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Exercices corrigés : Dérivation et variations — Première STMG

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Dérivation et variations

Niveau: Première STMG
Chapitre: Dérivation et variations
Nombre d'exercices: 20 exercices corrigés
Difficulté: Application directe à type bac

Dériver, en gestion, c'est mesurer ce que coûte ou rapporte l'unité SUIVANTE. Le nombre dérivé $C^{'} (q)$ C'(q) porte d'ailleurs un nom dans les entreprises : le coût marginal, c'est-à-dire le coût de production d'un article de plus. Ces 20 exercices installent le nombre dérivé, la tangente et les formules de dérivation, puis le résultat central du chapitre : le SIGNE de la dérivée donne les variations, donc les optimums. On reprend le modèle d'entreprise du chapitre précédent pour retrouver par le calcul ce qu'on y avait deviné graphiquement — la production optimale de 30 articles, et la valeur exacte du coût moyen minimal. Les deux derniers exercices démontrent deux résultats que tout gestionnaire utilise : on produit tant que la recette marginale dépasse le coût marginal, et le coût moyen est minimal exactement là où il croise le coût marginal.

Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée avec rappels de cours et erreurs fréquentes à éviter.

Exercice 1 — Du taux de variation au nombre dérivé

Application directe

Le coût de production, en euros, de $q$ q articles est $C (q) = 5 q^{2} + 100 q + 4000$ C(q) = 5q² + 100q + 4 000.

On s'intéresse à ce que coûte l'augmentation de la production autour de $q = 10$ q = 10.

1.Calcule le taux de variation de $C$ C entre $10$ 10 et $15$ 15, puis entre $10$ 10 et $11$ 11.
2.Que semblent devenir ces taux quand l'écart se resserre ?

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Correction détaillée

1
Le taux de variation entre deux quantités $a$ a et $b$ b vaut $\frac{C ( b ) - C ( a )}{b - a}$ (C(b) - C(a))/(b - a) : c'est le coût moyen d'un article supplémentaire sur cet intervalle.
2
Calcul des valeurs utiles : $C (10) = 500 + 1000 + 4000 = 5500$ C(10) = 500 + 1 000 + 4 000 = 5 500 €.
3
$C (15) = 5 \times 225 + 1500 + 4000 = 1125 + 5500 = 6625$ C(15) = 5 × 225 + 1 500 + 4 000 = 1 125 + 5 500 = 6 625 €.
4
Taux entre $10$ 10 et $15$ 15 : $\frac{6 625 - 5 500}{15 - 10} = \frac{1 125}{5} = 225$ (6 625 - 5 500)/(15 - 10) = (1 125)/5 = 225 € par article.
5
$C (11) = 5 \times 121 + 1100 + 4000 = 605 + 5100 = 5705$ C(11) = 5 × 121 + 1 100 + 4 000 = 605 + 5 100 = 5 705 €.
6
Taux entre $10$ 10 et $11$ 11 : $\frac{5 705 - 5 500}{1} = 205$ (5 705 - 5 500)/1 = 205 € — c'est exactement le coût du onzième article.
7
En resserrant encore : entre $10$ 10 et $10, 1$ 10,1, le taux vaut $200, 50$ 200,50 € ; entre $10$ 10 et $10, 01$ 10,01, il vaut $200, 05$ 200,05 €.
8
Les taux se rapprochent donc de $200$ 200.
Cette valeur limite s'appelle le NOMBRE DÉRIVÉ de $C$ C en $10$ 10, et se note $C^{'} (10)$ C'(10).
9
Interprétation en gestion : $C^{'} (10) = 200$ C'(10) = 200 € signifie qu'au niveau de production de $10$ 10 articles, produire une unité de plus coûte environ $200$ 200 €.
C'est le COÛT MARGINAL.
10
Contrôle de cohérence : le coût réel du onzième article vaut $205$ 205 €, très proche des $200$ 200 € annoncés par la dérivée. ✔ L'approximation est d'autant meilleure que la production est grande.
11
À retenir : un taux de variation concerne DEUX quantités et donne un coût moyen ; le nombre dérivé concerne UNE quantité et donne le coût marginal à cet endroit précis.

Réponse :

225

225 € entre

10

10 et

15

15,

205

205 € entre

10

10 et

11

11 · les taux tendent vers

200

200 € : c'est

C^{'} (10)

C'(10), le coût marginal en

q = 10

q = 10.

Rappel de cours : Taux de variation $= \frac{C ( b ) - C ( a )}{b - a}$ = (C(b)-C(a))/(b-a) · nombre dérivé $C^{'} (a)$ C'(a) = sa limite quand $b$ b se rapproche de $a$ a. En gestion, $C^{'} (q)$ C'(q) est le coût marginal.

Erreur fréquente : Diviser par $b$ b au lieu de $b - a$ b - a. Le dénominateur est l'ÉCART entre les deux quantités, ici $5$ 5 puis $1$ 1.

Exercice 2 — Les dérivées à connaître

Application directe

Donne la dérivée de chacune de ces fonctions : $f (x) = 4000$ f(x) = 4 000 ; $g (x) = 100 x$ g(x) = 100x ; $h (x) = x^{2}$ h(x) = x² ; $k (x) = x^{3}$ k(x) = x³ ; $m (x) = \frac{1}{x}$ m(x) = 1/x.

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Correction détaillée

1
Ces cinq formules sont à connaître par cœur : tout le chapitre s'y ramène.
2
$f (x) = 4000$ f(x) = 4 000 est une fonction constante, donc $f^{'} (x) = 0$ f'(x) = 0.
Une constante ne varie pas : sa pente est nulle partout.
3
En gestion, c'est cohérent : les charges fixes ne changent pas quand la production augmente, donc elles ne coûtent rien « à la marge ».
4
$g (x) = 100 x$ g(x) = 100x est une fonction linéaire, donc $g^{'} (x) = 100$ g'(x) = 100.
La pente est la même partout : chaque unité supplémentaire coûte $100$ 100 €.
5
$h (x) = x^{2}$ h(x) = x² donne $h^{'} (x) = 2 x$ h'(x) = 2x.
6
$k (x) = x^{3}$ k(x) = x³ donne $k^{'} (x) = 3 x^{2}$ k'(x) = 3x².
On applique la règle générale $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹ : l'exposant descend en facteur et diminue de $1$ 1.
7
$m (x) = \frac{1}{x}$ m(x) = 1/x donne $m^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}}$ m'(x) = -1/x², valable pour $x \neq = 0$ x ≠ 0.
8
Le signe moins est essentiel : la fonction inverse est DÉCROISSANTE, ce qu'on avait constaté au chapitre précédent avec les charges fixes réparties.
9
Contrôle de cohérence sur $h$ h : le taux de variation de $x^{2}$ x² entre $3$ 3 et $3, 01$ 3,01 vaut $\frac{9 , 0601 - 9}{0 , 01} = 6, 01$ (9,0601 - 9)/0,01 = 6,01, très proche de $h^{'} (3) = 6$ h'(3) = 6. ✔
10
Contrôle sur $m$ m avec $x = 2$ x = 2 : $m^{'} (2) = - \frac{1}{4} = - 0, 25$ m'(2) = -1/4 = -0,25.
Le taux entre $2$ 2 et $2, 01$ 2,01 vaut environ $- 0, 249$ -0,249. ✔

Réponse :

f^{'} = 0

f' = 0 ;

g^{'} = 100

g' = 100 ;

h^{'} = 2 x

h' = 2x ;

k^{'} = 3 x^{2}

k' = 3x² ;

m^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}

m' = -1/x².

Rappel de cours : $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹ couvre $x$ x, $x^{2}$ x² et $x^{3}$ x³. Le cas $\frac{1}{x}$ 1/x se mémorise à part, avec son signe moins.

Erreur fréquente : Oublier le signe moins dans la dérivée de $\frac{1}{x}$ 1/x. Sans lui, on conclurait que les charges fixes unitaires augmentent avec la production.

Exercice 3 — Dériver un coût et un bénéfice

Application directe

On garde $C (q) = 5 q^{2} + 100 q + 4000$ C(q) = 5q² + 100q + 4 000 et $B (q) = - 5 q^{2} + 300 q - 4000$ B(q) = -5q² + 300q - 4 000.

1.Calcule $C^{'} (q)$ C'(q) et $B^{'} (q)$ B'(q).
2.Calcule $C^{'} (20)$ C'(20), $B^{'} (20)$ B'(20) et $B^{'} (40)$ B'(40), puis interprète les signes.

