Exercices corrigés : Statistique descriptive — Première STMG

Correction détaillée

1. 1

   Une fréquence est une proportion : $f=\frac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}$f = (effectif de la valeur)/(effectif total), ici sur $80$80 clients.

2. 2

   Note $1$1 : $\frac{4}{80}=0,05$4/80 = 0,05, soit $5\%$5 %.

3. 3

   Note $2$2 : $\frac{6}{80}=0,075$6/80 = 0,075, soit $7,5\%$7,5 %.

4. 4

   Note $3$3 : $\frac{15}{80}=0,1875$15/80 = 0,1875, soit $18,75\%$18,75 %.

5. 5

   Note $4$4 : $\frac{32}{80}=0,4$32/80 = 0,4, soit $40\%$40 %.

   Note $5$5 : $\frac{23}{80}=0,2875$23/80 = 0,2875, soit $28,75\%$28,75 %.

6. 6

   Contrôle indispensable : la somme des fréquences doit valoir $100\%$100 %.

   Ici $5+7,5+18,75+40+28,75=100$5 + 7,5 + 18,75 + 40 + 28,75 = 100. ✔

7. 7

   Les effectifs cumulés croissants s'obtiennent en additionnant au fur et à mesure : $4$4 ; $4+6=10$4+6 = 10 ; $10+15=25$10+15 = 25 ; $25+32=57$25+32 = 57 ; $57+23=80$57+23 = 80.

8. 8

   Lecture : $25$25 clients ont donné au plus $3$3, et le dernier cumul vaut toujours l'effectif total — c'est le contrôle du calcul. ✔

9. 9

   Pour la dernière question, « au moins $4$4 » regroupe les notes $4$4 et $5$5, soit $32+23=55$32 + 23 = 55 clients.

10. 10

    Proportion : $\frac{55}{80}=0,6875$55/80 = 0,6875, soit $68,75\%$68,75 % des clients.

11. 11

    On pouvait aussi passer par le complémentaire : $100-31,25=68,75\%$100 - 31,25 = 68,75 %, puisque $25$25 clients sur $80$80 (soit $31,25\%$31,25 %) ont donné au plus $3$3. ✔

Rappel de cours : Deux contrôles automatiques : la somme des fréquences fait $100\%$100 %, et le dernier effectif cumulé égale l'effectif total.

Erreur fréquente : Cumuler les fréquences et les effectifs dans la même colonne. Ce sont deux tableaux distincts, même s'ils se lisent de la même façon.

Correction détaillée

1. 1

   Chaque note ne compte pas une fois, mais autant de fois qu'il y a de clients l'ayant donnée : on calcule donc une moyenne PONDÉRÉE par les effectifs.

2. 2

   Formule : $\bar{x}=\frac{n_1{x}_1+n_2{x}_2+\dots }{n_1+n_2+\dots }$barx = (n₁ x₁ + n₂ x₂ + …)/(n₁ + n₂ + …).

3. 3

   Numérateur : $4\times 1+6\times 2+15\times 3+32\times 4+23\times 5$4 × 1 + 6 × 2 + 15 × 3 + 32 × 4 + 23 × 5.

4. 4

   On calcule chaque produit : $4$4 ; $12$12 ; $45$45 ; $128$128 ; $115$115.

5. 5

   Somme : $4+12=16$4 + 12 = 16, $+45=61$+45 = 61, $+128=189$+128 = 189, $+115=304$+115 = 304.

6. 6

   Dénominateur : l'effectif total, soit $80$80 clients.

7. 7

   $\bar{x}=\frac{304}{80}=3,8$barx = 304/80 = 3,8.

8. 8

   La note moyenne de satisfaction est donc de $3,8$3,8 sur $5$5.

9. 9

   Contrôle de vraisemblance : une moyenne se situe toujours entre la plus petite et la plus grande valeur, donc entre $1$1 et $5$5. ✔

10. 10

    Second contrôle, plus fin : la majorité des clients ont donné $4$4 ou $5$5, donc la moyenne doit se situer nettement au-dessus de $3$3. ✔

11. 11

    Erreur classique à écarter : calculer $\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$(1+2+3+4+5)/5 = 3.

    Cela reviendrait à supposer que chaque note a été donnée le même nombre de fois, ce qui est faux.

Rappel de cours : Moyenne pondérée : on multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne, puis on divise par l'effectif TOTAL.

Erreur fréquente : Diviser par le nombre de valeurs différentes ($5$5) au lieu de l'effectif total ($80$80).

Correction détaillée

1. 1

   La médiane partage la série ORDONNÉE en deux groupes de même effectif : la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, l'autre moitié supérieures ou égales.

2. 2

   Première vérification : la série est déjà rangée dans l'ordre croissant.

   Si ce n'était pas le cas, il faudrait commencer par la trier — c'est l'erreur la plus fréquente.

3. 3

   L'effectif est $n=15$n = 15, un nombre IMPAIR : la médiane est donc la valeur du milieu.

4. 4

   Le rang du milieu est $\frac{15+1}{2}=8$(15 + 1)/2 = 8.

5. 5

   On compte jusqu'au huitième salaire : $1600$1 600 ; $1650$1 650 ; $1700$1 700 ; $1750$1 750 ; $1800$1 800 ; $1800$1 800 ; $1850$1 850 ; $1900$1 900.

