Exercices corrigés : Probabilités et variables aléatoires — Première STMG

Correction détaillée

1. 1

   On complète d'abord le tableau.

   Clients en ligne : $150$150, dont $60$60 avec carte, donc $150-60=90$150 - 60 = 90 sans carte.

2. 2

   Clients en magasin : $100$100, dont $55$55 avec carte, donc $45$45 sans carte.

3. 3

   Total des porteurs de carte : $60+55=115$60 + 55 = 115.

   Total sans carte : $90+45=135$90 + 45 = 135.

4. 4

   Contrôle : $115+135=250$115 + 135 = 250 ✔ et $150+100=250$150 + 100 = 250 ✔.

   Le tableau est cohérent.

5. 5

   Le client étant choisi au hasard, chaque fiche a la même probabilité d'être tirée : les probabilités sont donc des fréquences.

6. 6

   $P(L)=\frac{150}{250}=0,6$P(L) = 150/250 = 0,6.

7. 7

   $P(C)=\frac{115}{250}=0,46$P(C) = 115/250 = 0,46.

8. 8

   $P(L\cap C)$P(L ∩ C) est la probabilité d'être à la fois en ligne ET porteur de carte : c'est la case commune, soit $60$60 clients.

9. 9

   $P(L\cap C)=\frac{60}{250}=0,24$P(L ∩ C) = 60/250 = 0,24.

10. 10

    Pour l'union : $P(L\cup C)=P(L)+P(C)-P(L\cap C)=0,6+0,46-0,24=0,82$P(L ∪ C) = P(L) + P(C) - P(L ∩ C) = 0,6 + 0,46 - 0,24 = 0,82.

11. 11

    On retranche l'intersection car les $60$60 clients concernés seraient sinon comptés deux fois — une fois dans les acheteurs en ligne, une fois dans les porteurs de carte.

12. 12

    Vérification par les effectifs : $L\cup C$L ∪ C regroupe les $150$150 acheteurs en ligne et les $55$55 porteurs de carte en magasin, soit $205$205 clients.

    Or $\frac{205}{250}=0,82$205/250 = 0,82. ✔

Rappel de cours : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) : on retranche l'intersection, comptée deux fois dans la somme.

Erreur fréquente : Additionner $0,6+0,46=1,06$0,6 + 0,46 = 1,06 et conclure. Une probabilité ne peut pas dépasser $1$1 : c'est le signal qu'on a oublié de retrancher l'intersection.

Correction détaillée

1. 1

   L'événement contraire $\overline{C}$C̅ est « le client n'a pas la carte ».

   Un client a la carte ou ne l'a pas : ces deux cas couvrent toutes les possibilités sans se chevaucher.

2. 2

   Donc $P(\overline{C})=1-P(C)=1-0,46=0,54$P(C̅) = 1 - P(C) = 1 - 0,46 = 0,54.

3. 3

   Interprétation : $54\%$54 % des clients du fichier ne possèdent pas la carte de fidélité.

4. 4

   Effectif correspondant : $0,54\times 250=135$0,54 × 250 = 135 clients.

5. 5

   Vérification par le tableau : $90$90 clients en ligne sans carte et $45$45 en magasin sans carte, soit $135$135. ✔

6. 6

   Pour la troisième question, on cherche $P(L\cap \overline{C})$P(L ∩ C̅), c'est-à-dire « en ligne » et « sans carte ».

7. 7

   Les acheteurs en ligne se répartissent en deux groupes seulement : avec carte ou sans carte.

8. 8

   Donc $P(L)=P(L\cap C)+P(L\cap \overline{C})$P(L) = P(L ∩ C) + P(L ∩ C̅), d'où $P(L\cap \overline{C})=0,6-0,24=0,36$P(L ∩ C̅) = 0,6 - 0,24 = 0,36.

9. 9

   Vérification par les effectifs : $90$90 clients en ligne sans carte, et $\frac{90}{250}=0,36$90/250 = 0,36. ✔

10. 10

    Lecture commerciale de ce chiffre : $36\%$36 % du fichier, soit $90$90 clients, achètent déjà en ligne sans être fidélisés.

    C'est exactement la cible d'une campagne d'inscription à la carte.

11. 11

    Attention à la formulation : « en ligne sans carte » n'est pas le contraire de « en ligne avec carte ».

    Le contraire de $L\cap C$L ∩ C inclut aussi tous les clients en magasin.

Rappel de cours : $P(\overline{A})=1-P(A)$P(A̅) = 1 - P(A). Et $P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap \overline{B})$P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B̅) : un événement se décompose toujours selon un autre et son contraire.

Erreur fréquente : Confondre $\overline{L\cap C}$L ∩ C̅ et $L\cap \overline{C}$L ∩ C̅. Le premier regroupe tous les clients sauf ceux qui sont en ligne AVEC carte ; le second, seulement des clients en ligne.

