Exercices corrigés : Fonctions du second degré et inverse — Première STMG

Correction détaillée

1. 1

   Une fonction polynôme du second degré s'écrit $f(x)=a{x}^2+bx+c$f(x) = ax² + bx + c avec $a\ne 0$a ≠ 0.

   C'est la présence d'un terme en $q^2$q², et son coefficient non nul, qui décide.

2. 2

   L'orientation dépend du seul signe de $a$a : si $a>0$a > 0 la parabole est tournée vers le HAUT (forme de vallée, avec un minimum), si $a<0$a < 0 vers le BAS (forme de colline, avec un maximum).

3. 3

   $B(q)=-5q^2+300q-4000$B(q) = -5q² + 300q - 4 000 : trinôme avec $a=-5$a = -5, $b=300$b = 300, $c=-4000$c = -4 000.

   Comme $a<0$a < 0, la parabole est tournée vers le bas : le bénéfice admet un MAXIMUM.

4. 4

   C'est logique en gestion : produire davantage augmente le bénéfice jusqu'à un certain point, au-delà duquel les coûts croissent plus vite que la recette.

5. 5

   $C(q)=5q^2+100q+4000$C(q) = 5q² + 100q + 4 000 : trinôme avec $a=5$a = 5, $b=100$b = 100, $c=4000$c = 4 000.

   Comme $a>0$a > 0, la parabole est tournée vers le haut.

6. 6

   Le coefficient $c=4000$c = 4 000 s'interprète : c'est $C(0)$C(0), le coût quand on ne produit rien, c'est-à-dire les CHARGES FIXES (loyer, assurances, salaires).

7. 7

   $R(q)=400q$R(q) = 400q : il n'y a pas de terme en $q^2$q².

   Ce n'est PAS un trinôme, c'est une fonction linéaire — la recette est proportionnelle à la quantité vendue, au prix unitaire de $400$400 €.

8. 8

   $H(q)=2q^2$H(q) = 2q² : trinôme avec $a=2$a = 2, $b=0$b = 0 et $c=0$c = 0.

   Les coefficients $b$b et $c$c peuvent être nuls ; seul $a$a ne peut pas l'être.

9. 9

   Contrôle utile : le coefficient $c$c est toujours l'image de $0$0.

   Ici $B(0)=-4000$B(0) = -4 000 (on perd les charges fixes si l'on ne vend rien) et $C(0)=4000$C(0) = 4 000. ✔

Rappel de cours : $a>0$a > 0 → parabole vers le haut (minimum) · $a<0$a < 0 → vers le bas (maximum). Et $c=f(0)$c = f(0), soit les charges fixes dans un modèle de coût.

Erreur fréquente : Oublier le signe de $a$a. Pour $B(q)$B(q), $a=-5$a = -5 et non $5$5 : c'est ce signe qui garantit l'existence d'un bénéfice maximal.

Correction détaillée

1. 1

   On remplace $q$q par chaque valeur en respectant les priorités : le carré d'abord, puis les produits, enfin les sommes.

2. 2

   $B(0)=-5\times 0+300\times 0-4000=-4000$B(0) = -5 × 0 + 300 × 0 - 4 000 = -4 000 €.

3. 3

   Interprétation : sans rien vendre, l'entreprise perd $4000$4 000 €, c'est-à-dire exactement ses charges fixes.

4. 4

   $B(10)=-5\times 100+300\times 10-4000=-500+3000-4000=-1500$B(10) = -5 × 100 + 300 × 10 - 4 000 = -500 + 3 000 - 4 000 = -1 500 €.

5. 5

   Avec $10$10 articles, l'entreprise perd encore $1500$1 500 € : la production est insuffisante pour couvrir les charges.

6. 6

   $B(30)=-5\times 900+300\times 30-4000=-4500+9000-4000=500$B(30) = -5 × 900 + 300 × 30 - 4 000 = -4 500 + 9 000 - 4 000 = 500 €.

7. 7

   Avec $30$30 articles, l'entreprise gagne $500$500 €.

8. 8

   $B(50)=-5\times 2500+300\times 50-4000=-12500+15000-4000=-1500$B(50) = -5 × 2 500 + 300 × 50 - 4 000 = -12 500 + 15 000 - 4 000 = -1 500 €.

9. 9

   Résultat contre-intuitif mais essentiel : en vendant $50$50 articles, l'entreprise reperd $1500$1 500 €, autant qu'avec $10$10 articles seulement.

10. 10

    C'est toute la logique de la parabole tournée vers le bas : au-delà d'un certain volume, les coûts de production augmentent plus vite que la recette (heures supplémentaires, matières plus chères, stockage).

11. 11

    Contrôle de cohérence : $B(10)=B(50)=-1500$B(10) = B(50) = -1 500 €.

    Ces deux quantités sont symétriques par rapport à $30$30, puisque $\frac{10+50}{2}=30$(10 + 50)/2 = 30. ✔ C'est la symétrie de la parabole.

Rappel de cours : $B(0)$B(0) donne toujours l'opposé des charges fixes : c'est ce qu'on perd sans rien vendre.