6. 6

   La médiane vaut donc $1900$1 900 €.

7. 7

   Contrôle : il doit y avoir autant de valeurs de part et d'autre.

   Avant $1900$1 900 : $7$7 salaires.

   Après : $1950$1 950 ; $2000$2 000 ; $2100$2 100 ; $2200$2 200 ; $2400$2 400 ; $3200$3 200 ; $6500$6 500, soit $7$7 également. ✔

8. 8

   Interprétation : la moitié des salariés gagnent au plus $1900$1 900 €, l'autre moitié au moins $1900$1 900 €.

9. 9

   C'est un indicateur très parlant en gestion sociale : il décrit le salarié « du milieu », celui qui sépare l'entreprise en deux moitiés égales.

10. 10

    Remarque pour la suite : si l'effectif avait été PAIR, la médiane aurait été la moyenne des deux valeurs centrales.

Rappel de cours : Toujours ORDONNER la série avant de chercher la médiane. $n$n impair → valeur de rang $\frac{n+1}{2}$(n+1)/2 ; $n$n pair → moyenne des deux valeurs centrales.

Erreur fréquente : Prendre la valeur du milieu du TABLEAU sans avoir trié. Sur une série non ordonnée, le résultat n'a aucun sens.

Correction détaillée

1. 1

   L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : c'est l'indicateur de dispersion le plus simple.

2. 2

   Étendue $=6500-1600=4900$= 6 500 - 1 600 = 4 900 €.

3. 3

   Le premier quartile $Q_1$Q₁ est la plus petite valeur telle qu'au moins $25\%$25 % des données lui soient inférieures ou égales.

4. 4

   On calcule le rang : $\frac{n}{4}=\frac{15}{4}=3,75$n/4 = 15/4 = 3,75.

   On arrondit à l'entier SUPÉRIEUR, donc au rang $4$4.

5. 5

   La quatrième valeur de la série ordonnée est $1750$1 750 €, donc $Q_1=1750$Q₁ = 1 750 €.

6. 6

   Le troisième quartile $Q_3$Q₃ correspond au rang $\frac{3n}{4}=\frac{45}{4}=11,25$3n/4 = 45/4 = 11,25, arrondi au rang $12$12.

7. 7

   La douzième valeur est $2200$2 200 €, donc $Q_3=2200$Q₃ = 2 200 €.

8. 8

   Interprétation : au moins un quart des salariés gagnent $1750$1 750 € ou moins, et au moins trois quarts gagnent $2200$2 200 € ou moins.

9. 9

   Écart interquartile : $Q_3-Q_1=2200-1750=450$Q₃ - Q₁ = 2 200 - 1 750 = 450 €.

   Il mesure la dispersion de la MOITIÉ CENTRALE des salariés.

10. 10

    Comparaison instructive : l'étendue vaut $4900$4 900 € et l'écart interquartile seulement $450$450 €.

11. 11

    Cet écart énorme entre les deux indicateurs signale la présence d'une ou deux valeurs extrêmes — ici les salaires de $3200$3 200 € et $6500$6 500 €, sans doute ceux des dirigeants.

12. 12

    C'est tout l'intérêt de l'écart interquartile : il ignore les $25\%$25 % les plus bas et les $25\%$25 % les plus hauts, donc il n'est pas perturbé par les extrêmes.

Rappel de cours : Rang de $Q_1$Q₁ : $\frac{n}{4}$n/4 arrondi à l'entier supérieur · rang de $Q_3$Q₃ : $\frac{3n}{4}$3n/4 arrondi à l'entier supérieur. Un quartile est toujours une VALEUR de la série.

Erreur fréquente : Arrondir $3,75$3,75 à $4$4 « parce que c'est plus proche ». La règle est l'arrondi SUPÉRIEUR systématique : $3,2$3,2 donnerait aussi le rang $4$4.

Correction détaillée

1. 1

   La moyenne s'obtient en additionnant toutes les valeurs, puis en divisant par leur nombre.

2. 2

   Somme : $12+15=27$12 + 15 = 27, $+16=43$+16 = 43, $+18=61$+18 = 61, $+19=80$+19 = 80, $+20=100$+20 = 100.

3. 3

   On poursuit : $+21=121$+21 = 121, $+22=143$+22 = 143, $+24=167$+24 = 167, $+26=193$+26 = 193, $+28=221$+28 = 221.

4. 4

   Moyenne : $\bar{x}=\frac{221}{11}\approx 20,09$barx = 221/11 ≈ 20,09 articles par jour.

5. 5

   La série compte $11$11 valeurs, un nombre impair : la médiane est celle de rang $\frac{11+1}{2}=6$(11+1)/2 = 6.

6. 6

   En comptant : $12$12 ; $15$15 ; $16$16 ; $18$18 ; $19$19 ; $20$20.

   La médiane vaut $20$20 articles.

7. 7

   Contrôle : cinq valeurs avant, cinq après. ✔

8. 8

   On remarque que la moyenne ($20,09$20,09) et la médiane ($20$20) sont très PROCHES l'une de l'autre.

9. 9

   C'est la signature d'une série assez régulière, sans valeur extrême qui viendrait tirer la moyenne d'un côté.