Correction détaillée

1. 1

   Conditionner par $L$L, c'est se restreindre aux acheteurs en ligne : l'univers passe de $250$250 clients à $150$150.

2. 2

   Parmi ces $150$150, $60$60 ont la carte, donc $P_L(C)=\frac{60}{150}=0,4$P_L(C) = 60/150 = 0,4.

3. 3

   Autrement dit, $40\%$40 % des acheteurs en ligne sont porteurs de la carte.

4. 4

   Conditionner par $C$C, c'est se restreindre aux $115$115 porteurs de carte.

5. 5

   Parmi eux, $60$60 achètent en ligne, donc $P_C(L)=\frac{60}{115}\approx 0,5217$P_C(L) = 60/115 ≈ 0,5217, soit environ $52,2\%$52,2 %.

6. 6

   Les deux probabilités sont donc DIFFÉRENTES : $0,4$0,4 contre $0,52$0,52.

7. 7

   Explication : le numérateur est le même (les $60$60 clients en ligne avec carte), mais le dénominateur change — on divise une fois par $150$150, une fois par $115$115.

8. 8

   Les deux questions ne sont d'ailleurs pas les mêmes : « quelle proportion des acheteurs en ligne est fidélisée ? » et « quelle proportion des fidélisés achète en ligne ? ».

9. 9

   Vérification par la formule générale : $P_L(C)=\frac{P(L\cap C)}{P(L)}=\frac{0,24}{0,6}=0,4$P_L(C) = (P(L ∩ C))/P(L) = 0,24/0,6 = 0,4. ✔

10. 10

    Et $P_C(L)=\frac{P(L\cap C)}{P(C)}=\frac{0,24}{0,46}\approx 0,5217$P_C(L) = (P(L ∩ C))/P(C) = 0,24/0,46 ≈ 0,5217. ✔

11. 11

    Comparaison utile pour le marketing : $P_C(L)\approx 52\%$P_C(L) ≈ 52 % est supérieur à $P(L)=60\%$P(L) = 60 %… non, il lui est INFÉRIEUR.

    Les porteurs de carte achètent donc un peu MOINS souvent en ligne que la clientèle générale.

12. 12

    C'est une information exploitable : la carte de fidélité est davantage utilisée en magasin, ce qui peut orienter une campagne de relance.

Rappel de cours : $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$P_A(B) = (P(A ∩ B))/P(A) : conditionner REMPLACE l'univers par $A$A. C'est le dénominateur qui change, jamais le numérateur.

Erreur fréquente : Croire que $P_L(C)=P_C(L)$P_L(C) = P_C(L). Dans le langage courant on entend souvent l'un pour l'autre, mais ce sont deux nombres distincts.

Correction détaillée

1. 1

   Une variable aléatoire associe un NOMBRE à chaque issue : ici, le nombre d'articles achetés par un client.

2. 2

   Sa loi de probabilité est le tableau qui donne, pour chaque valeur possible, sa probabilité.

3. 3

   Propriété fondamentale : la somme de toutes ces probabilités vaut $1$1, puisque le client achète forcément $0$0, $1$1, $2$2 ou $3$3 articles.

4. 4

   On en déduit $P(X=3)=1-(0,15+0,35+0,30)$P(X = 3) = 1 - (0,15 + 0,35 + 0,30).

5. 5

   $0,15+0,35=0,50$0,15 + 0,35 = 0,50, puis $+0,30=0,80$+0,30 = 0,80.

6. 6

   Donc $P(X=3)=1-0,80=0,20$P(X = 3) = 1 - 0,80 = 0,20.

7. 7

   La loi complète est : $0,15$0,15 ; $0,35$0,35 ; $0,30$0,30 ; $0,20$0,20, de somme $1$1. ✔

8. 8

   $P(X⩾2)$P(X ≥ 2) regroupe les valeurs $2$2 et $3$3 : $0,30+0,20=0,50$0,30 + 0,20 = 0,50.

9. 9

   Un client sur deux achète donc au moins deux articles.

10. 10

    $P(X⩾1)$P(X ≥ 1) regroupe $1$1, $2$2 et $3$3, soit $0,35+0,30+0,20=0,85$0,35 + 0,30 + 0,20 = 0,85.

11. 11

    Il est plus rapide de passer par le contraire : $P(X⩾1)=1-P(X=0)=1-0,15=0,85$P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,15 = 0,85. ✔

12. 12

    Lecture commerciale : $15\%$15 % des clients repartent les mains vides.

    C'est le taux de visite sans achat, un indicateur suivi de près dans le commerce.

Rappel de cours : La somme des probabilités d'une loi vaut TOUJOURS $1$1 : c'est ce qui permet de retrouver une valeur manquante, et de vérifier tout tableau.

Erreur fréquente : Pour « au moins $1$1 », additionner trois termes au lieu de passer par le contraire. Les deux méthodes se valent, mais la seconde est plus rapide et moins risquée.