Erreur fréquente : Écrire $-5\times 10^2=2500$-5 × 10² = 2 500 en élevant $-5\times 10$-5 × 10 au carré. Le carré ne porte que sur $q$q : $-5\times 100=-500$-5 × 100 = -500.

Correction détaillée

1. 1

   La forme canonique s'écrit $a(q-\alpha {)}^2+\beta$a(q - α)² + β.

   Le sommet de la parabole a alors pour coordonnées $(\alpha ;\beta )$(α ;β), et l'axe de symétrie a pour équation $q=\alpha$q = α.

2. 2

   Ici $\alpha =30$α = 30 et $\beta =500$β = 500 : le sommet est $S(30;500)$S(30 ;500) et l'axe de symétrie est la droite $q=30$q = 30.

3. 3

   Pourquoi cette lecture fonctionne-t-elle ?

   Parce que $(q-30{)}^2$(q-30)² est toujours positif ou nul, et ne vaut $0$0 que pour $q=30$q = 30.

4. 4

   Comme $a=-5<0$a = -5 < 0, le terme $-5(q-30{)}^2$-5(q-30)² ne peut que RETRANCHER quelque chose à $500$500.

5. 5

   On a donc $B(q)⩽500$B(q) ≤ 500 pour toute quantité, avec égalité uniquement en $q=30$q = 30.

6. 6

   Le bénéfice maximal est donc de $500$500 €, atteint pour une production de $30$30 articles.

7. 7

   Vérification demandée : $B(10)=-5\times (10-30{)}^2+500=-5\times (-20{)}^2+500$B(10) = -5 × (10 - 30)² + 500 = -5 × (-20)² + 500.

8. 8

   $(-20{)}^2=400$(-20)² = 400, donc $B(10)=-5\times 400+500=-2000+500=-1500$B(10) = -5 × 400 + 500 = -2 000 + 500 = -1 500 €. ✔

9. 9

   On retrouve bien la valeur calculée avec la forme développée : les deux écritures décrivent la MÊME fonction.

10. 10

    À retenir : la forme développée donne $B(0)$B(0) d'un coup d'œil, la forme canonique donne le sommet.

    On choisit l'écriture selon la question posée.

Rappel de cours : $a(q-\alpha {)}^2+\beta$a(q-α)²+β : sommet $(\alpha ;\beta )$(α ;β). Le signe de $a$a décide seul entre maximum et minimum.

Erreur fréquente : Lire le sommet en $-30$-30 à cause du signe dans $(q-30)$(q - 30). La forme de référence est $(q-\alpha )$(q - α), donc $\alpha =+30$α = +30.

Correction détaillée

1. 1

   $f(100)=\frac{6000}{100}=60$f(100) = (6 000)/100 = 60 € de charges fixes par article.

2. 2

   $f(200)=\frac{6000}{200}=30$f(200) = (6 000)/200 = 30 € par article.

3. 3

   $f(500)=\frac{6000}{500}=12$f(500) = (6 000)/500 = 12 € par article.

4. 4

   On observe que doubler la production (de $100$100 à $200$200) divise par deux la charge fixe unitaire.

   C'est la propriété caractéristique de la fonction inverse.

5. 5

   Domaine de définition : la division par zéro est impossible, donc $f$f n'est pas définie en $q=0$q = 0.

6. 6

   Ici le contexte impose davantage : une production est un nombre positif, donc on travaille sur $q>0$q > 0, c'est-à-dire l'intervalle $]0;+\infty [$]0 ;+∞[.

7. 7

   Cela a un sens concret : si l'on ne produit rien, la question « combien de charges fixes par article ? » n'a pas de réponse — il n'y a pas d'article.

8. 8

   Quand la production augmente beaucoup, $f(q)$f(q) devient de plus en plus petit : $f(1000)=6$f(1 000) = 6 €, $f(6000)=1$f(6 000) = 1 €.

9. 9

   La charge fixe unitaire se rapproche de $0$0 sans jamais l'atteindre : la courbe de la fonction inverse se rapproche indéfiniment de l'axe des abscisses.

10. 10

    Interprétation de gestion, très importante : plus on produit, plus les charges fixes sont « diluées » sur un grand nombre d'articles.

    C'est ce qu'on appelle une économie d'échelle.

11. 11

    Attention toutefois : cette dilution ne rend pas la production infiniment rentable, car les autres coûts, eux, augmentent avec la quantité — c'est ce que montrera l'exercice sur le coût moyen unitaire.

Rappel de cours : La fonction inverse $x\mapsto \frac{1}{x}$x ↦ 1/x n'est jamais définie en $0$0, et elle est décroissante sur $]0;+\infty [$]0 ;+∞[.

Erreur fréquente : Croire que la charge unitaire finit par s'annuler. Elle se rapproche de $0$0 indéfiniment, mais reste toujours strictement positive.

Correction détaillée

1. 1

   On identifie les coefficients : $a=1$a = 1, $b=-50$b = -50, $c=600$c = 600.