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Correction détaillée

1
Deux règles suffisent : la dérivée d'une SOMME est la somme des dérivées, et un coefficient constant se conserve.
2
On dérive donc terme à terme, sans mélanger les termes entre eux.
3
Pour $C$ C : la dérivée de $5 q^{2}$ 5q² est $5 \times 2 q = 10 q$ 5 × 2q = 10q, celle de $100 q$ 100q est $100$ 100, celle de $4000$ 4 000 est $0$ 0.
4
Donc $C^{'} (q) = 10 q + 100$ C'(q) = 10q + 100.
5
Pour $B$ B : la dérivée de $- 5 q^{2}$ -5q² est $- 10 q$ -10q, celle de $300 q$ 300q est $300$ 300, celle de $- 4000$ -4 000 est $0$ 0.
6
Donc $B^{'} (q) = - 10 q + 300$ B'(q) = -10q + 300.
7
$C^{'} (20) = 200 + 100 = 300$ C'(20) = 200 + 100 = 300 € : au niveau de $20$ 20 articles, le suivant coûte environ $300$ 300 € à produire.
8
$B^{'} (20) = - 200 + 300 = 100$ B'(20) = -200 + 300 = 100, un nombre POSITIF : à $20$ 20 articles, produire une unité de plus fait GAGNER environ $100$ 100 €.
Il faut donc augmenter la production.
9
$B^{'} (40) = - 400 + 300 = - 100$ B'(40) = -400 + 300 = -100, un nombre NÉGATIF : à $40$ 40 articles, produire une unité de plus fait PERDRE $100$ 100 €.
Il faut réduire la production.
10
Remarque de forme, utile pour se relire : la dérivée d'un polynôme de degré $2$ 2 est de degré $1$ 1, et le terme constant disparaît toujours.
11
Ces deux signes opposés annoncent qu'entre $20$ 20 et $40$ 40 articles se trouve une quantité où $B^{'}$ B' s'annule : ce sera l'optimum de production.

Réponse :

C^{'} (q) = 10 q + 100

C'(q) = 10q + 100 et

B^{'} (q) = - 10 q + 300

B'(q) = -10q + 300 ·

C^{'} (20) = 300

C'(20) = 300 € ·

B^{'} (20) = 100 > 0

B'(20) = 100 > 0 (produire plus) et

B^{'} (40) = - 100 < 0

B'(40) = -100 < 0 (produire moins).

Rappel de cours : On dérive terme à terme. Le signe de $B^{'} (q)$ B'(q) dit s'il faut augmenter ou réduire la production : positif, on gagne encore ; négatif, on détruit de la valeur.

Erreur fréquente : Conserver le terme constant en écrivant $C^{'} (q) = 10 q + 100 + 4000$ C'(q) = 10q + 100 + 4 000. La dérivée d'une constante est nulle, sans exception.

Exercice 4 — Nombre dérivé et tangente

Application directe

Toujours avec $B (q) = - 5 q^{2} + 300 q - 4000$ B(q) = -5q² + 300q - 4 000, donc $B^{'} (q) = - 10 q + 300$ B'(q) = -10q + 300.

1.Calcule $B^{'} (10)$ B'(10), $B^{'} (30)$ B'(30) et $B^{'} (50)$ B'(50).
2.Interprète chaque résultat en termes de tangente à la courbe du bénéfice.

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Correction détaillée

1
$B^{'} (10) = - 100 + 300 = 200$ B'(10) = -100 + 300 = 200.
2
$B^{'} (30) = - 300 + 300 = 0$ B'(30) = -300 + 300 = 0.
3
$B^{'} (50) = - 500 + 300 = - 200$ B'(50) = -500 + 300 = -200.
4
Le nombre dérivé EST le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point considéré.
5
En $q = 10$ q = 10 : la tangente a pour coefficient directeur $200$ 200, elle MONTE.
La courbe du bénéfice est en train de croître.
6
En $q = 30$ q = 30 : le coefficient directeur est nul, la tangente est HORIZONTALE.
C'est le sommet de la parabole.
7
En $q = 50$ q = 50 : le coefficient vaut $- 200$ -200, la tangente DESCEND.
Le bénéfice se dégrade.
8
Cohérence avec le chapitre précédent : la forme canonique $B (q) = - 5 (q - 30)^{2} + 500$ B(q) = -5(q-30)² + 500 donnait un sommet en $S (30; 500)$ S(30 ;500).
9
On retrouve exactement la même quantité, cette fois par le calcul de la dérivée. ✔ C'est le résultat général : en un extremum, le nombre dérivé s'annule.
10
Symétrie remarquable : $B^{'} (10) = 200$ B'(10) = 200 et $B^{'} (50) = - 200$ B'(50) = -200.
Ces deux quantités sont symétriques par rapport à $30$ 30, et les pentes y sont opposées.
11
Attention à ne pas confondre $B^{'} (30) = 0$ B'(30) = 0 et $B (30) = 0$ B(30) = 0.
Le premier dit que la tangente est horizontale, le second dirait que le bénéfice est nul — or il vaut $500$ 500 €.

Réponse :

B^{'} (10) = 200

B'(10) = 200 (tangente montante),

B^{'} (30) = 0

B'(30) = 0 (tangente horizontale, au sommet),

B^{'} (50) = - 200

B'(50) = -200 (tangente descendante).

Rappel de cours : $B^{'} (a)$ B'(a) EST le coefficient directeur de la tangente en $a$ a. Positif → ça monte · négatif → ça descend · nul → tangente horizontale, donc extremum possible.

Erreur fréquente : Confondre $B^{'} (a)$ B'(a) et $B (a)$ B(a). Le premier est une pente, le second un montant en euros.

Exercice 5 — Équation d'une tangente

Application directe

Détermine l'équation de la tangente à la courbe du coût $C (q) = 5 q^{2} + 100 q + 4000$ C(q) = 5q² + 100q + 4 000 au point d'abscisse $q = 10$ q = 10.

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Correction détaillée

1
La formule à connaître est $y = C^{'} (a) (q - a) + C (a)$ y = C'(a)(q - a) + C(a), où $a$ a est l'abscisse du point de contact.
2
Elle se lit ainsi : c'est la droite de coefficient directeur $C^{'} (a)$ C'(a) qui passe par le point $(a; C (a))$ (a ;C(a)).
3
Il faut donc DEUX ingrédients : l'ordonnée du point de contact et la pente.
4
Ordonnée : $C (10) = 500 + 1000 + 4000 = 5500$ C(10) = 500 + 1 000 + 4 000 = 5 500 €.
Le point de contact est $A (10; 5500)$ A(10 ;5 500).
5
Pente : $C^{'} (q) = 10 q + 100$ C'(q) = 10q + 100, donc $C^{'} (10) = 200$ C'(10) = 200.
6
On remplace : $y = 200 (q - 10) + 5500$ y = 200(q - 10) + 5 500.
7
On développe : $y = 200 q - 2000 + 5500$ y = 200q - 2 000 + 5 500, soit $y = 200 q + 3500$ y = 200q + 3 500.
8
Vérification que la tangente passe bien par le point de contact : pour $q = 10$ q = 10, $y = 2000 + 3500 = 5500$ y = 2 000 + 3 500 = 5 500. ✔
9
Interprétation économique de cette tangente : elle représente le coût si, à partir de $10$ 10 articles, chaque unité supplémentaire coûtait toujours $200$ 200 €.
10
Comparaison avec la réalité : pour $q = 12$ q = 12, la tangente prévoit $5900$ 5 900 € alors que le coût réel vaut $C (12) = 720 + 1200 + 4000 = 5920$ C(12) = 720 + 1 200 + 4 000 = 5 920 €.
11
L'écart est faible près du point de contact et grandit ensuite : c'est exactement ce qu'on attend d'une approximation par la tangente.

Réponse :

y = 200 q + 3500

y = 200q + 3 500.

Rappel de cours : $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ y = f'(a)(x-a) + f(a). Deux calculs préalables, toujours les mêmes : $f (a)$ f(a) puis $f^{'} (a)$ f'(a).

Erreur fréquente : Oublier la parenthèse $(q - a)$ (q-a) et écrire $y = 200 q + 5500$ y = 200q + 5 500. Cette droite ne toucherait pas la courbe au bon endroit — le test « passe-t-elle par le point de contact ? » le montre aussitôt.

Exercice 6 — Coût marginal et coût du dernier article

À maîtriser

Le coût marginal est modélisé par la dérivée $C^{'} (q) = 10 q + 100$ C'(q) = 10q + 100.

1.Calcule $C^{'} (20)$ C'(20), puis le coût réel du vingt-et-unième article, c'est-à-dire $C (21) - C (20)$ C(21) - C(20).
2.Compare les deux résultats et explique l'écart.
3.Le coût marginal augmente-t-il avec la production ? Qu'est-ce que cela signifie ?