Correction détaillée

1. 1

   L'espérance est la moyenne des valeurs, PONDÉRÉE par leurs probabilités.

2. 2

   Formule : $E(X)=x_1\times P(X=x_1)+x_2\times P(X=x_2)+\dots$E(X) = x₁ × P(X = x₁) + x₂ × P(X = x₂) + …

3. 3

   $E(X)=0\times 0,15+1\times 0,35+2\times 0,30+3\times 0,20$E(X) = 0 × 0,15 + 1 × 0,35 + 2 × 0,30 + 3 × 0,20.

4. 4

   On calcule chaque produit : $0$0 ; $0,35$0,35 ; $0,60$0,60 ; $0,60$0,60.

5. 5

   Somme : $0+0,35+0,60+0,60=1,55$0 + 0,35 + 0,60 + 0,60 = 1,55.

6. 6

   $E(X)=1,55$E(X) = 1,55 article par client.

7. 7

   Interprétation : sur un grand nombre de clients, chacun achète en moyenne $1,55$1,55 article.

   C'est le « panier moyen » en nombre d'articles.

8. 8

   Attention au sens de cette valeur : aucun client n'achètera jamais $1,55$1,55 article.

   L'espérance est une moyenne théorique, pas une valeur observable.

9. 9

   Contrôle de vraisemblance : l'espérance se situe toujours entre la plus petite et la plus grande valeur, donc entre $0$0 et $3$3. ✔

10. 10

    Contrôle plus fin : les valeurs $1$1 et $2$2 concentrent $65\%$65 % des probabilités, donc l'espérance doit se situer autour de $1,5$1,5. ✔

11. 11

    Utilité en gestion : sur $1000$1 000 clients attendus, le magasin peut prévoir environ $1550$1 550 articles vendus.

    C'est la base de son calcul de stock.

Rappel de cours : $E(X)=\sum x_i\times P(X=x_i)$E(X) = Σ xᵢ × P(X = xᵢ). L'espérance est une moyenne théorique : elle n'est pas forcément une valeur atteignable.

Erreur fréquente : Diviser la somme par le nombre de valeurs. Les probabilités jouent DÉJÀ le rôle des poids : il n'y a rien à diviser.

Correction détaillée

1. 1

   Les valeurs possibles du gain sont $100$100, $20$20 et $0$0 euros.

2. 2

   La probabilité de ne rien gagner s'obtient par le contraire : $1-(0,01+0,05)=1-0,06=0,94$1 - (0,01 + 0,05) = 1 - 0,06 = 0,94.

3. 3

   Loi de $G$G : $P(G=100)=0,01$P(G = 100) = 0,01 ; $P(G=20)=0,05$P(G = 20) = 0,05 ; $P(G=0)=0,94$P(G = 0) = 0,94.

4. 4

   Contrôle : $0,01+0,05+0,94=1$0,01 + 0,05 + 0,94 = 1. ✔

5. 5

   Espérance : $E(G)=100\times 0,01+20\times 0,05+0\times 0,94$E(G) = 100 × 0,01 + 20 × 0,05 + 0 × 0,94.

6. 6

   $=1+1+0=2$= 1 + 1 + 0 = 2 €.

7. 7

   Interprétation côté client : un ticket rapporte en moyenne $2$2 €, même si $94\%$94 % des clients ne gagnent rien.

8. 8

   Interprétation côté enseigne, qui est celle qui compte ici : chaque ticket distribué lui COÛTE en moyenne $2$2 €.

   L'espérance de gain du client est l'espérance de dépense de l'entreprise.

9. 9

   Budget pour $4000$4 000 clients : $4000\times 2=8000$4 000 × 2 = 8 000 €.

10. 10

    Vérification par les effectifs attendus : environ $1\%$1 % de $4000$4 000, soit $40$40 gagnants à $100$100 € ($4000$4 000 €), et $5\%$5 %, soit $200$200 gagnants à $20$20 € ($4000$4 000 €).

    Total : $8000$8 000 €. ✔

11. 11

    Les deux calculs concordent, et le second montre bien d'où vient le résultat : les deux lots contribuent également au budget, alors que les montants sont très différents.

12. 12

    Remarque de gestion : ce budget de $8000$8 000 € est une PRÉVISION.

    Le coût réel variera d'une opération à l'autre — d'autant plus que le nombre de clients est faible.

Rappel de cours : L'espérance de gain du joueur est l'espérance de COÛT de l'organisateur. Le budget d'une opération se calcule en multipliant par le nombre de participants.

Erreur fréquente : Oublier la valeur $0$0 dans la loi. Elle ne change pas l'espérance (son produit est nul), mais sans elle la somme des probabilités ne fait pas $1$1.

