Suites numériques en Première STMG

Suites numériques en Première STMG : cours complet

Les suites numériques modélisent des évolutions par étapes (mensualités, populations, capitaux). En Première STMG, tu manipules surtout les suites arithmétiques (croissance par addition) et géométriques (croissance par multiplication).

Définition d'une suite

Notation

Une suite $(u_n)$(uₙ) associe à chaque entier $n$n un nombre $u_n$uₙ.

Définitions

• Explicite : $u_n=f(n)$uₙ = f(n).
• Récurrente : $u_{n+1}=g(u_n)$uₙ₊₁ = g(uₙ) avec un terme initial.

Suites arithmétiques

Définition

$$u_{n+1}=u_n+r$$uₙ₊₁ = uₙ + r

où $r$r est la raison.

Formule explicite

$$u_n=u_0+nr$$uₙ = u₀ + n r

Somme

$$\sum _{k=0}^n{u}_k=(n+1)\times \frac{u_0+u_n}{2}$$Σ_k=0ⁿ uₖ = (n+1) × (u₀ + uₙ)/2

Application : capital à intérêts simples

Un capital de $C$C € à taux $t\%$t% par an, intérêts simples :

$$u_n=C+n\times C\times \frac{t}{100}=C(1+n\times \frac{t}{100})$$uₙ = C + n × C × t/100 = C(1 + n × t/100)

C'est une suite arithmétique de raison $C\times \frac{t}{100}$C × t/100.

Suites géométriques

Définition

$$u_{n+1}=u_n\times q$$uₙ₊₁ = uₙ × q

où $q$q est la raison.

Formule explicite

$$u_n=u_0\times q^n$$uₙ = u₀ × qⁿ

Somme

$$\sum _{k=0}^n{u}_k=u_0\times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}(q\ne 1)$$Σ_k=0ⁿ uₖ = u₀ × (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q) (q ≠ 1)

Application : capital à intérêts composés

Capital $C$C, taux $t\%$t% par an :

$$u_n=C\times {\left(1+\frac{t}{100}\right)}^n$$uₙ = C × (1 + t/100)ⁿ

Suite géométrique de raison $1+\frac{t}{100}$1 + t/100.

Reconnaître la nature d'une suite

• Arithmétique : $u_{n+1}-u_n=r$uₙ₊₁ - uₙ = r constant.
• Géométrique : $\frac{u_{n+1}}{u_n}=q$uₙ₊₁/uₙ = q constant.

Exemple

$u_n=100+50n$uₙ = 100 + 50 n : arithmétique, $r=50$r = 50, $u_0=100$u₀ = 100.

$u_n=1000\times 1,05^n$uₙ = 1000 × 1,05ⁿ : géométrique, $q=1,05$q = 1,05, $u_0=1000$u₀ = 1000.

Variations

Arithmétique

• $r>0$r > 0 : croissante.
• $r<0$r < 0 : décroissante.
• $r=0$r = 0 : constante.

Géométrique (avec $u_0>0$u₀ > 0)

• $q>1$q > 1 : croissante.
• $0<q<1$0 < q < 1 : décroissante.
• $q=1$q = 1 : constante.

Calculs avec la calculatrice

TI / Casio

Utiliser le mode SUITE ou taper directement $u_0\times q^n$u₀ × qⁿ.

Excel

=A1*(1+0,05)^B1 pour calculer $u_n$uₙ.

Applications économiques

Épargne

Capital initial $C=5000$C = 5000 €, taux $4\%$4% par an. Après $10$10 ans :

$$u_{10}=5000\times 1,04^{10}\approx 7401\text{€}$$u₁₀ = 5000 × 1,04¹⁰ ≈ 7401 €

Emprunt

Mensualités à intérêts composés.

Démographie

Population qui augmente de $2\%$2% par an.

Amortissement

Valeur d'un bien qui décroît de $15\%$15% par an.

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre arithmétique et géométrique.
• Mauvaise raison : la calculer rigoureusement.
• Mauvaise formule de somme.
• Mauvais index : $u_n$uₙ peut commencer à $u_0$u₀ ou $u_1$u₁.

FAQ — Suites numériques en Première STMG

Comment choisir entre arith. et géom. ?

• Évolution par addition ($+100$+100 €/mois) : arithmétique.
• Évolution par pourcentage ($+5\%$+5%/an) : géométrique.

À quoi servent les suites en gestion ?

À modéliser emprunts, épargne, amortissements, croissance, stocks.

Pourquoi intérêts composés > simples ?

Parce que les intérêts s'ajoutent au capital, et génèrent eux-mêmes des intérêts (« intérêt sur intérêt »).

Comment retrouver $u_0$u₀ ?

Si on connaît $u_n$uₙ et $q$q, on a $u_0=\frac{u_n}{q^n}$u₀ = uₙ/qⁿ (géom.) ou $u_0=u_n-nr$u₀ = uₙ - n r (arith.).