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Correction détaillée

1
$C^{'} (20) = 10 \times 20 + 100 = 300$ C'(20) = 10 × 20 + 100 = 300 €.
2
Pour le coût réel, on calcule les deux coûts totaux.
$C (20) = 5 \times 400 + 2000 + 4000 = 2000 + 6000 = 8000$ C(20) = 5 × 400 + 2 000 + 4 000 = 2 000 + 6 000 = 8 000 €.
3
$C (21) = 5 \times 441 + 2100 + 4000 = 2205 + 6100 = 8305$ C(21) = 5 × 441 + 2 100 + 4 000 = 2 205 + 6 100 = 8 305 €.
4
Coût du vingt-et-unième article : $8305 - 8000 = 305$ 8 305 - 8 000 = 305 €.
5
Le coût marginal annonce $300$ 300 €, le coût réel est de $305$ 305 € : l'écart n'est que de $5$ 5 €, soit moins de $2 %$ 2 %.
6
Explication : la dérivée donne la pente de la tangente EN un point, alors que le coût réel du 21ᵉ article correspond à la variation sur tout l'intervalle de $20$ 20 à $21$ 21.
7
Comme le coût augmente sur cet intervalle, la variation réelle est un peu supérieure à la pente calculée au début de l'intervalle.
C'est pourquoi $C^{'} (20)$ C'(20) sous-estime légèrement.
8
En pratique, les gestionnaires utilisent $C^{'} (q)$ C'(q) sans hésiter : l'approximation est excellente et elle se calcule d'une seule opération.
9
Troisième question : $C^{'} (q) = 10 q + 100$ C'(q) = 10q + 100 est une fonction croissante de $q$ q, puisque son coefficient directeur $10$ 10 est positif.
10
Le coût marginal augmente donc avec la production : $C^{'} (10) = 200$ C'(10) = 200 €, $C^{'} (20) = 300$ C'(20) = 300 €, $C^{'} (50) = 600$ C'(50) = 600 €.
11
Signification concrète : plus l'entreprise produit, plus chaque article supplémentaire coûte cher — heures supplémentaires, matières premières achetées en urgence, machines saturées.
12
C'est précisément ce phénomène qui empêche de produire indéfiniment, et qui donne au bénéfice sa forme de cloche.

Réponse :

C^{'} (20) = 300

C'(20) = 300 € contre

305

305 € en réalité : la dérivée sous-estime de

5

5 € car elle mesure la pente au début de l'intervalle · le coût marginal croît avec la production, ce qui limite la taille rentable de l'activité.

Rappel de cours : $C^{'} (q)$ C'(q) approche le coût de l'article suivant. L'écart avec le coût réel est faible, et il vient de ce que la dérivée mesure une pente ponctuelle.

Erreur fréquente : Croire que $C^{'} (20)$ C'(20) donne le coût des $20$ 20 premiers articles. Il donne le coût du SUIVANT ; le coût des $20$ 20 premiers est $C (20) = 8000$ C(20) = 8 000 €.

Exercice 7 — Signe de la dérivée et production optimale

À maîtriser

Étudie le signe de $B^{'} (q) = - 10 q + 300$ B'(q) = -10q + 300 et déduis-en le tableau de variations de $B$ B sur $[0; 60]$ [0 ;60], puis la production optimale.

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Correction détaillée

1
Résultat central du chapitre : sur un intervalle, si $B^{'}$ B' est positive alors $B$ B est croissante ; si $B^{'}$ B' est négative, $B$ B est décroissante.
2
On résout d'abord $B^{'} (q) = 0$ B'(q) = 0 : $- 10 q + 300 = 0$ -10q + 300 = 0 donne $10 q = 300$ 10q = 300, donc $q = 30$ q = 30.
3
Signe de cette expression affine : le coefficient de $q$ q vaut $- 10$ -10, il est négatif, donc $B^{'}$ B' est POSITIVE avant $30$ 30 et NÉGATIVE après.
4
Vérification en deux points : $B^{'} (0) = 300 > 0$ B'(0) = 300 > 0 et $B^{'} (60) = - 300 < 0$ B'(60) = -300 < 0. ✔
5
Conclusion : $B$ B est croissante sur $[0; 30]$ [0 ;30], puis décroissante sur $[30; 60]$ [30 ;60].
6
La dérivée s'annule en changeant de signe, du positif au négatif : $B$ B admet donc un MAXIMUM en $q = 30$ q = 30.
7
Valeur de ce maximum : $B (30) = - 4500 + 9000 - 4000 = 500$ B(30) = -4 500 + 9 000 - 4 000 = 500 €.
8
Tableau de variations : $B$ B monte de $B (0) = - 4000$ B(0) = -4 000 € jusqu'à $500$ 500 € en $q = 30$ q = 30, puis redescend jusqu'à $B (60) = - 4000$ B(60) = -4 000 €.
9
Cohérence avec le chapitre 3 : la forme canonique $- 5 (q - 30)^{2} + 500$ -5(q-30)² + 500 donnait exactement le même sommet. ✔
10
Ce que la dérivée apporte de plus : elle fonctionne pour TOUTES les fonctions, pas seulement les trinômes.
Dès que le modèle de coût sera cubique, la forme canonique ne servira plus, mais la dérivée si.
11
Lecture de gestion : tant que $q < 30$ q < 30, $B^{'} (q) > 0$ B'(q) > 0, donc chaque article supplémentaire améliore le résultat.
Au-delà, il le dégrade.
La production optimale est de $30$ 30 articles.

Réponse :

B^{'}

B' s'annule en

q = 30

q = 30, positive avant et négative après ·

B

B croît sur

[0; 30]

[0 ;30] puis décroît · maximum de

500

500 € pour

30

30 articles, comme au chapitre 3.

Rappel de cours : $B^{'} > 0$ B' > 0 → $B$ B croissante · $B^{'} < 0$ B' < 0 → décroissante · $B^{'}$ B' s'annule EN CHANGEANT DE SIGNE → extremum.

Erreur fréquente : Étudier le signe de $B$ B au lieu de celui de $B^{'}$ B'. Ce sont deux tableaux différents : l'un donne les variations, l'autre les quantités rentables.

Exercice 8 — Un coût toujours croissant

À maîtriser

Une autre entreprise a pour coût total $C (q) = q^{3} - 30 q^{2} + 400 q + 1000$ C(q) = q³ - 30q² + 400q + 1 000 euros.

1.Calcule $C^{'} (q)$ C'(q).
2.Montre que le coût total est strictement croissant.
3.Ce résultat est-il économiquement attendu ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
On dérive terme à terme, en utilisant $(q^{3})^{'} = 3 q^{2}$ (q³)' = 3q² et $(q^{2})^{'} = 2 q$ (q²)' = 2q.
2
$C^{'} (q) = 3 q^{2} - 60 q + 400$ C'(q) = 3q² - 60q + 400.
3
Pour montrer que $C$ C est croissante, il suffit de montrer que $C^{'}$ C' est strictement positive.
4
$C^{'}$ C' est un trinôme du second degré : on utilise les outils du chapitre 3 et on calcule son discriminant.
5
$Δ = (- 60)^{2} - 4 \times 3 \times 400 = 3600 - 4800 = - 1200$ Δ = (-60)² - 4 × 3 × 400 = 3 600 - 4 800 = -1 200.
6
Comme $Δ < 0$ Δ < 0, le trinôme n'a AUCUNE racine : il ne change donc jamais de signe.
7
Il garde alors le signe de son coefficient dominant $a = 3 > 0$ a = 3 > 0, c'est-à-dire qu'il est strictement positif pour toute quantité.
8
Conclusion : $C^{'} (q) > 0$ C'(q) > 0, donc le coût total $C$ C est strictement croissant.
9
Vérification numérique : $C^{'} (0) = 400$ C'(0) = 400, $C^{'} (10) = 300 - 600 + 400 = 100$ C'(10) = 300 - 600 + 400 = 100, $C^{'} (20) = 1200 - 1200 + 400 = 400$ C'(20) = 1 200 - 1 200 + 400 = 400.
Toutes positives. ✔
10
Réponse à la troisième question : oui, c'est parfaitement attendu.
Produire davantage ne peut pas coûter moins cher au TOTAL — on ne défabrique pas des articles.
11
Ce qui peut baisser, en revanche, c'est le coût MARGINAL.
Ici $C^{'} (10) = 100$ C'(10) = 100 € est inférieur à $C^{'} (0) = 400$ C'(0) = 400 € : au début, chaque article supplémentaire coûte de moins en moins cher, grâce à l'organisation qui se rode.
12
Puis $C^{'}$ C' remonte ( $C^{'} (20) = 400$ C'(20) = 400 €) : l'outil de production sature.
Le coût total, lui, n'a jamais cessé de croître.

Réponse :

C^{'} (q) = 3 q^{2} - 60 q + 400

C'(q) = 3q² - 60q + 400, de discriminant

- 1200 < 0

-1 200 < 0 et de coefficient dominant positif :

C^{'} > 0

C' > 0 partout, donc

C

C est strictement croissante — ce qui est économiquement normal.

Rappel de cours : Un trinôme de discriminant négatif garde le signe de $a$ a sur tout $R$ ℝ : c'est l'argument standard pour prouver qu'une dérivée ne s'annule jamais.

Erreur fréquente : Conclure « $Δ < 0$ Δ < 0 donc on ne peut rien dire ». C'est au contraire l'information la plus forte : aucun changement de signe n'est possible.

Exercice 9 — Bénéfice à deux extremums

À maîtriser

Le bénéfice, en euros, d'une entreprise est $B (q) = - q^{3} + 24 q^{2} - 45 q - 400$ B(q) = -q³ + 24q² - 45q - 400 pour $q$ q articles vendus, avec $0 ⩽ q ⩽ 22$ 0 ≤ q ≤ 22.

1.Calcule $B^{'} (q)$ B'(q) et vérifie que $B^{'} (q) = - 3 (q - 1) (q - 15)$ B'(q) = -3(q-1)(q-15).
2.Dresse le tableau de variations de $B$ B.
3.Donne le bénéfice maximal et la production correspondante.

