2

   Si le salaire est multiplié par $C{M}_S$CM_S et les prix par $C{M}_P$CM_P, le pouvoir d'achat est multiplié par $\frac{C{M}_S}{C{M}_P}$CM_S/CM_P.

3. 3

   Il s'agit d'un QUOTIENT et non d'une différence : c'est le même mécanisme que pour la part de marché de l'exercice précédent.

4. 4

   $C{M}_S=1,015$CM_S = 1,015 et $C{M}_P=1,028$CM_P = 1,028.

5. 5

   $C{M}_{\text{PA}}=\frac{1,015}{1,028}$CM_PA = 1,015/1,028.

6. 6

   Ce quotient est inférieur à $1$1, puisque le numérateur est plus petit que le dénominateur : on sait donc AVANT de calculer que le pouvoir d'achat baisse.

7. 7

   $\frac{1,015}{1,028}\approx 0,987354$1,015/1,028 ≈ 0,987354.

8. 8

   Taux : $t=(0,987354-1)\times 100\approx -1,2646$t = (0,987354 - 1) × 100 ≈ -1,2646, soit environ $-1,26\%$-1,26 %.

9. 9

   Vérification : $1,028\times 0,987354\approx 1,015$1,028 × 0,987354 ≈ 1,015. ✔

10. 10

    Interprétation : bien que son salaire ait augmenté en euros, l'employé peut acheter environ $1,26\%$1,26 % de biens en MOINS qu'un an plus tôt.

    Son pouvoir d'achat a donc reculé.

11. 11

    C'est le cœur du sujet : une hausse de salaire inférieure à l'inflation est une perte de pouvoir d'achat, même si la fiche de paie affiche un montant plus élevé.

12. 12

    Approximation souvent entendue : $1,5-2,8=-1,3\%$1,5 - 2,8 = -1,3 %.

    Elle est proche de la valeur exacte ($-1,26\%$-1,26 %) parce que les taux sont faibles, mais elle reste approchée — et l'énoncé demande ici un arrondi au centième.

Rappel de cours : Pouvoir d'achat : on DIVISE le coefficient des salaires par celui des prix. La soustraction des taux n'est qu'une approximation, valable pour de petits taux.

Erreur fréquente : Soustraire les taux et présenter $-1,3\%$-1,3 % comme le résultat exact. Quand un arrondi précis est demandé, seul le quotient des coefficients convient.

Correction détaillée

1. 1

   2021 → 2022 : $CM=\frac{352000}{320000}=1,10$CM = (352 000)/(320 000) = 1,10, soit $+10\%$+10 %.

2. 2

   2022 → 2023 : $CM=\frac{334400}{352000}=0,95$CM = (334 400)/(352 000) = 0,95, soit $-5\%$-5 %.

3. 3

   2023 → 2024 : $CM=\frac{401280}{334400}=1,20$CM = (401 280)/(334 400) = 1,20, soit $+20\%$+20 %.

4. 4

   Pour les indices, on rapporte chaque valeur à celle de 2021, puis on multiplie par $100$100.

5. 5

   $I_{2021}=100$I₂₀₂₁ = 100 (année de base) · $I_{2022}=\frac{352000}{320000}\times 100=110$I₂₀₂₂ = (352 000)/(320 000) × 100 = 110.

6. 6

   $I_{2023}=\frac{334400}{320000}\times 100=104,5$I₂₀₂₃ = (334 400)/(320 000) × 100 = 104,5 · $I_{2024}=\frac{401280}{320000}\times 100=125,4$I₂₀₂₄ = (401 280)/(320 000) × 100 = 125,4.

7. 7

   Lecture immédiate de la série $100;110;104,5;125,4$100 ; 110 ; 104,5 ; 125,4 : l'entreprise a progressé, reculé, puis nettement progressé — et se situe fin 2024 à $25,4\%$25,4 % au-dessus de son niveau de 2021.

8. 8

   Taux global : $CM=\frac{401280}{320000}=1,254$CM = (401 280)/(320 000) = 1,254, soit $+25,4\%$+25,4 % sur trois ans.

9. 9

   Vérification par le produit des coefficients annuels : $1,10\times 0,95\times 1,20=1,254$1,10 × 0,95 × 1,20 = 1,254. ✔

10. 10

    Taux annuel moyen : il y a $2024-2021=3$2024 - 2021 = 3 périodes, donc $C{M}_m=1,254^{1/3}$CM_m = 1,254^(1/3).

11. 11

    À la calculatrice, $C{M}_m\approx 1,078365$CM_m ≈ 1,078365, soit un taux annuel moyen d'environ $+7,84\%$+7,84 %.

12. 12

    Vérification : $1,078365^3\approx 1,254$1,078365³ ≈ 1,254. ✔ Et le contrôle de cohérence tient : $7,84\%$7,84 % est bien inférieur à la moyenne arithmétique $\frac{10-5+20}{3}\approx 8,33\%$(10 - 5 + 20)/3 ≈ 8,33 %.

13. 13

    Pour la dernière question : le taux annuel moyen réel est de $7,84\%$7,84 %, pas de $8\%$8 %.

    L'annonce est donc légèrement surévaluée.

14. 14

    Elle est en revanche défendable comme ARRONDI de communication, à condition d'être présentée comme telle — et surtout d'être accompagnée du détail annuel.

15. 15

    Car la moyenne masque l'essentiel : l'entreprise a connu une année de recul ($-5\%$-5 % en 2023).

    Une croissance « de $8\%$8 % par an » laisse imaginer une progression régulière, ce qui n'est pas le cas.

16. 16

    C'est le point d'analyse attendu : un taux moyen résume, il ne décrit pas.

    Le tableau de bord complet — indices et taux annuels — reste indispensable.