Correction détaillée

1. 1

   Le gain NET tient compte du prix payé : c'est ce que le joueur gagne réellement, une fois son billet acheté.

2. 2

   Un joueur qui remporte $20$20 € a déboursé $3$3 €, donc son gain net vaut $20-3=17$20 - 3 = 17 €.

3. 3

   De même, le gros lot donne un gain net de $100-3=97$100 - 3 = 97 €, et un billet perdant donne $0-3=-3$0 - 3 = -3 €.

4. 4

   Loi de $N$N : $P(N=97)=0,01$P(N = 97) = 0,01 ; $P(N=17)=0,05$P(N = 17) = 0,05 ; $P(N=-3)=0,94$P(N = -3) = 0,94.

5. 5

   Espérance : $E(N)=97\times 0,01+17\times 0,05+(-3)\times 0,94$E(N) = 97 × 0,01 + 17 × 0,05 + (-3) × 0,94.

6. 6

   $=0,97+0,85-2,82=-1$= 0,97 + 0,85 - 2,82 = -1 €.

7. 7

   Méthode plus rapide, à connaître : le gain net vaut $N=G-3$N = G - 3, donc $E(N)=E(G)-3=2-3=-1$E(N) = E(G) - 3 = 2 - 3 = -1 €. ✔

8. 8

   Retrancher une constante à une variable aléatoire retranche la même constante à son espérance : c'est le premier cas de transformation affine.

9. 9

   Le jeu n'est donc PAS équitable : un jeu équitable aurait une espérance nulle.

   Ici, chaque joueur perd en moyenne $1$1 € par billet.

10. 10

    Ce n'est évidemment pas un défaut pour une tombola d'association : c'est même le principe, puisque ce $1$1 € constitue sa recette.

11. 11

    Recette espérée sur $500$500 billets : $500\times 1=500$500 × 1 = 500 €.

12. 12

    Vérification par les deux flux : l'association encaisse $500\times 3=1500$500 × 3 = 1 500 € de ventes et reverse en moyenne $500\times 2=1000$500 × 2 = 1 000 € de lots, soit $500$500 € de bénéfice attendu. ✔

Rappel de cours : Jeu équitable $⟺E(\text{gain net})=0$⇔ E( gain net ) = 0. Et $E(X-c)=E(X)-c$E(X - c) = E(X) - c : retrancher la mise revient à retrancher son montant à l'espérance.

Erreur fréquente : Oublier de retrancher la mise au gagnant du gros lot. Le gain net est $97$97 € et non $100$100 € : lui aussi a payé son billet.

Correction détaillée

1. 1

   Les valeurs possibles de $X$X sont $12$12, $18$18 et $25$25 euros.

2. 2

   Les probabilités sont les fréquences observées : $P(X=12)=\frac{70}{200}=0,35$P(X = 12) = 70/200 = 0,35.

3. 3

   $P(X=18)=\frac{90}{200}=0,45$P(X = 18) = 90/200 = 0,45 et $P(X=25)=\frac{40}{200}=0,20$P(X = 25) = 40/200 = 0,20.

4. 4

   Contrôle : $0,35+0,45+0,20=1$0,35 + 0,45 + 0,20 = 1. ✔

5. 5

   Espérance : $E(X)=12\times 0,35+18\times 0,45+25\times 0,20$E(X) = 12 × 0,35 + 18 × 0,45 + 25 × 0,20.

6. 6

   $=4,20+8,10+5=17,30$= 4,20 + 8,10 + 5 = 17,30 €.

7. 7

   Interprétation : le ticket moyen du restaurant est de $17,30$17,30 € par client.

8. 8

   Vérification par le chiffre d'affaires réel des $200$200 couverts : $70\times 12+90\times 18+40\times 25=840+1620+1000=3460$70 × 12 + 90 × 18 + 40 × 25 = 840 + 1 620 + 1 000 = 3 460 €.

9. 9

   Et $\frac{3460}{200}=17,30$(3 460)/200 = 17,30 €. ✔ L'espérance n'est rien d'autre que la moyenne pondérée du chapitre 5, calculée avec des fréquences.

10. 10

    Prévision pour $1500$1 500 couverts : $1500\times 17,30=25950$1 500 × 17,30 = 25 950 €.

11. 11

    Contrôle de vraisemblance : le ticket moyen de $17,30$17,30 € se situe bien entre $12$12 € et $25$25 €, plus près de $18$18 € qui est la formule majoritaire. ✔

12. 12

    Réserve à formuler : cette prévision suppose que la répartition entre formules reste la même.

    Une nouvelle carte ou une promotion la modifierait.

Rappel de cours : Une espérance calculée sur des fréquences observées est exactement la moyenne pondérée de la série : les deux notions coïncident.

Erreur fréquente : Faire la moyenne des trois prix ($18,33$18,33 €). Cela supposerait que les trois formules se vendent autant, ce qui est faux.