Voir la correction

Correction détaillée

1
Dérivée terme à terme : $B^{'} (q) = - 3 q^{2} + 48 q - 45$ B'(q) = -3q² + 48q - 45.
2
Pour la vérification, on développe la forme proposée : $- 3 (q - 1) (q - 15) = - 3 (q^{2} - 16 q + 15)$ -3(q-1)(q-15) = -3(q² - 16q + 15).
3
$= - 3 q^{2} + 48 q - 45$ = -3q² + 48q - 45. ✔ C'est bien la même expression.
4
Les racines de $B^{'}$ B' sont donc $q = 1$ q = 1 et $q = 15$ q = 15.
5
Signe : $B^{'}$ B' est un trinôme de coefficient dominant $- 3$ -3, donc NÉGATIF à l'extérieur des racines et POSITIF entre elles.
6
Variations qui en découlent : $B$ B décroît sur $[0; 1]$ [0 ;1], croît sur $[1; 15]$ [1 ;15], puis décroît sur $[15; 22]$ [15 ;22].
7
Valeurs aux points clés : $B (0) = - 400$ B(0) = -400 € et $B (1) = - 1 + 24 - 45 - 400 = - 422$ B(1) = -1 + 24 - 45 - 400 = -422 €.
8
$B (15) = - 3375 + 5400 - 675 - 400 = 950$ B(15) = -3 375 + 5 400 - 675 - 400 = 950 € et $B (22) = - 10648 + 11616 - 990 - 400 = - 422$ B(22) = -10 648 + 11 616 - 990 - 400 = -422 €.
9
La dérivée passe du négatif au positif en $q = 1$ q = 1 : c'est un MINIMUM local, de valeur $- 422$ -422 €.
10
Elle passe du positif au négatif en $q = 15$ q = 15 : c'est un MAXIMUM local, de valeur $950$ 950 €.
11
Sur l'intervalle fermé $[0; 22]$ [0 ;22], on compare les extremums locaux et les bornes : $- 400$ -400, $- 422$ -422, $950$ 950 et $- 422$ -422.
12
Le bénéfice maximal est donc de $950$ 950 €, atteint pour une production de $15$ 15 articles. ✔
13
Remarque : un modèle cubique permet ce que le second degré ne permettait pas — un creux au démarrage, puis une phase de forte progression, puis un essoufflement.
C'est souvent plus réaliste.

Réponse :

B^{'} (q) = - 3 q^{2} + 48 q - 45 = - 3 (q - 1) (q - 15)

B'(q) = -3q² + 48q - 45 = -3(q-1)(q-15) ·

B

B décroît, croît puis décroît · maximum de

950

950 € pour

15

15 articles (minimum local de

- 422

-422 € en

q = 1

q = 1).

Rappel de cours : Quand $B^{'}$ B' est un trinôme, on applique la règle du signe du second degré : signe de $a$ a à l'extérieur des racines, signe opposé entre elles.

Erreur fréquente : Annoncer un maximum en $q = 1$ q = 1 parce que la dérivée s'y annule. C'est le SENS du changement de signe qui décide : ici la dérivée passe de $-$ - à $+$ +, donc c'est un minimum.

Exercice 10 — Dériver la fonction inverse

À maîtriser

Les charges fixes de $4000$ 4 000 € réparties sur $q$ q articles donnent $f (q) = \frac{4 000}{q}$ f(q) = (4 000)/q euros par article.

1.Calcule $f^{'} (q)$ f'(q).
2.Calcule $f^{'} (20)$ f'(20) et $f^{'} (40)$ f'(40), puis interprète.
3.Que dit le signe de $f^{'}$ f' sur le sens de variation ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
On utilise la formule de référence $(\frac{1}{q})^{'} = - \frac{1}{q ^{2}}$ (1/q)' = -1/q², en conservant le coefficient $4000$ 4 000.
2
$f (q) = 4000 \times \frac{1}{q}$ f(q) = 4 000 × 1/q, donc $f^{'} (q) = 4000 \times (- \frac{1}{q ^{2}}) = - \frac{4 000}{q ^{2}}$ f'(q) = 4 000 × (-1/q²) = -(4 000)/q².
3
$f^{'} (20) = - \frac{4 000}{400} = - 10$ f'(20) = -(4 000)/400 = -10.
4
Interprétation : à $20$ 20 articles, produire une unité de plus fait baisser la charge fixe unitaire d'environ $10$ 10 €.
5
$f^{'} (40) = - \frac{4 000}{1 600} = - 2, 5$ f'(40) = -(4 000)/(1 600) = -2,5.
6
À $40$ 40 articles, le gain n'est plus que de $2, 50$ 2,50 € par unité supplémentaire : l'effet d'échelle s'essouffle.
7
Vérification : $f (20) = 200$ f(20) = 200 € et $f (21) \approx 190, 48$ f(21) ≈ 190,48 €, soit une baisse réelle de $9, 52$ 9,52 € — proche des $10$ 10 € annoncés. ✔
8
Troisième question : $q^{2}$ q² est toujours positif, donc $- \frac{4 000}{q ^{2}}$ -(4 000)/q² est toujours NÉGATIF sur $] 0; + \infty [$ ]0 ;+∞[.
9
La fonction $f$ f est donc strictement décroissante : la charge fixe unitaire baisse toujours quand la production augmente, sans exception.
10
Mais elle baisse de moins en moins vite, puisque $∣ f^{'} (q) ∣$ |f'(q)| diminue : c'est la traduction mathématique du fait que les économies d'échelle s'épuisent.
11
Conséquence de gestion : passer de $20$ 20 à $40$ 40 articles fait gagner beaucoup sur les charges fixes unitaires ; passer de $200$ 200 à $220$ 220 n'apporte presque plus rien ( $f^{'} (200) = - 0, 1$ f'(200) = -0,1).

Réponse :

f^{'} (q) = - \frac{4 000}{q ^{2}}

f'(q) = -(4 000)/q² ·

f^{'} (20) = - 10

f'(20) = -10 et

f^{'} (40) = - 2, 5

f'(40) = -2,5 ·

f^{'}

f' est toujours négative, donc

f

f décroît, mais de moins en moins vite : les économies d'échelle s'épuisent.

Rappel de cours : $(\frac{k}{q})^{'} = - \frac{k}{q ^{2}}$ (k/q)' = -k/q². Le carré au dénominateur rend la dérivée toujours négative, donc la fonction toujours décroissante.

Erreur fréquente : Écrire $f^{'} (q) = - \frac{4 000}{q}$ f'(q) = -(4 000)/q en oubliant le carré. On surestimerait fortement le gain à grande production.

Exercice 11 — Le coût moyen minimal, valeur exacte

Type contrôle

Au chapitre précédent, le coût moyen unitaire $C M (q) = 5 q + 100 + \frac{4 000}{q}$ CM(q) = 5q + 100 + (4 000)/q avait été minimisé par tableau de valeurs, autour de $28$ 28 articles.

On cherche maintenant la valeur exacte.

1.Calcule $C M^{'} (q)$ CM'(q).
2.Résous $C M^{'} (q) = 0$ CM'(q) = 0 sur $] 0; + \infty [$ ]0 ;+∞[.
3.Conclus sur la production entière qui minimise le coût moyen.

Voir la correction

Correction détaillée

1
On dérive terme à terme : la dérivée de $5 q$ 5q est $5$ 5, celle de $100$ 100 est $0$ 0, et celle de $\frac{4 000}{q}$ (4 000)/q est $- \frac{4 000}{q ^{2}}$ -(4 000)/q².
2
Donc $C M^{'} (q) = 5 - \frac{4 000}{q ^{2}}$ CM'(q) = 5 - (4 000)/q².
3
On résout $5 - \frac{4 000}{q ^{2}} = 0$ 5 - (4 000)/q² = 0, soit $\frac{4 000}{q ^{2}} = 5$ (4 000)/q² = 5.
4
On multiplie les deux membres par $q^{2}$ q², ce qui est autorisé car $q > 0$ q > 0 : $4000 = 5 q^{2}$ 4 000 = 5q².
5
D'où $q^{2} = 800$ q² = 800, et comme $q > 0$ q > 0, $q = 800$ q = √(800).
6
On simplifie : $800 = 400 \times 2 = 202 \approx 28, 28$ √(800) = √(400 × 2) = 20√(2) ≈ 28,28.
7
Signe de $C M^{'}$ CM' : pour $q < 28, 28$ q < 28,28, on a $q^{2} < 800$ q² < 800 donc $\frac{4 000}{q ^{2}} > 5$ (4 000)/q² > 5, et $C M^{'}$ CM' est NÉGATIVE — le coût moyen baisse.
8
Pour $q > 28, 28$ q > 28,28, c'est l'inverse : $C M^{'}$ CM' est POSITIVE et le coût moyen remonte.
9
La dérivée s'annule en changeant de signe, du négatif au positif : $C M$ CM admet donc bien un MINIMUM en $q = 202$ q = 20√(2).
10
Valeur de ce minimum : $C M (202) \approx 382, 84$ CM(20√(2)) ≈ 382,84 € par article.
11
Mais une production est un nombre ENTIER d'articles : on compare donc les deux entiers qui encadrent $28, 28$ 28,28.
12
$C M (28) \approx 382, 86$ CM(28) ≈ 382,86 € et $C M (29) \approx 382, 93$ CM(29) ≈ 382,93 €.
Le plus petit est $C M (28)$ CM(28).
13
La production entière optimale est donc de $28$ 28 articles, ce qui confirme exactement le résultat obtenu par balayage au chapitre 3. ✔
14
Ce que la dérivée apporte : la valeur EXACTE $202$ 20√(2), et surtout la PREUVE qu'il s'agit bien d'un minimum — le tableau de valeurs, lui, ne pouvait que le suggérer.