10. 10

    Cela contraste avec la série de salaires vue plus haut, où la moyenne dépassait la médiane de près de $400$400 €.

11. 11

    Repère utile en gestion : quand moyenne et médiane sont proches, la moyenne résume bien la série.

    Quand elles s'écartent nettement, il faut se demander pourquoi.

Rappel de cours : Moyenne et médiane proches → série régulière. Moyenne nettement supérieure à la médiane → présence de valeurs hautes extrêmes.

Erreur fréquente : Diviser par $10$10 au lieu de $11$11. Compter l'effectif avant de diviser fait partie du calcul.

Correction détaillée

1. 1

   Salaire moyen : $\bar{x}=\frac{34400}{15}\approx 2293,33$barx = (34 400)/15 ≈ 2 293,33 €.

2. 2

   La médiane vaut $1900$1 900 € : la moyenne lui est supérieure de près de $400$400 €.

3. 3

   Explication : la moyenne tient compte de la VALEUR de chaque salaire, donc les deux salaires élevés ($3200$3 200 € et surtout $6500$6 500 €) la tirent fortement vers le haut.

4. 4

   La médiane, elle, ne tient compte que du RANG : que le salaire le plus élevé soit de $6500$6 500 € ou de $20000$20 000 €, elle vaudrait toujours $1900$1 900 €.

5. 5

   Vérification de cette affirmation : en remplaçant $6500$6 500 par $20000$20 000, la moyenne passerait à $\frac{47900}{15}\approx 3193$(47 900)/15 ≈ 3 193 €, tandis que la médiane resterait $1900$1 900 €.

6. 6

   Chiffre parlant : $11$11 salariés sur $15$15 gagnent MOINS que le salaire moyen.

   La moyenne ne décrit donc pas un salarié typique de cette entreprise.

7. 7

   Réponse à la troisième question : les deux ont raison, les deux chiffres sont exacts.

   C'est le choix de l'indicateur qui diffère.

8. 8

   Le dirigeant choisit la moyenne, plus flatteuse, parce qu'elle intègre les hauts salaires.

   Le syndicat choisit la médiane, plus représentative de la situation du plus grand nombre.

9. 9

   Le rôle du gestionnaire n'est pas de trancher entre les deux, mais de savoir ce que chacun mesure — et de repérer quand on lui présente l'un plutôt que l'autre.

10. 10

    Règle pratique : pour des salaires, des loyers ou des patrimoines — toutes les grandeurs à valeurs extrêmes élevées — la MÉDIANE est l'indicateur le plus honnête.

11. 11

    C'est d'ailleurs la médiane que l'INSEE met en avant pour le niveau de vie des Français, précisément pour cette raison.

Rappel de cours : La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, la médiane non. Pour des salaires, la médiane est plus représentative.

Erreur fréquente : Croire qu'un des deux chiffres est « faux ». Ils mesurent deux choses différentes : la question n'est pas la véracité mais la pertinence.

Correction détaillée

1. 1

   Première étape obligatoire : ordonner la série.

2. 2

   $3$3 ; $4$4 ; $4$4 ; $5$5 ; $5$5 ; $5$5 ; $5$5 ; $6$6 ; $6$6 ; $7$7.

3. 3

   Contrôle : on doit retrouver $10$10 valeurs, et les mêmes qu'au départ. ✔

4. 4

   L'effectif $n=10$n = 10 est PAIR : la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, celles de rangs $5$5 et $6$6.

5. 5

   Ces deux valeurs sont $5$5 et $5$5, donc la médiane vaut $\frac{5+5}{2}=5$(5+5)/2 = 5 jours.

6. 6

   Pour $Q_1$Q₁ : le rang est $\frac{10}{4}=2,5$10/4 = 2,5, arrondi à l'entier supérieur, soit le rang $3$3.

7. 7

   La troisième valeur est $4$4, donc $Q_1=4$Q₁ = 4 jours.

8. 8

   Pour $Q_3$Q₃ : le rang est $\frac{30}{4}=7,5$30/4 = 7,5, arrondi au rang $8$8.

9. 9

   La huitième valeur est $6$6, donc $Q_3=6$Q₃ = 6 jours.

10. 10

    Écart interquartile : $Q_3-Q_1=6-4=2$Q₃ - Q₁ = 6 - 4 = 2 jours.

    La moitié centrale des livraisons arrive entre $4$4 et $6$6 jours.

11. 11

    Les cinq nombres du diagramme en boîte sont, dans l'ordre : minimum $3$3, $Q_1=4$Q₁ = 4, médiane $=5$= 5, $Q_3=6$Q₃ = 6, maximum $7$7.

12. 12

    Interprétation de gestion : ce fournisseur livre en $5$5 jours en moyenne, et la moitié centrale de ses livraisons tient dans une fourchette de $2$2 jours seulement.

    Il est régulier.

13. 13

    Attention à ne pas confondre les deux règles : la médiane d'un effectif pair se calcule en faisant une MOYENNE, alors que les quartiles restent toujours des valeurs de la série.

Rappel de cours : Médiane d'un effectif pair : moyenne des deux valeurs centrales. Quartiles : toujours une valeur de la série, au rang arrondi à l'entier supérieur.