2. 2

   Le discriminant se calcule par $\Delta =b^2-4ac$Δ = b² - 4ac.

3. 3

   $\Delta =(-50{)}^2-4\times 1\times 600=2500-2400=100$Δ = (-50)² - 4 × 1 × 600 = 2 500 - 2 400 = 100.

4. 4

   Comme $\Delta >0$Δ > 0, l'équation admet DEUX solutions distinctes, données par $q=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$q = (-b ± √(Δ))/2a.

5. 5

   $\sqrt{\Delta }=\sqrt{100}=10$√(Δ) = √(100) = 10, et $-b=-(-50)=+50$-b = -(-50) = +50.

6. 6

   $q_1=\frac{50-10}{2}=20$q₁ = (50 - 10)/2 = 20 et $q_2=\frac{50+10}{2}=30$q₂ = (50 + 10)/2 = 30.

7. 7

   Attention au double signe : $-b$-b vaut $+50$+50.

   L'oublier donnerait des solutions négatives, donc fausses.

8. 8

   Première vérification, en remplaçant : $20^2-50\times 20+600=400-1000+600=0$20² - 50 × 20 + 600 = 400 - 1 000 + 600 = 0 ✔.

9. 9

   Et $30^2-50\times 30+600=900-1500+600=0$30² - 50 × 30 + 600 = 900 - 1 500 + 600 = 0 ✔.

10. 10

    Seconde vérification, par la somme et le produit : la somme des racines doit valoir $-\frac{b}{a}=50$-b/a = 50 et leur produit $\frac{c}{a}=600$c/a = 600.

11. 11

    Or $20+30=50$20 + 30 = 50 ✔ et $20\times 30=600$20 × 30 = 600 ✔.

    Ce contrôle se fait de tête et détecte immédiatement une erreur de signe.

Rappel de cours : $\Delta =b^2-4ac$Δ = b²-4ac, puis $q=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$q = (-b ± √(Δ))/2a. Contrôle instantané : somme $=-\frac{b}{a}$= -b/a, produit $=\frac{c}{a}$= c/a.

Erreur fréquente : Écrire $q=\frac{-50\pm 10}{2}$q = (-50 ± 10)/2 en oubliant que $-b$-b vaut $+50$+50. On trouverait $-20$-20 et $-30$-30, qui ne vérifient pas l'équation.

Correction détaillée

1. 1

   La recette est le produit du prix unitaire par la quantité vendue : $R(q)=400q$R(q) = 400q.

2. 2

   Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût : $B(q)=R(q)-C(q)$B(q) = R(q) - C(q).

3. 3

   $B(q)=400q-\left(5q^2+100q+4000\right)$B(q) = 400q - (5q² + 100q + 4 000).

4. 4

   Attention à distribuer le signe moins sur TOUTE la parenthèse : c'est l'erreur la plus fréquente de l'exercice.

5. 5

   $B(q)=400q-5q^2-100q-4000$B(q) = 400q - 5q² - 100q - 4 000.

6. 6

   On réduit en regroupant les termes de même degré : $400q-100q=300q$400q - 100q = 300q.

7. 7

   D'où $B(q)=-5q^2+300q-4000$B(q) = -5q² + 300q - 4 000.

8. 8

   Le coefficient de $q^2$q² est négatif : la parabole est tournée vers le bas, donc le bénéfice admet bien un maximum.

   C'est cohérent avec la réalité économique.

9. 9

   Vérification demandée : $B(30)=-5\times 900+300\times 30-4000=-4500+9000-4000=500$B(30) = -5 × 900 + 300 × 30 - 4 000 = -4 500 + 9 000 - 4 000 = 500 €. ✔

10. 10

    Contrôle par l'autre chemin : $R(30)=12000$R(30) = 12 000 € et $C(30)=5\times 900+3000+4000=4500+7000=11500$C(30) = 5 × 900 + 3 000 + 4 000 = 4 500 + 7 000 = 11 500 €.

11. 11

    Différence : $12000-11500=500$12 000 - 11 500 = 500 €. ✔ Les deux méthodes concordent.

Rappel de cours : Bénéfice $=$= recette $-$- coût. Toujours mettre le coût entre parenthèses avant de soustraire.

Erreur fréquente : Écrire $B(q)=400q-5q^2+100q+4000$B(q) = 400q - 5q² + 100q + 4 000. On obtiendrait $-5q^2+500q+4000$-5q² + 500q + 4 000, et un bénéfice positif dès $q=0$q = 0 — donc un modèle sans charges fixes, absurde.

Correction détaillée

1. 1

   Deux stratégies : partir de la forme canonique et développer, ou partir de la forme développée et factoriser.

   La première est la plus sûre pour une question de type « montre que ».

2. 2

   On développe $-5(q-30{)}^2+500$-5(q - 30)² + 500.

   D'abord l'identité remarquable : $(q-30{)}^2=q^2-60q+900$(q-30)² = q² - 60q + 900.

3. 3

   Le double produit vaut $2\times q\times 30=60q$2 × q × 30 = 60q : l'oublier est l'erreur classique.

