Suites numériques et modèles en Terminale STMG

Suites numériques et modèles en Terminale STMG : cours complet

En Terminale STMG, tu utilises les suites arithmétiques et géométriques pour modéliser des situations économiques : épargne, emprunts, amortissements, croissance.

Rappels

Suite arithmétique de raison $r$r

$$u_{n+1}=u_n+r;u_n=u_0+nr$$uₙ₊₁ = uₙ + r ; uₙ = u₀ + n r

Suite géométrique de raison $q$q

$$u_{n+1}=u_n\times q;u_n=u_0\times q^n$$uₙ₊₁ = uₙ × q ; uₙ = u₀ × qⁿ

Sommes

Arithmétique : $S=(n+1)\frac{u_0+u_n}{2}$S = (n+1) (u₀ + uₙ)/2.

Géométrique : $S=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$S = u₀ (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q) (si $q\ne 1$q ≠ 1).

Reconnaître une suite

• $u_{n+1}-u_n$uₙ₊₁ - uₙ constant → arithmétique.
• $\frac{u_{n+1}}{u_n}$uₙ₊₁/uₙ constant → géométrique.

Modèle linéaire vs exponentiel

Modèle linéaire

$$u_n=a+nb\text{(suite arithmeˊtique)}$$uₙ = a + n b (suite arithmétique)

Évolution constante par étape.

Modèle exponentiel

$$u_n=a\times q^n\text{(suite geˊomeˊtrique)}$$uₙ = a × qⁿ (suite géométrique)

Évolution proportionnelle à la valeur actuelle.

Applications économiques

Épargne à intérêts simples

$$C_n=C_0+n\times C_0\times t=C_0(1+nt)$$Cₙ = C₀ + n × C₀ × t = C₀ (1 + nt)

Suite arithmétique.

Épargne à intérêts composés

$$C_n=C_0\times (1+t{)}^n$$Cₙ = C₀ × (1 + t)ⁿ

Suite géométrique de raison $1+t$1 + t.

Exemple

Capital $10000$10 000 €, taux $5\%$5% :

• Intérêts simples sur $20$20 ans : $10000\times (1+20\times 0,05)=20000$10 000 × (1 + 20 × 0,05) = 20 000 €.
• Intérêts composés sur $20$20 ans : $10000\times 1,05^{20}\approx 26533$10 000 × 1,05²⁰ ≈ 26 533 €.

Amortissement linéaire

Bien d'une valeur $V_0$V₀, amorti de $a$a chaque année :

$$V_n=V_0-na$$Vₙ = V₀ - n a

Amortissement dégressif

Diminution de $t\%$t% chaque année :

$$V_n=V_0\times (1-t{)}^n$$Vₙ = V₀ × (1 - t)ⁿ

Remboursement d'un emprunt

Capital restant après mensualité : à modéliser avec suite récurrente.

Sens de variation et limite

Suite arithmétique

• $r>0$r > 0 : croissante, $\to +\infty$→ +∞.
• $r<0$r < 0 : décroissante, $\to -\infty$→ -∞.

Suite géométrique ($u_0>0$u₀ > 0)

• $q>1$q > 1 : croissante, $\to +\infty$→ +∞.
• $0<q<1$0 < q < 1 : décroissante, $\to 0$→ 0.
• $q=1$q = 1 : constante.

Suite arithmético-géométrique

$$u_{n+1}=a{u}_n+b$$uₙ₊₁ = a uₙ + b

Méthode : poser $v_n=u_n-\ell$vₙ = uₙ - ℓ où $\ell =\frac{b}{1-a}$ℓ = b/(1 - a) est le point fixe. Alors $v_n$vₙ est géométrique.

Exemple

$u_{n+1}=0,5u_n+10$uₙ₊₁ = 0,5 uₙ + 10, $u_0=0$u₀ = 0.

Point fixe : $\ell =\frac{10}{1-0,5}=20$ℓ = 10/(1 - 0,5) = 20.

$v_n=u_n-20$vₙ = uₙ - 20, $v_{n+1}=0,5v_n$vₙ₊₁ = 0,5 vₙ, $v_n=-20\times 0,5^n$vₙ = -20 × 0,5ⁿ.

$$u_n=20-20\times 0,5^n$$uₙ = 20 - 20 × 0,5ⁿ

Limite : $\lim u_n=20$lim uₙ = 20.

Comparaisons de modèles

Erreurs fréquentes à éviter

• Confondre arith. et géom.
• Mauvaise raison : la calculer rigoureusement.
• Mauvaise formule pour les sommes.
• Confondre intérêts simples et composés.

FAQ — Suites et modèles en Terminale STMG

Quand utiliser quel modèle ?

• Linéaire : évolution par addition d'une constante.
• Exponentiel : évolution par pourcentage.

À quoi servent les suites en gestion ?

À modéliser épargne, emprunts, amortissements, croissance d'entreprise, prévisions.

Comment calculer le doublement d'un capital ?

$n=\frac{\ln 2}{\ln (1+t)}$n = (ln 2)/(ln(1 + t)) ou approximation : règle des 72.

Pourquoi les intérêts composés sont-ils plus avantageux ?

Parce que les intérêts s'ajoutent au capital et génèrent eux-mêmes des intérêts.