Erreur fréquente : Chercher les quartiles sur la série non ordonnée. Tout le calcul repose sur le rang, donc sur le tri préalable.

Correction détaillée

1. 1

   Quand les données sont regroupées en classes, on ne connaît plus les valeurs individuelles : on remplace chaque classe par son CENTRE.

2. 2

   Centre d'une classe $[a;b[$[a ;b[ : $\frac{a+b}{2}$(a+b)/2.

   On obtient $10$10 ; $30$30 ; $50$50 ; $70$70 ; $90$90.

3. 3

   On calcule ensuite une moyenne pondérée par les effectifs.

4. 4

   Numérateur : $10\times 12+30\times 28+50\times 35+70\times 18+90\times 7$10 × 12 + 30 × 28 + 50 × 35 + 70 × 18 + 90 × 7.

5. 5

   Soit $120+840+1750+1260+630$120 + 840 + 1 750 + 1 260 + 630.

6. 6

   Somme : $120+840=960$120 + 840 = 960, $+1750=2710$+1 750 = 2 710, $+1260=3970$+1 260 = 3 970, $+630=4600$+630 = 4 600.

7. 7

   Moyenne : $\bar{x}=\frac{4600}{100}=46$barx = (4 600)/100 = 46 €.

   Le panier moyen est d'environ $46$46 €.

8. 8

   Pour la médiane, on cherche la classe contenant la $50^{\text{e}}$50ᵉ valeur, puisque $\frac{100}{2}=50$100/2 = 50.

9. 9

   Effectifs cumulés croissants : $12$12 ; $40$40 ; $75$75 ; $93$93 ; $100$100.

10. 10

    Le cumul atteint $40$40 à la fin de $[20;40[$[20 ;40[ et $75$75 à la fin de $[40;60[$[40 ;60[ : la $50^{\text{e}}$50ᵉ valeur se situe donc dans la classe $[40;60[$[40 ;60[.

11. 11

    Réponse à la dernière question : la moyenne n'est qu'approchée parce qu'on a supposé que, dans chaque classe, les clients se répartissent symétriquement autour du centre.

12. 12

    Dans la réalité, ils peuvent être concentrés vers le bas de la classe (beaucoup de paniers à $42$42 €) ou vers le haut.

    La vraie moyenne serait alors différente.

13. 13

    L'approximation reste néanmoins correcte, et c'est souvent la seule possible : les données brutes ne sont pas toujours conservées, seuls les tableaux de synthèse le sont.

Rappel de cours : Série en classes : on remplace chaque classe par son centre $\frac{a+b}{2}$(a+b)/2, puis on calcule une moyenne pondérée. Le résultat est une APPROXIMATION.

Erreur fréquente : Prendre les bornes des classes au lieu de leur centre. Avec les bornes inférieures, on trouverait $36$36 € au lieu de $46$46 €.

Correction détaillée

1. 1

   La médiane correspond à $50\%$50 % de l'effectif, soit $50$50 clients.

   On part donc de $50$50 sur l'axe vertical.

2. 2

   On rejoint la courbe horizontalement, puis on descend lire l'abscisse : on trouve environ $46$46 €.

3. 3

   Calcul de confirmation par interpolation : entre $40$40 € (cumul $40$40) et $60$60 € (cumul $75$75), il faut gagner $10$10 clients sur les $35$35 de la classe.

4. 4

   Cela représente une fraction $\frac{10}{35}$10/35 de la largeur de la classe, soit $20\times \frac{10}{35}\approx 5,7$20 × 10/35 ≈ 5,7 €.

5. 5

   Médiane $\approx 40+5,7=45,7$≈ 40 + 5,7 = 45,7 €. ✔ La lecture graphique est confirmée.

6. 6

   Pour le premier quartile, on part de $25\%$25 % de l'effectif, soit $25$25 clients.

7. 7

   On lit environ $29$29 € sur l'axe horizontal.

8. 8

   Confirmation : entre $20$20 € (cumul $12$12) et $40$40 € (cumul $40$40), il faut $13$13 clients sur $28$28, soit $20\times \frac{13}{28}\approx 9,3$20 × 13/28 ≈ 9,3 €, d'où $Q_1\approx 29,3$Q₁ ≈ 29,3 €. ✔

9. 9

   Pour la dernière question, on lit le cumul à $60$60 € : $93$93… attention, c'est le cumul à $80$80 €.

10. 10

    Le cumul à $60$60 € vaut $75$75 : $75$75 clients ont dépensé AU PLUS $60$60 €.

11. 11

    Ceux qui ont dépensé au moins $60$60 € sont donc les autres : $100-75=25$100 - 75 = 25 clients.

12. 12

    Ce passage par le complémentaire est le réflexe à avoir : une courbe cumulative CROISSANTE répond directement aux questions « au plus », et par soustraction aux questions « au moins ».

Rappel de cours : Sur une courbe d'effectifs cumulés CROISSANTS, on lit directement les « au plus ». Les « au moins » s'obtiennent en retranchant de l'effectif total.

Erreur fréquente : Lire la médiane sur l'axe des ordonnées. La médiane est une valeur de la variable étudiée, donc elle se lit en ABSCISSE.