4. 4

   On multiplie par $-5$-5 : $-5\left(q^2-60q+900\right)=-5q^2+300q-4500$-5(q² - 60q + 900) = -5q² + 300q - 4 500.

5. 5

   Attention aux signes : $-5\times (-60q)=+300q$-5 × (-60q) = +300q et $-5\times 900=-4500$-5 × 900 = -4 500.

6. 6

   On ajoute enfin le $+500$+500 : $-5q^2+300q-4500+500=-5q^2+300q-4000$-5q² + 300q - 4 500 + 500 = -5q² + 300q - 4 000.

7. 7

   C'est bien l'expression de départ : l'égalité est démontrée. ✔

8. 8

   Méthode directe pour retrouver la forme canonique sans tâtonner : $\alpha =-\frac{b}{2a}=-\frac{300}{2\times (-5)}=-\frac{300}{-10}=30$α = -b/2a = -300/(2 × (-5)) = -300/(-10) = 30.

9. 9

   Puis $\beta =B(\alpha )=B(30)=500$β = B(α) = B(30) = 500, déjà calculé.

   On obtient directement $B(q)=-5(q-30{)}^2+500$B(q) = -5(q-30)² + 500.

10. 10

    Vérification supplémentaire en un point quelconque, par exemple $q=20$q = 20 : forme développée $-2000+6000-4000=0$-2 000 + 6 000 - 4 000 = 0, forme canonique $-5\times 100+500=0$-5 × 100 + 500 = 0. ✔

11. 11

    Les deux écritures coïncident en tout point : ce sont deux visages de la même fonction.

Rappel de cours : Raccourci : $\alpha =-\frac{b}{2a}$α = -b/2a puis $\beta =f(\alpha )$β = f(α). Deux calculs suffisent, sans complétion du carré.

Erreur fréquente : Oublier le double produit dans $(q-30{)}^2$(q-30)² et écrire $q^2-900$q² - 900. Le développement correct comporte trois termes.

Correction détaillée

1. 1

   On raisonne sur le terme $(q-30{)}^2$(q - 30)², qui mesure l'écart à la quantité $30$30.

2. 2

   Quand $q$q augmente de $0$0 à $30$30, cet écart DIMINUE, donc $(q-30{)}^2$(q-30)² diminue.

3. 3

   Comme il est multiplié par $-5$-5, un nombre négatif, le terme $-5(q-30{)}^2$-5(q-30)² AUGMENTE : la fonction $B$B est croissante sur $[0;30]$[0 ;30].

4. 4

   Quand $q$q dépasse $30$30, l'écart augmente de nouveau, donc $B$B est décroissante sur $[30;60]$[30 ;60].

5. 5

   Tableau de variations : $B$B croît de $B(0)=-4000$B(0) = -4 000 jusqu'à $B(30)=500$B(30) = 500, puis décroît jusqu'à $B(60)$B(60).

6. 6

   Calcul de la borne : $B(60)=-5\times (60-30{)}^2+500=-5\times 900+500=-4000$B(60) = -5 × (60-30)² + 500 = -5 × 900 + 500 = -4 000 €.

7. 7

   On retrouve la même valeur qu'en $q=0$q = 0, ce qui est logique : $0$0 et $60$60 sont symétriques par rapport à l'axe $q=30$q = 30. ✔

8. 8

   Vérification numérique de la croissance : $B(10)=-1500$B(10) = -1 500, $B(20)=0$B(20) = 0, $B(30)=500$B(30) = 500.

   Les valeurs augmentent bien. ✔

9. 9

   Et de la décroissance : $B(40)=0$B(40) = 0, $B(50)=-1500$B(50) = -1 500.

   Elles diminuent. ✔

10. 10

    Interprétation pour l'entreprise : jusqu'à $30$30 articles, chaque article supplémentaire améliore le résultat ; au-delà, il le dégrade.

11. 11

    La production de $30$30 articles est donc l'optimum économique.

    Produire $40$40 articles rapporte moins que d'en produire $30$30, alors même que la recette est plus élevée — parce que le coût croît plus vite qu'elle.

Rappel de cours : $a<0$a < 0 : la fonction croît puis décroît (maximum au sommet). $a>0$a > 0 : elle décroît puis croît (minimum au sommet).

Erreur fréquente : Confondre « recette maximale » et « bénéfice maximal ». La recette $400q$400q croît indéfiniment ; c'est le bénéfice qui admet un maximum.

Correction détaillée

1. 1

   On cherche d'abord les quantités qui annulent le bénéfice, c'est-à-dire les racines du trinôme.

2. 2

   $a=-5$a = -5, $b=300$b = 300, $c=-4000$c = -4 000, donc $\Delta =300^2-4\times (-5)\times (-4000)$Δ = 300² - 4 × (-5) × (-4 000).

3. 3

   Attention au signe : $-4\times (-5)\times (-4000)=-80000$-4 × (-5) × (-4 000) = -80 000, car le produit de trois facteurs dont deux sont négatifs reste négatif.

4. 4

   $\Delta =90000-80000=10000$Δ = 90 000 - 80 000 = 10 000.