Correction détaillée

1. 1

   L'écart-type d'une variable aléatoire mesure la DISPERSION de ses valeurs autour de l'espérance — exactement comme au chapitre 5 pour une série statistique.

2. 2

   Ici $\sigma (X)\approx 0,97$σ(X) ≈ 0,97 : les nombres d'articles achetés s'écartent en moyenne d'environ un article de la valeur moyenne $1,55$1,55.

3. 3

   Pour la deuxième question, « s'écarter de moins d'un article de $1,55$1,55 » signifie appartenir à l'intervalle $]0,55;2,55[$]0,55 ;2,55[.

4. 4

   Les valeurs entières concernées sont $1$1 et $2$2.

5. 5

   Probabilité correspondante : $P(X=1)+P(X=2)=0,35+0,30=0,65$P(X = 1) + P(X = 2) = 0,35 + 0,30 = 0,65.

6. 6

   $65\%$65 % des clients achètent donc $1$1 ou $2$2 articles, c'est-à-dire un nombre proche de la moyenne.

7. 7

   Les $35\%$35 % restants se répartissent aux extrêmes : $15\%$15 % n'achètent rien et $20\%$20 % prennent trois articles.

8. 8

   Troisième question : un écart-type de $0,4$0,4 est nettement plus faible, pour une même espérance de $1,55$1,55.

9. 9

   Cela signifie que dans le second magasin, les clients se ressemblent davantage : presque tous achètent $1$1 ou $2$2 articles, avec très peu de visites sans achat et peu de gros paniers.

10. 10

    Conséquence de gestion : les ventes y sont plus PRÉVISIBLES, donc la gestion des stocks est plus simple, même si le chiffre d'affaires moyen est identique.

11. 11

    On retrouve exactement le message du chapitre 5 : deux situations de même moyenne peuvent être très différentes, et c'est la dispersion qui les distingue.

Rappel de cours : Espérance et écart-type sont les deux faces d'une variable aléatoire : l'une donne le niveau moyen, l'autre le risque de s'en écarter.

Erreur fréquente : Croire qu'un écart-type plus faible signifie un meilleur chiffre d'affaires. Il signifie une plus grande régularité, à chiffre d'affaires moyen inchangé.

Correction détaillée

1. 1

   On note $N$N « le client a la remise nouveau client » et $F$F « le client a la remise fidélité ».

2. 2

   « Non cumulables » signifie qu'aucun client ne peut avoir les deux à la fois : les deux événements ne peuvent pas se produire ensemble.

3. 3

   En langage probabiliste, on dit qu'ils sont INCOMPATIBLES, et cela se traduit par $P(N\cap F)=0$P(N ∩ F) = 0.

4. 4

   C'est cette information qui simplifie tout le calcul de l'union.

5. 5

   Formule générale : $P(N\cup F)=P(N)+P(F)-P(N\cap F)$P(N ∪ F) = P(N) + P(F) - P(N ∩ F).

6. 6

   Comme l'intersection est vide, il ne reste que la somme : $P(N\cup F)=0,20+0,35=0,55$P(N ∪ F) = 0,20 + 0,35 = 0,55.

7. 7

   Autrement dit, $55\%$55 % des clients bénéficient d'une remise — l'une ou l'autre, jamais les deux.

8. 8

   Pour les clients sans aucune remise, on passe par l'événement contraire.

9. 9

   $P\left(\overline{N\cup F}\right)=1-0,55=0,45$P(N ∪ F̅) = 1 - 0,55 = 0,45, soit $45\%$45 % des clients.

10. 10

    Sur $800$800 clients : $0,45\times 800=360$0,45 × 800 = 360 clients ne bénéficient d'aucune remise.

11. 11

    Vérification par les effectifs : $0,20\times 800=160$0,20 × 800 = 160 nouveaux clients et $0,35\times 800=280$0,35 × 800 = 280 porteurs de carte, soit $440$440 clients remisés.

    Et $800-440=360$800 - 440 = 360. ✔

12. 12

    Ce contrôle n'aurait PAS fonctionné si les remises étaient cumulables : on aurait compté deux fois les clients bénéficiant des deux.

13. 13

    Attention à ne pas confondre incompatibles et indépendants.

    Ici les deux remises s'excluent : savoir qu'un client est nouveau garantit qu'il n'a pas la carte.

    C'est une dépendance totale, pas une indépendance.

Rappel de cours : Événements incompatibles : $P(A\cap B)=0$P(A ∩ B) = 0, donc $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$P(A ∪ B) = P(A) + P(B). C'est le seul cas où les probabilités s'additionnent simplement.

Erreur fréquente : Confondre incompatibles et indépendants. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles sont au contraire fortement dépendants : l'un exclut l'autre.

Correction détaillée

1. 1

   Projet A : $E(A)=30000\times 0,6+(-5000)\times 0,4$E(A) = 30 000 × 0,6 + (-5 000) × 0,4.