Réponse :

C M^{'} (q) = 5 - \frac{4 000}{q ^{2}}

CM'(q) = 5 - (4 000)/q², qui s'annule pour

q = 800 = 202 \approx 28, 28

q = √(800) = 20√(2) ≈ 28,28 · le coût moyen minimal vaut environ

382, 84

382,84 € · en entier, la production optimale est de

28

28 articles.

Rappel de cours : $\frac{k}{q ^{2}} = c$ k/q² = c se résout en multipliant par $q^{2}$ q² : on obtient $q^{2} = \frac{k}{c}$ q² = k/c, puis on ne garde que la racine positive si $q$ q est une quantité.

Erreur fréquente : Donner $28, 28$ 28,28 articles comme réponse finale. La valeur exacte sert à prouver le minimum, mais on ne produit pas $0, 28$ 0,28 article.

Exercice 12 — Étude complète d'un bénéfice cubique

Type contrôle

On reprend $B (q) = - q^{3} + 24 q^{2} - 45 q - 400$ B(q) = -q³ + 24q² - 45q - 400, de dérivée $B^{'} (q) = - 3 (q - 1) (q - 15)$ B'(q) = -3(q-1)(q-15), sur $[0; 22]$ [0 ;22].

Le graphique ci-dessous représente cette fonction.

1.Détermine, par balayage, le seuil de rentabilité (première quantité rendant le bénéfice positif).
2.À partir de quelle quantité l'entreprise repasse-t-elle en perte ?
3.Un actionnaire propose de produire $20$ 20 articles « pour vendre plus ». Que lui répondre ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Le seuil de rentabilité est la première quantité pour laquelle $B (q) ⩾ 0$ B(q) ≥ 0.
Une équation de degré $3$ 3 ne se résout pas ici : on procède par balayage.
2
$B (6) = - 216 + 864 - 270 - 400 = - 22$ B(6) = -216 + 864 - 270 - 400 = -22 € : encore en perte, mais de peu.
3
$B (7) = - 343 + 1176 - 315 - 400 = 118$ B(7) = -343 + 1 176 - 315 - 400 = 118 € : l'entreprise devient bénéficiaire.
4
Le seuil de rentabilité est donc de $7$ 7 articles, et la justification tient en ces deux calculs encadrants.
5
Pour le retour en perte, on balaye vers le haut, en s'appuyant sur le fait que $B$ B décroît après $q = 15$ q = 15.
6
$B (20) = - 8000 + 9600 - 900 - 400 = 300$ B(20) = -8 000 + 9 600 - 900 - 400 = 300 € : encore bénéficiaire.
7
$B (21) = - 9261 + 10584 - 945 - 400 = - 22$ B(21) = -9 261 + 10 584 - 945 - 400 = -22 € : l'entreprise repasse en perte.
8
L'activité est donc rentable de $7$ 7 à $20$ 20 articles inclus.
9
Réponse à l'actionnaire : produire $20$ 20 articles rapporte $300$ 300 €, alors que produire $15$ 15 articles rapporte $950$ 950 €.
10
Autrement dit, en produisant cinq articles de plus, l'entreprise perd $650$ 650 € de bénéfice — plus des deux tiers de son résultat.
11
L'argument « vendre plus » confond volume et profit : la recette augmente bien, mais le coût augmente plus vite encore.
12
Vérification de la cohérence avec les variations : $B$ B est décroissante après $15$ 15, donc toute production supérieure rapporte forcément moins. ✔ Le tableau de variations suffisait à répondre.
13
Conseil final : viser $15$ 15 articles.
Si l'objectif est vraiment d'augmenter le volume, il faut d'abord modifier la structure de coûts, pas pousser la production à modèle inchangé.

Réponse : Seuil de rentabilité à

7

7 articles (

B (6) = - 22

B(6) = -22 € et

B (7) = 118

B(7) = 118 €) · retour en perte à

21

21 articles · produire

20

20 articles rapporte

300

300 € contre

950

950 € pour

15

15 : l'actionnaire a tort.

Rappel de cours : Un seuil se justifie toujours par un ENCADREMENT : la quantité précédente ne convient pas, celle trouvée convient.

Erreur fréquente : Confondre « produire plus » et « gagner plus ». Après le maximum, chaque article supplémentaire réduit le bénéfice.

Exercice 13 — Recette marginale et coût marginal

Type contrôle

On revient au modèle $R (q) = 400 q$ R(q) = 400q et $C (q) = 5 q^{2} + 100 q + 4000$ C(q) = 5q² + 100q + 4 000.

1.Calcule $R^{'} (q)$ R'(q) et $C^{'} (q)$ C'(q), et interprète chacune.
2.Résous $R^{'} (q) = C^{'} (q)$ R'(q) = C'(q).
3.Compare le résultat à la production optimale et explique le lien.

Voir la correction

Correction détaillée

1
$R (q) = 400 q$ R(q) = 400q est une fonction linéaire, donc $R^{'} (q) = 400$ R'(q) = 400.
2
Interprétation : chaque article supplémentaire rapporte $400$ 400 €, quel que soit le niveau de production.
C'est la RECETTE MARGINALE, ici constante puisque le prix de vente est fixe.
3
$C^{'} (q) = 10 q + 100$ C'(q) = 10q + 100 est le COÛT MARGINAL : ce que coûte l'article suivant, et il augmente avec la production.
4
On résout $R^{'} (q) = C^{'} (q)$ R'(q) = C'(q) : $400 = 10 q + 100$ 400 = 10q + 100.
5
$10 q = 300$ 10q = 300, donc $q = 30$ q = 30.
6
C'est exactement la production qui maximise le bénéfice, trouvée plus haut par $B^{'} (q) = 0$ B'(q) = 0. ✔
7
Le lien est direct, et il se démontre : $B (q) = R (q) - C (q)$ B(q) = R(q) - C(q), donc $B^{'} (q) = R^{'} (q) - C^{'} (q)$ B'(q) = R'(q) - C'(q).
8
Dire « $B^{'} (q) = 0$ B'(q) = 0 » revient donc exactement à dire « $R^{'} (q) = C^{'} (q)$ R'(q) = C'(q) ».
Les deux conditions sont la même, écrite de deux façons.
9
Lecture économique, et c'est le résultat le plus utile du chapitre : tant que la recette marginale dépasse le coût marginal, chaque article supplémentaire rapporte plus qu'il ne coûte — il faut produire.
10
Vérification à $20$ 20 articles : $R^{'} = 400$ R' = 400 € contre $C^{'} (20) = 300$ C'(20) = 300 €.
L'article suivant rapporte $100$ 100 € de plus qu'il ne coûte, donc on continue. ✔
11
Vérification à $40$ 40 articles : $R^{'} = 400$ R' = 400 € contre $C^{'} (40) = 500$ C'(40) = 500 €.
L'article suivant coûte $100$ 100 € de plus qu'il ne rapporte : on produit trop. ✔
12
Ce critère est celui qu'utilisent réellement les entreprises, parce qu'il se vérifie article par article, sans avoir à recalculer tout le bénéfice.

Réponse :

R^{'} (q) = 400

R'(q) = 400 € (recette marginale constante) et

C^{'} (q) = 10 q + 100

C'(q) = 10q + 100 (coût marginal croissant) · ils s'égalisent en

q = 30

q = 30, soit exactement l'optimum de bénéfice · c'est logique puisque

B^{'} = R^{'} - C^{'}

B' = R' - C'.

Rappel de cours : L'optimum de production vérifie $R^{'} (q) = C^{'} (q)$ R'(q) = C'(q) : on produit tant que l'article suivant rapporte plus qu'il ne coûte.

Erreur fréquente : Chercher où $R (q) = C (q)$ R(q) = C(q) au lieu de $R^{'} (q) = C^{'} (q)$ R'(q) = C'(q). La première égalité donne le point mort (bénéfice nul), la seconde l'optimum (bénéfice maximal).

Exercice 14 — Estimer un coût avec la tangente

Type contrôle

Une entreprise produit actuellement $30$ 30 articles, pour un coût total de $C (30) = 11500$ C(30) = 11 500 €, avec $C (q) = 5 q^{2} + 100 q + 4000$ C(q) = 5q² + 100q + 4 000.