5. 5

   $\sqrt{\Delta }=100$√(Δ) = 100, donc $q_1=\frac{-300+100}{-10}=\frac{-200}{-10}=20$q₁ = (-300 + 100)/(-10) = (-200)/(-10) = 20 et $q_2=\frac{-300-100}{-10}=\frac{-400}{-10}=40$q₂ = (-300 - 100)/(-10) = (-400)/(-10) = 40.

6. 6

   Vérification : $B(20)=-2000+6000-4000=0$B(20) = -2 000 + 6 000 - 4 000 = 0 ✔ et $B(40)=-8000+12000-4000=0$B(40) = -8 000 + 12 000 - 4 000 = 0 ✔.

7. 7

   Contrôle par somme et produit : $20+40=60=-\frac{b}{a}=\frac{300}{5}$20 + 40 = 60 = -b/a = 300/5 ✔ et $20\times 40=800=\frac{c}{a}=\frac{-4000}{-5}$20 × 40 = 800 = c/a = (-4 000)/(-5) ✔.

8. 8

   Pour le signe, on applique la règle du trinôme : il est du signe de $a$a à l'EXTÉRIEUR des racines, et du signe contraire à l'INTÉRIEUR.

9. 9

   Ici $a=-5<0$a = -5 < 0, donc $B$B est négatif à l'extérieur de $[20;40]$[20 ;40] et positif à l'intérieur.

10. 10

    L'entreprise est donc rentable pour $q$q compris entre $20$20 et $40$40 articles.

11. 11

    Vérification par un point intérieur : $B(30)=500>0$B(30) = 500 > 0 ✔.

    Et par un point extérieur : $B(10)=-1500<0$B(10) = -1 500 < 0 ✔.

12. 12

    Vocabulaire de gestion : $q=20$q = 20 est le SEUIL DE RENTABILITÉ (ou point mort) — la quantité à partir de laquelle l'activité devient bénéficiaire.

    Au-delà de $40$40, l'entreprise repasse en perte.

Rappel de cours : Signe d'un trinôme : du signe de $a$a à l'extérieur des racines, du signe opposé entre elles.

Erreur fréquente : Se tromper de signe dans $\Delta$Δ en écrivant $90000+80000$90 000 + 80 000. On trouverait des racines fausses et un seuil de rentabilité erroné.

Correction détaillée

1. 1

   Le seuil de rentabilité est l'abscisse du point où la courbe COUPE l'axe horizontal en montant : on lit $q=20$q = 20.

2. 2

   La courbe repasse sous l'axe en $q=40$q = 40 : au-delà de $40$40 articles, le bénéfice redevient négatif.

3. 3

   Le point le plus haut de la courbe se situe en $q=30$q = 30, à la hauteur $500$500 : le bénéfice maximal est de $500$500 € pour $30$30 articles.

4. 4

   Contrôle immédiat : l'abscisse du sommet est le milieu des deux racines, $\frac{20+40}{2}=30$(20 + 40)/2 = 30. ✔ C'est une conséquence de la symétrie de la parabole.

5. 5

   Pour la dernière question, on repère graphiquement où la courbe passe au-dessus de la hauteur $300$300.

6. 6

   On lit approximativement entre $24$24 et $36$36 articles.

7. 7

   Confirmation par le calcul : on résout $-5q^2+300q-4000⩾300$-5q² + 300q - 4 000 ≥ 300, soit $-5q^2+300q-4300⩾0$-5q² + 300q - 4 300 ≥ 0.

8. 8

   On divise par $-5$-5, ce qui INVERSE le sens de l'inégalité : $q^2-60q+860⩽0$q² - 60q + 860 ≤ 0.

9. 9

   $\Delta =3600-3440=160$Δ = 3 600 - 3 440 = 160, donc $\sqrt{\Delta }\approx 12,65$√(Δ) ≈ 12,65 et les racines sont $\frac{60\pm 12,65}{2}$(60 ± 12,65)/2, soit environ $23,67$23,67 et $36,32$36,32.

10. 10

    Le trinôme $q^2-60q+860$q²-60q+860 a un coefficient dominant positif : il est négatif ENTRE ses racines.

    La condition est donc $23,67⩽q⩽36,32$23,67 ≤ q ≤ 36,32.

11. 11

    Comme une quantité d'articles est entière, le bénéfice dépasse $300$300 € pour $q$q allant de $24$24 à $36$36 articles.

12. 12

    Vérification aux bornes : $B(23)=255$B(23) = 255 € (insuffisant) et $B(24)=320$B(24) = 320 € (suffisant) ✔ ; $B(36)=320$B(36) = 320 € et $B(37)=255$B(37) = 255 € ✔.

Rappel de cours : L'abscisse du sommet est toujours le milieu des racines : $\alpha =\frac{q_1+q_2}{2}$α = (q₁ + q₂)/2. C'est le contrôle graphique le plus rapide.

Erreur fréquente : Donner $23,67$23,67 articles comme réponse finale. Une quantité produite est un ENTIER : il faut conclure par $24$24.