2. 2

   $=18000-2000=16000$= 18 000 - 2 000 = 16 000 €.

3. 3

   Projet B : $E(B)=100000\times 0,25+(-12000)\times 0,75$E(B) = 100 000 × 0,25 + (-12 000) × 0,75.

4. 4

   $=25000-9000=16000$= 25 000 - 9 000 = 16 000 €.

5. 5

   Les deux projets ont donc EXACTEMENT la même espérance de gain : $16000$16 000 €.

   L'espérance seule ne permet pas de choisir.

6. 6

   C'est là qu'intervient l'écart-type : $17146$17 146 € pour A contre $48497$48 497 € pour B, soit près de trois fois plus.

7. 7

   Le projet B est donc beaucoup plus RISQUÉ : ses résultats possibles sont très éloignés l'un de l'autre ($+100000$+100 000 € ou $-12000$-12 000 €), alors que A reste dans une fourchette resserrée.

8. 8

   Autre lecture, plus parlante encore : le projet A est gagnant dans $60\%$60 % des cas, le projet B seulement dans $25\%$25 %.

9. 9

   En choisissant B, l'entreprise a donc trois chances sur quatre de perdre $12000$12 000 €, même si son espérance est identique.

10. 10

    Conseil à une petite entreprise : le projet A.

    Une perte de $12000$12 000 € survenant trois fois sur quatre peut mettre en danger sa trésorerie, et elle n'aura pas l'occasion de « refaire le match » assez souvent pour que l'espérance se réalise.

11. 11

    Conseil à un grand groupe : le projet B est acceptable, car il mènera des dizaines d'opérations de ce type.

    Sur un grand nombre de projets, le résultat moyen se rapprochera de $16000$16 000 € par projet, et les gros succès compenseront les échecs.

12. 12

    Idée essentielle : l'espérance ne se réalise que sur un GRAND nombre de répétitions.

    Pour une décision unique, le risque compte autant que l'espérance.

13. 13

    C'est exactement pour cette raison qu'une même opération peut être raisonnable pour un assureur et déraisonnable pour un particulier.

Rappel de cours : À espérances égales, on choisit selon le RISQUE. L'espérance ne se réalise que sur un grand nombre de répétitions.

Erreur fréquente : Choisir B parce que le gain maximal est plus élevé. Le gain maximal ne dit rien de ce qu'on obtient en moyenne, ni de la probabilité de l'atteindre.

Correction détaillée

1. 1

   On note $C$C le coût supporté par le vendeur pour un contrat.

   Il vaut $400$400 € en cas de panne, et $0$0 € sinon.

2. 2

   Loi de $C$C : $P(C=400)=0,08$P(C = 400) = 0,08 et $P(C=0)=0,92$P(C = 0) = 0,92.

3. 3

   Espérance : $E(C)=400\times 0,08+0\times 0,92=32$E(C) = 400 × 0,08 + 0 × 0,92 = 32 €.

4. 4

   Chaque contrat coûte donc en moyenne $32$32 € au vendeur, même si la grande majorité des contrats ne lui coûtent rien du tout.

5. 5

   Marge moyenne par contrat : $60-32=28$60 - 32 = 28 €.

6. 6

   On peut le retrouver par la variable « marge » $M=60-C$M = 60 - C, qui vaut $-340$-340 € en cas de panne et $60$60 € sinon.

7. 7

   $E(M)=-340\times 0,08+60\times 0,92=-27,20+55,20=28$E(M) = -340 × 0,08 + 60 × 0,92 = -27,20 + 55,20 = 28 €. ✔ Les deux méthodes concordent.

8. 8

   Bénéfice espéré sur $2000$2 000 contrats : $2000\times 28=56000$2 000 × 28 = 56 000 €.

9. 9

   Vérification par les flux : le vendeur encaisse $2000\times 60=120000$2 000 × 60 = 120 000 € et s'attend à environ $160$160 pannes ($8\%$8 % de $2000$2 000) coûtant $64000$64 000 €, soit $56000$56 000 € de bénéfice. ✔

10. 10

    Le vendeur perdrait de l'argent si le prix de vente descendait sous le coût moyen, c'est-à-dire sous $32$32 €.

11. 11

    À exactement $32$32 €, l'opération serait « équitable » : espérance de marge nulle.

    C'est le prix pur du risque, avant toute marge commerciale.

12. 12

    Lecture de gestion : les $28$28 € de marge rémunèrent à la fois le risque pris et les frais de gestion.

    C'est le principe même de l'assurance.

13. 13

    Réserve importante : ce raisonnement suppose un GRAND nombre de contrats.

    Sur dix contrats seulement, deux pannes suffiraient à rendre l'opération déficitaire.

Rappel de cours : Le prix « juste » d'une garantie ou d'une assurance est l'espérance du coût couvert. Tout ce qui est facturé au-dessus rémunère le risque et la gestion.