Correction détaillée

1. 1

   Par définition, $Q_1$Q₁ sépare le quart inférieur : environ $25\%$25 % des salariés gagnent au plus $1800$1 800 €.

2. 2

   Sur $120$120 salariés : $0,25\times 120=30$0,25 × 120 = 30 salariés.

3. 3

   De même, $Q_3$Q₃ sépare le quart supérieur : environ $25\%$25 % gagnent au moins $2600$2 600 €, soit $30$30 salariés également.

4. 4

   La moitié centrale des salariés — ceux situés entre $Q_1$Q₁ et $Q_3$Q₃ — gagnent entre $1800$1 800 € et $2600$2 600 €.

5. 5

   Cette fourchette de $800$800 € est l'écart interquartile : $2600-1800=800$2 600 - 1 800 = 800 €.

6. 6

   Elle concerne $60$60 salariés, soit la moitié de l'effectif.

   C'est exactement ce que représente la BOÎTE du diagramme.

7. 7

   Pour la symétrie, on compare les deux moitiés de la boîte de part et d'autre de la médiane.

8. 8

   De $Q_1$Q₁ à la médiane : $2000-1800=200$2 000 - 1 800 = 200 €.

   De la médiane à $Q_3$Q₃ : $2600-2000=600$2 600 - 2 000 = 600 €.

9. 9

   La partie droite est trois fois plus large : la boîte n'est PAS symétrique, elle est étirée vers la droite.

10. 10

    Même constat sur les moustaches : $2000-1500=500$2 000 - 1 500 = 500 € à gauche contre $4500-2600=1900$4 500 - 2 600 = 1 900 € à droite.

11. 11

    Interprétation : les salaires sont resserrés dans le bas de l'échelle et beaucoup plus étalés dans le haut.

    C'est la forme typique d'une distribution de salaires.

12. 12

    Conséquence prévisible, à relier à l'exercice sur moyenne et médiane : cet étalement vers la droite fait que la moyenne sera SUPÉRIEURE à la médiane de $2000$2 000 €.

Rappel de cours : Un diagramme en boîte se lit en quarts : $25\%$25 % sous $Q_1$Q₁, $50\%$50 % dans la boîte, $25\%$25 % au-dessus de $Q_3$Q₃. Il ne dit rien de la moyenne.

Erreur fréquente : Croire que la boîte contient $25\%$25 % des données. Elle en contient $50\%$50 % : elle va de $Q_1$Q₁ à $Q_3$Q₃.

Correction détaillée

1. 1

   Somme des délais de A : $5+4+6+5+3+5+7+4+6+5$5+4+6+5+3+5+7+4+6+5.

2. 2

   On regroupe : $5+4=9$5+4 = 9, $+6=15$+6 = 15, $+5=20$+5 = 20, $+3=23$+3 = 23, $+5=28$+5 = 28, $+7=35$+7 = 35, $+4=39$+4 = 39, $+6=45$+6 = 45, $+5=50$+5 = 50.

3. 3

   Moyenne de A : $\frac{50}{10}=5$50/10 = 5 jours.

4. 4

   Somme des délais de B : $7+2+9+5+1+8+3+6+5+4=50$7+2+9+5+1+8+3+6+5+4 = 50 également, donc une moyenne de $5$5 jours aussi.

5. 5

   Les deux fournisseurs annoncent donc la vérité : même délai moyen de $5$5 jours.

   La moyenne ne permet pas de les départager.

6. 6

   L'écart-type mesure la DISPERSION : c'est, en gros, l'écart moyen des valeurs à la moyenne.

   Plus il est grand, plus les valeurs sont éparpillées.

7. 7

   ${\sigma }_A\approx 1,10$σ_A ≈ 1,10 jour : les délais de A s'écartent en moyenne d'environ un jour des $5$5 jours annoncés.

   Le fournisseur est RÉGULIER.

8. 8

   ${\sigma }_B\approx 2,45$σ_B ≈ 2,45 jours, soit plus du double : les délais de B sont beaucoup plus imprévisibles.

9. 9

   Étendue de A : $7-3=4$7 - 3 = 4 jours.

   Étendue de B : $9-1=8$9 - 1 = 8 jours, soit le double. ✔ Les deux indicateurs de dispersion concordent.

10. 10

    Autre lecture, très concrète : chez A, les $10$10 livraisons sont arrivées entre $3$3 et $7$7 jours.

    Chez B, $4$4 livraisons sur $10$10 sortent de cette fourchette ($1$1, $2$2, $8$8 et $9$9 jours).

11. 11

    Conclusion de gestion : à délai moyen identique, il faut choisir le fournisseur A.

    Un délai de $9$9 jours chez B peut provoquer une rupture de stock, qu'un délai de $1$1 jour ne compensera pas.

12. 12

    Idée essentielle du chapitre : deux séries peuvent avoir la même moyenne et n'avoir rien à voir.

    C'est la dispersion qui fait la différence, et c'est elle qui fonde la décision.

Rappel de cours : Une moyenne ne suffit jamais à comparer deux séries. Il faut toujours l'accompagner d'un indicateur de dispersion : écart-type, étendue ou écart interquartile.

Erreur fréquente : Conclure « c'est pareil » parce que les moyennes sont égales. C'est exactement ce que l'exercice cherche à faire dire, et c'est la faute la plus coûteuse en gestion.