Correction détaillée

1. 1

   On divise chaque terme du numérateur par $q$q : c'est légitime puisque $q\ne 0$q ≠ 0.

2. 2

   $\frac{5q^2}{q}=5q$5q²/q = 5q, car $\frac{q^2}{q}=q$q²/q = q.

3. 3

   $\frac{100q}{q}=100$100q/q = 100, et $\frac{4000}{q}$(4 000)/q ne se simplifie pas.

4. 4

   Donc $CM(q)=5q+100+\frac{4000}{q}$CM(q) = 5q + 100 + (4 000)/q. ✔

5. 5

   Cette écriture est parlante : le coût moyen se décompose en un terme croissant ($5q$5q), un terme constant ($100$100) et un terme décroissant ($\frac{4000}{q}$(4 000)/q), qui est justement la fonction inverse.

6. 6

   $CM(10)=50+100+400=550$CM(10) = 50 + 100 + 400 = 550 € par article.

7. 7

   $CM(20)=100+100+200=400$CM(20) = 100 + 100 + 200 = 400 € par article.

8. 8

   $CM(40)=200+100+100=400$CM(40) = 200 + 100 + 100 = 400 € par article.

9. 9

   Vérification par la définition : $C(20)=2000+2000+4000=8000$C(20) = 2 000 + 2 000 + 4 000 = 8 000 €, et $\frac{8000}{20}=400$(8 000)/20 = 400 €. ✔

10. 10

    Explication du phénomène, qui est le cœur de l'exercice : au début, les $4000$4 000 € de charges fixes sont répartis sur très peu d'articles, donc chaque article en supporte beaucoup — d'où un coût moyen élevé.

11. 11

    Quand la production augmente, ce terme $\frac{4000}{q}$(4 000)/q s'effondre : c'est l'économie d'échelle.

    Le coût moyen baisse.

12. 12

    Mais le terme $5q$5q augmente, lui, et finit par l'emporter : au-delà d'un certain volume, produire un article de plus coûte de plus en plus cher.

13. 13

    Le coût moyen passe donc par un MINIMUM, entre ces deux effets contraires.

    On remarque d'ailleurs que $CM(20)=CM(40)=400$CM(20) = CM(40) = 400 € : le minimum se situe quelque part entre les deux.

Rappel de cours : $\frac{a{q}^2+bq+c}{q}=aq+b+\frac{c}{q}$(aq²+bq+c)/q = aq + b + c/q : on divise CHAQUE terme, et c'est le terme constant qui fait apparaître la fonction inverse.

Erreur fréquente : Simplifier $\frac{4000}{q}$(4 000)/q en $4000$4 000. Seuls les termes contenant $q$q se simplifient.

Correction détaillée

1. 1

   On résout l'équation $\frac{6000}{q}=25$(6 000)/q = 25.

2. 2

   On multiplie les deux membres par $q$q, ce qui est autorisé car $q>0$q > 0 : $6000=25q$6 000 = 25q.

3. 3

   D'où $q=\frac{6000}{25}=240$q = (6 000)/25 = 240 articles.

4. 4

   Vérification : $\frac{6000}{240}=25$(6 000)/240 = 25 €. ✔

5. 5

   Pour la seconde question, on résout l'inéquation $\frac{6000}{q}<20$(6 000)/q < 20.

6. 6

   En multipliant par $q$q (positif, donc le sens est conservé) : $6000<20q$6 000 < 20q, d'où $q>300$q > 300.

7. 7

   Il faut donc produire au moins $301$301 articles pour que la charge fixe unitaire passe sous $20$20 €.

8. 8

   Vérification : $\frac{6000}{300}=20$(6 000)/300 = 20 € exactement (donc pas encore « sous »), et $\frac{6000}{301}\approx 19,93$(6 000)/301 ≈ 19,93 €. ✔

9. 9

   Attention à la multiplication par $q$q : elle n'est légitime que parce qu'on sait $q>0$q > 0.

   Si le signe était inconnu, il faudrait distinguer les cas, car multiplier par un négatif inverserait l'inégalité.

10. 10

    Dernière question : $\frac{6000}{q}=0$(6 000)/q = 0 n'a AUCUNE solution.

11. 11

    En effet, une fraction est nulle uniquement si son numérateur l'est.

    Or ici le numérateur vaut $6000$6 000, qui n'est pas nul, quelle que soit la valeur de $q$q.

12. 12

    Interprétation : les charges fixes ne disparaissent jamais.

    On peut les diluer autant qu'on veut en produisant beaucoup, mais chaque article en supportera toujours une petite part.

13. 13

    Remarque de gestion : à $1000$1 000 articles la charge unitaire tombe à $6$6 €, à $10000$10 000 articles à $0,60$0,60 € — de plus en plus petite, jamais nulle.

Rappel de cours : $\frac{k}{q}=0$k/q = 0 est impossible dès que $k\ne 0$k ≠ 0. Une fraction s'annule seulement par son NUMÉRATEUR.

Erreur fréquente : Multiplier l'inéquation par $q$q sans justifier que $q>0$q > 0. C'est cette justification que le correcteur attend.