Erreur fréquente : Croire que le vendeur perd de l'argent parce qu'une réparation ($400$400 €) coûte plus cher que le contrat ($60$60 €). Seuls $8\%$8 % des contrats donnent lieu à réparation.

Correction détaillée

1. 1

   Données : $P(F_1)=0,6$P(F₁) = 0,6, $P(F_2)=0,4$P(F₂) = 0,4, et les taux de défaut sont des probabilités CONDITIONNELLES : $P_{F_1}(D)=0,03$P_F₁(D) = 0,03 et $P_{F_2}(D)=0,07$P_F₂(D) = 0,07.

2. 2

   Le mot « produit $3\%$3 % de défectueuses » signifie « parmi les pièces de $F_1$F₁ », d'où le conditionnement.

3. 3

   On en déduit $P_{F_1}(\overline{D})=0,97$P_F₁(D̅) = 0,97 et $P_{F_2}(\overline{D})=0,93$P_F₂(D̅) = 0,93.

4. 4

   Chemin $F_1$F₁ puis $D$D : $P(F_1\cap D)=0,6\times 0,03=0,018$P(F₁ ∩ D) = 0,6 × 0,03 = 0,018.

5. 5

   Chemin $F_1$F₁ puis $\overline{D}$D̅ : $0,6\times 0,97=0,582$0,6 × 0,97 = 0,582.

6. 6

   Chemin $F_2$F₂ puis $D$D : $P(F_2\cap D)=0,4\times 0,07=0,028$P(F₂ ∩ D) = 0,4 × 0,07 = 0,028.

7. 7

   Chemin $F_2$F₂ puis $\overline{D}$D̅ : $0,4\times 0,93=0,372$0,4 × 0,93 = 0,372.

8. 8

   Contrôle : $0,018+0,582+0,028+0,372=1$0,018 + 0,582 + 0,028 + 0,372 = 1. ✔ L'arbre est complet.

9. 9

   Une pièce défectueuse vient soit de $F_1$F₁, soit de $F_2$F₂ : on additionne les deux chemins qui mènent à $D$D.

10. 10

    $P(D)=0,018+0,028=0,046$P(D) = 0,018 + 0,028 = 0,046, soit $4,6\%$4,6 % de pièces défectueuses au total.

11. 11

    Contrôle de vraisemblance : le taux global doit se situer entre $3\%$3 % et $7\%$7 %, plus près de $3\%$3 % puisque $F_1$F₁ fournit la majorité des pièces. ✔

12. 12

    Pour la dernière question, on demande $P_D(F_1)$P_D(F₁) : on connaît le défaut et on remonte vers le fournisseur.

13. 13

    $P_D(F_1)=\frac{P(F_1\cap D)}{P(D)}=\frac{0,018}{0,046}\approx 0,391$P_D(F₁) = (P(F₁ ∩ D))/P(D) = 0,018/0,046 ≈ 0,391, soit environ $39\%$39 %.

14. 14

    Résultat instructif : $F_1$F₁ est le fournisseur le plus FIABLE ($3\%$3 % contre $7\%$7 %), et pourtant près de $40\%$40 % des pièces défectueuses viennent de lui — parce qu'il livre beaucoup plus.

15. 15

    Conséquence pratique : pour réduire les défauts, il faut agir en priorité sur $F_2$F₂, dont le taux est le plus élevé, mais sans négliger $F_1$F₁ qui pèse lourd en volume.

Rappel de cours : Sur un arbre : on MULTIPLIE le long d'un chemin, on ADDITIONNE les chemins qui mènent au même événement, et la somme de tous les chemins vaut $1$1.

Erreur fréquente : Répondre $0,03$0,03 à la dernière question. C'est $P_{F_1}(D)$P_F₁(D), la donnée de départ lue dans le mauvais sens.

Correction détaillée

1. 1

   Chaque article rapporte $15$15 €, donc $X$X articles rapportent $15X$15X euros.

   On retranche ensuite les $10$10 € de frais, payés dans tous les cas.

2. 2

   $M=15X-10$M = 15X - 10.

3. 3

   Pour l'espérance, on utilise la propriété de la transformation affine : $E(aX+b)=aE(X)+b$E(aX + b) = a E(X) + b.

4. 4

   $E(M)=15\times E(X)-10=15\times 1,55-10$E(M) = 15 × E(X) - 10 = 15 × 1,55 - 10.

5. 5

   $15\times 1,55=23,25$15 × 1,55 = 23,25, donc $E(M)=23,25-10=13,25$E(M) = 23,25 - 10 = 13,25 €.

6. 6

   Interprétation : chaque client entré dans le magasin rapporte en moyenne $13,25$13,25 € de marge nette.

7. 7

   Vérification par la loi complète : les marges possibles sont $-10$-10 (si $X=0$X=0), $5$5, $20$20 et $35$35 €.