Correction détaillée

1. 1

   Le tracé de A reste collé autour de la valeur $5$5 : il oscille entre $3$3 et $7$7, sans jamais s'en éloigner.

2. 2

   Le tracé de B fait de grandes oscillations, alternant des livraisons très rapides ($1$1 jour) et très lentes ($9$9 jours).

3. 3

   Les deux courbes se croisent souvent et tournent autour du même niveau moyen : le graphique confirme visuellement l'égalité des moyennes, et l'énorme différence de régularité.

4. 4

   Comptage pour A : les délais sont $5,4,6,5,3,5,7,4,6,5$5, 4, 6, 5, 3, 5, 7, 4, 6, 5.

   Toutes ces valeurs sont comprises entre $3$3 et $7$7, donc $10$10 commandes sur $10$10.

5. 5

   Comptage pour B : les délais sont $7,2,9,5,1,8,3,6,5,4$7, 2, 9, 5, 1, 8, 3, 6, 5, 4.

   On écarte $2$2, $9$9, $1$1 et $8$8, donc il en reste $6$6 sur $10$10.

6. 6

   Autrement dit, A tient la fourchette $100\%$100 % du temps contre $60\%$60 % pour B.

7. 7

   Pour la dernière question, on regarde les commandes dépassant $8$8 jours.

8. 8

   Chez A : le maximum est de $7$7 jours, donc AUCUN dépassement.

   L'engagement de $8$8 jours serait toujours tenu.

9. 9

   Chez B : une commande a mis $9$9 jours, soit un dépassement.

   Sur $10$10 commandes, cela fait un client mécontent sur dix.

10. 10

    Il faut donc retenir le fournisseur A, et cette fois l'argument est direct : c'est le seul qui permette de tenir l'engagement commercial.

11. 11

    Remarque importante : la moyenne de $5$5 jours ne dit RIEN sur ce risque.

    Seule la dispersion — ou ici la lecture des valeurs extrêmes — permet d'évaluer la probabilité de manquer un engagement.

12. 12

    C'est la raison pour laquelle les cahiers des charges industriels imposent presque toujours un délai maximal, et non un délai moyen.

Rappel de cours : Un engagement commercial porte sur les valeurs EXTRÊMES, pas sur la moyenne. Deux séries de même moyenne n'offrent pas du tout la même garantie.

Erreur fréquente : Comparer les deux fournisseurs sur la seule moyenne. Elle est identique : c'est le graphique et la dispersion qui départagent.

Correction détaillée

1. 1

   Premier cas : on ajoute la même somme à toutes les valeurs.

   Tous les salaires se décalent de $100$100 € vers le haut.

2. 2

   La moyenne se décale donc aussi : $2000+100=2100$2 000 + 100 = 2 100 €.

3. 3

   La médiane également : $1900+100=2000$1 900 + 100 = 2 000 €.

4. 4

   En revanche, les ÉCARTS entre salariés ne changent pas : si deux salariés étaient séparés de $400$400 €, ils le restent après que chacun ait reçu $100$100 €.

5. 5

   L'écart-type reste donc inchangé, à $300$300 €.

6. 6

   Second cas : on multiplie toutes les valeurs par $1,05$1,05.

7. 7

   Moyenne : $2000\times 1,05=2100$2 000 × 1,05 = 2 100 €.

   Médiane : $1900\times 1,05=1995$1 900 × 1,05 = 1 995 €.

8. 8

   Cette fois, les écarts sont eux aussi multipliés : deux salariés séparés de $400$400 € le seront de $400\times 1,05=420$400 × 1,05 = 420 €.

9. 9

   L'écart-type devient donc $300\times 1,05=315$300 × 1,05 = 315 €.

10. 10

    Vérification sur un exemple concret : deux salaires de $1500$1 500 € et $2500$2 500 €, séparés de $1000$1 000 €.

11. 11

    Avec $+100$+100 € : $1600$1 600 € et $2600$2 600 €, toujours séparés de $1000$1 000 €. ✔

12. 12

    Avec $+5\%$+5 % : $1575$1 575 € et $2625$2 625 €, désormais séparés de $1050$1 050 €. ✔

13. 13

    Réponse à la troisième question : c'est l'augmentation en POURCENTAGE qui creuse les écarts, puisqu'elle donne davantage à ceux qui gagnent déjà plus.

14. 14

    Chiffres à l'appui : à $1500$1 500 €, les $5\%$5 % rapportent $75$75 € ; à $2500$2 500 €, ils rapportent $125$125 €.

    L'augmentation forfaitaire, elle, donne $100$100 € à tout le monde.

15. 15

    C'est exactement l'enjeu des négociations salariales réelles : les syndicats demandent souvent une hausse forfaitaire, plus favorable aux bas salaires, quand les directions proposent un pourcentage.

Rappel de cours : Ajouter une constante décale la moyenne et la médiane sans toucher à la dispersion. Multiplier par un coefficient multiplie TOUT, y compris l'écart-type.

Erreur fréquente : Croire que l'écart-type augmente de $100$100 dans le premier cas. Il mesure des ÉCARTS, et ceux-ci ne bougent pas quand tout le monde reçoit la même somme.