Correction détaillée

1. 1

   On traduit l'objectif par l'inéquation $B(q)⩾375$B(q) ≥ 375, soit $-5q^2+300q-4000⩾375$-5q² + 300q - 4 000 ≥ 375.

2. 2

   Première étape obligatoire : tout ramener d'un même côté pour comparer à zéro.

3. 3

   $-5q^2+300q-4375⩾0$-5q² + 300q - 4 375 ≥ 0.

4. 4

   Pour simplifier, on divise par $-5$-5.

   C'est un nombre NÉGATIF, donc le sens de l'inégalité s'INVERSE.

5. 5

   $q^2-60q+875⩽0$q² - 60q + 875 ≤ 0.

6. 6

   On cherche les racines : $\Delta =3600-4\times 875=3600-3500=100$Δ = 3 600 - 4 × 875 = 3 600 - 3 500 = 100.

7. 7

   $\sqrt{\Delta }=10$√(Δ) = 10, donc $q_1=\frac{60-10}{2}=25$q₁ = (60 - 10)/2 = 25 et $q_2=\frac{60+10}{2}=35$q₂ = (60 + 10)/2 = 35.

8. 8

   Contrôle : somme $25+35=60$25 + 35 = 60 ✔ et produit $25\times 35=875$25 × 35 = 875 ✔.

9. 9

   Le coefficient dominant de $q^2-60q+875$q² - 60q + 875 est positif, donc le trinôme est négatif ENTRE ses racines.

10. 10

    L'objectif est donc atteint pour $q$q compris entre $25$25 et $35$35 articles.

11. 11

    Vérification aux bornes : $B(25)=-3125+7500-4000=375$B(25) = -3 125 + 7 500 - 4 000 = 375 € ✔ (l'objectif est tout juste atteint) et $B(35)=-6125+10500-4000=375$B(35) = -6 125 + 10 500 - 4 000 = 375 € ✔.

12. 12

    Vérification à l'intérieur : $B(30)=500⩾375$B(30) = 500 ≥ 375 ✔.

    Et à l'extérieur : $B(20)=0<375$B(20) = 0 < 375 ✔.

13. 13

    Lecture de gestion : l'entreprise dispose d'une marge de manœuvre de $11$11 quantités possibles (de $25$25 à $35$35 articles).

    En dessous elle produit trop peu, au-dessus ses coûts s'envolent.

Rappel de cours : Diviser une inéquation par un nombre négatif en INVERSE le sens. C'est souvent le moyen le plus sûr de se ramener à un coefficient dominant positif.

Erreur fréquente : Oublier d'inverser le sens en divisant par $-5$-5. On chercherait alors l'extérieur des racines, c'est-à-dire exactement les quantités qui NE conviennent PAS.

Correction détaillée

1. 1

   L'entreprise ne gagne ni ne perd d'argent quand la recette est exactement égale au coût, c'est-à-dire aux points d'INTERSECTION des deux courbes.

2. 2

   Graphiquement, la droite et la parabole se coupent en $q=20$q = 20 et $q=40$q = 40.

3. 3

   Pour le calcul, on résout l'équation $R(q)=C(q)$R(q) = C(q), soit $400q=5q^2+100q+4000$400q = 5q² + 100q + 4 000.

4. 4

   On ramène tout d'un même côté : $0=5q^2+100q+4000-400q$0 = 5q² + 100q + 4 000 - 400q, soit $5q^2-300q+4000=0$5q² - 300q + 4 000 = 0.

5. 5

   On simplifie en divisant par $5$5 — nombre positif, donc rien ne change pour une équation : $q^2-60q+800=0$q² - 60q + 800 = 0.

6. 6

   $\Delta =3600-3200=400$Δ = 3 600 - 3 200 = 400, donc $\sqrt{\Delta }=20$√(Δ) = 20.

7. 7

   $q_1=\frac{60-20}{2}=20$q₁ = (60 - 20)/2 = 20 et $q_2=\frac{60+20}{2}=40$q₂ = (60 + 20)/2 = 40. ✔ Les lectures graphiques sont confirmées.

8. 8

   Vérification directe : $R(20)=8000$R(20) = 8 000 € et $C(20)=2000+2000+4000=8000$C(20) = 2 000 + 2 000 + 4 000 = 8 000 €. ✔

9. 9

   Sur le graphique, la droite de recette est AU-DESSUS de la courbe de coût entre $20$20 et $40$40 : c'est là que l'entreprise gagne de l'argent.

10. 10

    Cohérence avec l'exercice sur le seuil de rentabilité : on avait trouvé $B(q)⩾0$B(q) ≥ 0 sur $[20;40]$[20 ;40], et c'est exactement le même intervalle. ✔

11. 11

    Ce n'est pas un hasard : dire « la recette dépasse le coût » et dire « le bénéfice est positif » sont deux formulations de la même chose, puisque $B=R-C$B = R - C.

12. 12

    Les deux lectures sont complémentaires : la courbe du bénéfice montre COMBIEN on gagne, les deux courbes croisées montrent POURQUOI — l'écart entre ce qui rentre et ce qui sort.