1.Détermine l'équation de la tangente à la courbe de $C$ C au point d'abscisse $30$ 30.
2.Utilise-la pour estimer le coût de $31$ 31 articles, puis compare à la valeur exacte.
3.Jusqu'où cette estimation reste-t-elle acceptable ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Pente : $C^{'} (q) = 10 q + 100$ C'(q) = 10q + 100, donc $C^{'} (30) = 400$ C'(30) = 400 €.
2
Équation de la tangente : $y = C^{'} (30) (q - 30) + C (30) = 400 (q - 30) + 11500$ y = C'(30)(q - 30) + C(30) = 400(q - 30) + 11 500.
3
On développe : $y = 400 q - 12000 + 11500$ y = 400q - 12 000 + 11 500, soit $y = 400 q - 500$ y = 400q - 500.
4
Estimation pour $31$ 31 articles : $y = 400 \times 31 - 500 = 12400 - 500 = 11900$ y = 400 × 31 - 500 = 12 400 - 500 = 11 900 €.
5
Valeur exacte : $C (31) = 5 \times 961 + 3100 + 4000 = 4805 + 7100 = 11905$ C(31) = 5 × 961 + 3 100 + 4 000 = 4 805 + 7 100 = 11 905 €.
6
L'écart n'est que de $5$ 5 € sur $11905$ 11 905 €, soit moins de $0, 05 %$ 0,05 %.
L'estimation est excellente.
7
C'est le principe de l'approximation par la tangente : au voisinage du point de contact, la droite épouse la courbe.
8
Pour $35$ 35 articles : la tangente donne $400 \times 35 - 500 = 13500$ 400 × 35 - 500 = 13 500 €, alors que $C (35) = 6125 + 3500 + 4000 = 13625$ C(35) = 6 125 + 3 500 + 4 000 = 13 625 €.
L'écart monte à $125$ 125 €.
9
Pour $50$ 50 articles : la tangente donne $19500$ 19 500 € contre $C (50) = 12500 + 5000 + 4000 = 21500$ C(50) = 12 500 + 5 000 + 4 000 = 21 500 € en réalité.
L'écart atteint $2000$ 2 000 €, soit près de $10 %$ 10 %.
10
L'estimation se dégrade donc rapidement quand on s'éloigne : l'écart passe de $5$ 5 € à $125$ 125 € puis $2000$ 2 000 €.
11
Explication : la courbe de coût s'incurve vers le haut (le coût marginal augmente), alors que la tangente, elle, garde une pente constante de $400$ 400 €.
12
Règle pratique : l'approximation par la tangente est fiable pour quelques unités autour du point d'étude — ce qui suffit à la plupart des décisions de gestion courante.

Réponse :

y = 400 q - 500

y = 400q - 500 · estimation de

11900

11 900 € pour

31

31 articles, contre

11905

11 905 € en réalité (

5

5 € d'écart) · l'estimation reste bonne à quelques unités près, mais devient mauvaise plus loin (

2000

2 000 € d'écart à

50

50 articles).

Rappel de cours : Près du point de contact, la tangente donne une très bonne estimation. L'écart grandit d'autant plus vite que la courbe s'incurve.

Erreur fréquente : Utiliser la tangente pour estimer un coût très éloigné. À $50$ 50 articles, elle sous-estime de $2000$ 2 000 € — une erreur coûteuse dans un budget.

Exercice 15 — Lire des tangentes sur un graphique

Type contrôle

La courbe ci-dessous est celle du bénéfice $B (q) = - 5 q^{2} + 300 q - 4000$ B(q) = -5q² + 300q - 4 000, tracée avec sa tangente au point d'abscisse $10$ 10 (en pointillés).

1.Lis $B (10)$ B(10) et le coefficient directeur de la tangente, puis donne $B^{'} (10)$ B'(10).
2.Retrouve l'équation de cette tangente par le calcul.
3.En quel point la tangente à la courbe est-elle horizontale ? Que vaut alors $B^{'}$ B' ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Lecture de $B (10)$ B(10) : on part de $q = 10$ q = 10, on rejoint la courbe, on lit $- 1500$ -1 500 €.
2
Pour le coefficient directeur, on utilise deux points bien placés de la tangente : elle passe par $(10; - 1500)$ (10 ;-1 500) et par $(20; 500)$ (20 ;500).
3
Coefficient directeur $= \frac{500 - ( - 1 500 )}{20 - 10} = \frac{2 000}{10} = 200$ = (500 - (-1 500))/(20 - 10) = (2 000)/10 = 200.
4
Ce coefficient directeur EST le nombre dérivé, donc $B^{'} (10) = 200$ B'(10) = 200.
5
Vérification par le calcul : $B^{'} (q) = - 10 q + 300$ B'(q) = -10q + 300, donc $B^{'} (10) = - 100 + 300 = 200$ B'(10) = -100 + 300 = 200. ✔
6
Équation de la tangente : $y = B^{'} (10) (q - 10) + B (10) = 200 (q - 10) - 1500$ y = B'(10)(q - 10) + B(10) = 200(q - 10) - 1 500.
7
On développe : $y = 200 q - 2000 - 1500$ y = 200q - 2 000 - 1 500, soit $y = 200 q - 3500$ y = 200q - 3 500.
8
Contrôle sur le graphique : cette droite coupe l'axe vertical en $- 3500$ -3 500 et vaut $500$ 500 en $q = 20$ q = 20. ✔ C'est bien la droite tracée.
9
Pour la tangente horizontale, on résout $B^{'} (q) = 0$ B'(q) = 0, soit $- 10 q + 300 = 0$ -10q + 300 = 0, donc $q = 30$ q = 30.
10
Le nombre dérivé y vaut alors $0$ 0, et l'ordonnée du point est $B (30) = 500$ B(30) = 500 €.
11
Sur le graphique, c'est le point le plus haut de la courbe : la tangente y est parfaitement horizontale, ce qui se voit à l'œil.
12
Lecture de gestion : la pente de $200$ 200 € en $q = 10$ q = 10 signifie qu'à ce niveau, chaque article supplémentaire rapporte environ $200$ 200 € de bénéfice en plus.
Au sommet, il n'y a plus rien à gagner.

Réponse :

B (10) = - 1500

B(10) = -1 500 € et

B^{'} (10) = 200

B'(10) = 200, tangente

y = 200 q - 3500

y = 200q - 3 500 · la tangente est horizontale au sommet

(30; 500)

(30 ;500), où

B^{'} (30) = 0

B'(30) = 0.

Rappel de cours : Sur un graphique, le nombre dérivé se lit comme un coefficient directeur : on avance de $1$ 1 et on mesure la montée — sur la TANGENTE, jamais sur la courbe.

Erreur fréquente : Lire la pente sur la courbe elle-même. Une courbe n'a pas de coefficient directeur : seule la tangente en a un.

Exercice 16 — Le coût moyen croise le coût marginal

Type bac / défi

Le graphique représente le coût moyen unitaire $C M (q) = 5 q + 100 + \frac{4 000}{q}$ CM(q) = 5q + 100 + (4 000)/q (courbe en U) et le coût marginal $C^{'} (q) = 10 q + 100$ C'(q) = 10q + 100 (droite).

1.Résous l'équation $C M (q) = C^{'} (q)$ CM(q) = C'(q) sur $] 0; + \infty [$ ]0 ;+∞[.
2.Compare ce résultat à la production qui minimise le coût moyen.
3.Explique pourquoi ce n'est pas une coïncidence.

Voir la correction

Correction détaillée

1
On écrit l'équation : $5 q + 100 + \frac{4 000}{q} = 10 q + 100$ 5q + 100 + (4 000)/q = 10q + 100.
2
Les termes $100$ 100 se simplifient de part et d'autre : $5 q + \frac{4 000}{q} = 10 q$ 5q + (4 000)/q = 10q.
3
On retranche $5 q$ 5q : $\frac{4 000}{q} = 5 q$ (4 000)/q = 5q.
4
On multiplie par $q$ q, autorisé car $q > 0$ q > 0 : $4000 = 5 q^{2}$ 4 000 = 5q², donc $q^{2} = 800$ q² = 800.
5
D'où $q = 800 = 202 \approx 28, 28$ q = √(800) = 20√(2) ≈ 28,28.
6
C'est exactement la quantité qui minimise le coût moyen, trouvée précédemment en résolvant $C M^{'} (q) = 0$ CM'(q) = 0. ✔
7
Valeur commune des deux coûts en ce point : $C^{'} (202) = 10 \times 28, 28 + 100 \approx 382, 84$ C'(20√(2)) = 10 × 28,28 + 100 ≈ 382,84 €, et $C M (202) \approx 382, 84$ CM(20√(2)) ≈ 382,84 € également. ✔
8
Pour comprendre que ce n'est pas une coïncidence, reprenons les deux calculs.
9
Le minimum du coût moyen vérifie $C M^{'} (q) = 0$ CM'(q) = 0, c'est-à-dire $5 - \frac{4 000}{q ^{2}} = 0$ 5 - (4 000)/q² = 0, donc $\frac{4 000}{q ^{2}} = 5$ (4 000)/q² = 5, soit $\frac{4 000}{q} = 5 q$ (4 000)/q = 5q.
10
Le croisement des deux courbes vérifie, comme on vient de le voir, exactement la même équation $\frac{4 000}{q} = 5 q$ (4 000)/q = 5q.
Les deux conditions sont donc identiques.
11
Interprétation économique, et c'est un résultat que tout gestionnaire connaît : tant que l'article suivant coûte MOINS cher que la moyenne actuelle, il tire cette moyenne vers le bas.
12
Dès qu'il coûte PLUS cher que la moyenne, il la tire vers le haut.
La moyenne est donc minimale précisément à l'instant où le coût marginal la rattrape.
13
Analogie qui aide à le retenir : une moyenne de notes baisse tant qu'on obtient des notes inférieures à elle, et remonte dès qu'on en obtient de supérieures.
Elle est au plus bas quand la nouvelle note égale la moyenne.
14
Vérification numérique : $C M (20) = 400$ CM(20) = 400 € alors que $C^{'} (20) = 300$ C'(20) = 300 € — le marginal est sous la moyenne, donc la moyenne baisse encore.
Et $C M (40) = 400$ CM(40) = 400 € contre $C^{'} (40) = 500$ C'(40) = 500 € — le marginal est au-dessus, la moyenne remonte. ✔

Réponse :

C M (q) = C^{'} (q)

CM(q) = C'(q) équivaut à

\frac{4 000}{q} = 5 q

(4 000)/q = 5q, donc

q = 202 \approx 28, 28

q = 20√(2) ≈ 28,28, soit exactement la production qui minimise le coût moyen · les deux conditions se ramènent à la même équation : la moyenne est minimale là où le marginal la rattrape.