Correction détaillée

1. 1

   Pour réunir deux groupes, on ne moyenne pas les moyennes : on repasse par les masses salariales totales.

2. 2

   Masse salariale du service commercial : $30\times 2400=72000$30 × 2 400 = 72 000 €.

3. 3

   Masse salariale de la production : $70\times 1900=133000$70 × 1 900 = 133 000 €.

4. 4

   Masse salariale totale : $72000+133000=205000$72 000 + 133 000 = 205 000 €.

5. 5

   Effectif total : $30+70=100$30 + 70 = 100 salariés.

6. 6

   Salaire moyen de l'ensemble : $\frac{205000}{100}=2050$(205 000)/100 = 2 050 €.

7. 7

   La moyenne simple des deux valeurs donnerait $\frac{2400+1900}{2}=2150$(2 400 + 1 900)/2 = 2 150 €, soit $100$100 € de plus.

   C'est faux.

8. 8

   Explication : la moyenne simple traite les deux services comme s'ils avaient le même effectif.

   Or la production compte plus du double de salariés du commercial.

9. 9

   Le salaire moyen d'ensemble doit donc être tiré vers celui du groupe le plus NOMBREUX, c'est-à-dire vers les $1900$1 900 € de la production.

10. 10

    Contrôle de vraisemblance : $2050$2 050 € est bien compris entre $1900$1 900 € et $2400$2 400 €, et plus proche de $1900$1 900 €. ✔

11. 11

    Autre écriture, équivalente : $\bar{x}=0,30\times 2400+0,70\times 1900=720+1330=2050$barx = 0,30 × 2 400 + 0,70 × 1 900 = 720 + 1 330 = 2 050 €.

12. 12

    Cette forme fait apparaître les proportions d'effectifs comme coefficients : c'est la moyenne pondérée, et c'est la formulation qu'on retrouve dans les rapports de gestion.

13. 13

    Attention enfin à ce que cette méthode NE permet PAS : on ne peut pas obtenir la médiane de l'ensemble à partir des deux médianes.

    Il faudrait pour cela les données individuelles.

Rappel de cours : Moyenne de deux groupes : $\bar{x}=\frac{n_1{\bar{x}}_1+n_2{\bar{x}}_2}{n_1+n_2}$barx = dfracn₁barx₁ + n₂barx₂n₁+n₂. On repasse toujours par les totaux, jamais par la moyenne des moyennes.

Erreur fréquente : Faire la moyenne des deux moyennes. Elle n'est correcte que si les deux groupes ont exactement le même effectif.

Correction détaillée

1. 1

   Le tableur possède une fonction pour chaque indicateur : il suffit de lui donner la PLAGE de cellules à traiter.

2. 2

   Moyenne : « =MOYENNE(B2:B121) ».

3. 3

   Médiane : « =MEDIANE(B2:B121) ».

   Le tableur trie les valeurs lui-même, il est donc inutile d'ordonner la colonne au préalable.

4. 4

   Écart-type : « =ECARTYPEP(B2:B121) ».

   Le P final signifie « population », c'est-à-dire l'écart-type de la série complète — celui du programme.

5. 5

   Attention : la fonction « =ECARTYPE() » sans P calcule un écart-type d'ÉCHANTILLON, avec un dénominateur $n-1$n-1.

   Elle donne un résultat légèrement différent.

6. 6

   Premier quartile : « =QUARTILE(B2:B121;1) », le second argument indiquant quel quartile on veut ($1$1 pour $Q_1$Q₁, $2$2 pour la médiane, $3$3 pour $Q_3$Q₃).

7. 7

   Remarque à connaître : le tableur applique une convention d'interpolation légèrement différente de celle du cours.

   Ses quartiles peuvent donc ne pas tomber exactement sur une valeur de la série.

8. 8

   Pour compter les salariés gagnant plus de $2500$2 500 € : « =NB.SI(B2:B121;">2500") ».

9. 9

   La fonction NB.SI compte les cellules d'une plage qui vérifient une condition, écrite entre guillemets.

10. 10

    On pourrait aussi obtenir la proportion correspondante : « =NB.SI(B2:B121;">2500")/120 », à mettre au format pourcentage.

11. 11

    Contrôle systématique à faire : « =NB(B2:B121) » doit renvoyer $120$120.

    Si le compte est différent, c'est qu'une cellule est vide ou contient du texte, et tous les indicateurs sont alors faussés.

12. 12

    Bon réflexe de gestion : afficher côte à côte moyenne, médiane et écart-type dans un coin de la feuille.

    Leur comparaison renseigne d'un coup d'œil sur la forme de la distribution.

Rappel de cours : ECARTYPEP = écart-type de la population (celui du cours). ECARTYPE (sans P) porte sur un échantillon et divise par $n-1$n-1.

Erreur fréquente : Oublier de vérifier que la plage contient bien toutes les données. Une ligne oubliée fausse silencieusement tous les indicateurs.

Correction détaillée

1. 1

   Les deux séries comptent $11$11 valeurs, déjà ordonnées : la médiane est celle de rang $\frac{11+1}{2}=6$(11+1)/2 = 6.

2. 2

   Magasin 1 : la sixième valeur est $20$20.

   Magasin 2 : la sixième valeur est $20$20 également.