Rappel de cours : Point mort : on égalise recette et coût, on ramène à zéro, on résout. C'est la même information que les racines du bénéfice.

Erreur fréquente : Croire que le point mort correspond au bénéfice maximal. Au point mort le bénéfice est NUL ; le maximum se situe au milieu des deux points morts.

Correction détaillée

1. 1

   La recette est le produit du prix par la quantité vendue : $R(p)=p\times D(p)$R(p) = p × D(p).

2. 2

   $R(p)=p(1000-20p)=1000p-20p^2$R(p) = p(1 000 - 20p) = 1 000p - 20p².

3. 3

   C'est un trinôme du second degré en $p$p, avec $a=-20$a = -20, $b=1000$b = 1 000 et $c=0$c = 0.

   Comme $a<0$a < 0, la recette admet un maximum.

4. 4

   Abscisse du sommet : $\alpha =-\frac{b}{2a}=-\frac{1000}{2\times (-20)}=-\frac{1000}{-40}=25$α = -b/2a = -(1 000)/(2 × (-20)) = -(1 000)/(-40) = 25.

5. 5

   Le prix optimal est donc de $25$25 € par article.

6. 6

   Recette correspondante : $R(25)=1000\times 25-20\times 625=25000-12500=12500$R(25) = 1 000 × 25 - 20 × 625 = 25 000 - 12 500 = 12 500 €.

7. 7

   Quantité vendue à ce prix : $D(25)=1000-500=500$D(25) = 1 000 - 500 = 500 articles.

8. 8

   Vérification : $500$500 articles à $25$25 € font bien $12500$12 500 €. ✔

9. 9

   Test d'un prix voisin pour confirmer le maximum : à $20$20 €, $D(20)=600$D(20) = 600 articles et $R=12000$R = 12 000 € ; à $30$30 €, $D(30)=400$D(30) = 400 articles et $R=12000$R = 12 000 €.

10. 10

    Les deux donnent moins que $12500$12 500 €, et sont symétriques par rapport à $25$25 €. ✔

11. 11

    Explication de la troisième question : augmenter le prix rapporte plus par article, mais fait fuir des clients.

    Les deux effets jouent en sens contraire.

12. 12

    Au-delà de $25$25 €, la perte de clientèle l'emporte sur le gain unitaire : $D(40)=200$D(40) = 200 articles seulement, pour une recette de $8000$8 000 €.

13. 13

    À l'extrême, un prix de $50$50 € annulerait la demande ($D(50)=0$D(50) = 0) et donc la recette.

    C'est pourquoi la courbe de recette est une parabole tournée vers le bas.

Rappel de cours : Recette $=$= prix $\times$× quantité. Quand la quantité dépend du prix, la recette devient un trinôme du second degré en $p$p.

Erreur fréquente : Croire que le prix le plus élevé donne la meilleure recette. À $50$50 €, la recette est nulle : personne n'achète.

Correction détaillée

1. 1

   Le sommet de la parabole se situe en $q=30$q = 30, mais cette quantité est désormais HORS de l'intervalle autorisé $[0;25]$[0 ;25].

2. 2

   Il faut donc raisonner sur les variations : $B$B est croissante sur $[0;30]$[0 ;30], donc en particulier sur tout $[0;25]$[0 ;25].

3. 3

   Une fonction croissante atteint son maximum à la BORNE DROITE de l'intervalle : ici en $q=25$q = 25.

4. 4

   $B(25)=-5\times 625+300\times 25-4000=-3125+7500-4000=375$B(25) = -5 × 625 + 300 × 25 - 4 000 = -3 125 + 7 500 - 4 000 = 375 €.

5. 5

   Le bénéfice maximal réalisable est donc de $375$375 € par jour, avec $25$25 articles.

6. 6

   Vérification par la forme canonique : $B(25)=-5\times (25-30{)}^2+500=-5\times 25+500=375$B(25) = -5 × (25-30)² + 500 = -5 × 25 + 500 = 375 €. ✔

7. 7

   Comparaison avec l'optimum théorique : sans contrainte, l'entreprise réaliserait $500$500 € avec $30$30 articles.

8. 8

   Manque à gagner : $500-375=125$500 - 375 = 125 € par jour.

9. 9

   Réponse à la troisième question : porter la capacité de $25$25 à $30$30 articles permettrait précisément de récupérer ces $125$125 € par jour.

10. 10

    Sur une année de $250$250 jours ouvrés, cela représente $125\times 250=31250$125 × 250 = 31 250 € — c'est ce montant qu'il faut comparer au coût de l'investissement pour décider.

11. 11

    Point de méthode essentiel, et régulièrement évalué : sur un intervalle FERMÉ, l'extremum peut se situer à une BORNE et non au sommet.

    On vérifie toujours si le sommet appartient à l'intervalle avant de conclure.

12. 12

    Remarque : investir au-delà de $30$30 articles n'apporterait rien, puisque le bénéfice diminue ensuite.

    La capacité optimale est exactement $30$30.