Rappel de cours : Résultat à connaître : le coût moyen est minimal exactement là où il croise le coût marginal. Tant que le marginal est en dessous, la moyenne baisse.

Erreur fréquente : Croire que le coût moyen est minimal là où le coût marginal est minimal. Ici le coût marginal $10 q + 100$ 10q + 100 est croissant : il n'a pas de minimum sur l'intervalle.

Exercice 17 — Prix optimal par la dérivée

Type bac / défi

Une étude de marché donne la demande $D (p) = 1000 - 20 p$ D(p) = 1 000 - 20p articles lorsque le prix unitaire est de $p$ p euros.

La recette est donc $R (p) = 1000 p - 20 p^{2}$ R(p) = 1 000p - 20p².

1.Calcule $R^{'} (p)$ R'(p) et étudie son signe.
2.Détermine le prix qui maximise la recette, ainsi que la recette et la quantité vendue.
3.Le coût unitaire d'achat est de $10$ 10 € par article. Le prix optimal change-t-il si l'on raisonne sur le bénéfice ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
$R^{'} (p) = 1000 - 40 p$ R'(p) = 1 000 - 40p.
2
On résout $R^{'} (p) = 0$ R'(p) = 0 : $40 p = 1000$ 40p = 1 000, donc $p = 25$ p = 25 €.
3
Signe : le coefficient de $p$ p vaut $- 40$ -40, donc $R^{'}$ R' est positive avant $25$ 25 et négative après.
4
La recette croît donc jusqu'à $25$ 25 €, puis décroît : elle admet un maximum en $p = 25$ p = 25 €.
5
Recette correspondante : $R (25) = 25000 - 20 \times 625 = 25000 - 12500 = 12500$ R(25) = 25 000 - 20 × 625 = 25 000 - 12 500 = 12 500 €.
6
Quantité vendue : $D (25) = 1000 - 500 = 500$ D(25) = 1 000 - 500 = 500 articles. ✔ Cohérent avec le chapitre précédent.
7
Pour la troisième question, on écrit le bénéfice : chaque article vendu $p$ p euros en a coûté $10$ 10, donc $B (p) = (p - 10) \times D (p)$ B(p) = (p - 10) × D(p).
8
$B (p) = (p - 10) (1000 - 20 p) = 1000 p - 20 p^{2} - 10000 + 200 p$ B(p) = (p - 10)(1 000 - 20p) = 1 000p - 20p² - 10 000 + 200p.
9
On réduit : $B (p) = - 20 p^{2} + 1200 p - 10000$ B(p) = -20p² + 1 200p - 10 000.
10
Dérivée : $B^{'} (p) = - 40 p + 1200$ B'(p) = -40p + 1 200, qui s'annule pour $p = 30$ p = 30 €.
11
Le prix optimal CHANGE donc : $30$ 30 € pour maximiser le bénéfice, contre $25$ 25 € pour maximiser la recette.
12
Vérification : à $30$ 30 €, $D (30) = 400$ D(30) = 400 articles et $B = 400 \times 20 = 8000$ B = 400 × 20 = 8 000 € de bénéfice.
À $25$ 25 €, $B = 500 \times 15 = 7500$ B = 500 × 15 = 7 500 €. ✔ Le prix de $30$ 30 € rapporte bien davantage.
13
Explication : maximiser la recette ignore les coûts.
Or vendre $100$ 100 articles de plus à bas prix fait rentrer de l'argent, mais coûte aussi $10$ 10 € par article.
14
Conclusion de gestion, à retenir : le prix qui fait le plus gros chiffre d'affaires n'est PAS celui qui rapporte le plus.
C'est le bénéfice qu'il faut optimiser, jamais la recette seule.

Réponse :

R^{'} (p) = 1000 - 40 p

R'(p) = 1 000 - 40p, maximum pour

p = 25

p = 25 € : recette de

12500

12 500 € et

500

500 articles vendus · en tenant compte du coût d'achat,

B (p) = - 20 p^{2} + 1200 p - 10000

B(p) = -20p² + 1 200p - 10 000 est maximal pour

p = 30

p = 30 €, avec

8000

8 000 € de bénéfice.

Rappel de cours : Maximiser la recette et maximiser le bénéfice donnent des prix DIFFÉRENTS dès qu'il existe un coût unitaire. C'est le bénéfice qui compte.

Erreur fréquente : Optimiser le chiffre d'affaires en croyant optimiser le profit. Ici l'erreur coûte $500$ 500 € de bénéfice.

Exercice 18 — Optimum sous contrainte de capacité

Type bac / défi

On reprend $B (q) = - q^{3} + 24 q^{2} - 45 q - 400$ B(q) = -q³ + 24q² - 45q - 400, de dérivée $B^{'} (q) = - 3 (q - 1) (q - 15)$ B'(q) = -3(q-1)(q-15).

L'atelier ne peut produire que $12$ 12 articles au maximum.

1.Détermine le bénéfice maximal réalisable sur $[0; 12]$ [0 ;12].
2.Chiffre le manque à gagner par rapport à l'optimum sans contrainte.
3.Un investissement de $50000$ 50 000 € permettrait de porter la capacité à $15$ 15 articles. Sachant que l'entreprise produit $250$ 250 jours par an, en combien de temps serait-il remboursé ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Le maximum de $B$ B se situe en $q = 15$ q = 15, mais cette quantité est HORS de l'intervalle autorisé $[0; 12]$ [0 ;12].
2
On raisonne donc sur les variations : $B^{'}$ B' est positive entre $1$ 1 et $15$ 15, donc $B$ B est croissante sur $[1; 12]$ [1 ;12].
3
Une fonction croissante atteint son maximum à la BORNE DROITE : ici en $q = 12$ q = 12.
4
$B (12) = - 1728 + 24 \times 144 - 540 - 400 = - 1728 + 3456 - 940 = 788$ B(12) = -1 728 + 24 × 144 - 540 - 400 = -1 728 + 3 456 - 940 = 788 €.
5
Le bénéfice maximal réalisable est donc de $788$ 788 € par jour, avec $12$ 12 articles.
6
Il faut tout de même vérifier la borne gauche : $B (0) = - 400$ B(0) = -400 €, bien inférieur. ✔ Le maximum est bien en $q = 12$ q = 12.
7
Sans contrainte, l'entreprise réaliserait $B (15) = 950$ B(15) = 950 € par jour.
8
Manque à gagner : $950 - 788 = 162$ 950 - 788 = 162 € par jour.
9
Sur une année de $250$ 250 jours : $162 \times 250 = 40500$ 162 × 250 = 40 500 € de bénéfice supplémentaire par an si la capacité passait à $15$ 15 articles.
10
Durée de remboursement de l'investissement : $\frac{50 000}{40 500} \approx 1, 23$ (50 000)/(40 500) ≈ 1,23 an, soit environ $15$ 15 mois.
11
Vérification : $1, 23 \times 40500 \approx 49815$ 1,23 × 40 500 ≈ 49 815 €, proche des $50000$ 50 000 € investis. ✔
12
Conclusion : l'investissement serait remboursé en un peu plus d'un an, puis rapporterait $40500$ 40 500 € par an.
C'est économiquement très favorable.
13
Réserve à formuler : ce calcul suppose que la demande absorbe les trois articles supplémentaires chaque jour, et que le modèle de bénéfice reste valable après l'investissement — or celui-ci modifie sans doute les charges fixes.
14
Point de méthode : sur un intervalle FERMÉ, toujours vérifier si le sommet appartient à l'intervalle.
Sinon, l'extremum est nécessairement à une borne.

Réponse : Maximum de

788

788 € à la borne

q = 12

q = 12 · manque à gagner de

162

162 € par jour, soit

40500

40 500 € par an · l'investissement serait remboursé en environ

15

15 mois.

Rappel de cours : Sur un intervalle fermé, comparer la valeur au sommet ET aux bornes. Si le sommet est hors intervalle, l'extremum est à une borne.

Erreur fréquente : Répondre $950$ 950 € sans vérifier que $q = 15$ q = 15 est réalisable. La contrainte de capacité change la réponse et tout le raisonnement financier qui suit.