3. 3

   Les deux magasins ont donc EXACTEMENT la même médiane : $20$20 articles par jour.

4. 4

   Rang de $Q_1$Q₁ : $\frac{11}{4}=2,75$11/4 = 2,75, arrondi au rang $3$3.

   Magasin 1 : $Q_1=16$Q₁ = 16 ; magasin 2 : $Q_1=14$Q₁ = 14.

5. 5

   Rang de $Q_3$Q₃ : $\frac{33}{4}=8,25$33/4 = 8,25, arrondi au rang $9$9.

   Magasin 1 : $Q_3=24$Q₃ = 24 ; magasin 2 : $Q_3=29$Q₃ = 29.

6. 6

   Écarts interquartiles : $24-16=8$24 - 16 = 8 articles pour le magasin 1, contre $29-14=15$29 - 14 = 15 articles pour le magasin 2.

7. 7

   Étendues : $28-12=16$28 - 12 = 16 contre $37-5=32$37 - 5 = 32 articles, soit le double.

8. 8

   Les moyennes ($20,09$20,09 et $21$21) sont très proches, et les médianes identiques : sur la position, les deux magasins sont comparables.

9. 9

   Tout les sépare en revanche sur la dispersion : l'écart-type du magasin 2 est deux fois plus grand ($9,34$9,34 contre $4,58$4,58), ce que confirment l'écart interquartile et l'étendue.

10. 10

    Graphiquement, cela se voit à la PENTE : la courbe du magasin 1 monte de façon raide et concentrée, celle du magasin 2 s'étale largement de $5$5 à $37$37 articles.

11. 11

    Réponse au responsable des stocks : le magasin 1 est bien plus facile à approvisionner.

    Ses ventes tiennent presque toujours entre $12$12 et $28$28 articles.

12. 12

    Pour le magasin 2, il faut soit accepter des ruptures les jours à $37$37 ventes, soit immobiliser du stock qui dormira les jours à $5$5 ventes.

    Les deux options coûtent cher.

13. 13

    Conclusion à retenir : à chiffre d'affaires comparable, c'est la RÉGULARITÉ qui détermine le coût de gestion.

    Deux magasins peuvent vendre autant en moyenne et n'avoir pas du tout la même rentabilité.

Rappel de cours : Comparer deux séries suppose TOUJOURS deux regards : la position (moyenne, médiane) et la dispersion (écart-type, écart interquartile, étendue).

Erreur fréquente : Conclure à l'identité des deux magasins parce que les médianes sont égales. Elles le sont, et pourtant les deux activités n'ont rien à voir.

Correction détaillée

1. 1

   Nouvelle somme : $34400-6500=27900$34 400 - 6 500 = 27 900 €, répartie sur $14$14 salariés.

2. 2

   Nouvelle moyenne : $\frac{27900}{14}\approx 1992,86$(27 900)/14 ≈ 1 992,86 €.

3. 3

   Pour la médiane, l'effectif passe à $14$14, un nombre PAIR : elle devient la moyenne des valeurs de rangs $7$7 et $8$8.

4. 4

   La série sans le dirigeant est $1600;1650;1700;1750;1800;1800;1850;1900;1950;2000;2100;2200;2400;3200$1 600 ; 1 650 ; 1 700 ; 1 750 ; 1 800 ; 1 800 ; 1 850 ; 1 900 ; 1 950 ; 2 000 ; 2 100 ; 2 200 ; 2 400 ; 3 200.

5. 5

   Les septième et huitième valeurs sont $1850$1 850 et $1900$1 900, donc la médiane vaut $\frac{1850+1900}{2}=1875$(1 850 + 1 900)/2 = 1 875 €.

6. 6

   Effet sur la moyenne : elle passe de $2293,33$2 293,33 € à $1992,86$1 992,86 €, soit une chute de $300,47$300,47 €.

7. 7

   Effet sur la médiane : elle passe de $1900$1 900 € à $1875$1 875 €, soit $25$25 € seulement.

8. 8

   Le retrait d'UNE seule valeur sur quinze fait donc bouger la moyenne douze fois plus que la médiane.

9. 9

   Explication : la moyenne intègre le MONTANT de chaque salaire, et $6500$6 500 € pesait à lui seul près de $19\%$19 % de la masse salariale.

   La médiane ne dépend que des rangs.

10. 10

    Vérification de ce poids : $\frac{6500}{34400}\approx 0,189$(6 500)/(34 400) ≈ 0,189, soit $18,9\%$18,9 % de la masse salariale pour $1$1 salarié sur $15$15 (soit $6,7\%$6,7 % de l'effectif). ✔

11. 11

    Ce qu'il faut retenir : un indicateur SENSIBLE aux valeurs extrêmes peut être modifié par une seule donnée.

    C'est la définition d'une valeur aberrante — non pas fausse, mais atypique.

12. 12

    Conséquence pratique pour une politique salariale : présenter le salaire moyen de $2293$2 293 € donne une image inexacte de la situation des salariés, puisqu'il inclut la rémunération du dirigeant.

13. 13

    La bonne pratique consiste à annoncer les deux chiffres et à préciser le périmètre : « salaire médian des salariés hors dirigeant : $1875$1 875 € ».

    C'est ce que font les rapports sociaux sérieux.