8. 8

   $E(M)=-10\times 0,15+5\times 0,35+20\times 0,30+35\times 0,20=-1,5+1,75+6+7=13,25$E(M) = -10 × 0,15 + 5 × 0,35 + 20 × 0,30 + 35 × 0,20 = -1,5 + 1,75 + 6 + 7 = 13,25 €. ✔

9. 9

   Cette vérification est rassurante mais bien plus longue : la formule affine évite de recalculer toute la loi.

10. 10

    Écart-type : $\sigma (M)=15\times 0,97=14,55$σ(M) = 15 × 0,97 = 14,55 €.

11. 11

    Le $-10$-10 n'intervient pas parce qu'il DÉCALE toutes les valeurs de la même quantité, sans modifier les écarts entre elles.

12. 12

    C'est exactement ce qu'on avait observé au chapitre 5 : ajouter une constante à toutes les données ne change pas l'écart-type, alors que multiplier par un coefficient le multiplie.

13. 13

    Lecture de gestion : sur $1000$1 000 clients, le magasin peut espérer $13250$13 250 € de marge, avec une variabilité importante d'un client à l'autre — certains font perdre $10$10 €, d'autres rapportent $35$35 €.

Rappel de cours : $E(aX+b)=aE(X)+b$E(aX+b) = a E(X) + b mais $\sigma (aX+b)=|a|\sigma (X)$σ(aX+b) = |a| σ(X) : la constante décale l'espérance et laisse l'écart-type intact.

Erreur fréquente : Écrire $\sigma (M)=15\sigma (X)-10$σ(M) = 15σ(X) - 10. L'écart-type mesure des écarts : une translation ne l'affecte pas.

Correction détaillée

1. 1

   Les visiteurs étant indépendants, la probabilité d'un chemin de l'arbre est le produit des probabilités rencontrées.

2. 2

   Aucun acheteur : les trois visiteurs n'achètent pas, chacun avec la probabilité $1-0,4=0,6$1 - 0,4 = 0,6.

3. 3

   $P(Y=0)=0,6\times 0,6\times 0,6=0,6^3=0,216$P(Y = 0) = 0,6 × 0,6 × 0,6 = 0,6³ = 0,216.

4. 4

   Trois acheteurs : $P(Y=3)=0,4^3=0,064$P(Y = 3) = 0,4³ = 0,064.

5. 5

   Pour $P(Y=1)$P(Y = 1), il faut compter les CHEMINS : l'acheteur peut être le premier, le deuxième ou le troisième visiteur, soit $3$3 chemins.

6. 6

   Chaque chemin a la même probabilité : $0,4\times 0,6\times 0,6=0,144$0,4 × 0,6 × 0,6 = 0,144, l'ordre des facteurs ne changeant pas le produit.

7. 7

   $P(Y=1)=3\times 0,144=0,432$P(Y = 1) = 3 × 0,144 = 0,432.

8. 8

   Pour $P(Y=2)$P(Y = 2), il y a également $3$3 chemins (le non-acheteur peut être l'un des trois), chacun de probabilité $0,4\times 0,4\times 0,6=0,096$0,4 × 0,4 × 0,6 = 0,096.

9. 9

   $P(Y=2)=3\times 0,096=0,288$P(Y = 2) = 3 × 0,096 = 0,288.

10. 10

    Vérification de la loi : $0,216+0,432+0,288+0,064=1$0,216 + 0,432 + 0,288 + 0,064 = 1. ✔ Aucun cas n'a été oublié.

11. 11

    Espérance : $E(Y)=0\times 0,216+1\times 0,432+2\times 0,288+3\times 0,064$E(Y) = 0 × 0,216 + 1 × 0,432 + 2 × 0,288 + 3 × 0,064.

12. 12

    $=0+0,432+0,576+0,192=1,2$= 0 + 0,432 + 0,576 + 0,192 = 1,2 acheteur.

13. 13

    Contrôle immédiat : $3$3 visiteurs achetant chacun avec la probabilité $0,4$0,4 donnent en moyenne $3\times 0,4=1,2$3 × 0,4 = 1,2 acheteur. ✔ Le résultat était prévisible.

14. 14

    Erreur fréquente à éviter : oublier le facteur $3$3 pour $P(Y=1)$P(Y=1) et $P(Y=2)$P(Y=2).

    La somme des probabilités vaudrait alors $0,52$0,52, ce qui signalerait aussitôt l'oubli.

Rappel de cours : Pour « exactement $k$k », il faut compter les CHEMINS avant de multiplier. Le contrôle est toujours le même : la somme des probabilités doit valoir $1$1.

Erreur fréquente : Écrire $P(Y=1)=0,144$P(Y=1) = 0,144 en oubliant les trois chemins possibles. Le contrôle de la somme démasque l'erreur immédiatement.