Exercice 19 — Retrouver une fonction à partir de sa dérivée

Type bac / défi

Le coût total d'une entreprise s'écrit $C (q) = a q^{2} + b q + 3000$ C(q) = aq² + bq + 3 000, où $a$ a et $b$ b sont deux nombres à déterminer.

On sait que le coût marginal vaut $150$ 150 € pour $10$ 10 articles et $250$ 250 € pour $30$ 30 articles.

1.Exprime $C^{'} (q)$ C'(q) en fonction de $a$ a et $b$ b.
2.Détermine $a$ a et $b$ b.
3.Calcule le coût total de $20$ 20 articles et le coût moyen unitaire correspondant.

Voir la correction

Correction détaillée

1
On dérive terme à terme, en traitant $a$ a et $b$ b comme des constantes.
2
$C^{'} (q) = 2 a q + b$ C'(q) = 2aq + b, puisque la dérivée de $3000$ 3 000 est nulle.
3
Les deux données se traduisent en deux équations : $C^{'} (10) = 150$ C'(10) = 150 et $C^{'} (30) = 250$ C'(30) = 250.
4
Première équation : $2 a \times 10 + b = 150$ 2a × 10 + b = 150, soit $20 a + b = 150$ 20a + b = 150.
5
Seconde équation : $2 a \times 30 + b = 250$ 2a × 30 + b = 250, soit $60 a + b = 250$ 60a + b = 250.
6
On soustrait la première de la seconde pour éliminer $b$ b : $40 a = 100$ 40a = 100, donc $a = 2, 5$ a = 2,5.
7
On remplace dans la première : $20 \times 2, 5 + b = 150$ 20 × 2,5 + b = 150, soit $50 + b = 150$ 50 + b = 150, donc $b = 100$ b = 100.
8
Le coût total est donc $C (q) = 2, 5 q^{2} + 100 q + 3000$ C(q) = 2,5q² + 100q + 3 000, et le coût marginal $C^{'} (q) = 5 q + 100$ C'(q) = 5q + 100.
9
Vérification sur les deux données : $C^{'} (10) = 50 + 100 = 150$ C'(10) = 50 + 100 = 150 € ✔ et $C^{'} (30) = 150 + 100 = 250$ C'(30) = 150 + 100 = 250 € ✔.
10
Coût total de $20$ 20 articles : $C (20) = 2, 5 \times 400 + 2000 + 3000 = 1000 + 5000 = 6000$ C(20) = 2,5 × 400 + 2 000 + 3 000 = 1 000 + 5 000 = 6 000 €.
11
Coût moyen unitaire : $\frac{6 000}{20} = 300$ (6 000)/20 = 300 € par article.
12
Contrôle de cohérence : le coût marginal en $q = 20$ q = 20 vaut $C^{'} (20) = 200$ C'(20) = 200 €, soit MOINS que le coût moyen de $300$ 300 €.
13
D'après le résultat démontré plus haut, cela signifie que le coût moyen est encore en train de baisser : l'entreprise a intérêt à produire davantage pour améliorer son coût unitaire. ✔
14
Interprétation des coefficients : $b = 100$ b = 100 € est le coût marginal « de départ » (pour une production presque nulle), et $a = 2, 5$ a = 2,5 mesure la vitesse à laquelle ce coût marginal augmente.

Réponse :

C^{'} (q) = 2 a q + b

C'(q) = 2aq + b · le système

20 a + b = 150

20a + b = 150 et

60 a + b = 250

60a + b = 250 donne

a = 2, 5

a = 2,5 et

b = 100

b = 100 ·

C (20) = 6000

C(20) = 6 000 € et un coût moyen de

300

300 € par article.

Rappel de cours : Deux inconnues demandent deux équations. Chaque donnée sur la dérivée en fournit une : on résout ensuite par soustraction.

Erreur fréquente : Traduire les données par $C (10) = 150$ C(10) = 150 au lieu de $C^{'} (10) = 150$ C'(10) = 150. Le coût MARGINAL est la dérivée, pas le coût total.

Exercice 20 — Synthèse : conseiller un dirigeant

Type bac / défi

Une entreprise vend ses articles $400$ 400 € pièce, avec un coût $C (q) = 5 q^{2} + 100 q + 4000$ C(q) = 5q² + 100q + 4 000.

Le dirigeant hésite entre trois décisions : produire $20$ 20, $30$ 30 ou $40$ 40 articles par jour.

1.Calcule pour chaque option le bénéfice, le coût marginal et le coût moyen unitaire.
2.Quelle option conseiller, et pourquoi les deux autres sont-elles écartées ?
3.Le dirigeant objecte : « à $28$ 28 articles mon coût unitaire est le plus bas, c'est donc là qu'il faut produire ». Que lui répondre ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
On rassemble les trois indicateurs pour chaque option, avec $B (q) = - 5 q^{2} + 300 q - 4000$ B(q) = -5q² + 300q - 4 000, $C^{'} (q) = 10 q + 100$ C'(q) = 10q + 100 et $C M (q) = 5 q + 100 + \frac{4 000}{q}$ CM(q) = 5q + 100 + (4 000)/q.
2
Pour $q = 20$ q = 20 : $B (20) = - 2000 + 6000 - 4000 = 0$ B(20) = -2 000 + 6 000 - 4 000 = 0 €, $C^{'} (20) = 300$ C'(20) = 300 €, $C M (20) = 100 + 100 + 200 = 400$ CM(20) = 100 + 100 + 200 = 400 €.
3
Pour $q = 30$ q = 30 : $B (30) = 500$ B(30) = 500 €, $C^{'} (30) = 400$ C'(30) = 400 €, $C M (30) \approx 383, 33$ CM(30) ≈ 383,33 €.
4
Pour $q = 40$ q = 40 : $B (40) = - 8000 + 12000 - 4000 = 0$ B(40) = -8 000 + 12 000 - 4 000 = 0 €, $C^{'} (40) = 500$ C'(40) = 500 €, $C M (40) = 200 + 100 + 100 = 400$ CM(40) = 200 + 100 + 100 = 400 €.
5
L'option à conseiller est clairement $30$ 30 articles : c'est la seule qui dégage un bénéfice, de $500$ 500 € par jour.
6
Pourquoi $20$ 20 est écartée : c'est le seuil de rentabilité, l'entreprise couvre tout juste ses coûts sans rien gagner.
Le coût marginal ( $300$ 300 €) est inférieur au prix de vente ( $400$ 400 €), donc il reste de la marge à exploiter — il faut produire davantage.
7
Pourquoi $40$ 40 est écartée : le bénéfice est de nouveau nul, et surtout le coût marginal ( $500$ 500 €) DÉPASSE le prix de vente ( $400$ 400 €).
Chaque article produit à ce niveau coûte plus cher qu'il ne rapporte.
8
Le critère décisif est là : on produit tant que $C^{'} (q) < 400$ C'(q) < 400 €, et l'on s'arrête quand $C^{'} (q) = 400$ C'(q) = 400 €, c'est-à-dire en $q = 30$ q = 30. ✔ On retrouve la condition « recette marginale = coût marginal ».
9
Réponse à l'objection du dirigeant : il a raison sur le fait, mais tort sur la conclusion.
Le coût unitaire est bien minimal à $28$ 28 articles ( $382, 86$ 382,86 €), c'est exact.
10
Mais l'objectif d'une entreprise n'est pas de minimiser son coût unitaire : c'est de maximiser son bénéfice.
11
Comparons : $B (28) = - 3920 + 8400 - 4000 = 480$ B(28) = -3 920 + 8 400 - 4 000 = 480 € contre $B (30) = 500$ B(30) = 500 €.
En produisant à $28$ 28 articles, il gagne $20$ 20 € de moins par jour, soit $5000$ 5 000 € sur $250$ 250 jours.
12
Explication : entre $28$ 28 et $30$ 30 articles, chaque unité supplémentaire coûte environ $390$ 390 € et se vend $400$ 400 €.
Elle dégrade légèrement la moyenne, mais elle rapporte quand même $10$ 10 € de marge.
13
Conclusion à retenir : minimiser le coût unitaire et maximiser le profit sont deux objectifs différents.
Tant qu'un article supplémentaire se vend plus cher qu'il ne coûte, il faut le produire — même s'il fait remonter la moyenne.

Réponse :

q = 20

q=20 :

B = 0

B = 0 €,

C^{'} = 300

C' = 300 €,

C M = 400

CM = 400 € ·

q = 30

q=30 :

B = 500

B = 500 €,

C^{'} = 400

C' = 400 €,

C M \approx 383, 33

CM ≈ 383,33 € ·

q = 40

q=40 :

B = 0

B = 0 €,

C^{'} = 500

C' = 500 €,

C M = 400

CM = 400 € · conseiller

30

30 articles · à

28

28 articles le coût unitaire est minimal mais le bénéfice n'est que de

480

480 € : ce n'est pas le bon objectif.

Rappel de cours : Trois indicateurs, trois usages : le bénéfice décide, le coût marginal explique quand s'arrêter ( $C^{'} (q) =$ C'(q) = prix), le coût moyen mesure l'efficacité industrielle.

Erreur fréquente : Piloter sur le coût unitaire. Il renseigne sur l'efficacité de production, pas sur la rentabilité — ici il conduirait à perdre $5000$ 5 000 € par an.

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